Exercices – Chapitre 2

Fonctions exponentielles de base a | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

\(x \mapsto a^{\,x}\) (\(a \gt 0\)) : croissante si \(a \gt 1\), décroissante si \(0 \lt a \lt 1\) ; toujours \(\gt 0\), passe par \((0\,;1)\).
Pour \(k\,a^{\,x}\) : le signe de \(k\) inverse le sens si \(k \lt 0\).
Règles : \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) ; \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\) ; \((a^{x})^{n} = a^{\,nx}\) ; \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\).
Taux moyen sur \(n\) périodes : \(C_{\text{moyen}} = C^{1/n}\), puis \(t_{\text{moyen}} = C_{\text{moyen}} - 1\).

Exercice 1 — Sens de variation

Donner le sens de variation, sans calcul, de :

a) \(x \mapsto 4^{\,x}\) ; b) \(x \mapsto 0{,}3^{\,x}\) ; c) \(x \mapsto -2 \times 1{,}5^{\,x}\) ; d) \(x \mapsto -5 \times 0{,}8^{\,x}\).

a) croissante (\(a = 4 \gt 1\)).

b) décroissante (\(a = 0{,}3 \lt 1\)).

c) \(a = 1{,}5 \gt 1\) mais \(k = -2 \lt 0\) → décroissante.

d) \(a = 0{,}8 \lt 1\) et \(k = -5 \lt 0\) → croissante.

Exercice 2 — Simplifier des écritures

Simplifier : a) \(7^{\,x} \times 7^{2-x}\) ; b) \(\dfrac{10^{\,3x}}{10^{\,x+2}}\) ; c) \((2^{\,x})^{3} \times 2^{-x}\).

a) \(7^{\,x + 2 - x} = 7^{2} = 49\).

b) \(10^{\,3x - (x+2)} = 10^{\,2x-2}\).

c) \(2^{\,3x} \times 2^{-x} = 2^{\,2x} = 4^{\,x}\).

Exercice 3 — Valeurs et calculatrice

Soit \(f(x) = 3 \times 2^{\,x}\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\).

2. Calculer \(f(2{,}5)\) à la calculatrice (arrondir au dixième).

3. La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

1. \(f(0) = 3 \times 2^{0} = 3\) ; \(f(1) = 3 \times 2 = 6\) ; \(f(3) = 3 \times 8 = 24\).

2. \(f(2{,}5) = 3 \times 2^{2{,}5} \approx 3 \times 5{,}657 \approx 17{,}0\).

3. \(a = 2 \gt 1\) et \(k = 3 \gt 0\) → \(f\) est croissante.

Exercice 4 — Taux annuel moyen (placement)

Une somme de \(2000\) € placée devient \(2500\) € après \(6\) ans. Calculer le taux annuel moyen de rendement (arrondir au centième de pourcent).

\(C = \dfrac{2500}{2000} = 1{,}25\) ; \(C_{\text{moyen}} = 1{,}25^{1/6} \approx 1{,}0379\).

Taux annuel moyen : environ \(+3{,}79\,\%\) par an.

Exercice 5 — Croissance : culture de bactéries

Une culture de bactéries double de taille toutes les heures. On note \(N(t)\) le nombre de bactéries après \(t\) heures, avec \(N(0) = 300\).

1. Justifier que \(N(t) = 300 \times 2^{\,t}\).

2. Combien de bactéries après \(3{,}5\) h ? (arrondir à l'unité)

1. Multiplication par \(2\) chaque heure → base \(2\), prolongée en continu : \(N(t) = 300 \times 2^{\,t}\).

2. \(N(3{,}5) = 300 \times 2^{3{,}5} \approx 300 \times 11{,}31 \approx 3394\) bactéries.

Exercice 6 — Décroissance : produit radioactif

Un produit radioactif perd \(20\,\%\) de sa masse par siècle. La masse initiale est \(M_0 = 50\) g.

1. Écrire \(M(t) = 50 \times a^{\,t}\) (\(t\) en siècles) en donnant la valeur de \(a\).

2. Quelle masse reste-t-il après \(2{,}5\) siècles ? (arrondir au dixième)

3. La masse croît-elle ou décroît-elle ? Justifier.

1. Baisse de \(20\,\%\) → \(a = 1 - 0{,}20 = 0{,}8\) : \(M(t) = 50 \times 0{,}8^{\,t}\).

2. \(M(2{,}5) = 50 \times 0{,}8^{2{,}5} \approx 50 \times 0{,}5724 \approx 28{,}6\) g.

3. \(a = 0{,}8 \lt 1\) → la masse décroît.

Exercice 7 — Taux moyen : le piège du loyer

Sur \(5\) ans, un loyer augmente au total de \(12\,\%\). Un locataire affirme : « c'est \(2{,}4\,\%\) par an ».

1. A-t-il raison ?

2. Donner la valeur exacte du taux annuel moyen (arrondir au centième de pourcent).

1. Non. La division \(12/5 = 2{,}4\,\%\) surestime, car les hausses se composent (elles ne s'additionnent pas).

2. \(C = 1{,}12\) ; \(C_{\text{moyen}} = 1{,}12^{1/5} \approx 1{,}0229\) → environ \(+2{,}29\,\%\) par an.

Exercice 8 — Problème type : deux évolutions comparées

Une entreprise suit l'évolution de deux grandeurs sur plusieurs années.

Chiffre d'affaires : \(C(t) = 200 \times 1{,}08^{\,t}\) (en milliers d'euros, \(t\) en années).
Effectif d'une machine ancienne : une flotte de \(80\) machines diminue de \(10\,\%\) par an ; on note \(F(t)\) le nombre de machines encore en service.

1. Pour chaque grandeur, préciser si elle croît ou décroît, et donner le coefficient annuel.

2. Écrire \(F(t)\) sous la forme \(F(t) = k \times a^{\,t}\).

3. Calculer \(C(5)\) et \(F(5)\) (arrondir à l'unité).

4. Le chiffre d'affaires a-t-il augmenté de plus ou de moins de \(40\,\%\) en \(5\) ans ? Justifier par le calcul du taux global, puis donner le taux annuel moyen.

1. Chiffre d'affaires : \(a = 1{,}08 \gt 1\) → croissant (\(+8\,\%\)/an). Flotte : baisse de \(10\,\%\) → \(a = 0{,}9 \lt 1\) → décroissante.

2. \(F(t) = 80 \times 0{,}9^{\,t}\).

3. \(C(5) = 200 \times 1{,}08^{5} \approx 200 \times 1{,}469 \approx 294\) (milliers d'euros). \(F(5) = 80 \times 0{,}9^{5} \approx 80 \times 0{,}590 \approx 47\) machines.

4. Coefficient global du chiffre d'affaires sur \(5\) ans : \(1{,}08^{5} \approx 1{,}469\), soit \(+46{,}9\,\%\) : c'est plus de \(40\,\%\). Le taux annuel moyen est bien \(+8\,\%\) (c'est déjà le taux appliqué chaque année).