Chapitre 13 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Exercices progressifs corrigés. Cherche chaque exercice avant de dérouler la correction.
Pour chacun des complexes, donner \(\operatorname{Re}(z)\) et \(\operatorname{Im}(z)\), et préciser s'il est réel ou imaginaire pur :
\(z_1=7-2i\) ; \(z_2=-3i\) ; \(z_3=4\) ; \(z_4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i\).
\(z_1\) : \(\operatorname{Re}=7\), \(\operatorname{Im}=-2\).
\(z_2\) : \(\operatorname{Re}=0\), \(\operatorname{Im}=-3\) → imaginaire pur.
\(z_3\) : \(\operatorname{Re}=4\), \(\operatorname{Im}=0\) → réel.
\(z_4\) : \(\operatorname{Re}=\dfrac12\), \(\operatorname{Im}=\dfrac32\).
Déterminer \(\bar z\) et \(|z|\) pour :
(a) \(z=6+8i\) ; (b) \(z=-1+i\) ; (c) \(z=-4\) ; (d) \(z=5i\).
(a) \(\bar z=6-8i\), \(|z|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
(b) \(\bar z=-1-i\), \(|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\).
(c) \(\bar z=-4\), \(|z|=\sqrt{16}=4\).
(d) \(\bar z=-5i\), \(|z|=\sqrt{25}=5\).
On pose \(z=3-2i\) et \(z'=-1+4i\). Calculer, sous forme algébrique :
(a) \(z+z'\) ; (b) \(z-z'\) ; (c) \(zz'\) ; (d) \(z^2\).
(a) \(z+z'=(3-1)+(-2+4)i=2+2i\).
(b) \(z-z'=(3-(-1))+(-2-4)i=4-6i\).
(c) \(zz'=(3-2i)(-1+4i)=-3+12i+2i-8i^2=-3+14i+8=5+14i\).
(d) \(z^2=(3-2i)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i\).
Écrire sous forme \(a+ib\) :
(a) \(\dfrac{1}{2+i}\) ; (b) \(\dfrac{3-i}{1+i}\) ; (c) \(\dfrac{5}{i}\).
(a) \(\dfrac{1}{2+i}=\dfrac{2-i}{(2+i)(2-i)}=\dfrac{2-i}{4+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i\).
(b) \(\dfrac{3-i}{1+i}=\dfrac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{3-3i-i+i^2}{2}=\dfrac{3-4i-1}{2}=\dfrac{2-4i}{2}=1-2i\).
(c) \(\dfrac{5}{i}=\dfrac{5\times(-i)}{i\times(-i)}=\dfrac{-5i}{-i^2}=\dfrac{-5i}{1}=-5i\).
Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1+2i)\), \(B(4+3i)\) et \(C(-2+i)\).
1. Déterminer l'affixe de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer la longueur \(AB\).
3. Déterminer l'affixe du milieu \(I\) de \([BC]\).
1. \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(4+3i)-(1+2i)=3+i\).
\(z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=(-2+i)-(1+2i)=-3-i\).
2. \(AB=|z_B-z_A|=|3+i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\).
3. \(z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{(4+3i)+(-2+i)}{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i\).
On donne \(z=2+2i\) et \(z'=1-3i\).
1. Calculer \(|z|\) et \(|z'|\).
2. En déduire \(|zz'|\) et \(\left|\dfrac{z}{z'}\right|\) sans calculer \(zz'\) ni le quotient.
1. \(|z|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\) ; \(|z'|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}\).
2. \(|zz'|=|z||z'|=2\sqrt2\times\sqrt{10}=2\sqrt{20}=4\sqrt5\).
\(\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}\).
Écrire sous forme trigonométrique :
(a) \(z=1+i\) ; (b) \(z=-\sqrt3+i\) ; (c) \(z=-4i\).
(a) \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt2\). \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\) → \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). Donc \(z=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).
(b) \(r=\sqrt{3+1}=2\). \(\cos\theta=\dfrac{-\sqrt3}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac12\) → 2ᵉ quadrant, \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\). Donc \(z=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\).
(c) \(r=4\). \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=-1\) → \(\theta=-\dfrac{\pi}{2}\). Donc \(z=4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\).
Dans un repère orthonormé direct, on considère les complexes \(z_A=2+2i\), \(z_B=-1+i\sqrt3\).
1. Écrire \(z_A\) et \(z_B\) sous forme trigonométrique.
2. Calculer \(|z_A|\) et \(|z_B|\). Que peut-on dire des points \(A\) et \(B\) par rapport à l'origine \(O\) ?
3. Calculer \(z_A\times z_B\) sous forme algébrique, puis vérifier que \(|z_A z_B|=|z_A|\times|z_B|\).
4. Calculer l'affixe de \(\overrightarrow{AB}\) et la longueur \(AB\) (valeur exacte).
1. \(|z_A|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\). \(\cos\theta=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\) → \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). Donc \(z_A=2\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).
\(|z_B|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). \(\cos\theta=-\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) → 2ᵉ quadrant, \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\). Donc \(z_B=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\).
2. \(OA=|z_A|=2\sqrt2\) et \(OB=|z_B|=2\) : les points \(A\) et \(B\) sont respectivement à la distance \(2\sqrt2\) et \(2\) de l'origine.
3. \(z_A z_B=(2+2i)(-1+i\sqrt3)=-2+2i\sqrt3-2i+2i^2\sqrt3=-2+2i\sqrt3-2i-2\sqrt3=(-2-2\sqrt3)+(2\sqrt3-2)i\).
\(|z_A z_B|=|z_A||z_B|=2\sqrt2\times2=4\sqrt2\). ✓ (On peut vérifier : \(|z_A z_B|^2=(-2-2\sqrt3)^2+(2\sqrt3-2)^2=(4+8\sqrt3+12)+(12-8\sqrt3+4)=32\), donc \(|z_A z_B|=\sqrt{32}=4\sqrt2\).)
4. \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-1+i\sqrt3)-(2+2i)=-3+(\sqrt3-2)i\).
\(AB=|{-3+(\sqrt3-2)i}|=\sqrt{9+(\sqrt3-2)^2}=\sqrt{9+(3-4\sqrt3+4)}=\sqrt{16-4\sqrt3}\).