Chapitre 2 – Fonctions exponentielles de base \(a\)

Chapitre 2 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Prolonger la suite géométrique \((a^n)\) à tout exposant réel : construire la fonction \(x \mapsto a^{\,x}\)
Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions \(x \mapsto k\,a^{\,x}\) selon le signe de \(k\) et la valeur de \(a\)
Reconnaître l'allure de la courbe \(y = a^{\,x}\) selon que \(a \gt 1\) ou \(0 \lt a \lt 1\)
Connaître les propriétés algébriques et les utiliser pour transformer des écritures
Calculer le taux d'évolution moyen équivalent à plusieurs évolutions successives

I. Du discret au continu : construction de \(x \mapsto a^{\,x}\)

1. L'idée : donner un sens à un exposant non entier

On part d'une suite géométrique de raison \(a \gt 0\) : \(u_n = a^{\,n}\) pour \(n\) entier. On sait calculer \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^2\), \(a^3\)… Peut-on donner un sens à \(a^{1{,}5}\), à \(a^{\sqrt 2}\), c'est-à-dire à un exposant non entier ?

On cherche à « relier » les points \((n\,;\,a^{\,n})\) par une courbe régulière. Pour l'exposant \(\tfrac12\), on veut que \(a^{1/2} \times a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^1 = a\) : le nombre \(a^{1/2}\) doit donc vérifier \(\big(a^{1/2}\big)^2 = a\). C'est exactement \(\sqrt a\). On prolonge ainsi de proche en proche.

Définition — Fonction exponentielle de base \(a\)

Soit \(a\) un réel strictement positif (\(a \gt 0\)). La fonction exponentielle de base \(a\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) qui prolonge la suite \((a^{\,n})\) :

\[x \longmapsto a^{\,x}.\]

Pour \(x\) entier positif, on retrouve les puissances usuelles.
Pour \(x = \dfrac{1}{n}\) : \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\) (racine \(n\)-ième de \(a\)).
Pour \(x\) négatif : \(\boxed{\ a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}.\ }\)

Cas particuliers utiles

\(a^0 = 1\) pour tout \(a \gt 0\) ; \(1^{\,x} = 1\) pour tout \(x\). À la calculatrice, on obtient \(a^{\,x}\) avec la touche ^ ou x^y. Exemple : \(2^{1{,}5} = 2\sqrt2 \approx 2{,}828\).

Exercice d'application 1. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de \(9^{1/2}\), de \(2^{-3}\) et de \(a^0\) (avec \(a \gt 0\)).

\(9^{1/2} = \sqrt 9 = 3\). \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\). \(a^0 = 1\).

II. Sens de variation

Propriété — Sens de variation de \(x \mapsto a^{\,x}\)

Soit \(a \gt 0\), \(a \ne 1\) (propriété admise, généralisée à partir des suites géométriques). La fonction \(x \mapsto a^{\,x}\) est :

strictement croissante sur \(\mathbb R\) si \(a \gt 1\) ;
strictement décroissante sur \(\mathbb R\) si \(0 \lt a \lt 1\) ;
constante (égale à \(1\)) si \(a = 1\).

Dans tous les cas, \(a^{\,x} \gt 0\) : la fonction exponentielle est toujours strictement positive.

Ce comportement prolonge celui des suites géométriques : une suite géométrique de raison \(q \gt 1\) est croissante, de raison \(0 \lt q \lt 1\) décroissante.

Propriété — Fonctions \(x \mapsto k\,a^{\,x}\)

Pour un coefficient \(k \ne 0\) :

	\(a \gt 1\)	\(0 \lt a \lt 1\)
\(k \gt 0\)	croissante	décroissante
\(k \lt 0\)	décroissante	croissante

Le signe de \(k\) donne le signe de \(k\,a^{\,x}\) ; la valeur de \(a\) donne le sens de variation (inversé si \(k \lt 0\)).

Exercice d'application 2. Donner, sans calcul, le sens de variation de \(f(x) = -3 \times 0{,}5^{\,x}\).

\(a = 0{,}5 \lt 1\) → tendance décroissante ; \(k = -3 \lt 0\) → on inverse : \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\) (et \(f(x) \lt 0\) partout).

III. Allure de la courbe

Toutes les courbes \(y = a^{\,x}\) passent par le point \((0\,;\,1)\) (car \(a^0 = 1\)).
Elles restent au-dessus de l'axe des abscisses (\(a^{\,x} \gt 0\)) : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale.
Si \(a \gt 1\) : la courbe « décolle » de plus en plus vite vers la droite (croissance exponentielle) et s'aplatit vers la gauche.
Si \(0 \lt a \lt 1\) : c'est l'image miroir (décroissance).
Plus \(a\) est grand, plus la courbe monte vite.

Deux bases \(\gt 1\) : la courbe \(a = 2\) (indigo) monte plus vite que \(a = 1{,}5\) (vert). Toutes deux passent par \((0\,;1)\).

Courbes \(y = a^{\,x}\) : en indigo \(a = 2\) (croissante), en vert \(a = 0{,}5\) (décroissante, image miroir). Les deux passent par \((0\,;1)\) et restent strictement au-dessus de l'axe des abscisses (asymptote horizontale \(y = 0\)).

IV. Propriétés algébriques

Propriété — Règles de calcul (admises)

Pour \(a \gt 0\) et tous réels \(x\), \(y\) :

\[a^{x+y} = a^{x}\,a^{y}, \qquad a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}, \qquad (a^{x})^{n} = a^{\,n x}\ \text{ pour } n \text{ entier relatif}.\]

On admet ces règles par prolongement des propriétés des puissances entières. On en déduit aussi \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\).

Exemples de transformation

\(5^{x} \times 5^{3} = 5^{\,x+3}\).
\(\dfrac{2^{x}}{2^{x-1}} = 2^{\,x-(x-1)} = 2^{1} = 2\).
\((3^{x})^{2} = 3^{\,2x} = 9^{x}\).

Méthode — Simplifier une écriture exponentielle

Utiliser les trois règles pour regrouper les mêmes bases.

Exemple : simplifier \(A = \dfrac{2^{x+1}\times 2^{2x}}{2^{x-3}}\). Numérateur : \(2^{x+1} \times 2^{2x} = 2^{3x+1}\). Puis \(A = 2^{(3x+1) - (x-3)} = 2^{2x+4}\).

Exercice d'application 3. Simplifier : a) \(7^{x} \times 7^{2-x}\) ; b) \((2^{x})^{3} \times 2^{-x}\).

a) \(7^{x + 2 - x} = 7^{2} = 49\). b) \(2^{3x} \times 2^{-x} = 2^{2x} = 4^{x}\).

V. Exposant \(\tfrac1n\) et taux d'évolution moyen

L'exposant \(\dfrac{1}{n}\) sert à calculer un taux moyen équivalent à \(n\) évolutions successives.

Propriété — Coefficient et taux moyen

Un coefficient multiplicateur global \(C\) obtenu après \(n\) évolutions successives correspond à un coefficient multiplicateur moyen (identique à chaque étape) :

\[C_{\text{moyen}} = C^{\,1/n} = \sqrt[n]{C},\]

et le taux moyen correspondant est \(t_{\text{moyen}} = C_{\text{moyen}} - 1\).

Justification : si le même coefficient \(c\) est appliqué \(n\) fois, l'effet global est \(c^{\,n}\). Pour retrouver \(C\), il faut \(c^{\,n} = C\), donc \(c = C^{1/n}\).

Exemple — une population qui croît

Une population passe de \(10\,000\) à \(12\,000\) habitants en 4 ans.

Coefficient global : \(C = \dfrac{12\,000}{10\,000} = 1{,}2\).
Coefficient moyen annuel : \(C_{\text{moyen}} = 1{,}2^{\,1/4} \approx 1{,}0466\).
Taux moyen annuel : environ \(+4{,}66\,\%\) par an. Vérification : \(1{,}0466^{4} \approx 1{,}200\). ✓

Méthode — Calculer un taux d'évolution moyen

Calculer le coefficient global \(C = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\).
Élever à la puissance \(\dfrac1n\) : \(C_{\text{moyen}} = C^{1/n}\) (\(n\) = nombre de périodes).
Taux moyen \(= C_{\text{moyen}} - 1\), à convertir en pourcentage.

Exemple : un chiffre d'affaires augmente de \(30\,\%\) sur \(3\) ans. \(C = 1{,}30\) ; \(C_{\text{moyen}} = 1{,}30^{1/3} \approx 1{,}0914\) → environ \(+9{,}14\,\%\) par an (à ne pas confondre avec \(30/3 = 10\,\%\), qui est faux car les hausses se composent).

Exercice d'application 4. Une somme de \(2000\) € placée devient \(2500\) € après \(6\) ans. Calculer le taux annuel moyen de rendement.

\(C = \dfrac{2500}{2000} = 1{,}25\) ; \(C_{\text{moyen}} = 1{,}25^{1/6} \approx 1{,}0379\) → environ \(+3{,}79\,\%\) par an.

VI. Modèles : croissance et décroissance exponentielles

Une grandeur qui, à chaque unité de temps, est multipliée par le même facteur \(a\) se modélise par une fonction \(t \mapsto k\,a^{\,t}\), où \(k\) est la valeur initiale.

Croissance — culture de bactéries

Une culture double de taille toutes les heures, avec \(N(0) = 300\) bactéries. Multiplication par \(2\) chaque heure → base \(2\) : \(N(t) = 300 \times 2^{\,t}\). Après \(3{,}5\) h : \(N(3{,}5) = 300 \times 2^{3{,}5} \approx 3394\) bactéries.

Décroissance — désintégration

Un produit radioactif perd \(20\,\%\) de sa masse par siècle, avec \(M_0 = 50\) g. Baisse de \(20\,\%\) → \(a = 0{,}8\) : \(M(t) = 50 \times 0{,}8^{\,t}\) (\(t\) en siècles). Après \(2{,}5\) siècles : \(M(2{,}5) = 50 \times 0{,}8^{2{,}5} \approx 28{,}6\) g.

Exercice d'application 5. La masse d'un échantillon vaut \(M(t) = 40 \times 0{,}9^{\,t}\) (\(t\) en années). Quelle est la masse initiale ? La masse au bout de \(3\) ans ? La grandeur croît-elle ou décroît-elle ?

Masse initiale : \(M(0) = 40 \times 0{,}9^{0} = 40\) g. \(M(3) = 40 \times 0{,}9^{3} = 40 \times 0{,}729 = 29{,}16\) g. Comme \(a = 0{,}9 \lt 1\), la grandeur décroît.

VII. Outils numériques

Python — courbe et valeurs de \(x \mapsto a^{\,x}\)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-3, 3, 200)
for a in [0.5, 1.5, 2, 3]:
    plt.plot(x, a**x, label=f"a = {a}")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.title("Fonctions exponentielles de base a")
plt.show()

Python — taux d'évolution moyen

def taux_moyen(valeur_initiale, valeur_finale, n):
    """Taux moyen (en %) équivalent à n évolutions successives."""
    C = valeur_finale / valeur_initiale
    c_moyen = C ** (1 / n)
    return (c_moyen - 1) * 100

print(round(taux_moyen(10000, 12000, 4), 2))   # 4.66

Situation algorithmique — intercaler un point

On intercale entre deux points un troisième dont l'abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses et l'ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées : cela reconstruit point par point la courbe exponentielle.

def point_intercale(x1, y1, x2, y2):
    xm = (x1 + x2) / 2            # moyenne arithmétique des abscisses
    ym = (y1 * y2) ** 0.5        # moyenne géométrique des ordonnées
    return (xm, ym)

print(point_intercale(0, 1, 2, 4))   # (1.0, 2.0)  -> sur y = 2^x

Exercice d'application 6. Sur la courbe \(y = 2^{\,x}\), on connaît les points \((0\,;1)\) et \((2\,;4)\). Utiliser la méthode d'intercalation pour retrouver le point d'abscisse \(1\).

Abscisse : \(\dfrac{0+2}{2} = 1\). Ordonnée : \(\sqrt{1 \times 4} = 2\). Le point est \((1\,;2)\), qui est bien sur \(y = 2^{\,x}\) car \(2^{1} = 2\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre taux moyen et moyenne des taux.

✅ On élève à la puissance \(1/n\), on ne divise pas le taux total par \(n\).

❌ Croire qu'une exponentielle peut être négative ou nulle.

✅ \(a^{\,x}\) est toujours \(\gt 0\) ; seul le coefficient \(k\) peut rendre \(k\,a^{\,x}\) négatif.

❌ Confondre base \(a\) et coefficient \(k\) dans \(k\,a^{\,x}\).

✅ \(a\) (dans l'exposant) décide de la vitesse et du sens ; \(k\) est un simple facteur d'échelle.

❌ Penser que l'exposant négatif rend le résultat négatif.

✅ \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\) : un exposant négatif donne l'inverse, il ne rend pas le résultat négatif.

❌ Additionner les exposants de bases différentes.

✅ \(2^{x} \times 3^{x} \ne 6^{2x}\) ! La règle \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) suppose la même base. (En revanche \(2^{x} \times 3^{x} = 6^{x}\).)

L'essentiel à retenir

À retenir :

\(x \mapsto a^{\,x}\) (\(a \gt 0\)) prolonge la suite géométrique \((a^{\,n})\) à tout \(x\) réel ; \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\).
Toujours strictement positive, passe par \((0\,;1)\).
Croissante si \(a \gt 1\), décroissante si \(0 \lt a \lt 1\).
Règles : \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) ; \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\) ; \((a^{x})^{n} = a^{\,nx}\).
Taux moyen sur \(n\) périodes : \(C^{1/n} - 1\) où \(C\) est le coefficient global.