Fiche – Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Chapitre 6 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Conditionnelle : \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), d'où \(P(A\cap B) = P(A)\,P_A(B)\).
Arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins ; branches d'un nœud = \(1\).
Partition de \(\Omega\) : évènements incompatibles couvrant tout l'univers (ex. \(A\) et \(\overline A\)).
Probabilités totales : \(P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + \dots + P(A_k)P_{A_k}(B)\).
Indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\), soit \(P_A(B) = P(B)\).

Définitions clés

Définition

Probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) (avec \(P(A)\ne0\)) : \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).

Définition

Partition de l'univers \(\Omega\) : évènements \(A_1,\dots,A_k\) deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), chacun de probabilité non nulle.

Définition

Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\) (la réalisation de \(A\) ne change pas la probabilité de \(B\)).

À connaître par cœur

Probabilité conditionnelle et composée \[P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \qquad P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)\]

Formule des probabilités totales \[P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + \dots + P(A_k)P_{A_k}(B)\] \[\text{Cas } A,\overline A :\quad P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline A)P_{\overline A}(B)\]

Règles de l'arbre pondéré

Somme des branches issues d'un nœud \(=1\).
Probabilité d'un chemin \(=\) produit des branches.
Probabilité d'un évènement \(=\) somme des chemins qui le réalisent.

Méthode — Construire un arbre

Méthode

Repérer la première étape (catégorie : machine, fournisseur, test…) → premières branches.
Repérer les probabilités conditionnelles (« parmi les…, tel pourcentage… ») → 2ᵉ niveau.
Vérifier que la somme des branches de chaque nœud vaut \(1\).

Méthode — Appliquer les probabilités totales

Identifier la partition (souvent la première étape).
Repérer tous les chemins menant à l'évènement cherché.
Additionner les produits de chaque chemin.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P(A\cap B)\).

✅ \(P_A(B)\) : « sachant \(A\) » (on divise par \(P(A)\)). \(P(A\cap B)\) : les deux se produisent (produit du chemin).

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

✅ « positif sachant malade » n'est pas « malade sachant positif ».

❌ Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.

✅ Lister tous les chemins menant à l'évènement.

❌ Additionner au lieu de multiplier (ou l'inverse).

✅ On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins.

Exemple rapide

Exemple — deux fournisseurs

\(F_1\) livre \(60\,\%\) des pièces (\(2\,\%\) défectueuses), \(F_2\) les \(40\,\%\) restants (\(5\,\%\) défectueuses). Soit \(D\) « pièce défectueuse ».

Chemin \(F_1\to D\) : \(0{,}6\times0{,}02 = 0{,}012\).
Chemin \(F_2\to D\) : \(0{,}4\times0{,}05 = 0{,}020\).
Probabilité totale : \(P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\), soit \(3{,}2\,\%\).