Fiche – Fonction logarithme décimal

Chapitre 3 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Définition : \(\log(b) = x \iff 10^{x} = b\) (\(b \gt 0\)). Donc \(\log(10^n) = n\).
Variations : \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), passe par \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\).
Propriétés : \(\log(ab) = \log a + \log b\) ; \(\log(a/b) = \log a - \log b\) ; \(\log(a^n) = n\log a\).
Équation clé : \(a^{x} = b \iff x = \dfrac{\log b}{\log a}\).
Nombre de chiffres d'un entier \(N\) : \(\lfloor\log N\rfloor + 1\).

Définitions clés

Définition

Logarithme décimal de \(b \gt 0\) : \(\log(b)\) est l'unique solution de \(10^{x} = b\). Donc \(\log(b) = x \iff 10^{x} = b\).

Définition

Log et exponentielle s'annulent : \(\log(10^{x}) = x\) pour tout réel \(x\), et \(10^{\log(b)} = b\) pour tout \(b \gt 0\).

Valeurs de référence

\(\log 1 = 0\) ; \(\log 10 = 1\) ; \(\log 100 = 2\) ; \(\log 0{,}1 = -1\). À connaître : \(\log 2 \approx 0{,}301\), \(\log 3 \approx 0{,}477\).

À connaître par cœur

Propriétés algébriques \[\log(a\,b) = \log a + \log b\] \[\log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b\qquad \log\!\left(\frac{1}{b}\right) = -\log b\] \[\log(a^{n}) = n\,\log a\]

Résoudre une équation exponentielle \[a^{x} = b \iff x = \frac{\log b}{\log a}\qquad (a \gt 0,\ a\ne1,\ b \gt 0)\] \[x^{a} = b \iff x = 10^{\,\log(b)/a}\qquad (x \gt 0)\]

Sens de variation et ordre

\(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Elle conserve l'ordre : \(\log a \lt \log b \iff a \lt b\) (pour \(a, b \gt 0\)).

Méthode — Résoudre \(a^{x} = b\)

Méthode

Appliquer \(\log\) aux deux membres : \(\log(a^{x}) = \log b\).
Descendre l'exposant : \(x\log a = \log b\).
Isoler : \(x = \dfrac{\log b}{\log a}\).

Méthode — Inéquation à inconnue entière

Se ramener à \(a^{n} \gt b\), appliquer \(\log\).
Diviser par \(\log a\). Si \(0 \lt a \lt 1\) alors \(\log a \lt 0\) : le sens de l'inégalité change.
Conclure sur le plus petit (ou plus grand) entier \(n\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Calculer \(\log(0)\) ou \(\log\) d'un négatif.

✅ \(\log\) n'existe que pour des nombres strictement positifs.

❌ Écrire \(\log(a+b) = \log a + \log b\).

✅ La formule ne vaut que pour un produit : \(\log(ab)\).

❌ Garder le même sens en divisant par \(\log a\) quand \(0 \lt a \lt 1\).

✅ Alors \(\log a \lt 0\) : le sens de l'inéquation change.

❌ Confondre \(\log\) (base 10) et \(\ln\) (base \(e\)).

✅ Au programme : seul le logarithme décimal ; en Python c'est log10.

Exemple rapide

Exemple — durée d'un placement à \(4\,\%\)/an

Au bout de combien d'années un capital placé à \(4\,\%\) double-t-il ?

On résout \(1{,}04^{x} = 2\).
\(x = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}0170} \approx 17{,}7\).
Le capital double au bout d'environ 17,7 ans (pendant la 18ᵉ année).