Chapitre 1 – Suites numériques

Propriété — Trois termes consécutifs

Trois nombres \(a\), \(b\), \(c\) (dans cet ordre) sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si \(b\) est la moyenne arithmétique de \(a\) et \(c\) :

\[b = \frac{a+c}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2b = a + c.\]

Idée : la première différence \(b - a\) doit être égale à la deuxième différence \(c - b\) ; ces deux différences valent alors la raison.

Propriété — Terme général

Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\), alors pour tout entier \(n\) :

\[\boxed{u_n = u_0 + n\,r.}\]

Plus généralement, à partir d'un rang \(p\) : \(u_n = u_p + (n-p)\,r\).

Démonstration. On ajoute \(r\) à chaque étape depuis \(u_0\) : après \(n\) étapes, on a ajouté \(n\) fois la raison \(r\), donc \(u_n = u_0 + n\,r\). \(\quad\blacksquare\)

Propriété — Somme d'une suite arithmétique

La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :

\[\text{somme} = \frac{(\text{nombre de termes})\times(\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}.\]

En particulier, pour les \(n\) premiers entiers naturels :

\[\boxed{\ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\ }\]

Démonstration (méthode de Gauss). On pose \(S = 1 + 2 + \dots + n\) et on réécrit la somme à l'envers : \(S = n + (n-1) + \dots + 1\). En additionnant colonne par colonne, chaque paire vaut \(n+1\), et il y a \(n\) paires : \(2S = n(n+1)\), d'où \(S = \dfrac{n(n+1)}{2}\). \(\quad\blacksquare\)

Propriété — Trois termes consécutifs

Trois nombres strictement positifs \(a\), \(b\), \(c\) (dans cet ordre) sont des termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si \(b\) est la moyenne géométrique de \(a\) et \(c\) :

\[b = \sqrt{a\,c} \quad\Longleftrightarrow\quad b^2 = a\,c.\]

Idée : le rapport \(\dfrac{b}{a}\) doit être égal au rapport \(\dfrac{c}{b}\) ; ce rapport commun est la raison.

Propriété — Terme général

Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), alors pour tout entier \(n\) :

\[\boxed{u_n = u_0 \times q^{\,n}.}\]

Plus généralement : \(u_n = u_p \times q^{\,n-p}\).

Démonstration. On multiplie par \(q\) à chaque étape depuis \(u_0\) : après \(n\) étapes, on a multiplié \(n\) fois par \(q\), donc \(u_n = u_0 \times q^{\,n}\). \(\quad\blacksquare\)

Propriété — Somme d'une suite géométrique (\(q \ne 1\)) \[1 + q + q^2 + \dots + q^{n} = \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}.\]

Plus généralement, pour une suite de premier terme \(u_0\) :

\[u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}.\]

Souvent retenue sous la forme : \(\;\text{somme} = (\text{premier terme}) \times \dfrac{1 - q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}.\)

Démonstration. On pose \(S = 1 + q + q^2 + \dots + q^{n}\) et on multiplie par \(q\) : \(qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}\). Par différence, presque tous les termes se simplifient : \(S - qS = 1 - q^{n+1}\), donc \(S(1-q) = 1 - q^{n+1}\), d'où \(S = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\). \(\quad\blacksquare\)

(a) Capital unique

Un capital \(C_0\) placé au taux annuel \(t\) (intérêts composés) devient \(\;C_n = C_0 (1+t)^n\;\) au bout de \(n\) ans : c'est une suite géométrique de raison \(q = 1+t\).

(b) Versements réguliers

On verse la même somme \(V\) en début de chaque année au taux \(t\). Chaque versement fructifie pendant un nombre d'années différent : la valeur acquise au bout de \(n\) années est une somme de termes d'une suite géométrique :

\[V_{\text{acquise}} = V\,(1+t) + V\,(1+t)^2 + \dots + V\,(1+t)^n = V(1+t)\,\frac{(1+t)^n - 1}{t}.\]

def somme_carres(n):
    """Renvoie 1^2 + 2^2 + ... + n^2."""
    S = 0                       # initialisation de l'accumulateur
    for k in range(1, n + 1):   # k est le compteur
        S = S + k**2            # accumulation
    return S

print(somme_carres(5))          # 55  (= 1+4+9+16+25)

def termes_geometrique(u0, q, n):
    """Liste [u0, u1, ..., un]."""
    liste = [u0]
    for _ in range(n):
        liste.append(liste[-1] * q)
    return liste

print(termes_geometrique(2000, 1.04, 5))

def mystere(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + 1/k
    return S