Chapitre 13 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Durée : 1 h — Barème : /20 — Calculatrice autorisée
Toutes les réponses doivent être justifiées. Les valeurs sont attendues sous forme exacte.
On donne \(z=4-3i\) et \(z'=-2+2i\).
1. Donner \(\operatorname{Re}(z)\), \(\operatorname{Im}(z)\), \(\bar z\) et \(|z|\). (2 pts)
2. Calculer \(z+z'\) et \(zz'\) sous forme algébrique. (2 pts)
3. Calculer \(z^2\) sous forme algébrique. (1,5 pt)
4. Vérifier que \(z\bar z=|z|^2\). (1,5 pt)
1. \(\operatorname{Re}(z)=4\), \(\operatorname{Im}(z)=-3\), \(\bar z=4+3i\), \(|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\). (0,5 pt chacun)
2. \(z+z'=(4-2)+(-3+2)i=2-i\).
\(zz'=(4-3i)(-2+2i)=-8+8i+6i-6i^2=-8+14i+6=-2+14i\).
3. \(z^2=(4-3i)^2=16-24i+9i^2=16-24i-9=7-24i\).
4. \(z\bar z=(4-3i)(4+3i)=16-9i^2=16+9=25\), et \(|z|^2=5^2=25\). On a bien \(z\bar z=|z|^2\). ✓
1. Écrire \(\dfrac{2+i}{1-i}\) sous forme algébrique. (2 pts)
Dans un repère orthonormé direct, on considère \(A(3+i)\) et \(B(-1+4i)\).
2. Déterminer l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (1,5 pt)
3. Calculer la longueur \(AB\) (valeur exacte). (1,5 pt)
4. Déterminer l'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\). (1 pt)
1. \(\dfrac{2+i}{1-i}=\dfrac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2+2i+i+i^2}{1+1}=\dfrac{2+3i-1}{2}=\dfrac{1+3i}{2}=\dfrac12+\dfrac32 i\).
2. \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-1+4i)-(3+i)=-4+3i\).
3. \(AB=|z_B-z_A|=|-4+3i|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\).
4. \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{(3+i)+(-1+4i)}{2}=\dfrac{2+5i}{2}=1+\dfrac52 i\).
1. Écrire \(z=-3+3i\) sous forme trigonométrique (module et argument). (2,5 pts)
2. Écrire \(z'=1-i\sqrt3\) sous forme trigonométrique. (2,5 pts)
3. Donner la forme algébrique de \(w=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\). (2 pts)
1. \(r=|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\). \(\cos\theta=\dfrac{-3}{3\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) → 2ᵉ quadrant, \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\).
Donc \(z=3\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\).
2. \(r=|z'|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). \(\cos\theta=\dfrac12\), \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) → 4ᵉ quadrant, \(\theta=-\dfrac{\pi}{3}\).
Donc \(z'=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)\).
3. \(a=2\cos\dfrac{\pi}{6}=2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\) et \(b=2\sin\dfrac{\pi}{6}=2\times\dfrac12=1\). Donc \(w=\sqrt3+i\).