Chapitre 6 – Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Chapitre 6 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30

Objectifs du chapitre

Construire un arbre de probabilités associé à une situation aléatoire
Interpréter les pondérations des branches en termes de probabilités, notamment conditionnelles
Faire le lien entre la probabilité conditionnelle et la multiplication le long d'un chemin
Utiliser un arbre pour calculer des probabilités
Reconnaître une partition de l'univers
Calculer la probabilité d'un évènement à l'aide de la formule des probabilités totales

I. Probabilité conditionnelle

1. Définition

Définition — Probabilité conditionnelle

Soit \(A\) et \(B\) deux évènements avec \(P(A) \ne 0\). La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :

\[\boxed{\ P_{A}(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}.\ }\]

On la lit : « probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé ».

Propriété — Formule des probabilités composées (multiplication)

En multipliant la définition par \(P(A)\) :

\[\boxed{\ P(A\cap B) = P(A)\times P_{A}(B).\ }\]

C'est exactement ce que l'on fait en multipliant les probabilités le long d'un chemin dans un arbre.

Exemple

Dans une classe, \(P(A) = 0{,}6\) (proportion de filles) et \(P_A(B) = 0{,}3\) (parmi les filles, celles qui font de l'allemand). Alors \(P(A\cap B) = 0{,}6\times 0{,}3 = 0{,}18\) : \(18\,\%\) de la classe sont des filles qui font de l'allemand.

2. Rappel — indépendance

Définition — Évènements indépendants

Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :

\[P(A\cap B) = P(A)\times P(B),\]

ce qui équivaut à \(P_A(B) = P(B)\) : la réalisation de \(A\) ne change pas la probabilité de \(B\).

Exercice d'application 1. On a \(P(A) = 0{,}4\) et \(P(A\cap B) = 0{,}1\). Calculer \(P_A(B)\).

\(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\).

II. Arbre de probabilités

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes.

Règles de l'arbre pondéré

Sur chaque branche, on inscrit la probabilité de l'évènement correspondant (probabilité conditionnelle dès le 2ᵉ niveau).
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut \(1\) (loi des nœuds).
La probabilité d'un chemin (une « feuille ») est le produit des probabilités des branches qui le composent.
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins qui le réalisent.

Arbre pondéré à deux étapes. Les probabilités du 2ᵉ niveau sont conditionnelles. La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches : le chemin \(A\) puis \(B\) vaut \(P(A)\times P_A(B) = P(A\cap B)\).

Méthode — Construire un arbre à partir d'un énoncé

Repérer la première étape (souvent une catégorie : machine, fournisseur, test positif/négatif…) → premières branches, probabilités « brutes ».
Repérer les probabilités conditionnelles (« parmi les…, tel pourcentage… ») → branches du 2ᵉ niveau.
Vérifier que la somme des branches issues de chaque nœud vaut \(1\).

Exercice d'application 2. Sur un arbre, un nœud donne deux branches vers \(D\) (probabilité \(0{,}03\)) et vers \(\overline D\). Quelle est la probabilité de la branche vers \(\overline D\) ?

La somme des branches d'un nœud vaut \(1\), donc \(P(\overline D) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\).

III. Partition de l'univers

Définition — Partition de l'univers

Des évènements \(A_1, A_2, \dots, A_k\) forment une partition de l'univers \(\Omega\) lorsque :

ils sont deux à deux incompatibles (ne peuvent se produire ensemble) ;
leur réunion est l'univers tout entier (l'un d'eux se produit forcément) ;
chacun est de probabilité non nulle.

Exemple

\(A\) et son contraire \(\overline A\) forment toujours une partition de \(\Omega\) (partition en deux évènements). Trois catégories exhaustives et exclusives (ex. : trois fournisseurs d'une pièce) forment une partition en trois évènements.

IV. Formule des probabilités totales

Théorème — Formule des probabilités totales

Soit \(A_1, A_2, \dots, A_k\) une partition de l'univers. Pour tout évènement \(B\) :

\[\boxed{\ P(B) = P(A_1\cap B) + P(A_2\cap B) + \dots + P(A_k\cap B).\ }\]

En utilisant la formule des probabilités composées, cela s'écrit aussi :

\[P(B) = P(A_1)\,P_{A_1}(B) + P(A_2)\,P_{A_2}(B) + \dots + P(A_k)\,P_{A_k}(B).\]

Interprétation avec l'arbre : \(P(B)\) est la somme des probabilités de tous les chemins aboutissant à \(B\).

Cas particulier fréquent — partition \(A\), \(\overline A\) \[P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline A)\,P_{\overline A}(B).\]

Démonstration. Les évènements \(A\) et \(\overline A\) sont incompatibles et de réunion \(\Omega\). Donc \(B = (A\cap B) \cup (\overline A \cap B)\), réunion de deux évènements incompatibles. Par additivité :

\[P(B) = P(A\cap B) + P(\overline A\cap B) = P(A)P_A(B) + P(\overline A)P_{\overline A}(B). \qquad\blacksquare\]

(La démonstration pour trois évènements est identique : \(B\) est la réunion des trois « morceaux » incompatibles \(A_i \cap B\).)

Méthode — Appliquer la formule des probabilités totales

Identifier la partition (souvent la première étape de l'arbre).
Repérer tous les chemins menant à l'évènement cherché.
Additionner les produits de chaque chemin.

Exemple complet — deux fournisseurs

Une usine reçoit ses composants de deux fournisseurs. Le fournisseur \(F_1\) livre \(60\,\%\) des composants, dont \(2\,\%\) sont défectueux. Le fournisseur \(F_2\) livre les \(40\,\%\) restants, dont \(5\,\%\) sont défectueux. On prélève un composant au hasard ; soit \(D\) l'évènement « le composant est défectueux ».

Les deux chemins menant à \(D\) (en rouge) sont \(F_1 \to D\) (probabilité \(0{,}012\)) et \(F_2 \to D\) (probabilité \(0{,}020\)). La probabilité totale \(P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\) est leur somme.

Calcul de la probabilité totale

Les deux chemins menant à \(D\) donnent :

\[P(D) = P(F_1)P_{F_1}(D) + P(F_2)P_{F_2}(D) = 0{,}6\times0{,}02 + 0{,}4\times0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032.\]

Soit \(3{,}2\,\%\) de composants défectueux.

Exercice d'application 3. Une machine produit des pièces : \(70\,\%\) proviennent de la ligne \(L_1\) (\(1\,\%\) de défauts) et \(30\,\%\) de la ligne \(L_2\) (\(4\,\%\) de défauts). Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

\(P(D) = 0{,}7\times 0{,}01 + 0{,}3\times 0{,}04 = 0{,}007 + 0{,}012 = 0{,}019\), soit \(1{,}9\,\%\).

Tableau croisé des effectifs

Sur \(1000\) composants de l'exemple, on peut représenter la situation dans un tableau croisé (fournisseur × état). Les fréquences conditionnelles s'obtiennent en divisant par les totaux de ligne.

	Défectueux \(D\)	Bon \(\overline D\)	Total
\(F_1\)	\(12\)	\(588\)	\(600\)
\(F_2\)	\(20\)	\(380\)	\(400\)
Total	\(32\)	\(968\)	\(1000\)

On retrouve \(P(D) = \dfrac{32}{1000} = 0{,}032\), et par exemple \(P_{F_1}(D) = \dfrac{12}{600} = 0{,}02\).

Vocabulaire ensembliste — cardinal, couples et produit cartésien

Le tableau croisé se lit avec le vocabulaire des ensembles :

La notation \(\text{Card}(A)\) désigne le cardinal d'un ensemble fini \(A\), c'est-à-dire son nombre d'éléments. Ici \(\text{Card}(\Omega) = 1000\), \(\text{Card}(F_1\cap D) = 12\), \(\text{Card}(D) = 32\), et en situation d'équiprobabilité : \(P(D) = \dfrac{\text{Card}(D)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{32}{1000}\).
L'expérience est à deux étapes (fournisseur, puis état de la pièce) : chaque composant est décrit par un couple \((\text{fournisseur}\,;\,\text{état})\), par exemple \((F_1\,;D)\). L'ensemble de ces couples est le produit cartésien \(\{F_1\,,F_2\}\times\{D\,,\overline D\}\) : ses \(2\times 2 = 4\) éléments correspondent exactement aux quatre cases intérieures du tableau croisé (et aux quatre feuilles de l'arbre).

Second exemple — test de dépistage

Dans une population, \(1\,\%\) est malade (\(M\)). Le test est positif (\(T\)) chez \(95\,\%\) des malades et chez \(4\,\%\) des non-malades. Probabilité qu'un test soit positif :

\[P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline M)P_{\overline M}(T) = 0{,}01\times0{,}95 + 0{,}99\times0{,}04 = 0{,}0095 + 0{,}0396 = 0{,}0491.\]

Environ \(4{,}9\,\%\) de tests positifs.

Exercice d'application 4. Une urne \(A\) contient \(3\) boules rouges et \(2\) vertes ; une urne \(B\) contient \(1\) rouge et \(4\) vertes. On choisit une urne au hasard (équiprobable) puis une boule. Calculer la probabilité de tirer une rouge.

Partition : urne \(A\) (\(0{,}5\)) ou urne \(B\) (\(0{,}5\)). \(P(R) = 0{,}5\times\dfrac{3}{5} + 0{,}5\times\dfrac{1}{5} = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4\).

V. Outils numériques

Python — probabilités totales

def proba_totale(branches):
    """branches = liste de (proba_etape1, proba_conditionnelle) menant à B."""
    return sum(p1 * p2 for p1, p2 in branches)

# usine : F1 défectueux, F2 défectueux
chemins_vers_D = [(0.6, 0.02), (0.4, 0.05)]
print(proba_totale(chemins_vers_D))   # 0.032

Python — simulation (méthode de Monte-Carlo)

import random

def simule(N):
    defect = 0
    for _ in range(N):
        if random.random() < 0.6:        # fournisseur F1
            if random.random() < 0.02:   # défectueux chez F1
                defect += 1
        else:                            # fournisseur F2
            if random.random() < 0.05:   # défectueux chez F2
                defect += 1
    return defect / N

print(round(simule(1_000_000), 4))   # proche de 0.032

Tableur

Construire un tableau croisé des effectifs (fournisseur × état) puis calculer les fréquences ; les fréquences conditionnelles s'obtiennent en divisant par les totaux de ligne.

Exercice d'application 5. Trois ateliers \(A_1, A_2, A_3\) fabriquent respectivement \(50\,\%\), \(30\,\%\), \(20\,\%\) des articles, avec des taux de défaut de \(1\,\%\), \(2\,\%\), \(4\,\%\). Probabilité qu'un article soit défectueux ?

\(P(D) = 0{,}5\times0{,}01 + 0{,}3\times0{,}02 + 0{,}2\times0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019\), soit \(1{,}9\,\%\).

Exercice d'application 6. Deux évènements indépendants \(A\) et \(B\) vérifient \(P(A) = 0{,}3\) et \(P(B) = 0{,}5\). Calculer \(P(A\cap B)\) puis \(P(A\cup B)\).

Indépendance : \(P(A\cap B) = 0{,}3\times0{,}5 = 0{,}15\). Puis \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = 0{,}3+0{,}5-0{,}15 = 0{,}65\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P(A\cap B)\).

✅ \(P_A(B)\) est « sachant \(A\) » (on divise par \(P(A)\)) ; \(P(A\cap B)\) est la probabilité que les deux se produisent (produit le long du chemin).

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

✅ Ce ne sont pas les mêmes : « positif sachant malade » n'est pas « malade sachant positif ».

❌ Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.

✅ Bien lister tous les chemins menant à l'évènement.

❌ Additionner au lieu de multiplier (ou l'inverse).

✅ On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins ; les branches d'un nœud somment à \(1\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

Probabilité conditionnelle : \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), d'où \(P(A\cap B) = P(A)\,P_A(B)\).
Arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins ; les branches d'un nœud somment à \(1\).
Partition de \(\Omega\) : évènements incompatibles couvrant tout l'univers (ex. \(A\) et \(\overline A\)).
Probabilités totales : \(P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + \dots + P(A_k)P_{A_k}(B)\) = somme des chemins menant à \(B\).
Indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\), soit \(P_A(B) = P(B)\).

Simulation interactive

Probabilités conditionnelles — Arbre pondéré