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Exercices – Chapitre 4

Fonctions polynômes de degré 3  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Groupement B)

Mis à jour le 5 octobre 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1-1 La fonction cube — tableau de valeurs et calculs Socle

On considère la fonction cube \(f(x) = x^3\).

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
\(x\)−3−2−10123
\(f(x)=x^3\)???????
2. Parmi les quatre fonctions suivantes, identifier celle(s) qui sont des polynômes de degré 3 :
3. Calculer \(f(-4)\) et \(f(2{,}5)\) pour \(f(x) = x^3\).

1.

\(x\)−3−2−10123
\(x^3\)−27−8−101827

2. Un polynôme de degré 3 a comme terme de plus haut degré un terme en \(x^3\), avec un coefficient non nul.
• (A) : degré 2 → non.  • (B) : degré 3 ✓.  • (C) : degré 4 → non.  • (D) : degré 3 ✓.

3. \(f(-4) = (-4)^3 = \)\(-64\)  ;  \(f(2{,}5) = (2{,}5)^3 = \)\(15{,}625\)

Attention : \((-4)^3 = -64\) et non \(+64\). Le cube d’un nombre négatif est négatif.
Exercice 1-2 Calculer des dérivées terme par terme Socle
Rappel : On dérive terme par terme :
\((ax^3)' = 3ax^2\)  ;  \((bx^2)' = 2bx\)  ;  \((cx)' = c\)  ;  \((d)' = 0\)

Calculer la dérivée de chaque fonction :

a) \(f(x) = x^3\)
\(f'(x)\) = …………
b) \(g(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 4\)
\(g'(x)\) = …………
c) \(h(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1\)
\(h'(x)\) = …………
d) \(k(x) = 4x^3 - 7\)
\(k'(x)\) = …………

a) \(f'(x) = \)\(3x^2\)

b) \(g'(x) = 3\times5\,x^2 - 2\times2\,x + 3 - 0 = \)\(15x^2 - 4x + 3\)

c) \(h'(x) = 3\times(-1)\,x^2 + 2\times6\,x - 9 = \)\(-3x^2 + 12x - 9\)

d) \(k'(x) = 3\times4\,x^2 + 0 + 0 = \)\(12x^2\)  (la constante \(-7\) disparaît)

Exercice 1-3 Identifier les coefficients et calculer la dérivée Socle

Pour chaque fonction de la forme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), identifier \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) puis calculer \(f'(x)\).

a) \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)
\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
????
\(f'(x)\) = …………
b) \(g(x) = -2x^3 + 4x - 3\)
\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
????
\(g'(x)\) = …………

a) \(a=3,\; b=-2,\; c=5,\; d=-1\)
\(f'(x) = 3\times3\,x^2 + 2\times(-2)\,x + 5 = \)\(9x^2 - 4x + 5\)

b) \(a=-2,\; b=0,\; c=4,\; d=-3\) (il n’y a pas de terme en \(x^2\), donc \(b=0\))
\(g'(x) = 3\times(-2)\,x^2 + 2\times0\,x + 4 = \)\(-6x^2 + 4\)

Quand un terme est absent, son coefficient est 0. Ici \(b=0\) car il n’y a pas de terme en \(x^2\).
Exercice 1-4 Calculer des images — méthode guidée Socle

Soit \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5\).

Méthode pour calculer \(f(2)\) :
On remplace chaque \(x\) par \(2\) dans la formule, puis on calcule étape par étape.
1. Calculer \(f(2)\) en complétant les étapes :

\(f(2) = 2 \times \boxed{\phantom{2}}^3 - 3 \times \boxed{\phantom{2}}^2 + \boxed{\phantom{2}} - 5\)
\(f(2) = 2 \times \boxed{\phantom{8}} - 3 \times \boxed{\phantom{4}} + 2 - 5\)
\(f(2) = \boxed{\phantom{16}} - \boxed{\phantom{12}} + 2 - 5 = \boxed{\phantom{1}}\)

2. Calculer \(f(0)\) (remplacer \(x\) par \(0\) — les termes avec \(x\) disparaissent) :
\(f(0) =\) ……
3. Calculer \(f(-1)\) en suivant la même méthode. Attention aux signes !

Rappel : \((-1)^3 = -1\) et \((-1)^2 = +1\). Le carré d'un négatif est toujours positif.

\(f(-1) =\) ……

1. \(f(2) = 2 \times 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 - 5 = 2 \times 8 - 3 \times 4 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = \)\(1\)

2. \(f(0) = 2 \times 0 - 3 \times 0 + 0 - 5 = \)\(-5\) (il ne reste que la constante)

3. \(f(-1) = 2 \times (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + (-1) - 5 = 2 \times (-1) - 3 \times 1 - 1 - 5 = -2 - 3 - 1 - 5 = \)\(-11\)

Exercice 1-5 Dérivée — remplir le tableau Socle
Formule de dérivation : Si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
Le \(d\) disparaît. On multiplie chaque coefficient par l'exposant, puis on baisse l'exposant de 1.

Compléter le tableau :

Fonction \(f(x)\)\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)Dérivée \(f'(x)\)
\(x^3 + 2x^2 - x + 4\)?????
\(3x^3 - 5x + 1\)?????
\(-2x^3 + x^2\)?????
Fonction\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)Dérivée
\(x^3 + 2x^2 - x + 4\)12−14\(3x^2 + 4x - 1\)
\(3x^3 - 5x + 1\)30−51\(9x^2 - 5\)
\(-2x^3 + x^2\)−2100\(-6x^2 + 2x\)
Exercice 1-6 Lire un tableau de variations — questions guidées Socle

On donne le tableau de variations d'une fonction \(g\) :

1. Quand la flèche monte (↗), la fonction est ???.
2. \(g\) est croissante sur quels intervalles ? (recopier les valeurs de \(x\) où la flèche monte)
Sur \([\ldots\,;\,\ldots]\) et sur \([\ldots\,;\,\ldots]\)
3. La plus grande valeur atteinte par \(g\) sur le tableau est ……. Elle est atteinte en \(x =\) …….
4. Le maximum local est le sommet d'une « bosse ». En quel point se situe-t-il ? Quelle est la valeur de \(g\) en ce point ?
5. L'équation \(g(x) = 8\) a-t-elle des solutions ? (Comparer 8 avec les valeurs du tableau.)

1. croissante

2. Sur \([-3\,;\,1]\) et sur \([4\,;\,7]\)

3. La plus grande valeur est \(g(7)=15\), atteinte en \(x=7\).

4. Maximum local en \(x=1\) : \(g(1)=10\) (sommet de la bosse avant que ça redescende).

5. \(8\) est compris entre le minimum local (\(2\)) et le maximum local (\(10\)), donc l'équation a des solutions. Plus précisément : la courbe passe par \(g=8\) en montant vers 10, en descendant vers 2, et en remontant vers 15 → 3 solutions.

Exercice 1-7 Problème guidé — volume d'un bac de rangement Socle
Situation : Un menuisier fabrique un bac en découpant des carrés de côté \(x\) cm aux coins d'une plaque de 30 cm × 20 cm.

Le volume du bac est : \(V(x) = x(30-2x)(20-2x)\) avec \(0 < x < 10\).

1. Calculer le volume pour \(x = 2\) cm. Compléter :

\(V(2) = 2 \times (30 - 2\times2) \times (20 - 2\times2)\)
\(V(2) = 2 \times \boxed{\phantom{26}} \times \boxed{\phantom{16}} = \boxed{\phantom{832}}\) cm³

2. Compléter le tableau de valeurs avec la calculatrice :
\(x\)1234567
\(V(x)\)???????
3. D'après le tableau, pour quelle valeur de \(x\) le volume semble-t-il le plus grand ?

1. \(V(2) = 2 \times 26 \times 16 = \)\(832\) cm³

2.

\(x\)1234567
\(V(x)\)5048321 0081 0561 000864672

3. Le volume semble maximal pour \(x = 4\) cm (V = 1 056 cm³). La valeur exacte du maximum s'obtient avec la dérivée.

Exercice 1-8 Calculer f'(x) et déterminer son signe — cas simple Socle

On considère \(f(x) = x^3 - 3x\).

1. Calculer \(f'(x)\). (Rappel : si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).)
\(f'(x) = \ldots\)
2. Vérifier que \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). En déduire les racines \(x_1<x_2\).
\(x_1 = \ldots\) ; \(x_2 = \ldots\)
3. Compléter le tableau de signes de \(f'(x)\) (le coefficient de \(x^2\) est positif) :
\(x\)\(-\infty\)\(x_1\)\(x_2\)\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)0…0
Variations de \(f\)…

1. \(f(x) = x^3 - 3x\) → \(f'(x) = 3x^2 - 3\).

2. \(f'(x) = 3x^2 - 3\). On résout \(3x^2 - 3 = 0\) → \(x^2 = 1\) → \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 1\).

3. Le coefficient de \(x^2\) est 3 (positif), donc \(f'(x) \geq 0\) en dehors des racines :

Maximum local en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-1)^3 - 3\times(-1) = -1+3 = \)2. Minimum local en \(x = 1\) : \(f(1) = 1 - 3 = \)−2.

Exercice 1-9 Évaluer une fonction et lire un extremum guidé Socle

Un menuisier modélise la puissance électrique de son atelier (en kW), dans un modèle fictif, en fonction de l'heure \(h\) (entre 0 et 8 h) par :

\[C(h) = h^3 - 6h^2 + 9h + 2\]

1. Calculer \(C(0)\), \(C(1)\), \(C(3)\) et \(C(8)\). Compléter le tableau :
\(h\)0138
\(C(h)\)
2. La dérivée est \(C'(h) = 3h^2 - 12h + 9\). Calculer \(C'(1)\) et \(C'(3)\).
\(C'(1) = \ldots\) ; \(C'(3) = \ldots\)
3. On donne \(C'(h)=3(h-1)(h-3)\). Étudier ses signes pour identifier les extremums locaux en 1 et 3. Comparer ensuite avec les valeurs aux bornes 0 et 8.
Maximum en \(h = \ldots\) : \(C = \ldots\) kW. Minimum en \(h = \ldots\) : \(C = \ldots\) kW.

1.

\(h\)0138
\(C(h)\)262202

2. \(C'(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 3 - 12 + 9 = \)0. \(C'(3) = 3(9) - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = \)0. Ces annulations ne suffisent pas à prouver un extremum.

3. La dérivée est positive sur ]0 ; 1[, négative sur ]1 ; 3[, puis positive sur ]3 ; 8[. Ainsi \(C(1)=6\) kW est un maximum local et \(C(3)=2\) kW un minimum local. Sur [0 ; 8], le maximum absolu est \(C(8)=202\) kW et le minimum 2 kW est atteint en 0 et en 3.

Exercice 1-10 Lire une courbe et interpréter les extremums Socle

Le graphique ci-dessous représente la fonction \(f(x) = -x^3 + 3x + 2\) sur \([-2\,;\,2]\).

En lisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quel semble être le maximum local de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
Maximum ≈ …… atteint en \(x = \ldots\)
2. Quel semble être le minimum local de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
Minimum ≈ …… atteint en \(x = \ldots\)
3. Combien de solutions semble avoir l'équation \(f(x) = 2\) d'après le graphique ?
Nombre de solutions : …
4. Calculer \(f(-1)\) et \(f(1)\) pour vérifier vos lectures.
\(f(-1) = \ldots\) ; \(f(1) = \ldots\)

1. En lisant la courbe : maximum local ≈ 4, atteint en \(x = 1\).

2. Minimum local ≈ 0, atteint en \(x = -1\).

3. La droite horizontale \(y = 2\) coupe la courbe en 3 points → 3 solutions.

4. \(f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = \)0. \(f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = \)4. Ces calculs confirment les lectures graphiques.

Exercice 2-1 Dérivée et sens de variation (dérivée positive) Standard

Soit \(f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 1\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Développer \(3(x+\frac23)^2+\frac53\) pour retrouver \(f'(x)\). En déduire que la dérivée est strictement positive.
3. La dérivée peut-elle s'annuler ? Justifier.
4. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Compléter le tableau ci-dessous.
\(x\)\(-\infty\)\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)?
Variations de \(f\)?

1. \(f'(x) = \)\(3x^2 + 4x + 3\)

2. \(f'(x)=3(x+\frac23)^2+\frac53>0\) : un carré est positif ou nul et la constante ajoutée est strictement positive.

3. La dérivée est strictement positive sur ℝ ; elle n'a aucune racine réelle.

4.

\(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle n’a pas d’extremum.

Exercice 2-2 Compléter un tableau de variations Standard

Soit \(f(x) = x^3 - 3x\).

On sait que \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\). Les racines de \(f'\) sont donc \(x = -1\) et \(x = 1\).

1. Calculer \(f(-1)\) et \(f(1)\).
2. Étudier le signe de \(f'(x) = 3(x+1)(x-1)\) sur chaque intervalle et compléter le tableau de variations.
\(x\) \(-\infty\)  \(-1\)  \(1\)  \(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\) ? 0? 0?
Variations de \(f\) ? ? \(f(-1)\)=? ? \(f(1)\)=? ? ?
3. En quel point \(f\) a-t-elle un maximum local ? Un minimum local ?

1. \(f(-1) = (-1)^3 - 3\times(-1) = -1+3 = \)\(2\)  ;  \(f(1) = 1-3 = \)\(-2\)

2. Signe de \(f' = 3(x+1)(x-1)\) :

  • Sur \(]-\infty\,;\,-1[\) : \((x+1)<0\) et \((x-1)<0\) → produit \(>0\) → \(f' > 0\)
  • Sur \(]-1\,;\,1[\) : \((x+1)>0\) et \((x-1)<0\) → produit \(<0\) → \(f' < 0\)
  • Sur \(]1\,;\,+\infty[\) : \((x+1)>0\) et \((x-1)>0\) → produit \(>0\) → \(f' > 0\)

3. Maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1) = 2\)
Minimum local en \(x=1\) : \(f(1) = -2\)

Exercice 2-3 Lire un tableau de variations Standard

Le tableau de variations d’une fonction \(f\) sur \([-2\,;\,5]\) est donné ci-dessous.

1. Sur quel(s) intervalle(s) \(f\) est-elle croissante ? Décroissante ?
2. \(f\) a-t-elle un minimum local ? Un maximum local ? Préciser les coordonnées du point correspondant.
3. Quelle est la valeur maximale de \(f\) sur \([-2\,;\,5]\) ? En quelle valeur de \(x\) est-elle atteinte ?
4. Combien de solutions possède l’équation \(f(x) = 5\) sur \([-2\,;\,5]\) ?

1. \(f\) est croissante sur \([0\,;\,3]\) et décroissante sur \([-2\,;\,0]\) et sur \([3\,;\,5]\).

2. Minimum local en \(x=0\) : \(f(0)=-4\)  (le point \((0\,;\,-4)\)).
Maximum local en \(x=3\) : \(f(3)=6\)  (le point \((3\,;\,6)\)).

3. Le maximum absolu est \(f(-2)=8\), atteint à la borne −2. La valeur \(f(3)=6\) est seulement un maximum local.

4. Il y a 3 solutions : une sur ]−2 ; 0[, une sur ]0 ; 3[ et une sur ]3 ; 5[. Sur chaque branche continue et strictement monotone, la valeur 5 est comprise entre les valeurs aux extrémités.

Exercice 3-1 Étude complète d’une fonction polynôme de degré 3 Approfondissement

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Avec le solveur de degré 2, trouver les racines de \(f'(x)\), notées \(x_1<x_2\).
3. Factoriser \(f'(x)\) sous la forme \(3(x - x_1)(x - x_2)\).
4. Dresser le tableau de signes de \(f'(x)\) et le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\). Préciser les extremums locaux.

1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)

2. Le solveur (3 ; −6 ; −9) donne \(x_1=-1\) et \(x_2=3\).

3. \(f'(x) = 3(x+1)(x-3)\)

4.

5. \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 7 = \)\(12\) → maximum local en \(x=-1\)
\(f(3) = 27 - 27 - 27 + 7 = \)\(-20\) → minimum local en \(x=3\)

Exercice 3-2 Étude complète avec représentation graphique Approfondissement

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).

1. Calculer \(f'(x)\). Montrer que \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\). (Les racines \(x_1=1\) et \(x_2=3\) sont données.)
2. Calculer \(f(1)\) et \(f(3)\).
3. Dresser le tableau de variations complet.
4. Le graphique de \(f\) est donné ci-dessous. Vérifier que les extremums lus sur le graphique correspondent au tableau de variations.

Courbe de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) sur \([-1\,;\,5]\)

5. D’après le graphique, combien de solutions possède \(f(x) = 3\) ? Et \(f(x) = -2\) ?

1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = \)\(3(x-1)(x-3)\) ✓

2. \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = \)\(5\)  ;  \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = \)\(1\)

3.

4. Maximum local en \((1\,;\,5)\) et minimum local en \((3\,;\,1)\) — bien visibles sur le graphique. ✓

5. La droite \(y=3\) est entre le min (1) et le max (5) → 3 solutions.
La droite \(y=-2\) est en-dessous du min (1) → 1 seule solution.

Exercice 3-3 Nombre de solutions de \(f(x) = c\) — lecture graphique Approfondissement

Le graphique ci-dessous représente la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \([-3\,;\,3]\).
On rappelle que \(f\) a un maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=3\) et un minimum local en \(x=1\) : \(f(1)=-1\).

Courbe de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) — Maximum local \((-1\,;\,3)\) — Minimum local \((1\,;\,-1)\)

Pour chaque valeur de \(c\), déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = c\).
Valeur \(c\)Position de \(y=c\) par rapport à la courbeNombre de solutions
\(c = 5\)??
\(c = 3\)??
\(c = 1\)??
\(c = -1\)??
\(c = -3\)??
Valeur \(c\)PositionNombre de solutions
\(c = 5\)Au-dessus du max local (3)1 solution
\(c = 3\)Égal au max local2 solutions
\(c = 1\)Strictement entre min et max : \(-1 < 1 < 3\)3 solutions
\(c = -1\)Égal au min local2 solutions
\(c = -3\)En-dessous du min local (\(-3 < -1\))1 solution
Règle générale : si \(c\) est strictement entre le minimum local et le maximum local, l’équation a 3 solutions. Si \(c\) est égal à l’un des extremums, elle a 2 solutions. Au-delà, 1 seule solution.
Exercice 3-4 Lire les variations à partir d’une courbe Approfondissement

Le graphique ci-dessous représente une fonction polynôme \(g\) sur \([-2\,;\,4]\).

Les valeurs aux bornes et aux extremums sont fournies :

  • La courbe part de \(g(-2) = -26\) (en bas à gauche).
  • Elle monte jusqu’à un maximum local en \(x=0\) : \(g(0)=4\).
  • Elle redescend jusqu’à un minimum local en \(x=2\) : \(g(2)=-2\).
  • Elle remonte jusqu’à \(g(4)=28\).
1. Sur quel intervalle \(g\) est-elle croissante ? Décroissante ?
2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \([-2\,;\,4]\).
3. En quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(g(x) = 0\) ? Combien y a-t-il de solutions à \(g(x)=0\) ? (Répondre graphiquement.)
4. Peut-on dire que \(g'(0) = 0\) et \(g'(2) = 0\) ? Pourquoi ?

1. Croissante sur \([-2\,;\,0]\) et sur \([2\,;\,4]\). Décroissante sur \([0\,;\,2]\).

2.

3. La courbe coupe trois fois l'axe des abscisses : une fois sur chacun des intervalles ]−2 ; 0[, ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. On lit environ −0,8 ; 1,2 ; 2,6 (lecture approchée). Il y a 3 solutions.

4. Oui : en un extremum local, la tangente à la courbe est horizontale, donc le coefficient directeur (c’est-à-dire la dérivée) est nul.

Exercice 3-5 Optimisation du volume d’une boîte Approfondissement
Situation professionnelle : Un menuisier découpe une feuille de carton rectangulaire de 60 cm × 20 cm. Il retranche des carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins, puis plie pour former une boîte ouverte.

Le volume de la boîte (en cm³) est :

\(V(x) = x(60-2x)(20-2x) \quad 0 < x < 10\)
1. Développer pour vérifier que \(V(x) = 4x^3 - 160x^2 + 1\,200x\).
2. Calculer \(V'(x)\). Résultat donné : \(V'(x) = 12x^2 - 320x + 1\,200\).
Vérifier ce résultat.
3. Avec le solveur de degré 2, trouver les racines de \(V'(x)\). Laquelle appartient à \(]0;10[\) ? Arrondir au dixième.
4. Dresser le tableau de variations de \(V\) sur \([0\,;\,10]\) et en déduire la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
5. Calculer \(V(4{,}5)\) (arrondir au cm³). Interpréter le résultat.

1. \((60-2x)(20-2x) = 1\,200 - 120x - 40x + 4x^2 = 4x^2 - 160x + 1\,200\)
\(V(x) = x(4x^2 - 160x + 1\,200) = \)\(4x^3 - 160x^2 + 1\,200x\) ✓

2. \(V'(x) = 3\times4\,x^2 - 2\times160\,x + 1\,200 = \)\(12x^2 - 320x + 1\,200\) ✓

3. Le solveur (12 ; −320 ; 1200) donne \(\alpha\approx4{,}51416\) et \(\beta\approx22{,}15250\). Seule \(\alpha\) appartient au domaine.

4.

Le volume est maximal pour \(x \approx 4{,}5\) cm.

5. \(V(4{,}5) = 4(4{,}5)^3 - 160(4{,}5)^2 + 1\,200 \times 4{,}5\)
\(= 4 \times 91{,}125 - 160 \times 20{,}25 + 5\,400\)
\(= 364{,}5 - 3\,240 + 5\,400 = \)\(2\,524{,}5 \approx 2\,525\) cm³
Le menuisier obtiendra un volume maximal d’environ 2 525 cm³ en découpant des carrés de 4,5 cm de côté.

Exercice 3-6 Puissance d’une installation de climatisation Approfondissement
Situation professionnelle : La puissance consommée (en kW) par une CTA (Centrale de Traitement d’Air) est modélisée en fonction du temps \(t\) (en heures) depuis sa mise en route par : \[P(t) = -t^3 + 6t^2 + 4 \qquad t \in [0\,;\,6]\]
1. Calculer \(P(0)\) et \(P(6)\). Interpréter ces valeurs.
2. Calculer \(P'(t)\). Factoriser sous la forme \(-3t(t-4)\).
3. Dresser le tableau de variations de \(P\) sur \([0\,;\,6]\).
4. Calculer la puissance maximale atteinte et à quelle heure elle est atteinte.
5. L’installation doit être arrêtée si la puissance dépasse 30 kW. D’après le tableau de variations, la puissance maximale dépasse-t-elle ce seuil ?

1. \(P(0) = -0+0+4 = \)4 kW : puissance à la mise en route.
\(P(6) = -216 + 216 + 4 = \)4 kW : la puissance revient à son niveau initial après 6 heures.

2. \(P'(t) = -3t^2 + 12t = -3t(t-4)\).
Vérification : \(-3t(t-4) = -3t^2 + 12t\) ✓

3. Racines de \(P'\) : \(t=0\) et \(t=4\).
Sur \(]0\,;\,4[\) : \(-3t < 0\) et \((t-4) < 0\) → produit \(> 0\) → \(P' > 0\).
Sur \(]4\,;\,6[\) : \(-3t < 0\) et \((t-4) > 0\) → produit \(< 0\) → \(P' < 0\).

4. \(P(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 + 4 = -64 + 96 + 4 = \)36 kW, atteint à \(t = 4\) h après la mise en route.

5. La puissance maximale est 36 kW \(>\) 30 kW → le seuil est dépassé. L’installateur doit régler la CTA pour éviter ce pic de consommation.

Exercice 2-4 Extremums d'une fonction — contexte thermique Standard
Contexte : Un technicien CVC modélise la température (en °C) dans une pièce en fonction du temps \(t\) (en heures, entre 0 et 4 h) après la mise en marche du chauffage par : \[T(t) = -t^3 + 3t^2 + 5\]
1. Calculer \(T'(t)\).
\(T'(t) = \ldots\)
2. Résoudre \(T'(t) = 0\). Quelles sont les valeurs de \(t\) où le taux de variation instantané est nul ?
Solutions : ………………
3. Dresser le tableau de variations de \(T\) sur \([0\,;\,4]\).
4. Quelle est la température maximale atteinte dans la pièce ? À quel moment ?
Température maximale : ………………

1. \(T'(t) = -3t^2 + 6t\)

2. \(-3t^2 + 6t = 0\) → \(-3t(t - 2) = 0\) → \(t = 0\) ou \(t = 2\).

3.

4. \(T(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 5 = -8 + 12 + 5 = \)9 °C, atteint à \(t = 2\) h après la mise en marche.

Exercice 2-5 Nombre de solutions d'une équation Standard

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).

On admet que \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\). Les extremums sont : maximum local en \(x=1\) et minimum local en \(x=3\).

1. Calculer \(f(1)\) et \(f(3)\).
……………
2. Combien de solutions possède chacune des équations ? Justifier à l'aide du tableau de variations.
a) \(f(x) = 2\)    b) \(f(x) = 4\)    c) \(f(x) = -1\)
a) ………… b) ………… c) …………

1. \(f(1) = 1 - 6 + 9 = \)4 (maximum local) ; \(f(3) = 27 - 54 + 27 = \)0 (minimum local).

2.

a) \(f(x) = 2\) : 2 est compris entre le minimum (0) et le maximum (4) → 3 solutions.

b) \(f(x) = 4\) : 4 est le maximum local → 2 solutions (\(x=1\) et \(x=4\)).

c) \(f(x) = -1\) : −1 est inférieur au minimum local (0) → 1 seule solution (pour \(x<0\)).

Exercice 2-6 Étude complète — menuiserie d'agencement Standard
Contexte : Un menuisier agenceur calcule le bénéfice \(B(x)\) (en euros) d'un chantier selon le nombre \(x\) de meubles produits (entre 0 et 6) : \[B(x) = -2x^3 + 18x^2 - 48x + 36\]
1. Calculer \(B'(x)\).
\(B'(x) = \ldots\)
2. On admet que \(B'(x) = -6(x-2)(x-4)\). Résoudre \(B'(x) = 0\).
Solutions : ………………
3. Dresser le tableau de variations de \(B\) sur \([0\,;\,6]\) puis calculer \(B(2)\) et \(B(4)\).
4. Combien de meubles doit-il produire pour maximiser le bénéfice ? Quel est ce bénéfice ?
……………

1. \(B'(x) = -6x^2 + 36x - 48\)

2. \(-6(x-2)(x-4) = 0\) → \(x = 2\) ou \(x = 4\).

3. Comme \(a = -6 < 0\), \(B'(x) > 0\) entre les racines :

\(B(2) = -2(8) + 18(4) - 48(2) + 36 = -16 + 72 - 96 + 36 = \)−4 € (minimum local, perte).

\(B(4) = -2(64) + 18(16) - 48(4) + 36 = -128 + 288 - 192 + 36 = \)4 € (maximum local).

4. Il faut aussi comparer les bornes : \(B(0)=36\) et \(B(6)=-36\). Le maximum du modèle sur [0 ; 6] est donc 36 € en 0. La valeur 4 € en 4 est seulement un maximum local. Un bénéfice positif sans production souligne les limites de ce modèle fictif.

Exercice 2-7 Lecture graphique — extremums et solutions Standard

La courbe ci-dessous représente \(g(x) = x^3 - 3x + 1\). On admet que le maximum local est en \(x = -1\) et le minimum local est en \(x = 1\).

-112O3-1(-1;3)(1;-1)y=0
1. Calculer \(g(-1)\) et \(g(1)\).
……………
2. Déterminer le nombre de solutions de \(g(x) = 0\) en justifiant par les extremums.
……………
3. Calculer \(g'(x)\) puis vérifier que \(g'(-1) = 0\) et \(g'(1) = 0\).
……………
4. Dresser le tableau de variations complet de \(g\).

1. \(g(-1) = -1 + 3 + 1 = \)3 ; \(g(1) = 1 - 3 + 1 = \)−1.

2. \(0\) est compris entre le minimum (−1) et le maximum (3) → 3 solutions.

3. \(g'(x) = 3x^2 - 3\). \(g'(-1) = 3(1) - 3 = 0\) ✓ ; \(g'(1) = 3(1) - 3 = 0\) ✓

4.

Exercice 2-8 Optimisation — volume d'une boîte Standard
Contexte : Un artisan menuisier découpe des carrés de côté \(x\) (en cm) aux quatre coins d'une plaque carrée de 12 cm de côté pour fabriquer une boîte sans couvercle. Le volume de la boîte est : \[V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x \quad (x \in [0\,;\,6])\]
1. Calculer \(V'(x)\).
\(V'(x) = \ldots\)
2. On admet que \(V'(x) = 4(3x^2 - 24x + 36) = 12(x-2)(x-6)\). Résoudre \(V'(x) = 0\) sur \([0\,;\,6]\).
Solutions : ………………
3. Étudier le signe de \(V'(x)\) sur \([0\,;\,6]\) et dresser le tableau de variations.
4. Quelle valeur de \(x\) maximise le volume ? Calculer ce volume maximal.
……………

1. \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144\)

2. \(12(x-2)(x-6) = 0\) → \(x = 2\) (sur \([0\,;\,6]\)) ou \(x = 6\) (borne).

3. Sur \([0\,;\,6]\), \(V'(x) > 0\) sur \([0\,;\,2[\) et \(V'(x) < 0\) sur \(]2\,;\,6[\) :

4. \(V(2) = 4(8) - 48(4) + 144(2) = 32 - 192 + 288 = \)128 cm³, pour \(x = 2\) cm.

Exercice 2-9 Puissance consommée — installation électrique Standard
Contexte : Un technicien de maintenance énergétique mesure la puissance \(P\) (en kW) consommée par un bâtiment en fonction du temps \(h\) écoulé depuis 6 h (entre 6 h et 22 h, soit \(h \in [0\,;\,16]\)) : \[P(h) = 0{,}1h^3 - 2{,}4h^2 + 14{,}4h\]
1. Calculer \(P'(h)\).
\(P'(h) = \ldots\)
2. Vérifier \(P'(h)=0{,}3(h-4)(h-12)\), puis résoudre \(P'(h)=0\).
Solutions : ………………
3. Calculer \(P(0)\), \(P(4)\), \(P(12)\) et \(P(16)\). Dresser le tableau de variations sur \([0\,;\,16]\).
4. À quelle heure (entre 6 h et 22 h) la puissance est-elle maximale ? Quelle est cette puissance ?
……………

1. \(P'(h) = 0{,}3h^2 - 4{,}8h + 14{,}4\)

2. \(0{,}3(h-4)(h-12)=0\) donne \(h=4\) ou \(h=12\).

3. \(P(4) = 0{,}1(64) - 2{,}4(16) + 14{,}4(4) = 6{,}4 - 38{,}4 + 57{,}6 = \)25,6 kW. \(P(12) = 0{,}1(1728) - 2{,}4(144) + 14{,}4(12) = 172{,}8 - 345{,}6 + 172{,}8 = \)0 kW.

4. La puissance maximale est 25,6 kW, atteinte à \(h = 4\) (soit 10 h du matin) et à \(h = 16\) (soit 22 h).

Exercice 2-10 Modèle polynôme de degré 3 — débit d'eau Standard
Contexte : Un plombier chauffagiste mesure le débit d'eau (en L/min) dans un réseau de chauffage en fonction du temps \(t\) (en heures, sur \([0\,;\,5]\)) : \[D(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\]
1. Calculer \(D'(t)\). Factoriser \(D'(t)\).
……………
2. Résoudre \(D'(t) = 0\). Calculer \(D(1)\) et \(D(3)\).
……………
3. Dresser le tableau de variations de \(D\) sur \([0\,;\,5]\).
4. Quel est le débit maximal ? Le débit minimum local ? Interpréter dans le contexte.
……………

1. \(D'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = \)\(3(t-1)(t-3)\)

2. \(D'(t) = 0\) pour \(t = 1\) et \(t = 3\).
\(D(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = \)6 L/min (maximum local).
\(D(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = \)2 L/min (minimum local).

3.

4. Débit maximal : 22 L/min à \(t = 5\) h. Minimum local : 2 L/min à \(t = 3\) h.
Le réseau connaît une chute de débit entre 1 h et 3 h d'utilisation, puis repart fortement à la hausse.

Exercice 2-11 Étude complète — modèle de déformation d'une poutre Standard
Contexte : Un charpentier modélise la flèche \(f(x)\) (en mm) d'une poutre en bois en fonction de la position \(x\) (en cm) depuis l'appui gauche par : \[f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x \quad x \in [0\,;\,8]\]
1. Calculer \(f'(x)\).
\(f'(x) = \ldots\)
2. On admet que \(f'(x) = 3(x-2)(x-6)\). Résoudre \(f'(x) = 0\).
Solutions : ………………
3. Calculer \(f(2)\) et \(f(6)\). Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,8]\).
4. En quel point la flèche est-elle maximale ? Quelle est sa valeur ?
……………

1. \(f'(x) = 3x^2 - 24x + 36\)

2. \(3(x-2)(x-6) = 0\) → \(x = 2\) ou \(x = 6\).

3. \(f(2) = 8 - 48 + 72 = \)32 mm (maximum local). \(f(6) = 216 - 432 + 216 = \)0 mm (minimum local).

4. La flèche est maximale en \(x = 2\) cm et en \(x = 8\) cm (même valeur), avec une flèche de 32 mm.

Exercice 2-12 Dérivée et signe — fonction sans extremum Standard

Soit \(g(x) = x^3 + x^2 + x - 5\).

1. Calculer \(g'(x)\). Identifier \(a\), \(b\), \(c\) dans \(g'(x) = ax^2 + bx + c\).
……………
2. Développer \(3(x+\frac13)^2+\frac23\) pour retrouver \(g'(x)\). En déduire que la dérivée est strictement positive.
……………
3. En déduire le sens de variation de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). \(g\) a-t-elle des extremums ?
……………
4. Calculer \(g(0)\), \(g(1)\) et \(g(2)\). Vérifier que ces valeurs sont compatibles avec les variations obtenues.
……………

1. \(g'(x) = 3x^2 + 2x + 1\) ; \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\).

2. \(g'(x)=3(x+\frac13)^2+\frac23>0\) : un carré est positif ou nul et la constante ajoutée est strictement positive.

3. \(g'(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\) → \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle n'a pas d'extremum.

4. \(g(0) = -5\) ; \(g(1) = 1 + 1 + 1 - 5 = -2\) ; \(g(2) = 8 + 4 + 2 - 5 = 9\). On vérifie : \(-5 < -2 < 9\) ✓ — ces valeurs sont compatibles avec la croissance démontrée à la question 3.

Exercice 2-13 Consommation de fuel — extremums locaux Standard
Contexte : Un installateur de systèmes de chauffage utilise un modèle fictif de la consommation journalière de fuel (en litres) d'une chaudière en fonction de la température extérieure \(T\) (en °C, sur \([0\,;\,5]\)) par : \[C(T) = -T^3 + 6T^2 - 9T + 100\]
1. Calculer \(C'(T)\). Résoudre \(C'(T) = 0\) en factorisant.
……………
2. Calculer \(C(1)\) et \(C(3)\). Dresser le tableau de variations sur \([0\,;\,5]\).
3. À quelle température la consommation est-elle maximale localement ? Minimale localement ?
……………
4. Interpréter ce résultat dans le contexte professionnel.
……………

1. \(C'(T) = -3T^2 + 12T - 9 = -3(T^2 - 4T + 3) = -3(T-1)(T-3)\). Racines : \(T = 1\) et \(T = 3\).

2. \(C(1) = -1 + 6 - 9 + 100 = \)96 L (minimum local). \(C(3) = -27 + 54 - 27 + 100 = \)100 L (maximum local).

3. Maximum local en \(T = 3\) °C : \(C = 100\) L. Minimum local en \(T = 1\) °C : \(C = 96\) L.

4. Le modèle prévoit une hausse de 96 à 100 L entre 1 et 3 °C. Il ne permet pas d'en déduire la cause physique. On ne l'utilise que sur [0 ; 5] °C ; il ne décrit pas une consommation réelle au-delà de ce domaine.

Exercice 2-14 Tableau de variations à compléter — contexte professionnel Standard
Contexte : Un poseur de cuisines utilise un modèle fictif de satisfaction client \(S(x)\) (score de 0 à 10) en fonction du temps \(x\) (en jours) de pose d'une cuisine (entre 1 et 5 jours) par : \[S(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 10\]
1. Calculer \(S'(x)\). On admet que \(S'(x) = 3(x-2)(x-4)\). Vérifier.
……………
2. Calculer \(S(2)\) et \(S(4)\).
……………
3. Dresser le tableau de variations de \(S\) sur \([1\,;\,5]\).
4. Quel nombre de jours de pose maximise la satisfaction client ? Interpréter.
……………

1. \(S'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)\) ✓

2. \(S(2) = 8 - 36 + 48 - 10 = \)10 (maximum local). \(S(4) = 64 - 144 + 96 - 10 = \)6 (minimum local).

3.

4. \(S(1)=6\) et \(S(5)=10\). Le maximum sur [1 ; 5] est 10/10, atteint en 2 et en 5 jours. Le modèle seul ne donne pas d'explication sur le comportement des clients.

Exercice 2-15 Volume de rangement — optimisation guidée Standard
Contexte : Un menuisier agenceur fabrique une boîte de rangement sans couvercle à partir d'une planche rectangulaire de 40 cm × 25 cm. Il découpe des carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins et replie les bords. Le volume de la boîte est : \(V(x) = x(40-2x)(25-2x)\) pour \(x \in [0\,;\,12{,}5]\).
1. Développer pour montrer que \(V(x) = 4x^3 - 130x^2 + 1\,000x\).
……………
2. Calculer \(V'(x) = 12x^2 - 260x + 1\,000\). Vérifier ce résultat.
……………
3. Vérifier que \(V'(x)=4(3x-50)(x-5)\), puis trouver ses racines. Laquelle appartient à \(]0;12{,}5[\) ?
……………
4. Dresser le tableau de variations de \(V\) sur \([0\,;\,12{,}5]\) et déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
5. Calculer le volume maximal (arrondi au cm³).
……………

1. \((40-2x)(25-2x) = 1\,000 - 80x - 50x + 4x^2 = 4x^2 - 130x + 1\,000\). \(V(x) = x(4x^2 - 130x + 1\,000) = \)\(4x^3 - 130x^2 + 1\,000x\) ✓

2. \(V'(x) = 12x^2 - 260x + 1\,000\) ✓

3. Le produit est nul pour \(x=5\) ou \(x=50/3\approx16{,}67\). Seule 5 appartient au domaine de la boîte.

4.

Le volume est maximal pour \(x = 5\) cm.

5. \(V(5) = 4(125) - 130(25) + 1\,000(5) = 500 - 3\,250 + 5\,000 = \)2 250 cm³.

Exercice 2-16 Dérivée et tableau de variations — coefficients décimaux Standard

Soit \(h(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3\).

1. Calculer \(h'(x)\).
……………
2. Vérifier \(h'(x)=6(x-1)(x-2)\), puis déterminer ses racines \(x_1<x_2\).
……………
3. Calculer \(h(1)\) et \(h(2)\). Dresser le tableau de variations complet de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Préciser les extremums locaux de \(h\) (valeur et nature).
……………

1. \(h'(x) = 6x^2 - 18x + 12\)

2. Le produit \(6(x-1)(x-2)\) est nul pour \(x_1=1\) et \(x_2=2\).

3. \(h(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = \)2 (maximum local). \(h(2) = 16 - 36 + 24 - 3 = \)1 (minimum local).

4. Maximum local en \(x = 1\) : \(h(1) = 2\). Minimum local en \(x = 2\) : \(h(2) = 1\).

Exercice 2-17 Pression dans un réseau hydraulique Standard
Contexte : Un plombier chauffagiste étudie un modèle fictif de pression \(P\) (en bar) dans un circuit de chauffage en fonction du temps \(t\) (en heures, sur \([1\,;\,5]\)) après le démarrage de la chaudière : \[P(t) = -t^3 + 9t^2 - 24t + 20\]
1. Calculer \(P'(t)\). Résoudre \(P'(t) = 0\).
……………
2. Calculer \(P(2)\) et \(P(4)\).
……………
3. Dresser le tableau de variations de \(P\) sur \([1\,;\,5]\).
4. À quelle heure la pression est-elle maximale ? Minimale localement ? Interpréter.
……………

1. \(P'(t) = -3t^2 + 18t - 24 = -3(t^2 - 6t + 8) = -3(t-2)(t-4)\). Racines : \(t = 2\) et \(t = 4\).

2. \(P(2) = -8 + 36 - 48 + 20 = \)0 bar (minimum local). \(P(4) = -64 + 144 - 96 + 20 = \)4 bar (maximum local).

3. Comme \(a = -3 < 0\), \(P'(t) > 0\) entre les racines :

4. Sur [1 ; 5], le maximum est 4 bar en 1 h et en 4 h. Le minimum local intérieur est 0 bar en 2 h ; cette même valeur est aussi atteinte à la borne 5 h. Ces résultats décrivent le modèle, sans établir de diagnostic de l'installation.

Exercice 2-18 Nombre de solutions — méthode graphique et calcul Standard

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).

On admet que \(f'(x) = 3x(x-2)\). Les extremums sont : maximum local en \(x = 0\) et minimum local en \(x = 2\).

1. Calculer \(f(0)\) et \(f(2)\).
……………
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes en justifiant par le tableau de variations :
a) \(f(x) = 1\)    b) \(f(x) = 2\)    c) \(f(x) = -2\)    d) \(f(x) = -1\)
a) ……… b) ……… c) ……… d) ………

1. \(f(0) = 0 - 0 + 2 = \)2 (maximum local). \(f(2) = 8 - 12 + 2 = \)−2 (minimum local).

2.

3.

a) \(1\) est strictement entre le minimum (−2) et le maximum (2) → 3 solutions.

b) \(2\) est égal au maximum local → 2 solutions.

c) \(-2\) est égal au minimum local → 2 solutions.

d) \(-1\) est strictement entre le minimum (−2) et le maximum (2) → 3 solutions.

Exercice 2-19 Débit de ventilation — étude sur un intervalle Standard
Contexte : Un technicien CVC mesure le débit d'air (en m³/h) d'une CTA (Centrale de Traitement d'Air) en fonction de la vitesse \(v\) (en m/s, sur \([0\,;\,5]\)) de l'air dans une section de référence, dans un modèle fictif : \[D(v) = -v^3 + 6v^2 + 2\]
1. Calculer \(D'(v)\). Factoriser \(D'(v)\).
……………
2. Résoudre \(D'(v) = 0\) sur \([0\,;\,5]\). Calculer \(D(4)\).
……………
3. Dresser le tableau de variations de \(D\) sur \([0\,;\,5]\).
4. À quelle vitesse le débit est-il maximal ? Quelle est cette valeur maximale ? Interpréter.
……………

1. \(D'(v) = -3v^2 + 12v = -3v(v - 4)\)

2. \(-3v(v-4) = 0\) → \(v = 0\) ou \(v = 4\). Les deux sont dans \([0\,;\,5]\).
\(D(4) = -64 + 96 + 2 = \)34 m³/h.

3. Sur \([0\,;\,5]\), le coefficient de \(v^2\) dans \(D'\) est \(-3 < 0\), donc \(D'(v) > 0\) entre les racines :

4. Le débit est maximal à \(v = 4\) m/s avec un débit de 34 m³/h. Le modèle prévoit une baisse au-delà de 4 m/s ; il ne permet pas d'en déterminer la cause technique.

Exercice 2-20 Coût de production d'une série de meubles Standard
Contexte : Un fabricant de meubles modélise le coût unitaire moyen (en €/meuble) de production d'une série en fonction du nombre \(n\) de meubles produits (entre 1 et 10) par : \[C(n) = n^3 - 15n^2 + 63n + 10\]
1. Calculer \(C'(n)\). Montrer que \(C'(n) = 3(n-3)(n-7)\). (Indication : développer et factoriser.)
……………
2. Calculer \(C(3)\) et \(C(7)\).
……………
3. Dresser le tableau de variations de \(C\) sur \([1\,;\,10]\).
4. Pour quelle valeur de \(n\) le coût unitaire est-il minimal ? Interpréter dans le contexte.
……………

1. \(C'(n) = 3n^2 - 30n + 63 = 3(n^2 - 10n + 21) = 3(n-3)(n-7)\) ✓

2. \(C(3) = 27 - 135 + 189 + 10 = \)91 €/meuble (maximum local). \(C(7) = 343 - 735 + 441 + 10 = \)59 €/meuble (minimum local).

3.

4. \(C(1) = 1 - 15 + 63 + 10 = 59\). Le coût unitaire minimal est de 59 €/meuble, atteint pour \(n = 1\) meuble et \(n = 7\) meubles. Les deux quantités donnent le même coût unitaire minimal ; une série de 7 meubles permet d'en produire davantage à ce coût unitaire.

Exercice 3-7 Étude complète sans indication Approfondissement

Soit \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 11\).

Mener l'étude complète de \(f\) : calculer la dérivée, trouver ses racines, dresser le tableau de variations, identifier les extremums locaux, puis tracer l'allure de la courbe.

Question complémentaire : Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = 0\) en justifiant à l'aide du tableau de variations.

\(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x-3)(x+1)\)

Racines de \(f'\) : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\).

Signe de \(f'\) : comme \(a = -3 < 0\), \(f'(x) > 0\) entre les racines.

\(f(-1) = 1 + 3 - 9 - 11 = \)\(-16\) → minimum local.
\(f(3) = -27 + 27 + 27 - 11 = \)\(16\) → maximum local.

Nombre de solutions de \(f(x)=0\) : \(0\) est compris entre le minimum local (\(-16\)) et le maximum local (\(16\)), donc l'équation \(f(x) = 0\) a 3 solutions.

Exercice 3-8 Optimisation — rendement d'une pompe à chaleur Approfondissement
Contexte : Le COP (Coefficient de Performance) d'une pompe à chaleur varie en fonction de la température extérieure \(T\) (en °C). Un technicien modélise le COP sur l'intervalle \([{-5}\,;\,15]\) par : \[C(T) = -0{,}004\,T^3 + 0{,}06\,T^2 + 0{,}3\,T + 2{,}5\]
1. Calculer \(C(-5)\), \(C(0)\), \(C(7)\) et \(C(15)\). Interpréter.
2. Calculer \(C'(T)\) et montrer que \(C'(T) = -0{,}012\,T^2 + 0{,}12\,T + 0{,}3\).
3. Résoudre \(C'(T) = 0\). Utiliser le solveur de degré 2. Arrondir les racines au dixième.
4. Dresser le tableau de variations de \(C\) sur \([-5\,;\,15]\). À quelle température le COP est-il maximal ? Quelle est la valeur de ce COP maximal ?
5. Un cahier des charges exige un COP au moins égal à 2. Cette exigence est-elle respectée sur \([-5\,;\,15]\) ?

1.
\(C(-5) = -0{,}004(-125) + 0{,}06(25) + 0{,}3(-5) + 2{,}5 = 0{,}5 + 1{,}5 - 1{,}5 + 2{,}5 = \)\(3{,}0\)
\(C(0) = \)\(2{,}5\)
\(C(7) = -0{,}004(343) + 0{,}06(49) + 0{,}3(7) + 2{,}5 = -1{,}372 + 2{,}94 + 2{,}1 + 2{,}5 \approx \)\(6{,}2\)
\(C(15) = -0{,}004(3375) + 0{,}06(225) + 0{,}3(15) + 2{,}5 = -13{,}5 + 13{,}5 + 4{,}5 + 2{,}5 = \)\(7{,}0\)

2. \(C'(T) = 3 \times (-0{,}004)\,T^2 + 2 \times 0{,}06\,T + 0{,}3 = -0{,}012\,T^2 + 0{,}12\,T + 0{,}3\) ✓

3. Le solveur (−0,012 ; 0,12 ; 0,3) donne \(T_1\approx-2{,}07107\) et \(T_2\approx12{,}07107\). Les deux racines sont dans le domaine.

4. Comme \(a = -0{,}012 < 0\), \(C'(T) > 0\) entre les racines.

Le COP maximal est \(\approx 7{,}83\), atteint à \(T \approx 12\,°C\).

5. Le minimum du COP sur l'intervalle est \(\approx 2{,}17 > 2\) → le COP reste supérieur à 2 : l'exigence est respectée sur cet intervalle de températures.

Exercice 3-9 Nombre de solutions — raisonnement avec paramètre Approfondissement

Soit \(f(x) = x^3 - 12x + 5\).

1. Montrer que \(f'(x) = 3(x-2)(x+2)\). En déduire le tableau de variations de \(f\).
2. Calculer les valeurs de \(f\) aux extremums locaux.
3. Pour quelles valeurs du réel \(k\), l'équation \(f(x) = k\) admet-elle :
  • a) exactement 3 solutions ?
  • b) exactement 2 solutions ?
  • c) exactement 1 solution ?

1. \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)\)

2. \(f(-2) = -8 + 24 + 5 = \)\(21\) (max local)  ;  \(f(2) = 8 - 24 + 5 = \)\(-11\) (min local).

3.

a) La droite \(y = k\) coupe la courbe en 3 points si \(k\) est strictement entre le min local et le max local :
\(-11 < k < 21\) → 3 solutions

b) La droite est tangente au max ou au min local :
\(k = -11\) ou \(k = 21\) → 2 solutions

c) La droite ne traverse la courbe qu'une fois :
\(k < -11\) ou \(k > 21\) → 1 solution

Exercice 3-10 Optimisation du coût de production — approche BTS Approfondissement
Contexte : Une entreprise de fabrication de gaines de ventilation modélise son coût total de production (en euros) pour \(x\) mètres de gaine par : \[C(x) = 0{,}5x^3 - 15x^2 + 200x + 500 \qquad x \in [5\,;\,25]\]
1. Calculer le coût moyen \(\overline{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) pour \(x = 10\) et \(x = 20\).
2. Étudier les variations de \(C\) : calculer \(C'(x)\), trouver ses racines, et dresser le tableau de variations sur \([5\,;\,25]\).
3. Calculer le coût marginal \(C'(10)\). Interpréter : que représente cette valeur ?
4. Le prix de vente est de 80 €/m. La recette est donc \(R(x) = 80x\). Montrer que le bénéfice \(B(x) = R(x) - C(x)\) est un polynôme de degré 3 et étudier son signe.

1.
\(C(10) = 500 - 1\,500 + 2\,000 + 500 = 1\,500\) → \(\overline{C}(10) = \dfrac{1\,500}{10} = \)150 €/m
\(C(20) = 4\,000 - 6\,000 + 4\,000 + 500 = 2\,500\) → \(\overline{C}(20) = \dfrac{2\,500}{20} = \)125 €/m

2. \(C'(x)=1{,}5x^2-30x+200=1{,}5(x-10)^2+50>0\). La dérivée n'a pas de racine réelle. C est strictement croissante sur [5 ; 25], de \(C(5)=1187{,}5\) € à \(C(25)=3937{,}5\) €.

3. \(C'(10) = 150 - 300 + 200 = \)50 €/m. C'est le coût supplémentaire approximatif pour produire un mètre de gaine de plus quand on en produit déjà 10.

4. \(B(x)=-0{,}5x^3+15x^2-120x-500=-0{,}5x(x-15)^2-7{,}5x-500\). Sur [5 ; 25], le premier terme est négatif ou nul et les deux autres sont strictement négatifs. Donc \(B(x)<0\) sur tout l'intervalle : le modèle prévoit une perte à ce prix.

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