Chapitre 4 – Fonction inverse

Chapitre 4 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Connaître l'ensemble de définition et le comportement aux bornes de la fonction inverse \(x\mapsto\dfrac1x\)
Connaître la dérivée \(\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\) et en déduire le sens de variation
Reconnaître la courbe (l'hyperbole) et ses deux asymptotes (les axes)
Étudier et représenter des fonctions obtenues par combinaisons linéaires de la fonction inverse et de polynômes de degré \(\le 3\) (par exemple \(x\mapsto 2x+\dfrac3x\))
Appliquer ces variations à une situation de prix unitaire ou de cout moyen

I. La fonction inverse et son ensemble de définition

Définition — Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction

\[f : x \longmapsto \frac{1}{x},\]

définie pour tout réel \(x \ne 0\), c'est-à-dire sur \(\mathbb R^{*} = \left]-\infty\,;0\right[\ \cup\ \left]0\,;+\infty\right[\). La valeur \(x = 0\) est exclue : on ne divise pas par \(0\).

Exemple

\(f(2) = \dfrac12 = 0{,}5\) ; \(f(0{,}1) = 10\) ; \(f(-4) = -\dfrac14 = -0{,}25\). La fonction \(f\) n'a aucune image en \(0\).

II. Comportement aux bornes

On observe numériquement l'inverse de nombres proches de \(0\) ou très grands.

\(x\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)	\(\to 0^{+}\)
\(\frac1x\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)	très grand (\(\to +\infty\))

\(x\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)	\(\to +\infty\)
\(\frac1x\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)	très proche de \(0\)

Comportement (approche intuitive)

Quand \(x\) se rapproche de \(0\) par valeurs positives, \(\dfrac1x\) tend vers \(+\infty\) ; par valeurs négatives, vers \(-\infty\).
Quand \(x\) devient très grand (positivement ou négativement), \(\dfrac1x\) tend vers \(0\).

En résumé : l'inverse d'un petit nombre est grand ; l'inverse d'un grand nombre est petit.

Exercice d'application 1. Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant : \(\dfrac{1}{0{,}5}\) ; \(\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{100}\) ; \(\dfrac{1}{0{,}01}\).

\(\dfrac{1}{100} = 0{,}01 \lt \dfrac12 = 0{,}5 \lt \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \lt \dfrac{1}{0{,}01} = 100.\)

III. Dérivée et sens de variation

Propriété — Dérivée de la fonction inverse

La fonction inverse est dérivable sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), et

\[\boxed{\ \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^{2}}.\ }\]

Démonstration (à partir du taux de variation). Le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(x+h\) (avec \(h\ne0\)) est

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \frac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \frac{-h}{h\,x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}.\]

Quand \(h\) tend vers \(0\), ce taux tend vers \(\dfrac{-1}{x \cdot x} = -\dfrac{1}{x^{2}}\). C'est le nombre dérivé \(f'(x)\). \(\quad\blacksquare\)

Propriété — Sens de variation

Comme \(x^{2} \gt 0\), on a \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\) pour tout \(x \ne 0\). Donc :

La fonction inverse est strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et strictement décroissante sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).

Attention

Elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb R^*\) tout entier : il y a une « coupure » en \(0\). Par exemple \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), donc en passant du négatif au positif la fonction remonte.

Tableau de variations.

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(\\|\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(0^{-}\)	\(\searrow\)	\(-\infty\ \\|\ +\infty\)	\(\searrow\)	\(0^{+}\)

Exercice d'application 2. Soit \(f(x) = \dfrac1x\). Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(x = 2\).

Le coefficient directeur est \(f'(2)\). Or \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\), donc \(f'(2) = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25\).

IV. Courbe représentative et asymptotes

La courbe de \(x \mapsto \dfrac1x\) est une hyperbole, composée de deux branches (une dans le quadrant en haut à droite, une dans le quadrant en bas à gauche) symétriques par rapport à l'origine.

Asymptotes (approche intuitive)

Asymptote horizontale : l'axe des abscisses (\(y = 0\)). Quand \(|x|\) devient grand, la courbe se rapproche indéfiniment de l'axe horizontal sans le toucher.
Asymptote verticale : l'axe des ordonnées (\(x = 0\)). Quand \(x\) se rapproche de \(0\), la courbe « longe » l'axe vertical.

L'hyperbole \(y = \dfrac1x\) : deux branches symétriques par rapport à l'origine. Les deux axes (pointillés) sont asymptotes : \(y = 0\) (horizontale) et \(x = 0\) (verticale). La courbe s'en rapproche sans jamais les atteindre.

Attention

La courbe se rapproche des axes mais ne les atteint jamais. Parler de « tangence » ou de courbe qui « touche » l'axe est faux.

V. Combinaisons linéaires avec des polynômes

On étudie des fonctions de la forme

\[g(x) = (\text{polynôme de degré} \le 3) + \frac{k}{x},\]

par exemple \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\) ou \(g(x) = 2x^2 - \dfrac{1}{x} + 3\).

Méthode — Dériver par linéarité

On dérive terme à terme. On utilise :

\[\left(\frac{k}{x}\right)' = k\left(\frac1x\right)' = -\frac{k}{x^{2}}.\]

Exemple complet — étudier \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\)

On dérive :

\[g'(x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} = \frac{(x-2)(x+2)}{x^{2}}.\]

Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : \(x^2 \gt 0\) et \(x + 2 \gt 0\), donc le signe de \(g'(x)\) est celui de \((x - 2)\).

\(g'(x) \lt 0\) pour \(0 \lt x \lt 2\) (décroissante),
\(g'(x) = 0\) en \(x = 2\),
\(g'(x) \gt 0\) pour \(x \gt 2\) (croissante).

La fonction admet donc un minimum en \(x = 2\), de valeur \(g(2) = 2 + \dfrac42 = 4\).

Courbe de \(g(x) = x + \dfrac4x\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : elle décroit puis croit, avec un minimum en \((2\,;4)\). La droite \(y = x\) (pointillés verts) est asymptote quand \(x\) devient grand.

Ce type de fonction sert notamment à minimiser un cout moyen (voir la méthode ci-dessous).

Exercice d'application 3. Dériver : a) \(g(x) = 5x - \dfrac{2}{x}\) ; b) \(h(x) = x^2 + \dfrac{3}{x}\) ; c) \(k(x) = x^3 - 4x + \dfrac{1}{x}\).

a) \(g'(x) = 5 + \dfrac{2}{x^2}\). b) \(h'(x) = 2x - \dfrac{3}{x^2}\). c) \(k'(x) = 3x^2 - 4 - \dfrac{1}{x^2}\).

Exercice d'application 4. Étudier les variations de \(g(x) = x + \dfrac{9}{x}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) et donner son minimum.

\(g'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2} = \dfrac{x^2-9}{x^2} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\). Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), le signe est celui de \((x-3)\) : décroissante sur \(\left]0\,;3\right[\), croissante sur \(\left]3\,;+\infty\right[\). Minimum en \(x=3\), \(g(3) = 3 + 3 = 6\).

VI. Application : optimiser un cout moyen

Méthode — Cout moyen unitaire

Le cout moyen unitaire s'écrit souvent \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\), où \(C(x)\) est le cout total pour \(x\) objets. Si \(C(x) = ax^2 + b\), alors

\[C_m(x) = \frac{ax^2 + b}{x} = ax + \frac{b}{x}\,:\]

on retrouve une combinaison de \(x\) et \(\dfrac1x\), dont on sait étudier le minimum.

Exemple résolu

Cout total \(C(x) = 0{,}5x^2 + 200\) (en €) pour \(x\) pièces. Cout moyen : \(C_m(x) = 0{,}5x + \dfrac{200}{x}\).

\(C_m'(x) = 0{,}5 - \dfrac{200}{x^2} = \dfrac{0{,}5x^2 - 200}{x^2}\), nul quand \(x^2 = 400\), soit \(x = 20\).

Minimum du cout moyen pour \(x = 20\) pièces : \(C_m(20) = 10 + 10 = 20\) € par pièce.

Exercice d'application 5. Le cout de production de \(x\) objets est \(C(x) = 2x^2 + 800\) (en €). a) Exprimer le cout moyen \(C_m(x)\). b) Pour quel nombre d'objets est-il minimal ? c) Quel est ce cout moyen minimal ?

a) \(C_m(x) = 2x + \dfrac{800}{x}\). b) \(C_m'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2}\), nul pour \(x^2 = 400\), soit \(x = 20\). c) \(C_m(20) = 40 + 40 = 80\) € par objet.

VII. Outils numériques

Python — courbe de la fonction inverse et d'une combinaison

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x1 = np.linspace(-4, -0.1, 100)   # branche x < 0
x2 = np.linspace(0.1, 4, 100)     # branche x > 0

plt.plot(x1, 1/x1, color="C0")
plt.plot(x2, 1/x2, color="C0", label="1/x")

# combinaison : x + 4/x sur x > 0
plt.plot(x2, x2 + 4/x2, color="C1", label="x + 4/x")

plt.axhline(0, color="black", lw=0.5); plt.axvline(0, color="black", lw=0.5)
plt.legend(); plt.grid(True); plt.ylim(-10, 10)
plt.show()

Piège d'affichage : ne jamais inclure \(x = 0\) dans la liste des abscisses (division par zéro) et tracer les deux branches séparément pour éviter un trait vertical parasite.

Tableur — comportement aux bornes

En colonne A, mettre des valeurs de \(x\) de plus en plus proches de \(0\) (0,1 ; 0,01 ; 0,001…) ; en colonne B, =1/A1. On visualise que \(\dfrac1x\) « explose ».

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Oublier d'exclure \(0\).

✅ L'ensemble de définition est \(\mathbb R^{*}\), jamais \(\mathbb R\).

❌ Croire que la fonction est décroissante sur tout \(\mathbb R^*\).

✅ Elle est décroissante sur chaque intervalle \(\left]-\infty\,;0\right[\) et \(\left]0\,;+\infty\right[\) séparément, mais pas globalement.

❌ Se tromper de signe pour la dérivée de \(\frac1x\).

✅ C'est \(-\dfrac{1}{x^2}\) (négatif), pas \(\dfrac{1}{x^2}\). L'erreur de signe fausse tout le sens de variation.

❌ Mal dériver \(\frac{k}{x}\).

✅ \(\left(\dfrac kx\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\) (le \(k\) reste au numérateur), à ne pas confondre avec \(-\dfrac{1}{kx^2}\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

\(f(x) = \dfrac1x\) définie sur \(\mathbb R^{*}\) ; \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} \lt 0\).
Décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
Courbe = hyperbole, deux branches ; asymptotes : l'axe des abscisses (\(y=0\)) et l'axe des ordonnées (\(x=0\)).
Comportement : près de \(0\), \(\frac1x \to \pm\infty\) ; pour \(|x|\) grand, \(\frac1x \to 0\).
Combinaisons \(x \mapsto P(x) + \dfrac kx\) : dériver terme à terme, réduire au dénominateur \(x^2\), factoriser.