Chapitre 3 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
La fonction \(x \mapsto 10^{x}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), à valeurs strictement positives, et prend toutes les valeurs de \(]0\,;+\infty[\). Donc, pour tout nombre \(b \gt 0\), l'équation \(10^{x} = b\) admet une unique solution. C'est cette solution que l'on appelle le logarithme décimal de \(b\).
Pour tout réel \(b \gt 0\), le logarithme décimal de \(b\), noté \(\log(b)\), est l'unique solution de l'équation \(10^{x} = b\). Autrement dit :
\[\boxed{\ \log(b) = x \iff 10^{x} = b\ }\qquad (b \gt 0).\]Directement à partir de la définition :
\[\log(1) = 0,\quad \log(10) = 1,\quad \log(100) = 2,\quad \log(1000) = 3,\quad \log(0{,}1) = -1.\]Plus généralement : \(\log(10^{n}) = n\) pour tout entier relatif \(n\).
La touche log donne le logarithme décimal. Par exemple \(\log(2) \approx 0{,}301\) et \(\log(5) \approx 0{,}699\). On vérifie que \(10^{0{,}301} \approx 2\).
a) \(\log(10^{4}) = 4\). b) \(\log(10^{-3}) = -3\). c) \(10^{\log 7} = 7\) (le \(\log\) et la puissance de \(10\) s'annulent).
La fonction \(\log\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) et strictement croissante.
Justification : \(x \mapsto 10^{x}\) est croissante ; sa « fonction réciproque » \(\log\) l'est donc aussi. Conséquence pratique très utile :
\[\log(a) \lt \log(b) \iff a \lt b \qquad (a, b \gt 0).\]Le logarithme conserve l'ordre : on peut appliquer \(\log\) des deux côtés d'une inégalité entre nombres positifs sans changer le sens.
La courbe de \(x \mapsto \log(x)\) n'est définie que pour \(x \gt 0\), passe par les points \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\), et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale (\(\log(x) \to -\infty\) quand \(x\) se rapproche de \(0\)).
Courbe de \(x \mapsto \log(x)\) : définie pour \(x \gt 0\) seulement, strictement croissante, passe par \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\). L'axe des ordonnées (\(x = 0\), pointillés) est une asymptote verticale.
Pour tous réels \(a \gt 0\) et \(b \gt 0\) :
\[\boxed{\ \log(a\,b) = \log(a) + \log(b).\ }\]Démonstration. Posons \(x = \log(a)\) et \(y = \log(b)\), donc \(a = 10^{x}\) et \(b = 10^{y}\). Alors \(a\,b = 10^{x}\times 10^{y} = 10^{\,x+y}\). Par définition du logarithme, \(\log(ab) = x + y = \log(a) + \log(b)\). \(\quad\blacksquare\)
Pour \(a, b \gt 0\) et \(n\) entier naturel :
\[\log\!\left(\frac{1}{b}\right) = -\log(b), \qquad \log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b), \qquad \log(a^{n}) = n\,\log(a).\]Preuves rapides. \(\log\!\big(\tfrac1b\big)+\log(b) = \log\!\big(\tfrac1b\times b\big)=\log(1)=0\), d'où \(\log(\tfrac1b)=-\log(b)\). Puis \(\log(\tfrac ab)=\log\!\big(a\times\tfrac1b\big)=\log a-\log b\). Enfin \(\log(a^n)=\underbrace{\log a+\dots+\log a}_{n}=n\log a\).
\(\log(a+b) \ne \log a + \log b\). La formule ne vaut que pour un produit \(\log(ab)\), jamais pour une somme.
\(\log 12 = \log(4\times 3) = 2\log 2 + \log 3 \approx 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079\).
\(\log 1{,}5 = \log(3/2) = \log 3 - \log 2 \approx 0{,}176\).
\(\log 9 = \log(3^2) = 2\log 3 \approx 0{,}954\).
Pour résoudre \(a^{x} = b\) (avec \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0\)) : on applique \(\log\) aux deux membres, puis on descend l'exposant avec \(\log(a^{x}) = x\log(a)\) :
\[a^{x} = b \iff x\,\log(a) = \log(b) \iff x = \frac{\log(b)}{\log(a)}.\]Résoudre \(1{,}04^{x} = 2\) :
\[x = \frac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx \frac{0{,}301}{0{,}0170} \approx 17{,}7.\]Le capital double au bout d'environ 17,7 ans (donc pendant la 18ᵉ année).
Ici l'inconnue est la base. On isole \(x\) avec \(\log\) :
\[x^{a} = b \iff a\log x = \log b \iff \log x = \frac{\log b}{a} \iff x = 10^{\,\log(b)/a}.\]Résoudre \(x^{3} = 50\) (\(x \gt 0\)). \(\log x = \dfrac{\log 50}{3} \approx \dfrac{1{,}699}{3} \approx 0{,}566\), donc \(x = 10^{0{,}566} \approx 3{,}68\). (On peut aussi écrire \(x = 50^{1/3}\).)
Comme \(\log\) est croissante, appliquer \(\log\) conserve le sens de l'inégalité. Mais attention en divisant par \(\log(a)\) : si \(0 \lt a \lt 1\), alors \(\log(a) \lt 0\) et l'inégalité change de sens.
Une population de bactéries \(N_n = 500 \times 1{,}3^{n}\) ; à partir de quel entier \(n\) dépasse-t-elle \(5000\) ?
\[1{,}3^{n} \gt 10 \iff n\log 1{,}3 \gt \log 10 \iff n \gt \frac{1}{\log 1{,}3} \approx \frac{1}{0{,}1139} \approx 8{,}78.\]Comme \(\log 1{,}3 \gt 0\), le sens est conservé : dès \(n = 9\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(1{,}05^{x} \lt 3\). On applique \(\log\) (croissante, le sens est conservé) :
\[1{,}05^{x} \lt 3 \iff x\log 1{,}05 \lt \log 3 \iff x \lt \frac{\log 3}{\log 1{,}05} \approx \frac{0{,}477}{0{,}0212} \approx 22{,}5,\]la division par \(\log 1{,}05 \gt 0\) conservant le sens. L'ensemble des solutions est l'intervalle \(S = \left]-\infty\,;\ \dfrac{\log 3}{\log 1{,}05}\right[\) — ici \(x\) est un réel, la réponse n'est pas un entier « à partir duquel » mais un intervalle.
Résoudre l'inéquation \(x^{4} \lt 20\) d'inconnue réelle \(x \gt 0\). Cette fois l'inconnue est la base :
\[x^{4} \lt 20 \iff 4\log x \lt \log 20 \iff \log x \lt \frac{\log 20}{4} \approx \frac{1{,}301}{4} \approx 0{,}325 \iff x \lt 10^{0{,}325} \approx 2{,}11.\](La dernière étape utilise la croissance de \(x \mapsto 10^{x}\) : elle conserve le sens.) D'où \(S = \left]0\,;\ 10^{\log(20)/4}\right[ \approx \left]0\,;\ 2{,}11\right[\).
\(1{,}03^{n} \ge 2 \Rightarrow n \ge \dfrac{\log 2}{\log 1{,}03} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}0128} \approx 23{,}45\). Il faut 24 ans.
La valeur de \(\log(N)\) renseigne sur l'ordre de grandeur de \(N\) : si \(\log(N) \approx 5{,}3\), alors \(N \approx 10^{5{,}3}\), soit environ \(2\times10^{5}\).
Pour un entier \(N \ge 1\), le nombre de chiffres de son écriture décimale est
\[\text{nombre de chiffres} = \big\lfloor \log(N)\big\rfloor + 1,\]où \(\lfloor\ \rfloor\) désigne la partie entière.
\(\log(2^{100}) = 100\log 2 \approx 30{,}1\), donc \(2^{100}\) a \(\lfloor 30{,}1\rfloor + 1 = 31\) chiffres.
\(\log(3^{50}) = 50 \times 0{,}477 = 23{,}85\). Nombre de chiffres \(= \lfloor 23{,}85\rfloor + 1 = 24\).
Certaines grandeurs varient sur plusieurs ordres de grandeur (intensités sonores, concentrations, énergies…). On les représente alors sur une échelle logarithmique : on gradue l'axe en fonction de \(\log\) de la grandeur, si bien que \(1\), \(10\), \(100\), \(1000\) sont équidistants.
Un axe ordinaire, l'autre logarithmique. Une suite ou fonction géométrique / exponentielle \(y = k\,a^{x}\) y apparaît comme une droite, car \(\log(y) = \log(k) + x\log(a)\) est une fonction affine de \(x\). C'est un moyen visuel de détecter une croissance exponentielle.
Repère semi-logarithmique : l'axe vertical est gradué en \(\log\), si bien que \(1\), \(10\), \(100\), \(1000\) sont équidistants. Une croissance exponentielle \(y = k\,a^x\) y apparaît comme une droite (car \(\log y = \log k + x\log a\) est affine en \(x\)).
\(\text{pH} = -\log(10^{-4}) = -(-4) = 4\). Divisée par \(100 = 10^2\), la concentration devient \(10^{-6}\) et \(\text{pH} = 6\) : la solution est devenue moins acide (\(+2\)).
from math import log10, floor
# durée pour qu'un capital double à 4 %
n = log10(2) / log10(1.04)
print(round(n, 2)) # 17.67
# nombre de chiffres de 2**100
print(floor(log10(2**100)) + 1) # 31Attention : en Python, math.log (sans « 10 ») est le logarithme népérien (base \(e\)), pas décimal. Pour le logarithme décimal, utiliser math.log10.
=LOG10(A1) ou =LOG(A1) (LOG seul = base 10 dans un tableur) donne le logarithme décimal. Pour un graphique semi-log : dans les options d'axe, cocher « échelle logarithmique ».
\(x = \dfrac{\log 1000}{\log 2} = \dfrac{3}{0{,}301} \approx 9{,}97\).
❌ Calculer \(\log(0)\) ou \(\log\) d'un nombre négatif.
✅ \(\log\) n'existe que pour des nombres strictement positifs.
❌ Écrire \(\log(a+b) = \log a + \log b\).
✅ La formule ne vaut que pour un produit : \(\log(ab) = \log a + \log b\).
❌ Garder le même sens en divisant par \(\log a\) quand \(0 \lt a \lt 1\).
✅ Alors \(\log a \lt 0\) : dans une inéquation, le sens change.
❌ Confondre \(a^x = b\) et \(x^a = b\).
✅ Dans le premier, l'inconnue est l'exposant (\(x = \log b / \log a\)) ; dans le second, la base (\(x = 10^{\log b / a}\)).