Fiche – Coniques et perspective centrale

Chapitre 8 | Terminale technologique — série STD2A | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Coniques = sections d'un cône : cercle (⊥ axe), ellipse (oblique, une nappe), parabole (// génératrice), hyperbole (deux nappes).
Tangente = position limite des sécantes. Raccordement lisse : \(f(a)=g(a)\) et \(f'(a)=g'(a)\).
Projection centrale (œil \(O\) → tableau) : conserve alignement et contact ; pas longueurs, milieux, angles, parallélisme.
Plan frontal (// tableau) → forme conservée (image semblable).
Point de fuite : les parallèles non frontales y convergent ; horizontales → sur la ligne d'horizon (hauteur de l'œil).

Définitions clés

Définition

Coniques : les courbes obtenues en coupant un cône de révolution par un plan — cercle, ellipse, parabole, hyperbole.

Définition

Tangente à une conique en \(M\) : position limite des sécantes \((MM')\) quand \(M'\) se rapproche de \(M\).

Définition

Projection centrale de centre \(O\) sur le tableau \(\pi\) : à \(M\) on associe \(M'\), intersection de \((OM)\) avec \(\pi\).

Définition

Point de fuite : point où se coupent les images de droites parallèles non frontales. Ligne d'horizon : ligne de fuite du plan horizontal, à hauteur de l'œil.

À connaître par cœur

Sections d'un cône de révolution

• plan ⊥ axe → cercle
• plan oblique, une nappe → ellipse
• plan // génératrice → parabole
• plan coupant les deux nappes → hyperbole

Raccordement lisse en \(x = a\) \[f(a) = g(a)\quad\text{(même point)}\] \[f'(a) = g'(a)\quad\text{(même tangente)}\]

Deux droites parallèles en perspective

frontales (// tableau) → images parallèles ;
non frontales → images concourantes en un point de fuite.

Cube en perspective centrale : face avant frontale (vraie grandeur), fuyantes convergeant vers \(F\) sur la ligne d'horizon.

Méthode — Reconnaître la conique

Méthode

Repérer l'angle du plan sécant par rapport à l'axe du cône.
⊥ axe → cercle ; oblique (une nappe) → ellipse ; // génératrice → parabole ; coupant les deux nappes → hyperbole.

Méthode — Construire un cube (un point de fuite)

Tracer la ligne d'horizon, y placer le point de fuite \(F\).
Dessiner la face avant (carré) en vraie grandeur.
Relier chaque sommet à \(F\) (fuyantes).
Placer la face arrière (plus petite) sur les fuyantes, côtés parallèles à la face avant.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre ellipse et hyperbole.

✅ Ellipse = une seule nappe ; hyperbole = les deux nappes.

❌ Croire que la perspective conserve le parallélisme.

✅ Seules les droites frontales gardent des images parallèles ; les autres fuient.

❌ Confondre perspective centrale et cavalière.

✅ Cavalière : parallèles conservés ; centrale : les parallèles convergent (point de fuite).

❌ Croire qu'un contact suffit pour un raccordement lisse.

✅ Il faut aussi la même tangente : \(f'(a) = g'(a)\).

Exemple rapide

Exemple — raccorder une droite à \(y = x^2\) en \(x = 1\)

Point : \(f(1) = 1\) → la droite passe par \((1\,;1)\).
Tangente : \(f'(1) = 2\) → pente \(2\).
Droite : \(y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\).