Seconde Bac Pro MAMA | Algèbre – Analyse | Mathématiques
Dernière mise à jour : 9 mars 2026
Objectifs du chapitre :
Connaître la fonction carré f(x) = x² et tracer sa parabole
Identifier les variations de la fonction carré (décroissante puis croissante)
Reconnaître l'allure d'une fonction du type f(x) = ax² + bx + c
Déterminer graphiquement le sommet d'une parabole
1. Introduction — La surface dans les métiers
🪵 Situation professionnelle — Atelier de menuiserie
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
La surface à couvrir est : \(A = c \times c = c^2\)
Plus le côté est grand, plus la surface augmente — mais pas de façon proportionnelle.
Si on passe d'un côté de 2 m à 4 m (on double), la surface passe de 4 m² à 16 m² — elle est multipliée par 4.
C'est la propriété fondamentale de la fonction carré : \(f(c) = c^2\).
La fonction carré est la première fonction non linéaire étudiée. Sa courbe, en forme de U, s'appelle une parabole.
2. Définition et calcul d'images
Définition :
La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = x^2\]
Elle associe à tout réel \(x\) son carré \(x^2 = x \times x\).
⚠ Attention — Erreur très fréquente :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = \mathbf{9}\) et non \(-9\).
Le carré d'un nombre négatif est toujours positif car négatif × négatif = positif. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
Propriété — Symétrie :
Pour tout réel \(x\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
Deux nombres opposés ont toujours la même image : \(f(3) = f(-3) = 9\).
Animation — Explorer la fonction carré
Déplace le curseur pour observer l'image de \(x\) par la fonction \(f(x) = x^2\).
3. Tableau de valeurs
\(x\)
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(f(x)=x^2\)
16
9
4
1
0
1
4
9
16
On remarque que les valeurs sont symétriques par rapport à \(x = 0\) et que le minimum est \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\).
4. Représentation graphique — La parabole
Vocabulaire :
La courbe représentative de \(f(x) = x^2\) est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe \(y\)).
Son point le plus bas s'appelle le sommet : ici \(S(0\,;\,0)\).
Méthode — Lire graphiquement :
Image d'un nombre : repérer \(x\) sur l'axe horizontal → monter jusqu'à la courbe → lire \(y\) sur l'axe vertical.
Antécédent(s) : repérer \(y\) sur l'axe vertical → tracer une droite horizontale → lire les abscisses des points d'intersection (souvent deux solutions symétriques).
5. Sens de variation et tableau de variations
Variations de f(x) = x² :
Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(f\) est décroissante — la courbe descend vers le sommet.
Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(f\) est croissante — la courbe monte depuis le sommet.
\(f\) admet un minimum égal à \(0\), atteint en \(x = 0\).
\(f\) n'a pas de maximum : la parabole monte sans limite.
Tableau de variations
\(x\)
\(-\infty\)
\(0\)
\(+\infty\)
Variations
\(+\infty\)
↘
\(0\) (min)
↗
\(+\infty\)
Application
Calculer \(f(-5)\) et \(f(5)\) pour \(f(x) = x^2\). Que remarque-t-on ?
\(f(-5) = (-5)^2 = 25\) et \(f(5) = 5^2 = 25\)
Les deux résultats sont égaux. C'est la propriété de symétrie : \(f(-x) = f(x)\).
6. Transformation — f(x) + k : déplacement vertical
Définition :
La fonction \(g(x) = x^2 + k\) (avec \(k\) réel) a pour courbe la même parabole que \(f(x) = x^2\), décalée verticalement de \(k\) unités.
Si \(k > 0\) : la parabole est décalée vers le haut — le minimum est \(k\).
Si \(k < 0\) : la parabole est décalée vers le bas — le minimum est \(k\).
Le sommet se déplace en \(S(0\,;\,k)\). Les variations restent les mêmes.
Exemple — g(x) = x² + 3
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(g(x)=x^2+3\)
12
7
4
3
4
7
12
Minimum de \(g\) : \(\mathbf{3}\) en \(x = 0\). La parabole est décalée de 3 vers le haut.
Méthode — Déduire les variations de g(x) = f(x) + k :
Les intervalles de croissance et décroissance de \(g\) sont les mêmes que ceux de \(f\).
On ajoute simplement \(k\) à toutes les valeurs du tableau de variations de \(f\).
7. Transformation — kx² : étirement ou aplatissement
Définition :
La fonction \(h(x) = k \cdot x^2\) (avec \(k\) réel, \(k \neq 0\)) a pour courbe une parabole de même sommet \(S(0\,;\,0)\), mais d'allure différente.
\(k > 1\) : parabole plus resserrée (plus étroite).
\(0 < k < 1\) : parabole plus ouverte (plus large).
\(k < 0\) : parabole retournée — ouverte vers le bas, maximum en \(0\).
Animation — Explorer kx²
Méthode — Déduire les variations de h(x) = k·f(x) :
Si \(k > 0\) : \(h\) a les mêmes sens de variation que \(f\). Le minimum reste \(0\) en \(x = 0\).
Si \(k < 0\) : les sens de variation sont inversés. La fonction a un maximum de \(0\) en \(x = 0\).
Application
Soit \(h(x) = 3x^2\). Calculer \(h(2)\) et \(h(-2)\), puis comparer à \(f(2) = 4\).
\(h(2) = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(h(-2) = 3 \times (-2)^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(f(2) = 4\), donc \(h(2) = 3 \times f(2)\). La parabole de \(h\) est 3 fois plus resserrée que celle de \(f\).
8. Résolution de f(x) = c et f(x) < c
Méthode — Résolution graphique :
1
Tracer (ou utiliser) la parabole de \(f(x) = x^2\) dans un repère.
2
Tracer la droite horizontale d'équation \(y = c\).
3
\(f(x) = c\) : lire les abscisses des points d'intersection → les solutions.
4
\(f(x) < c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est en dessous de la droite \(y = c\).
5
\(f(x) > c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessus de la droite \(y = c\).
Exemple — Résoudre f(x) = 9, f(x) ≤ 9 et f(x) > 9
La droite \(y = 9\) coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\) (car \((-3)^2 = 9\) et \(3^2 = 9\)).
\(f(x) = 9\) : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\) \(f(x) \leq 9\) : la courbe est en dessous entre les deux points → \(\mathcal{S} = [-3\,;\,3]\) \(f(x) > 9\) : la courbe est au-dessus à l'extérieur → \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-3[ \cup ]3\,;\,+\infty[\)
⚠ Attention — Pas de solution si c < 0 :
\(f(x) = x^2 \geq 0\) toujours. L'équation \(f(x) = -4\) n'a aucune solution dans \(\mathbb{R}\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
On cherche pour quels \(x\) la courbe est en dessous de la droite \(y = 16\).
La droite \(y = 16\) coupe la parabole en \(x = -4\) et \(x = 4\) (car \(4^2 = 16\)).
La courbe est en dessous entre ces deux points.
Solution : \(\mathcal{S} = [-4\,;\,4]\).
9. Application — Métiers du bois
🏠 Situation — Agencement d'une pièce carrée
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
Le coût total est : \(C(c) = 45c^2 + 120\) euros.
(\(45\,€/\text{m}^2\) de revêtement + \(120\,€\) de forfait déplacement.)
Questions
1. Calculer le coût pour \(c = 3\) m :
\(C(3) = 45 \times 3^2 + 120 = 45 \times 9 + 120 = 405 + 120 = \mathbf{525\,€}\)
2. Budget de 750 € — quel côté maximal ?
\(C(c) \leq 750 \Rightarrow 45c^2 + 120 \leq 750 \Rightarrow 45c^2 \leq 630 \Rightarrow c^2 \leq 14\)
Graphiquement : \(c \leq \sqrt{14} \approx 3{,}74 \text{ m}\). La pièce peut mesurer au maximum environ 3,74 m de côté.
3. Si on double le côté, que se passe-t-il ?
\(C(2c) = 45(2c)^2 + 120 = 45 \times 4c^2 + 120\). La partie revêtement est multipliée par 4.
10. Résumé — À retenir
📌 L'essentiel du chapitre
Expression : \(f(x) = x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Courbe : parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Minimum : \(0\) en \(x = 0\). Pas de maximum.
Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
\(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) — le carré est toujours positif ou nul.
\(f(-x) = f(x)\) — deux opposés ont la même image.
\(g(x) = x^2 + k\) → parabole décalée de \(k\) vers le haut (ou bas).
\(f(x) = c\) → deux solutions \(x = \pm\sqrt{c}\) si \(c > 0\), une si \(c = 0\), aucune si \(c < 0\).
11. Erreurs fréquentes
❌
Croire que \((-x)^2 = -x^2\)
Calculer \(f(-3)\) et écrire \(f(-3) = -9\) est une erreur très fréquente. Or \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\). Conseil : le carré d'un nombre négatif est toujours positif. \((-x)^2 = x^2\) pour tout \(x\). Penser : "négatif × négatif = positif".
❌
Confondre le minimum de la parabole et les racines (zéros)
Le minimum de \(f(x) = x^2\) est 0, atteint en \(x = 0\). Certains élèves confondent ce point avec les racines de \(f(x) = 0\), alors qu'il s'agit du même point \((0, 0)\) dans ce cas, mais ce n'est plus vrai pour \(f(x) = x^2 - 4\) par exemple. Conseil : le minimum est un point du graphique (le sommet de la parabole). Les racines sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\). Ce n'est pas la même chose.
❌
Ne pas voir la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées
Certains élèves construisent le tableau de valeurs uniquement pour des valeurs positives de \(x\), oubliant que \(f(-x) = f(x)\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Conseil : toujours calculer des valeurs symétriques (\(-2\) et \(2\), \(-3\) et \(3\), etc.) pour obtenir une parabole complète et vérifier la symétrie.
❌
Mal lire les coordonnées du sommet sur une parabole décalée
Pour \(g(x) = x^2 + 3\), le sommet est en \((0, 3)\) et non en \((0, 0)\). Certains élèves oublient de décaler la parabole vers le haut. Conseil : dans \(g(x) = x^2 + k\), le sommet est en \((0, k)\). Vérifier en calculant \(g(0)\).