Fonction inverse | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant :
\[\frac{1}{0{,}5}\ ;\quad \frac{1}{2}\ ;\quad \frac{1}{100}\ ;\quad \frac{1}{0{,}01}.\]\(\dfrac{1}{100} = 0{,}01 \lt \dfrac12 = 0{,}5 \lt \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \lt \dfrac{1}{0{,}01} = 100.\)
Soit \(f(x) = \dfrac1x\).
1. Rappeler l'ensemble de définition de \(f\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(x = 2\).
1. \(f\) est définie sur \(\mathbb R^{*} = \left]-\infty\,;0\right[\cup\left]0\,;+\infty\right[\).
2. \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\).
3. Le coefficient directeur vaut \(f'(2) = -\dfrac14 = -0{,}25\).
Dériver chacune des fonctions :
a) \(g(x) = 5x - \dfrac{2}{x}\)
b) \(h(x) = x^2 + \dfrac{3}{x}\)
c) \(k(x) = x^3 - 4x + \dfrac{1}{x}\)
On dérive terme à terme, avec \(\left(\dfrac kx\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\).
a) \(g'(x) = 5 + \dfrac{2}{x^2}\).
b) \(h'(x) = 2x - \dfrac{3}{x^2}\).
c) \(k'(x) = 3x^2 - 4 - \dfrac{1}{x^2}\).
Soit \(g(x) = 3x - \dfrac{12}{x}\) définie sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
1. Calculer \(g'(x)\).
2. En déduire le sens de variation de \(g\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
1. \(g'(x) = 3 + \dfrac{12}{x^{2}}\).
2. C'est une somme de deux termes strictement positifs, donc \(g'(x) \gt 0\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : la fonction \(g\) est croissante sur cet intervalle.
Étudier les variations de \(g(x) = x + \dfrac{9}{x}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) et donner son minimum.
\(g'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2} = \dfrac{x^2-9}{x^2} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\).
Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), \(x^2 \gt 0\) et \(x+3 \gt 0\) : le signe de \(g'(x)\) est celui de \((x-3)\).
Donc \(g\) est décroissante sur \(\left]0\,;3\right[\), croissante sur \(\left]3\,;+\infty\right[\).
Elle admet un minimum en \(x = 3\), de valeur \(g(3) = 3 + \dfrac93 = 6\).
La fonction \(x \mapsto \dfrac1x\) est décroissante sur \(\mathbb R^{*}\). Vrai ou faux ? Justifier.
Faux. Elle est décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) pris séparément, mais pas sur \(\mathbb R^*\) tout entier.
Contre-exemple : \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), donc \(-1 \lt 1\) mais \(f(-1) \lt f(1)\) : la fonction remonte en passant du négatif au positif.
Le cout de production de \(x\) objets est \(C(x) = 2x^2 + 800\) (en €).
1. Exprimer le cout moyen \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).
2. Calculer \(C_m'(x)\) et pour quel nombre d'objets il s'annule.
3. En déduire le nombre d'objets qui rend le cout moyen minimal, puis ce cout moyen minimal.
1. \(C_m(x) = \dfrac{2x^2 + 800}{x} = 2x + \dfrac{800}{x}\).
2. \(C_m'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2} = \dfrac{2x^2 - 800}{x^2}\). Il s'annule quand \(2x^2 = 800\), soit \(x^2 = 400\), soit \(x = 20\) (nombre positif).
3. \(C_m'\) est négatif avant \(20\) et positif après : le cout moyen est minimal pour \(20\) objets, et vaut \(C_m(20) = 40 + 40 = 80\) € par objet.
Un atelier fabrique des pièces métalliques. Pour une production de \(x\) pièces (\(x \gt 0\)), le cout total, en euros, est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 200\).
1. Exprimer le cout moyen unitaire \(C_m(x)\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que \(C_m'(x) = \dfrac{0{,}5x^2 - 200}{x^2}\).
3. Déterminer le nombre de pièces qui minimise le cout moyen unitaire.
4. Calculer ce cout moyen minimal.
5. Interpréter : que se passe-t-il pour le cout moyen si l'atelier produit très peu de pièces, puis un très grand nombre de pièces ?
1. \(C_m(x) = \dfrac{0{,}5x^2 + 200}{x} = 0{,}5x + \dfrac{200}{x}\).
2. \(C_m'(x) = 0{,}5 - \dfrac{200}{x^2} = \dfrac{0{,}5x^2 - 200}{x^2}\).
3. \(C_m'(x) = 0\) quand \(0{,}5x^2 = 200\), soit \(x^2 = 400\), soit \(x = 20\). Le cout moyen décroit avant \(20\) et croit après : minimum pour \(20\) pièces.
4. \(C_m(20) = 0{,}5\times 20 + \dfrac{200}{20} = 10 + 10 = 20\) € par pièce.
5. Si \(x\) est très petit, le terme \(\dfrac{200}{x}\) « explose » : le cout fixe de \(200\) € est réparti sur très peu de pièces, donc le cout moyen est très élevé. Si \(x\) est très grand, le terme \(0{,}5x\) domine : le cout moyen augmente à nouveau. Le meilleur compromis est atteint pour \(20\) pièces.