Exercices – Chapitre 1

Suites numériques | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

Arithmétique : \(u_n=u_0+n\,r\) ; somme \(=\dfrac{(\text{nb termes})(\text{prem.}+\text{dern.})}{2}\).
Géométrique : \(u_n=u_0\times q^{\,n}\) ; somme \(=u_0\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\) (si \(q\ne 1\)).
Trois termes consécutifs : \(2b=a+c\) (arith.) ou \(b^2=ac\) (géom.).
Hausse de \(t\,\%\) : \(q=1+t\) ; intérêts composés : \(C_n=C_0(1+t)^n\).

Exercice 1 — Suite arithmétique et somme

Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 12\) et \(r = -2{,}5\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_4\).

2. Donner l'expression de \(u_n\).

3. Calculer \(u_0 + u_1 + \dots + u_{10}\).

1. \(u_1 = 9{,}5\) ; \(u_4 = 12 + 4\times(-2{,}5) = 2\).

2. \(u_n = 12 - 2{,}5n\).

3. \(u_{10} = 12 - 25 = -13\) ; il y a \(11\) termes : \(S = \dfrac{11\times(12 + (-13))}{2} = \dfrac{11\times(-1)}{2} = -5{,}5\).

Exercice 2 — Dépréciation d'une voiture

Une voiture achetée \(18\,000\) € perd \(15\,\%\) de sa valeur chaque année. On note \(v_n\) sa valeur au bout de \(n\) années.

1. Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ? Donner sa raison.

2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

3. Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous \(9\,000\) € ? (essais à la calculatrice)

1. Géométrique, de raison \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\).

2. \(v_n = 18\,000 \times 0{,}85^{\,n}\).

3. \(v_4 \approx 9396\) et \(v_5 \approx 7987\) : dès la 5ᵉ année.

Exercice 3 — Trois termes consécutifs

1. Les nombres \(2\) ; \(x\) ; \(18\) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique à termes positifs. Déterminer \(x\).

2. Les nombres \(4\) ; \(6\) ; \(9\) sont-ils trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? d'une suite arithmétique ?

1. \(x^2 = 2\times 18 = 36\) et \(x\gt 0\), donc \(x = 6\).

2. \(\dfrac{6}{4} = 1{,}5\) et \(\dfrac{9}{6} = 1{,}5\) : rapports égaux ⇒ géométrique de raison \(1{,}5\). Différences : \(6-4=2\) mais \(9-6=3\) ⇒ pas arithmétique.

Exercice 4 — Somme géométrique

Calculer \(S = 3 + 6 + 12 + 24 + \dots + 3072\).

Géométrique, \(q = 2\), premier terme \(3\). Dernier terme \(3072 = 3\times 2^{10}\), donc \(11\) termes.

\(S = 3\times\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 3\times(2^{11} - 1) = 3\times 2047 = 6141\).

Exercice 5 — Somme arithmétique

Calculer \(S = 7 + 10 + 13 + \dots + 100\).

Arithmétique, raison \(r = 3\), premier terme \(7\), dernier \(100\).

Nombre de termes : \(7 + 3k = 100 \Rightarrow k = 31\), soit \(32\) termes.

\(S = \dfrac{32\times(7 + 100)}{2} = \dfrac{32\times 107}{2} = 1712\).

Exercice 6 — Programme Python (algorithmique)

Que renvoie l'appel mystere(4) ?

def mystere(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + 1/k
    return S

\(S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{12+6+4+3}{12} = \dfrac{25}{12} \approx 2{,}083\).

C'est la somme des \(4\) premiers inverses.

Exercice 7 — Placement à versements réguliers

On place \(500\) € en début de chaque année au taux annuel de \(3\,\%\). On rappelle que la valeur acquise juste après le \(n^{\text{e}}\) versement vaut \(V_{\text{acquise}} = V(1+t)\dfrac{(1+t)^n - 1}{t}\).

1. Identifier \(V\), \(t\) et \(n\).

2. Calculer la valeur acquise juste après le \(10^{\text{e}}\) versement (arrondir à l'euro).

1. \(V = 500\) €, \(t = 0{,}03\), \(n = 10\).

2. \(V_{\text{acquise}} = 500 \times 1{,}03 \times \dfrac{1{,}03^{10} - 1}{0{,}03} \approx 500 \times 1{,}03 \times 11{,}464 \approx 5904\) €.

Exercice 8 — Problème type : deux formules d'épargne

Pour financer un projet, on compare deux façons d'épargner sur \(8\) ans.

Formule A (tirelire) : on place \(2000\) € la première année, puis on ajoute \(300\) € chaque année. On note \(a_n\) le montant épargné l'année \(n\) (avec \(a_0 = 2000\)).
Formule B (placement) : un capital unique de \(2000\) € est placé au taux annuel de \(4\,\%\) à intérêts composés. On note \(b_n\) sa valeur au bout de \(n\) années.

1. Donner la nature de chaque suite et son terme général.

2. Calculer \(a_8\) et \(b_8\) (arrondir à l'euro).

3. Dans la formule A, on ne cherche pas la valeur d'un versement mais le total épargné \(a_0 + a_1 + \dots + a_8\). Le calculer.

4. Commenter : quelle formule fait le plus « travailler » l'argent placé au départ ?

1. \((a_n)\) est arithmétique de premier terme \(2000\) et de raison \(300\) : \(a_n = 2000 + 300n\). \((b_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}04\) : \(b_n = 2000\times 1{,}04^{\,n}\).

2. \(a_8 = 2000 + 300\times 8 = 4400\) € ; \(b_8 = 2000\times 1{,}04^{8} \approx 2737\) €.

3. Il y a \(9\) termes (de \(a_0\) à \(a_8\)), premier \(2000\), dernier \(4400\) : \(S = \dfrac{9\times(2000 + 4400)}{2} = \dfrac{9\times 6400}{2} = 28\,800\) €.

4. La formule A totalise plus d'argent car on ajoute des versements chaque année ; mais pour un même capital de départ laissé seul, la formule B (croissance exponentielle des intérêts) fait davantage « travailler » les \(2000\) € initiaux : \(2000\) € deviennent \(2737\) € sans nouvel apport.