Coniques et perspective centrale | Terminale technologique — série STD2A | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Pour chaque plan sécant, nommer la conique obtenue.
1. Plan horizontal coupant un cône d'axe vertical.
2. Plan parallèle à une génératrice du cône.
3. Plan coupant les deux nappes du cône.
4. Plan légèrement incliné coupant une seule nappe de part en part.
1. Cercle (plan perpendiculaire à l'axe).
2. Parabole.
3. Hyperbole (deux branches).
4. Ellipse.
On veut raccorder au point d'abscisse \(x = 1\) la courbe de \(f(x) = x^2\) à une droite \(d\) de façon lisse.
1. Par quel point la droite \(d\) doit-elle passer ?
2. Quelle doit être sa pente ?
3. En déduire l'équation de \(d\).
1. \(f(1) = 1\) : la droite passe par \((1\,;1)\).
2. \(f'(x) = 2x\), donc \(f'(1) = 2\) : la pente vaut \(2\).
3. \(d : y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\).
On veut raccorder en \(x = 2\) la droite \(d : y = 3x + b\) à la parabole \(p : y = x^2\).
1. Déterminer \(b\) pour que le raccordement soit au moins continu.
2. Ce raccordement est-il lisse ? Justifier.
3. Quelle pente faudrait-il pour obtenir un raccordement lisse en \(x = 2\) ?
1. Point commun : \(3(2) + b = 2^2\), soit \(6 + b = 4\), donc \(b = -2\).
2. Pente de \(p\) en \(2\) : \((x^2)' = 2x = 4\). Pente de \(d\) : \(3\). Comme \(4 \ne 3\), le raccordement est continu mais non lisse (angle).
3. Il faudrait une droite de pente \(4\) (égale à \(f'(2)\)).
Vrai ou faux, en perspective centrale. Justifier brièvement.
1. L'image d'une droite est une droite.
2. Le milieu d'un segment se projette au milieu de l'image.
3. Deux droites parallèles frontales ont des images parallèles.
4. Les angles sont conservés.
5. Deux courbes tangentes se projettent en deux courbes tangentes.
1. Vrai : l'alignement est conservé.
2. Faux : les milieux ne sont pas conservés.
3. Vrai : dans un plan frontal, les images restent parallèles.
4. Faux : les angles ne sont pas conservés (sauf dans un plan frontal).
5. Vrai : le contact est conservé.
Dans un tableau, une rue borde des immeubles ; les deux bords de la rue (horizontaux, s'enfonçant devant le spectateur) se rejoignent en un point du dessin.
1. Comment s'appelle ce point ?
2. Sur quelle ligne se trouve-t-il ?
3. Que dire des fenêtres dessinées sur une façade vue de face ?
1. Un point de fuite (ici le point de fuite principal, car les bords sont perpendiculaires au tableau).
2. Sur la ligne d'horizon (hauteur de l'œil).
3. La façade est frontale → forme conservée : les fenêtres sont dessinées sans déformation, en vraie proportion.
On observe l'image, en perspective centrale, de deux droites parallèles.
1. Les droites sont frontales (parallèles au tableau). Que dire de leurs images ?
2. Les droites sont non frontales. Que dire de leurs images ?
3. Expliquer pourquoi, sur une photographie de voie ferrée droite, les deux rails semblent se rejoindre à l'horizon.
1. Leurs images sont parallèles entre elles (elles ne fuient pas).
2. Leurs images sont concourantes en un point de fuite.
3. La photographie est une projection centrale (l'objectif = l'œil \(O\)). Les rails sont parallèles non frontaux ; leurs images convergent vers un point de fuite sur la ligne d'horizon. Le parallélisme n'est pas conservé.
On dessine un cube en perspective centrale à un point de fuite \(F\). La face avant est un carré de \(4\) cm de côté, tracé en vraie grandeur.
1. Décrire, dans l'ordre, les étapes de la construction.
2. Pourquoi la face avant est-elle dessinée sans déformation ?
1. Étapes :
2. La face avant appartient à un plan frontal (parallèle au tableau) : la projection conserve la forme, l'image est semblable à la figure réelle.
Un designer représente un sol carrelé en perspective centrale à un point de fuite. Le dallage est formé de deux familles de droites : une famille frontale (parallèle au tableau) et une famille fuyante (perpendiculaire au tableau).
1. Que deviennent les images des droites de la famille frontale ?
2. Que deviennent les images des droites de la famille fuyante ? Où convergent-elles ?
3. Le designer veut ensuite poser sur ce sol un cylindre décoratif. Comment esquisser sa base circulaire et par quelle méthode l'inscrire ?
4. Sur le dessin, deux dalles voisines n'ont pas la même hauteur apparente : la dalle éloignée parait plus petite. Quelle propriété de la projection centrale explique cela ?
1. Les droites frontales restent parallèles entre elles (images horizontales sur le dessin).
2. Les droites fuyantes ont des images concourantes : elles convergent vers le point de fuite principal, situé sur la ligne d'horizon.
3. On inscrit le cylindre dans un pavé (solide simple) ; la base circulaire, appuyée sur les points de contact du pavé, se dessine comme une ellipse en perspective.
4. La projection centrale ne conserve pas les longueurs : les objets éloignés sont réduits. Seules les figures situées dans un plan frontal gardent leurs proportions.