Fiche – Fonctions exponentielles de base \(a\)

Chapitre 2 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(x \mapsto a^{\,x}\) (\(a \gt 0\)) prolonge la suite géométrique \((a^{\,n})\) à tout \(x\) réel ; \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\).
Toujours \(\gt 0\), passe par \((0\,;1)\).
Croissante si \(a \gt 1\), décroissante si \(0 \lt a \lt 1\).
Règles : \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) ; \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\) ; \((a^{x})^{n} = a^{\,nx}\).
Taux moyen sur \(n\) périodes : \(C^{1/n} - 1\) (\(C\) = coefficient global).

Définitions clés

Définition

Fonction exponentielle de base \(a\) (\(a \gt 0\)) : la fonction \(x \mapsto a^{\,x}\) définie sur \(\mathbb R\), qui prolonge la suite \((a^{\,n})\).

Définition

Exposants particuliers : \(a^{0} = 1\) ; \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\) ; \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\).

Définition

Coefficient moyen équivalent à \(n\) évolutions successives de coefficient global \(C\) : \(C_{\text{moyen}} = C^{1/n} = \sqrt[n]{C}\).

À connaître par cœur

Propriétés algébriques \[a^{x+y} = a^{x}\,a^{y} \qquad a^{x-y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}\] \[(a^{x})^{n} = a^{\,nx} \qquad a^{-x} = \frac{1}{a^{\,x}}\]

Taux d'évolution moyen \[C = \frac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\] \[C_{\text{moyen}} = C^{1/n} \qquad t_{\text{moyen}} = C_{\text{moyen}} - 1\]

Sens de variation de \(x \mapsto k\,a^{\,x}\)

Si \(a \gt 1\) : \(a^{\,x}\) croît ; si \(0 \lt a \lt 1\) : \(a^{\,x}\) décroît.
Le signe de \(k\) inverse le sens quand \(k \lt 0\).

Allure de la courbe

En indigo une base \(\gt 1\) (croissante), en vert une base entre \(0\) et \(1\) (décroissante). Les deux passent par \((0\,;1)\) et restent \(\gt 0\).

Méthode — Calculer un taux d'évolution moyen

Méthode

Calculer le coefficient global \(C = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\).
Élever à la puissance \(\dfrac1n\) : \(C_{\text{moyen}} = C^{1/n}\) (\(n\) = nombre de périodes).
Taux moyen \(= C_{\text{moyen}} - 1\), à convertir en pourcentage.

Méthode — Reconnaître le sens de variation

Regarder \(a\) : \(a \gt 1\) → tendance croissante ; \(0 \lt a \lt 1\) → tendance décroissante.
Regarder \(k\) : si \(k \lt 0\), inverser le sens obtenu.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre taux moyen et moyenne des taux.

✅ On élève à la puissance \(1/n\), on ne divise pas le taux total par \(n\).

❌ Croire qu'une exponentielle peut être négative.

✅ \(a^{\,x} \gt 0\) toujours ; seul le coefficient \(k\) peut rendre \(k\,a^{\,x}\) négatif.

❌ Penser que l'exposant négatif rend le résultat négatif.

✅ \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{\,x}}\) : un exposant négatif donne l'inverse, pas un nombre négatif.

❌ Additionner les exposants de bases différentes.

✅ \(2^{\,x} \times 3^{\,x} = 6^{\,x}\) (et non \(6^{\,2x}\)) : la règle \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) exige la même base.

Exemple rapide

Exemple — une population qui croît

Une population passe de \(10\,000\) à \(12\,000\) habitants en \(4\) ans.

Coefficient global : \(C = \dfrac{12\,000}{10\,000} = 1{,}2\).
Coefficient moyen annuel : \(C_{\text{moyen}} = 1{,}2^{\,1/4} \approx 1{,}0466\).
Taux annuel moyen : environ \(+4{,}66\,\%\) par an.