Chapitre 8 | Terminale technologique — série STD2A | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Ce chapitre, propre à la série STD2A (arts appliqués et design), étudie des figures et des modes de représentation usuels en art et en design, en reliant géométrie plane et géométrie dans l'espace.
Un cône de révolution est la surface engendrée par une droite (la génératrice) qui tourne autour d'un axe qu'elle coupe en un point (le sommet), en formant toujours le même angle avec l'axe. Un cône complet comporte deux nappes (au-dessus et en dessous du sommet).
Idée-support (« l'éclairement d'un mur ») : une lampe munie d'un abat-jour conique éclaire un mur. Le contour de la tache lumineuse est la section du cône de lumière par le plan du mur. En inclinant la lampe, on obtient différentes courbes.
Selon la position du plan qui coupe le cône, l'intersection est l'une des coniques :
| Position du plan sécant | Courbe obtenue |
|---|---|
| Perpendiculaire à l'axe | un cercle |
| Oblique, coupant une seule nappe de part en part | une ellipse |
| Parallèle à une génératrice | une parabole |
| « Assez incliné », coupant les deux nappes | une hyperbole (deux branches) |
Ces quatre courbes — cercle, ellipse, parabole, hyperbole — sont regroupées sous la dénomination de coniques. On les visualise avec un logiciel de géométrie dynamique en faisant pivoter le plan sécant.
Les quatre coniques. À droite, les deux branches d'une hyperbole (obtenue quand le plan coupe les deux nappes du cône). En partant du cercle et en inclinant progressivement le plan : cercle → ellipse → parabole → hyperbole.
Un plan oblique coupant une seule nappe du cône découpe une ellipse (en rouge). Selon l'inclinaison : plan perpendiculaire à l'axe → cercle ; parallèle à une génératrice → parabole ; coupant les deux nappes → hyperbole.
a) cercle (plan perpendiculaire à l'axe) ; b) parabole ; c) hyperbole (deux branches).
La tangente à une conique en un point \(M\) est la position limite des sécantes \((MM')\) lorsque le point \(M'\) de la conique se rapproche indéfiniment de \(M\). C'est la même idée que la tangente à la courbe d'une fonction rencontrée en première.
Aucune connaissance sur les équations cartésiennes de tangentes n'est attendue. Dans les situations analytiques de raccordement, l'équation de la tangente est donnée.
La tangente en \(M\) (rouge) est la position limite des sécantes \((MM')\) (pointillés) quand \(M'\) se rapproche de \(M\).
En design, on assemble des arcs de courbes en veillant à ce que la jonction soit « lisse ». On distingue deux niveaux de raccordement.
À gauche : raccordement continu avec un angle visible. À droite : raccordement tangentiel (même tangente au point de jonction, pointillés) : la courbe est lisse.
Deux arcs se raccordent de façon lisse en un point \(P\) si :
Pour raccorder de façon lisse en \(x = a\) un arc de la courbe de \(f\) à un arc de la courbe de \(g\) :
\[f(a) = g(a)\ \text{(même point)}\qquad\text{et}\qquad f'(a) = g'(a)\ \text{(même tangente)}.\]Cas usuels : pour un raccordement cercle–droite, la droite passe par le point de contact et est perpendiculaire au rayon en ce point (la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon). Pour un raccordement cercle–cercle, les centres et le point de contact sont alignés.
On veut raccorder en \(x = 2\) la droite \(d : y = 3x + b\) à la parabole \(p : y = x^2\).
Le raccordement est continu mais non lisse (angle). Pour un raccordement lisse il faudrait une droite de pente \(4\).
Point : \(f(1) = 1\), la droite passe par \((1\,;1)\). Tangente : \(f'(x) = 2x\), \(f'(1) = 2\) → pente \(2\). Donc \(d : y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1\).
La perspective centrale (ou perspective conique) est le mode de représentation qui imite la vision humaine ou la photographie : les objets lointains paraissent plus petits, et les lignes parallèles semblent converger.
Étant donné un point \(O\) (l'œil, ou centre de projection) et un plan \(\pi\) (le tableau), la projection centrale de centre \(O\) sur \(\pi\) associe à un point \(M\) de l'espace le point \(M'\) intersection de la droite \((OM)\) avec le tableau \(\pi\).
Idée-support (« l'ombre au flambeau ») : une source ponctuelle (le flambeau, en \(O\)) projette l'ombre d'un objet sur un mur : cette ombre est la projection centrale de l'objet.
Projection centrale : l'image \(M'\) de \(M\) est l'intersection de la droite \((OM)\) avec le tableau \(\pi\).
La projection centrale conserve :
Elle ne conserve pas en général : les longueurs, les milieux, les rapports de longueurs, les angles et le parallélisme (des droites parallèles peuvent avoir des images sécantes).
Un plan frontal est un plan parallèle au tableau \(\pi\). Pour une figure située dans un plan frontal :
C'est pourquoi, dans un dessin en perspective, une façade vue « de face » (frontale) se dessine sans déformation.
a) Vrai (alignement conservé). b) Faux (milieux non conservés). c) Vrai (cas frontal). d) Faux (sauf dans un plan frontal).
Point de fuite d'une droite. Deux droites parallèles non frontales ont des images qui se coupent en un même point appelé point de fuite. Autrement dit : toutes les droites d'une même direction (non frontale) fuient vers un même point.
Point de fuite principal. C'est le point de fuite des droites perpendiculaires au tableau (les « fuyantes » qui s'enfoncent droit devant le spectateur). Il se situe juste en face de l'œil.
Ligne de fuite d'un plan. Pour un plan non frontal, l'ensemble des points de fuite de toutes ses droites forme une droite appelée ligne de fuite de ce plan.
Ligne d'horizon. C'est la ligne de fuite du plan horizontal (le sol) : la droite horizontale, à hauteur de l'œil, sur laquelle se trouvent les points de fuite de toutes les droites horizontales. Dans un paysage, elle correspond à l'horizon.
Cube en perspective centrale à un point de fuite. La face avant (indigo) est en vraie grandeur (plan frontal → forme conservée). Les fuyantes convergent vers le point de fuite \(F\), situé sur la ligne d'horizon (hauteur de l'œil). La face arrière (verte) referme le volume.
| Deux droites parallèles… | Images en perspective centrale |
|---|---|
| frontales (parallèles au tableau) | parallèles entre elles |
| non frontales | concourantes en un point de fuite |
La photographie est une projection centrale (l'objectif joue le rôle de l'œil \(O\)). Les rails sont des droites parallèles non frontales (elles s'enfoncent en profondeur) ; leurs images convergent donc vers un point de fuite situé sur la ligne d'horizon. Le parallélisme n'est pas conservé par la projection centrale.
On construit les images des deux familles de droites :
Les diagonales du dallage permettent de placer correctement les profondeurs successives.
Dallage vu en perspective centrale. Une famille d'arêtes est frontale : ses images restent parallèles (droites vertes). L'autre est fuyante : ses images convergent vers le point de fuite. C'est pourquoi deux rails parallèles semblent se rejoindre à l'horizon.
On dessine d'abord une face frontale en vraie grandeur (non déformée), puis les arêtes fuyantes (perpendiculaires au tableau) qui convergent vers le point de fuite principal ; on referme le volume à la profondeur voulue.
Esquisses du cylindre et du cône : on les inscrit dans un solide simple (un pavé pour le cylindre, une pyramide pour le cône) et on prend appui sur les points de contact pour tracer les courbes (les cercles de base deviennent des ellipses en perspective).
a) Un point de fuite (ici le point de fuite principal, car les bords sont perpendiculaires au tableau). b) Sur la ligne d'horizon (hauteur de l'œil). c) Façade frontale → forme conservée : les fenêtres sont dessinées sans déformation, en vraie proportion.
Le programme STD2A ne comporte pas d'algorithmique : on privilégie les logiciels de géométrie dynamique (type GeoGebra) et les logiciels de dessin artistiques.
❌ Confondre les coniques.
✅ L'ellipse provient d'un plan coupant une seule nappe ; l'hyperbole d'un plan coupant les deux nappes.
❌ Croire que la perspective conserve le parallélisme.
✅ Faux en général : seules les droites frontales gardent des images parallèles ; les autres fuient vers un point de fuite.
❌ Confondre perspective centrale et cavalière.
✅ En perspective cavalière, les parallèles restent parallèles (pas de point de fuite) ; en perspective centrale, elles convergent.
❌ Croire qu'un contact suffit à rendre un raccordement lisse.
✅ Se toucher (même point) ne suffit pas : il faut aussi la même tangente (contact d'ordre 1).
❌ Faire dépendre la ligne d'horizon de l'objet.
✅ La ligne d'horizon = hauteur de l'œil : elle ne dépend que de la position du regard.