Fonction logarithme décimal | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Sans calculatrice, donner :
1. \(\log(100\,000)\) — 2. \(\log(0{,}01)\) — 3. \(\log(10^{9})\) — 4. \(10^{\log 8}\).
1. \(\log(10^{5}) = 5\).
2. \(\log(10^{-2}) = -2\).
3. \(9\).
4. \(10^{\log 8} = 8\) (le \(\log\) et la puissance de \(10\) s'annulent).
On donne \(\log 2 \approx 0{,}301\) et \(\log 3 \approx 0{,}477\). Calculer sans calculatrice :
1. \(\log 6\) — 2. \(\log 8\) — 3. \(\log\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\) — 4. \(\log 18\).
1. \(\log 6 = \log(2\times 3) = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}778\).
2. \(\log 8 = \log(2^3) = 3\log 2 \approx 0{,}903\).
3. \(\log\!\big(\tfrac{2}{3}\big) = \log 2 - \log 3 \approx 0{,}301 - 0{,}477 = -0{,}176\).
4. \(\log 18 = \log(2\times 3^2) = \log 2 + 2\log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}954 = 1{,}255\).
Avec \(a, b, c \gt 0\), exprimer chaque expression en fonction de \(\log a\), \(\log b\), \(\log c\) :
1. \(\log(a^2 b)\) — 2. \(\log\!\big(\tfrac{a}{c}\big)\) — 3. \(\log\!\big(\tfrac{a^{2}b}{c}\big)\).
1. \(\log(a^2 b) = 2\log a + \log b\).
2. \(\log\!\big(\tfrac{a}{c}\big) = \log a - \log c\).
3. \(\log\!\big(\tfrac{a^{2}b}{c}\big) = \log(a^2) + \log b - \log c = 2\log a + \log b - \log c\).
Résoudre (donner une valeur approchée au centième) :
1. \(10^{x} = 250\) — 2. \(3^{x} = 20\) — 3. \(0{,}9^{x} = 0{,}5\).
1. \(x = \log 250 \approx 2{,}40\).
2. \(x = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}301}{0{,}477} \approx 2{,}73\).
3. \(x = \dfrac{\log 0{,}5}{\log 0{,}9} \approx \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0458} \approx 6{,}58\).
Résoudre pour \(x \gt 0\) :
1. \(x^{3} = 50\) — 2. \(x^{4} = 200\).
1. \(\log x = \dfrac{\log 50}{3} \approx \dfrac{1{,}699}{3} \approx 0{,}566\), donc \(x = 10^{0{,}566} \approx 3{,}68\).
2. \(\log x = \dfrac{\log 200}{4} \approx \dfrac{2{,}301}{4} \approx 0{,}575\), donc \(x = 10^{0{,}575} \approx 3{,}76\).
Une population de bactéries est modélisée par \(N_n = 500 \times 1{,}3^{n}\), où \(n\) est le nombre d'heures écoulées.
1. À partir de quel entier \(n\) la population dépasse-t-elle \(5000\) ?
2. Résoudre l'inéquation \(1{,}05^{n} \gt 3\) (\(n\) entier naturel).
1. \(1{,}3^{n} \gt 10 \iff n \gt \dfrac{\log 10}{\log 1{,}3} \approx \dfrac{1}{0{,}1139} \approx 8{,}78\). Comme \(\log 1{,}3 \gt 0\), le sens est conservé : dès \(n = 9\).
2. \(n \gt \dfrac{\log 3}{\log 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}477}{0{,}0212} \approx 22{,}5\), donc \(n \ge 23\).
1. Combien de chiffres possède le nombre \(2^{200}\) ? (On donne \(\log 2 \approx 0{,}301\).)
2. Une solution a une concentration \([\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-3}\) mol/L. Calculer son pH, sachant que \(\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]\). Que devient le pH si l'on divise cette concentration par \(10\) ?
1. \(\log(2^{200}) = 200\times 0{,}301 = 60{,}2\). Nombre de chiffres \(= \lfloor 60{,}2\rfloor + 1 = 61\).
2. \(\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3\). Divisée par \(10\), la concentration devient \(10^{-4}\) et \(\text{pH} = 4\) (\(+1\)).
Un capital de \(5000\) € est placé au taux annuel de \(2{,}5\,\%\) à intérêts composés. On note \(C_n\) sa valeur au bout de \(n\) années.
1. Donner la nature de la suite \((C_n)\) et l'expression de \(C_n\).
2. On veut savoir au bout de combien d'années le capital dépasse \(6000\) €. Traduire par une inéquation d'inconnue \(n\).
3. Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme décimal.
4. Conclure : au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il \(6000\) € ?
1. \((C_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}025\) : \(C_n = 5000\times 1{,}025^{\,n}\).
2. On cherche \(C_n \gt 6000\), soit \(5000\times 1{,}025^{\,n} \gt 6000\), c'est-à-dire \(1{,}025^{\,n} \gt 1{,}2\).
3. En appliquant \(\log\) : \(n\log 1{,}025 \gt \log 1{,}2\), donc \(n \gt \dfrac{\log 1{,}2}{\log 1{,}025} \approx \dfrac{0{,}0792}{0{,}0107} \approx 7{,}39\) (le sens est conservé car \(\log 1{,}025 \gt 0\)).
4. Il faut \(n \ge 8\) : le capital dépasse \(6000\) € au bout de 8 ans (vérification : \(C_8 = 5000\times 1{,}025^{8} \approx 6094\) €).