Reconnaître et définir une fonction polynôme de degré 3.
Calculer la dérivée d’un polynôme de degré 3.
Dresser le tableau de variations à l’aide du signe de la dérivée.
Identifier les extremums locaux (maximum, minimum).
Lire et interpréter une courbe de polynôme de degré 3.
Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = c\) graphiquement.
Utiliser la calculatrice ou un tableur pour résoudre des équations.
Situation professionnelle — Optimisation d’une boîte de rangement
Un menuisier découpe une plaque de bois rectangulaire et relève les côtés pour fabriquer une boîte ouverte. La hauteur des côtés est variable : en faisant varier cette hauteur, le volume change. Comment trouver la découpe qui maximise le volume de rangement ?
★ Introduction — D’où viennent les polynômes de degré 3 ?
En Première, vous avez étudié les fonctions polynômes de degré 2, appelées fonctions du second degré :
Rappel — Degré 2
Une fonction du second degré s’écrit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
Sa courbe est une parabole. Sa dérivée est \(f'(x) = 2ax + b\) (degré 1).
En Terminale, on monte d’un cran : on étudie les fonctions de degré 3. Ces fonctions apparaissent dans de nombreuses situations professionnelles :
ERA / TMA
Volume d’une boîte découpée dans une planche V(x) = x(L−2x)(l−2x)
Définition
La fonction cube est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[\boxed{f(x) = x^3}\]
C’est le cas le plus simple des polynômes de degré 3.
Tableau de valeurs
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(f(x)=x^3\)
\(-27\)
\(-8\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(8\)
\(27\)
Représentation graphique de \(f(x)=x^3\)
La courbe de \(f(x) = x^3\) passe par l’origine et a une forme en « S » caractéristique.
Propriétés de la fonction cube
Définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) : plus \(x\) augmente, plus \(x^3\) augmente.
Passe par l’origine : \(f(0) = 0\).
Symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire) : \(f(-x) = -f(x)\).
Sa dérivée est \(f'(x) = 3x^2\), qui est toujours \(\geq 0\).
Point important
Même si \(f'(0) = 0\), la fonction cube n’a pas d’extremum en \(x=0\) : elle continue de croître de chaque côté de 0. Le point \((0,0)\) est appelé point d’inflexion (changement de concavité).
✓ Mini-exercice 1 — Tester sa compréhension
Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\) et \(f(3)\) pour \(f(x) = x^3\).
Voir la réponse
\(f(-2) = (-2)^3 = -8\) ; \(f(0) = 0^3 = 0\) ; \(f(3) = 3^3 = 27\).
Attention : \((-2)^3 = -8\) et non \(+8\). Le cube d’un nombre négatif est négatif.
2 Définition d’une fonction polynôme de degré 3
Définition
Une fonction polynôme de degré 3 (ou cubique) est une fonction de la forme :
\[
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
\]
où \(a,\,b,\,c,\,d\) sont des réels avec \(\mathbf{a \neq 0}\).
Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) tout entier.
Attention
Le coefficient \(a\) (devant \(x^3\)) doit être non nul.
Si \(a=0\), la fonction est un polynôme de degré 2 (ou moins), pas de degré 3.
Allure générale de la courbe
Selon le signe de \(a\), la courbe adopte des comportements opposés aux extrêmes :
\(a > 0\)
Courbe « en S » montante ↗ bas-gauche vers haut-droit
\(a < 0\)
Courbe « en S inversé » descendante ↘ haut-gauche vers bas-droit
La courbe présente toujours un point d’inflexion (changement de concavité), contrairement aux paraboles de degré 2.
3 Rappels sur les dérivées
Définition
La dérivée \(f'(x)\) d’une fonction \(f\) mesure la vitesse de variation de \(f\) en \(x\).
Géométriquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
Tableau des dérivées usuelles
Fonction \(f(x)\)
Dérivée \(f'(x)\)
Exemple
\(k\) (constante)
\(0\)
\(f(x)=5 \Rightarrow f'(x)=0\)
\(x\)
\(1\)
\(f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1\)
\(x^2\)
\(2x\)
\(f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x\)
\(x^3\)
\(3x^2\)
\(f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2\)
\(ax^n\)
\(nax^{n-1}\)
\(f(x)=4x^3 \Rightarrow f'(x)=12x^2\)
Règles de calcul
Pour toutes fonctions dérivables \(u\) et \(v\) et toute constante \(k\) :
\[
(u+v)' = u'+v' \qquad\text{et}\qquad (ku)' = k\,u'
\]
On dérive terme par terme et on peut sortir les constantes multiplicatives.
4 Dérivée d’un polynôme de degré 3
Propriété
Si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors :
\[
\boxed{f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c}
\]
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2.
Application
Un artisan menuisier modélise le volume d'un tiroir par \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x\). Calcule \(f'(x)\).
Méthode pas à pas
On dérive terme par terme :
\[
f(x) = \underbrace{ax^3}_{\text{terme }x^3} + \underbrace{bx^2}_{\text{terme }x^2} + \underbrace{cx}_{\text{terme }x} + \underbrace{d}_{\text{constante}}
\]
\[
f'(x) = \underbrace{3ax^2}_{(ax^3)'=3ax^2} \;+\; \underbrace{2bx}_{(bx^2)'=2bx} \;+\; \underbrace{c}_{(cx)'=c} \;+\; \underbrace{0}_{(d)'=0}
\]
On dérive terme par terme :
\((3x^3)' = 9x^2\) ; \((-2x^2)' = -4x\) ; \((7x)' = 7\) ; \((-4)' = 0\) Réponse : \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 7\)
5 Étude des variations — Tableau de variations
Lien dérivée – variations
Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si \(f'(x_0) = 0\) et que le signe de \(f'\) change, alors \(f\) a un extremum local en \(x_0\).
Méthode — dresser le tableau de variations
Calculer \(f'(x)\).
Résoudre \(f'(x) = 0\) (équation du 2nd degré, calcul du discriminant \(\Delta\)).
Dresser le tableau de signe de \(f'(x)\).
En déduire le tableau de variations de \(f\).
Calculer les valeurs de \(f\) aux extrema si demandé.
Application
Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\), on a \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\). Dresse le tableau de signe de \(f'(x)\) et indique les intervalles de croissance et de décroissance.
\(f'(x) = 0\) pour \(x = 1\) et \(x = 3\).
Signe de \(f'\) : \(+\) sur \(]-\infty\,;\,1[\), \(-\) sur \(]1\,;\,3[\), \(+\) sur \(]3\,;\,+\infty[\).
\(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,+\infty[\).
Convention du chapitre — méthode du discriminant
Pour résoudre \(f'(x) = 0\), ce chapitre utilise la méthode du discriminant, qui ne figure pas au programme du Bac Pro : le programme attend une factorisation (racine évidente) ou l'usage de l'outil numérique.
Le discriminant est assumé ici en anticipation du BTS, où il est indispensable. En évaluation certificative, une résolution par factorisation ou outil numérique est tout aussi valable.
Rappel — résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\) :
Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\)
Si \(\Delta > 0\) : deux racines \(\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Cas particuliers Si \(\Delta = 0\) : la dérivée a une racine double, la courbe a un point d'inflexion horizontal (pas d'extremum). Si \(\Delta < 0\) : \(f'(x)\) garde un signe constant, \(f\) est strictement monotone sur \(\mathbb{R}\).
✓ Mini-exercice 3 — Lire un tableau de variations
Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\). On a \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\).
Indiquer le sens de variation de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;\,1[\), \(]1\,;\,3[\) et \(]3\,;\,+\infty[\).
Voir la réponse
\(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) :
• Sur \(]-\infty\,;\,1[\) : les deux facteurs sont négatifs → \(f' > 0\) → \(f\) croissante.
• Sur \(]1\,;\,3[\) : \((x-1)>0\) et \((x-3)<0\) → \(f' < 0\) → \(f\) décroissante.
• Sur \(]3\,;\,+\infty[\) : les deux facteurs sont positifs → \(f' > 0\) → \(f\) croissante.
6 Les extremums locaux
Définition — Extremums locaux
Un maximum local en \(x_0\) signifie que \(f(x_0)\) est la valeur la plus grande dans un voisinage de \(x_0\).
Un minimum local en \(x_0\) signifie que \(f(x_0)\) est la valeur la plus petite dans un voisinage de \(x_0\).
On reconnaît un extremum à partir du tableau de variations :
\(f'(x_0) = 0\) et \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum local
\(f'(x_0) = 0\) et \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum local
Application
Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) (\(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\)), calcule les valeurs aux extrema \(f(1)\) et \(f(3)\). Indique lequel est un maximum local et lequel est un minimum local.
\(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) — maximum local (signe de \(f'\) passe de \(+\) à \(-\))
\(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\) — minimum local (signe de \(f'\) passe de \(-\) à \(+\))
Cas où \(f'(x_0) = 0\) ne suffit pas Si \(\Delta = 0\) : la dérivée a une racine double, le signe de \(f'\) ne change pas. La courbe a un point d’inflexion horizontal mais pas d’extremum. Si \(\Delta < 0\) : \(f'(x)\) garde un signe constant sur \(\mathbb{R}\) (toujours positif ou toujours négatif). La fonction est alors strictement monotone sur \(\mathbb{R}\) — sans extremum.
7 Interprétation graphique — Nombre de solutions de \(f(x) = c\)
Graphiquement, les solutions de \(f(x) = c\) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe \(\mathcal{C}_f\) avec la droite horizontale \(y = c\).
Lecture graphique du nombre de solutions
Si la droite \(y = c\) est au-dessus du max local ou en-dessous du min local → 1 seule solution
Si la droite \(y = c\) est égale au max ou min local → 2 solutions
Si la droite \(y = c\) est strictement entre le max et le min → 3 solutions
Si \(f\) est strictement monotone (pas d’extremum) → toujours 1 solution
8 Exemple complet — Graphique interactif
L’exemple de référence du chapitre est \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\). Vérifions toutes les étapes :
Rappel du tableau de variations de \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)
D'après le tableau de variations : \(f\) décroît de \(7\) à \(-25\) sur \([-1\,;\,3]\),
donc il existe une unique solution dans \([-1\,;\,3]\) telle que \(f(x)=-10\).
De plus, \(f\) croît depuis \(-\infty\) jusqu'à \(7\) pour \(x \in ]-\infty\,;\,-1[\,\),
donc il existe une solution dans \((-\infty, -1)\). Enfin, \(f\) croît de \(-25\) vers \(+\infty\) sur \(]3\,;\,+\infty[\,\), donc une troisième solution dans \(]3\,;\,+\infty[\).
À la calculatrice, les solutions approchées sont \(x \approx -2{,}5\), \(x \approx 1{,}1\) et \(x \approx 4{,}4\).
Méthode — Balayage
Le balayage consiste à se rapprocher progressivement d’une solution en réduisant l’intervalle de recherche.
On réduit l’intervalle de recherche jusqu’à obtenir la précision voulue (ex. : au dixième).
On évalue \(f(x)\) et on cherche les valeurs qui « encadrent » \(c\).
On affine le pas pour gagner en précision.
Exemple — Résoudre \(f(x) = -10\) avec \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)
D’après le tableau de variations, il existe une solution dans \([-1\,;\,3]\) (où \(f\) va de 7 à \(-25\)).
Étape 1 — Balayage au pas 0,5 sur \([0\,;\,2]\) :
\(x\)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
\(f(x)\)
2
−3,1
−9
−14,9
−20
On voit que \(f(0{,}5) \approx -3{,}1 > -10\) et \(f(1{,}0) = -9 > -10\) et \(f(1{,}5) \approx -14{,}9 < -10\).
La solution est donc dans \([1{,}0\,;\,1{,}5]\).
Étape 2 — Balayage au pas 0,1 sur \([1{,}0\,;\,1{,}5]\) :
Entrer \(Y_1 = f(x)\) et \(Y_2 = c\) (valeur constante).
Afficher le graphique et utiliser la fonction Intersection (Calc → Intersect ou G-Solv).
La calculatrice donne directement la valeur approchée.
Sur Calc :Y= → entrer \(f(x)\) dans Y1 et \(c\) dans Y2 → GRAPH → 2nd CALC → 5:intersect → valider
12 Problème d’optimisation — Boîte découpée ERA / TMA
Contexte professionnel
Un menuisier dispose d'une plaque de bois rectangulaire de 40 cm × 30 cm.
Il découpe des carrés de côté \(x\) aux quatre coins, puis plie les bords pour former une boîte ouverte. Objectif : déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume de la boîte.
Conclusion : Le volume est maximal pour \(x \approx 5{,}66\) cm.
Le menuisier doit découper des carrés de côté environ 5,7 cm aux quatre coins
pour obtenir un volume maximal d'environ 3 033 cm³.
Graphique du volume V(x)
La courbe verte représente \(V(x)\) sur \([0\,;\,15]\).
Le maximum est atteint en x ≈ 5,66 cm.
Contexte professionnel
Un technicien en chauffage modélise la consommation mensuelle d'énergie (en MWh) d'un bâtiment
par la fonction :
\[C(t) = -0{,}5t^3 + 6t^2 - 18t + 30 \qquad t \in [0\,;\,8]\]
où \(t\) représente les mois (\(t=0\) : janvier, \(t=8\) : septembre).
Interprétation :
La consommation atteint un minimum local en mars (\(t=2\)) avec 14 MWh,
et un maximum local en juillet (\(t=6\)) avec 30 MWh.
La courbe présente une forme caractéristique d'un modèle saisonnier d'énergie.
Exemple 2 — Bénéfice d'une entreprise de chauffage
Contexte professionnel
Le bénéfice mensuel (en milliers d'euros) d'une entreprise spécialisée en pompes à chaleur
est modélisé par :
\[B(n) = -n^3 + 9n^2 - 15n + 7 \qquad n \in [0\,;\,7]\]
où \(n\) est le nombre de contrats (en dizaines).
Conclusion : Le bénéfice est maximal pour 50 contrats (\(n=5\)),
avec un bénéfice de 32 000 €.
14 Tableau récapitulatif des formules
Objet
Formule
Polynôme degré 3
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\quad (a\neq 0)\)
Dérivée
\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
Dérivée d'une constante
\((k)' = 0\)
Dérivée de \(x^n\)
\((x^n)' = nx^{n-1}\)
Dérivée de \(ax^n\)
\((ax^n)' = nax^{n-1}\)
Linéarité
\((u+v)' = u'+v'\quad;\quad (ku)' = ku'\)
\(f'(x) > 0\) sur \(I\)
\(f\) strictement croissante sur \(I\)
\(f'(x) < 0\) sur \(I\)
\(f\) strictement décroissante sur \(I\)
Maximum local en \(x_0\)
\(f'(x_0)=0\) et \(f'\) passe de \(+\) à \(-\)
Minimum local en \(x_0\)
\(f'(x_0)=0\) et \(f'\) passe de \(-\) à \(+\)
15 À retenir — L’essentiel du chapitre
✓ Ce qu’il faut maîtriser absolument :
La fonction cube : \(f(x) = x^3\), dérivée \(f'(x) = 3x^2\), strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Un polynôme de degré 3 s’écrit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) avec \(a\neq 0\).
Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) (polynôme de degré 2).
Le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\) (tableau de variations).
Si \(\Delta > 0\) : la courbe a un maximum local et un minimum local.
Si \(\Delta \leq 0\) : la fonction est strictement monotone, sans extremum.
Graphiquement, les solutions de \(f(x)=c\) = les intersections de la courbe avec \(y=c\).
La calculatrice ou le tableur permettent de résoudre \(f(x)=k\) par balayage.
⚠ Erreurs fréquentes à éviter
Oublier le signe de \(a\) lors du calcul du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) pour \(f'\). Ne pas confondre les coefficients de \(f\) et ceux de \(f'\).
Croire que \(f'(x_0)=0\) implique toujours un extremum. Si \(\Delta = 0\), il n’y a qu’un point d’inflexion, pas d’extremum.
Confondre extremum et zéro de \(f\). Un extremum est là où \(f'\) s’annule, pas où \(f\) s’annule.
Ne pas vérifier la contrainte de l’intervalle dans les problèmes concrets (ex. : \(0 < x < 15\) pour la boîte).
Calculer \((-2)^3 = 8\) au lieu de \(-8\). Le cube d’un négatif est négatif.
16 Mini-exercices de vérification
Exercice 1 — Calcul de dérivée
Calculer la dérivée de \(g(x) = -2x^3 + 6x^2 - 4x + 1\).
Voir la correction
On dérive terme par terme :
\((-2x^3)' = -6x^2\)
\((6x^2)' = 12x\)
\((-4x)' = -4\)
\((1)' = 0\) Donc : \(g'(x) = -6x^2 + 12x - 4\)
Exercice 2 — Tableau de variations
Soit \(h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
Calculer \(h'(x)\).
Résoudre \(h'(x) = 0\).
Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Valeurs aux extrema :
\(h(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) (maximum local)
\(h(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\) (minimum local) h croît de \(-\infty\) jusqu'en \(x=1\) (max = 5), décroît jusqu'en \(x=3\) (min = 1), puis croît vers \(+\infty\).
Exercice 3 — Optimisation ERA/TMAERA/TMA
Un artisan fabrique des boîtes à partir de plaques de bois de 60 cm × 20 cm.
Il découpe des carrés de côté \(x\) aux quatre coins.
Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte.
Développer pour obtenir un polynôme de degré 3.
Calculer \(V'(x)\) et résoudre \(V'(x) = 0\).
Quelle est la valeur de \(x\) qui maximise \(V(x)\) sur \(]0\,;\,10[\,\)?
Voir la correction
1. \(V(x) = x(60-2x)(20-2x)\), avec \(0 < x < 10\).
4. Seule \(x_1 \approx 4{,}51 \in ]0\,;\,10[\,\).
\(V(4{,}51) \approx 4(4{,}51)^3 - 160(4{,}51)^2 + 1200 \times 4{,}51 \approx 366 - 3\,251 + 5\,412 \approx 2\,527 \text{ cm}^3\) Le volume est maximal pour \(x \approx 4{,}5\) cm, soit environ 2 527 cm³.
Exercice 4 — Modèle énergétiqueICCER
La puissance consommée (en kW) par une installation de climatisation est modélisée par :
\[P(t) = 0{,}2t^3 - 2{,}4t^2 + 8t + 1 \qquad t\in[0\,;\,8]\]
où \(t\) est le nombre d'heures après le démarrage.
Calculer \(P'(t)\).
Résoudre \(P'(t) = 0\) sur \([0\,;\,8]\).
Déterminer si \(P\) admet un maximum ou un minimum local, et la valeur associée.
3. \(P'(t) = 0{,}6(t - 2{,}37)(t - 5{,}63)\), coefficient de \(t^2\) positif :
— \(P'\) positive sur \(]-\infty\,;\,2{,}37[\,\) et \(]\,5{,}63\,;\,+\infty[\,\)
— \(P'\) négative sur \(]\,2{,}37\,;\,5{,}63[\,\)
Donc \(P\) a un maximum local en \(t \approx 2{,}37\) h : \(P(2{,}37) \approx 9{,}15\) kW
et un minimum local en \(t \approx 5{,}63\) h : \(P(5{,}63) \approx 5{,}6\) kW.
∞ Pour aller plus loin (hors programme)
Hors programme Bac Pro
Les notions suivantes dépassent le programme de Terminale Bac Professionnel. Elles sont mentionnées ici pour les élèves curieux.
Dérivées d’ordre supérieur : la dérivée seconde \(f''(x)\) permet d’étudier la concavité de la courbe (lycée général, BTS).
Factorisation complète : tout polynôme de degré 3 peut se factoriser en \(a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\) si les racines sont réelles (lycée général).
Intégration : le calcul d’aire sous la courbe (intégrale) d’un polynôme de degré 3 est étudié en Terminale générale et en BTS.
Méthode de Newton : algorithme itératif permettant de trouver très précisément les zéros d’une fonction (BTS, informatique).
Erreurs fréquentes
❌
Oublier de multiplier par le coefficient lors du calcul de la dérivée
\((ax^3)' = 3ax^2\) et non pas \(ax^2\). Conseil : dériver terme par terme en multipliant l'exposant et en le diminuant de 1.
❌
Conclure à un extremum sans vérifier le changement de signe de \(f'\)
Si \(f'(x_0) = 0\) mais que \(f'\) ne change pas de signe, il n'y a pas d'extremum. Conseil : toujours dresser le tableau de signe complet de \(f'\) avant de conclure.
❌
Confondre maximum local et maximum global
Un maximum local est le plus grand dans un voisinage — pas nécessairement sur tout le domaine. Conseil : dans un problème d'optimisation, préciser l'intervalle sur lequel on cherche le maximum ou minimum.
❌
Erreur de signe dans la résolution de \(f'(x) = 0\)
Un signe mal calculé dans le discriminant ou dans les racines fausse tout le tableau. Conseil : vérifier les racines en remplaçant dans \(f'(x)\) — le résultat doit donner 0.