Fiche – Fonction inverse

Chapitre 4 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(f(x) = \dfrac1x\) est définie sur \(\mathbb R^{*}\) (on exclut \(0\)).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\) ⇒ \(f\) décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
Courbe = hyperbole (deux branches) ; asymptotes : les deux axes (\(y=0\) et \(x=0\)).
Combinaison \(g(x) = P(x) + \dfrac kx\) : dériver terme à terme, \(\left(\dfrac kx\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\).
Cout moyen : \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) ; si \(C(x)=ax^2+b\), alors \(C_m(x)=ax+\dfrac bx\).

Définitions clés

Définition

Fonction inverse : \(f : x \mapsto \dfrac1x\), définie pour tout \(x \ne 0\), c'est-à-dire sur \(\mathbb R^{*} = \left]-\infty\,;0\right[\cup\left]0\,;+\infty\right[\).

Définition

Asymptote (approche intuitive) : une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais l'atteindre. Ici : l'axe \(y=0\) (quand \(|x|\) est grand) et l'axe \(x=0\) (quand \(x\) est proche de \(0\)).

À connaître par cœur

Dérivée \[\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^{2}} \qquad \left(\frac{k}{x}\right)' = -\frac{k}{x^{2}}\]

Comportement aux bornes \[x \to 0^{+} : \frac1x \to +\infty \qquad x \to 0^{-} : \frac1x \to -\infty\] \[|x| \to +\infty : \frac1x \to 0\]

Sens de variation

\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\) sur tout \(\mathbb R^{*}\).
\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\)… mais pas sur \(\mathbb R^{*}\) entier (coupure en \(0\)).

Méthode — Étudier une combinaison \(P(x) + \dfrac kx\)

Méthode

Déterminer l'ensemble de définition (exclure les valeurs annulant un dénominateur).
Dériver terme à terme : \((ax^n)' = anx^{n-1}\), \(\left(\dfrac kx\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\), \((\text{constante})' = 0\).
Réduire au même dénominateur \(x^2\), puis factoriser le numérateur.
Étudier le signe de la dérivée, en déduire variations et extremums.

Méthode — Optimiser un cout moyen

Écrire \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\) ; si \(C(x)=ax^2+b\), alors \(C_m(x)=ax+\dfrac bx\).
Dériver : \(C_m'(x) = a - \dfrac{b}{x^2}\), l'annuler pour trouver le minimum.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier d'exclure \(0\).

✅ L'ensemble de définition est \(\mathbb R^{*}\), jamais \(\mathbb R\).

❌ Croire que \(f\) est décroissante sur tout \(\mathbb R^*\).

✅ Décroissante sur chaque intervalle, mais pas globalement (coupure en \(0\)).

❌ Se tromper de signe pour la dérivée.

✅ \(\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\) (négatif), pas \(\dfrac{1}{x^2}\).

❌ Mal dériver \(\dfrac kx\).

✅ \(\left(\dfrac kx\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\) (le \(k\) reste au numérateur), pas \(-\dfrac{1}{kx^2}\).

Exemple rapide

Exemple — minimum de \(g(x) = x + \dfrac 4x\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\)

\(g'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), signe de \((x-2)\) : décroissante puis croissante.
Minimum en \(x = 2\), de valeur \(g(2) = 2 + \dfrac42 = 4\).