calculer le carré d'un nombre, positif ou négatif (\((-3)^2=9\)) ;
déterminer l'image et un antécédent d'un nombre par une fonction ;
placer des points dans un repère.
Objectifs du chapitre :
Connaître la fonction carré f(x) = x² et tracer sa parabole
Identifier les variations de la fonction carré (décroissante puis croissante)
Déduire de la parabole celle de x ↦ x² + k (translation verticale) et de x ↦ kx²
Résoudre, par le calcul et graphiquement, une équation du type x² = c (ou kx² = c) et une inéquation du type x² < c
Déterminer graphiquement l'extremum de la fonction
1. Introduction — La surface dans les métiers
🪵 Situation professionnelle — Atelier de menuiserie
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
La surface à couvrir est : \(A = c \times c = c^2\)
Plus le côté est grand, plus la surface augmente — mais pas de façon proportionnelle.
Si on passe d'un côté de 2 m à 4 m (on double), la surface passe de 4 m² à 16 m² — elle est multipliée par 4.
C'est la propriété fondamentale de la fonction carré : \(f(c) = c^2\).
La fonction carré est la première fonction non linéaire étudiée. Sa courbe, en forme de U, s'appelle une parabole.
2. Définition et calcul d'images
Définition :
La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = x^2\]
Elle associe à tout réel \(x\) son carré \(x^2 = x \times x\).
⚠ Attention — Erreur très fréquente :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = \mathbf{9}\) et non \(-9\).
Le carré d'un nombre négatif est toujours positif car négatif × négatif = positif. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
Deux écritures à ne pas confondre :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = \mathbf{+9}\) : les parenthèses indiquent que c'est \(-3\) qui est élevé au carré ;
\(-3^2 = -(3^2) = \mathbf{-9}\) : sans parenthèses, on élève d'abord 3 au carré, puis on prend l'opposé.
De même, \(-x^2\) signifie \(-(x^2)\) : c'est l'opposé du carré, jamais le carré de l'opposé.
Propriété — Symétrie :
Pour tout réel \(x\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
Deux nombres opposés ont toujours la même image : \(f(3) = f(-3) = 9\).
Propriété — Le carré n'est pas proportionnel :
Si on multiplie un nombre par \(n\), son carré est multiplié par \(n^2\) :
\[(n \times x)^2 = n^2 \times x^2\]
Sur un carré de côté \(c\) : si le côté est multiplié par 2, l'aire est multipliée par \(2^2 = 4\) ; par 3, l'aire est multipliée par \(3^2 = 9\) ; par 1,5, l'aire est multipliée par \(1{,}5^2 = 2{,}25\).
C'est ce qui distingue la fonction carré d'une situation de proportionnalité.
Application — Carré d'un nombre négatif
Pour \(f(x) = x^2\), calculer \(f(-6)\), \(f(0{,}4)\) et \(f(-2{,}5)\).
\(f(-6) = (-6)^2 = (-6)\times(-6) = \mathbf{36}\)
\(f(0{,}4) = (0{,}4)^2 = \mathbf{0{,}16}\)
\(f(-2{,}5) = (-2{,}5)^2 = \mathbf{6{,}25}\)
Chaque image est positive : le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
Animation — Explorer la fonction carré
Déplace le curseur pour observer l'image de \(x\) par la fonction \(f(x) = x^2\).
3. Tableau de valeurs
\(x\)
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(f(x)=x^2\)
16
9
4
1
0
1
4
9
16
On remarque que les valeurs sont symétriques par rapport à \(x = 0\) et que le minimum est \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\).
4. Représentation graphique — La parabole
Vocabulaire :
La courbe représentative de \(f(x) = x^2\) est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe \(y\)).
Son point le plus bas s'appelle le sommet : ici \(S(0\,;\,0)\).
Méthode — Lire graphiquement :
Image d'un nombre : repérer \(x\) sur l'axe horizontal → monter jusqu'à la courbe → lire \(y\) sur l'axe vertical.
Antécédent(s) : repérer \(y\) sur l'axe vertical → tracer une droite horizontale → lire les abscisses des points d'intersection (souvent deux solutions symétriques).
Application — Lire des antécédents
Sur la parabole de \(f(x) = x^2\), quels sont les antécédents de 4 ? Vérifie ta réponse par le calcul.
La droite horizontale \(y = 4\) coupe la parabole en deux points, d'abscisses \(-2\) et \(2\).
Vérification : \((-2)^2 = 4\) et \(2^2 = 4\).
Les antécédents de 4 sont donc \(-2\) et \(2\).
5. Sens de variation et tableau de variations
Variations de f(x) = x² :
Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(f\) est décroissante — la courbe descend vers le sommet.
Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(f\) est croissante — la courbe monte depuis le sommet.
\(f\) admet un minimum égal à \(0\), atteint en \(x = 0\).
\(f\) n'a pas de maximum : la parabole monte sans limite.
Tableau de variations
Méthode — Comparer deux carrés sans les calculer :
Deux nombres positifs : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc l'ordre est conservé.
Si \(0 \leq a < b\), alors \(a^2 < b^2\). Exemple : \(5{,}3 < 5{,}9\) donc \(5{,}3^2 < 5{,}9^2\).
Deux nombres négatifs : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc l'ordre est inversé.
Si \(a < b \leq 0\), alors \(a^2 > b^2\). Exemple : \(-11 < -4\) donc \((-11)^2 > (-4)^2\) (soit \(121 > 16\)).
Deux nombres de signes contraires : on remplace le négatif par son opposé (même carré), puis on compare deux positifs.
Exemple : \((-9)^2 = 9^2\) et \(6 < 9\), donc \(6^2 < (-9)^2\).
En une phrase : plus un nombre est éloigné de zéro, plus son carré est grand.
Application — Comparer sans calculer
En utilisant uniquement les variations de la fonction carré, comparer :
a) \(4{,}1^2\) et \(4{,}6^2\) b) \((-12)^2\) et \((-5)^2\) c) \((-8)^2\) et \(11^2\)
a) \(0 < 4{,}1 < 4{,}6\) et \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(4{,}1^2 < 4{,}6^2\).
b) \(-12 < -5 < 0\) et \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \((-12)^2 > (-5)^2\) (en effet \(144 > 25\)).
c) \((-8)^2 = 8^2\) et \(0 < 8 < 11\), donc \((-8)^2 < 11^2\).
6. Transformation — f(x) + k : déplacement vertical
Définition :
La fonction \(g(x) = x^2 + k\) (avec \(k\) réel) a pour courbe la même parabole que \(f(x) = x^2\), décalée verticalement de \(k\) unités.
Si \(k > 0\) : la parabole est décalée vers le haut — le minimum est \(k\).
Si \(k < 0\) : la parabole est décalée vers le bas — le minimum est \(k\).
Le sommet se déplace en \(S(0\,;\,k)\). Les variations restent les mêmes.
Exemple — g(x) = x² + 3
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(g(x)=x^2+3\)
12
7
4
3
4
7
12
Minimum de \(g\) : \(\mathbf{3}\) en \(x = 0\). La parabole est décalée de 3 vers le haut.
Méthode — Déduire les variations de g(x) = f(x) + k :
Les intervalles de croissance et décroissance de \(g\) sont les mêmes que ceux de \(f\).
On ajoute simplement \(k\) à toutes les valeurs du tableau de variations de \(f\).
Application — Parabole décalée vers le haut
Soit \(g(x) = x^2 + 5\). Calculer \(g(0)\) et \(g(4)\), puis donner le minimum de \(g\) et l'abscisse où il est atteint.
\(g(0) = 0^2 + 5 = \mathbf{5}\)
\(g(4) = 4^2 + 5 = 16 + 5 = \mathbf{21}\)
Le minimum de \(g\) est \(5\), atteint en \(x = 0\) : la parabole de \(f\) est décalée de 5 vers le haut, son sommet est en \(S(0\,;\,5)\).
7. Transformation — kx² : étirement ou aplatissement
Définition :
La fonction \(h(x) = k \cdot x^2\) (avec \(k\) réel, \(k \neq 0\)) a pour courbe une parabole de même sommet \(S(0\,;\,0)\), mais d'allure différente.
\(k > 1\) : parabole plus resserrée (plus étroite).
\(0 < k < 1\) : parabole plus ouverte (plus large).
\(k < 0\) : parabole retournée — ouverte vers le bas, maximum en \(0\).
Animation — Explorer kx²
Méthode — Déduire les variations de h(x) = k·f(x) :
Si \(k > 0\) : \(h\) a les mêmes sens de variation que \(f\). Le minimum reste \(0\) en \(x = 0\).
Si \(k < 0\) : les sens de variation sont inversés. La fonction a un maximum de \(0\) en \(x = 0\).
Application
Soit \(h(x) = 3x^2\). Calculer \(h(2)\) et \(h(-2)\), puis comparer à \(f(2) = 4\).
\(h(2) = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(h(-2) = 3 \times (-2)^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(f(2) = 4\), donc \(h(2) = 3 \times f(2)\). Chaque ordonnée est multipliée par 3 : la parabole de \(h\) est donc plus resserrée que celle de \(f\).
8. Résoudre \(x^2 = c\) et \(x^2 < c\)
8.1 Résolution par le calcul
Rappel — Racine carrée :
Pour un nombre \(c\) positif ou nul, la racine carrée de \(c\), notée \(\sqrt{c}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(c\).
\[\sqrt{c} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{c})^2 = c\]
Exemples : \(\sqrt{9} = 3\) (car \(3^2 = 9\)) | \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) | \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) | \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\) (touche √ de la calculatrice).
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : \(\sqrt{-4}\) n'existe pas.
Propriété — Solutions de l'équation \(x^2 = c\) :
Si \(c > 0\) : deux solutions opposées, \(x = \sqrt{c}\) et \(x = -\sqrt{c}\).
Si \(c = 0\) : une seule solution, \(x = 0\).
Si \(c < 0\) : aucune solution, car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\).
⚠ Ne jamais oublier la solution négative : \(x^2 = 64\) donne \(\mathcal{S} = \{-8\,;\,8\}\), pas \(\{8\}\).
Méthode — Se ramener à \(x^2 = c\) :
Une équation du type \(kx^2 = c\) ou \(x^2 + b = c\) se résout en isolant \(x^2\), exactement comme on isole \(x\) dans une équation du premier degré. On termine avec la propriété ci-dessus.
1
Faire passer le terme constant de l'autre côté (on ajoute ou on soustrait).
2
Diviser par le coefficient de \(x^2\) → on obtient \(x^2 = c\).
3
Conclure : deux solutions \(\pm\sqrt{c}\) si \(c > 0\), une si \(c = 0\), aucune si \(c < 0\).
c) \(x^2 = 6\) → valeurs exactes : \(x = \sqrt{6}\) ou \(x = -\sqrt{6}\) ; valeurs approchées : \(x \approx 2{,}45\) ou \(x \approx -2{,}45\).
d) \(x^2 + 7 = 3\) → \(x^2 = -4\) : impossible, un carré n'est jamais négatif. \(\mathcal{S} = \emptyset\)
⚠ Attention — Revenir à la situation :
L'équation a deux solutions, mais la situation n'en garde parfois qu'une : une longueur, une durée, une vitesse, une épaisseur sont toujours positives.
Exemple : un tapis de gymnastique carré a une aire de 20,25 m². Son côté \(c\) vérifie \(c^2 = 20{,}25\), donc \(c = 4{,}5\) ou \(c = -4{,}5\).
Un côté ne peut pas être négatif : on conserve \(c = 4{,}5\) m et on écarte \(-4{,}5\) en le justifiant.
8.2 Résolution graphique
Méthode — Résolution graphique :
1
Tracer (ou utiliser) la parabole de \(f(x) = x^2\) dans un repère.
2
Tracer la droite horizontale d'équation \(y = c\).
3
\(f(x) = c\) : lire les abscisses des points d'intersection → les solutions.
4
\(f(x) < c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est en dessous de la droite \(y = c\).
5
\(f(x) > c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessus de la droite \(y = c\).
Exemple — Résoudre f(x) = 9, f(x) ≤ 9 et f(x) > 9
La droite \(y = 9\) coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\) (car \((-3)^2 = 9\) et \(3^2 = 9\)).
\(f(x) = 9\) : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\) \(f(x) \leq 9\) : la courbe est en dessous entre les deux points → \(\mathcal{S} = [-3\,;\,3]\) \(f(x) > 9\) : la courbe est au-dessus à l'extérieur → \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-3[ \cup ]3\,;\,+\infty[\)
⚠ Attention — Pas de solution si c < 0 :
\(f(x) = x^2 \geq 0\) toujours. L'équation \(f(x) = -4\) n'a aucune solution dans \(\mathbb{R}\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Propriété — Inéquations (avec \(c > 0\)) :
\(x^2 \leq c\) ⟺ \(-\sqrt{c} \leq x \leq \sqrt{c}\) : \(\mathcal{S} = [-\sqrt{c}\,;\,\sqrt{c}]\) — la courbe est en dessous de la droite \(y = c\).
\(x^2 \geq c\) ⟺ \(x \leq -\sqrt{c}\) ou \(x \geq \sqrt{c}\) : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-\sqrt{c}] \cup [\sqrt{c}\,;\,+\infty[\) — la courbe est au-dessus.
Avec des inégalités strictes (\(<\), \(>\)), les bornes sont exclues : crochets ouverts.
Animation — Résolution graphique de f(x) = c
Application — Par le calcul et graphiquement
a) Résoudre \(x^2 + 12 = 208\) par le calcul. b) Résoudre \(x^2 \geq 121\) et donner l'ensemble solution. c) Une bâche de protection carrée a une aire de 1,21 m². Quelle est la longueur de son côté ?
a) \(x^2 + 12 = 208\) donne \(x^2 = 208 - 12 = 196\), donc \(x = 14\) ou \(x = -14\). \(\mathcal{S} = \{-14\,;\,14\}\). b) \(\sqrt{121} = 11\), donc \(x^2 \geq 121\) équivaut à \(x \leq -11\) ou \(x \geq 11\) : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-11] \cup [11\,;\,+\infty[\).
Graphiquement : la droite \(y = 121\) coupe la parabole en \(x = -11\) et \(x = 11\), et la courbe est au-dessus à l'extérieur de ces deux points. c) Le côté \(c\) vérifie \(c^2 = 1{,}21\), donc \(c = 1{,}1\) ou \(c = -1{,}1\).
Une longueur est positive : le côté mesure 1,1 m.
9. Application — Métiers du bois
🏠 Situation — Agencement d'une pièce carrée
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
Le coût total est : \(C(c) = 45c^2 + 120\) euros.
(\(45\,\text{€}/\text{m}^2\) de revêtement + \(120\,\text{€}\) de forfait déplacement.)
Questions
1. Calculer le coût pour \(c = 3\) m :
\(C(3) = 45 \times 3^2 + 120 = 45 \times 9 + 120 = 405 + 120 = \mathbf{525\,\text{€}}\)
2. Budget de 750 € — quel côté maximal ?
\(C(c) \leq 750 \Rightarrow 45c^2 + 120 \leq 750 \Rightarrow 45c^2 \leq 630 \Rightarrow c^2 \leq 14\)
Le côté est positif, donc \(c \leq \sqrt{14} \approx 3{,}74 \text{ m}\). La pièce peut mesurer au maximum environ 3,74 m de côté.
Vérification : \(C(3{,}74) = 45 \times 13{,}99 + 120 \approx 749{,}5\,\text{€} \leq 750\,\text{€}\) ✔
3. Si on double le côté, que se passe-t-il ?
\(C(2c) = 45(2c)^2 + 120 = 45 \times 4c^2 + 120\). La partie revêtement est multipliée par 4.
10. Résumé — À retenir
📌 L'essentiel du chapitre
Expression : \(f(x) = x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Courbe : parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Minimum : \(0\) en \(x = 0\). Pas de maximum.
Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
\(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) — le carré est toujours positif ou nul.
\(f(-x) = f(x)\) — deux opposés ont la même image.
\(g(x) = x^2 + k\) → parabole décalée de \(k\) vers le haut (ou bas).
Dans un problème concret, une longueur ou une durée est positive : on écarte la solution négative en le justifiant.
11. Erreurs fréquentes
❌
Croire que \((-x)^2 = -x^2\)
Calculer \(f(-3)\) et écrire \(f(-3) = -9\) est une erreur très fréquente. Or \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\). Conseil : le carré d'un nombre négatif est toujours positif. \((-x)^2 = x^2\) pour tout \(x\). Penser : "négatif × négatif = positif".
❌
Confondre le minimum de la parabole et les racines (zéros)
Le minimum de \(f(x) = x^2\) est 0, atteint en \(x = 0\). Certains élèves confondent ce point avec les racines de \(f(x) = 0\), alors qu'il s'agit du même point \((0, 0)\) dans ce cas, mais ce n'est plus vrai pour \(f(x) = x^2 - 4\) par exemple. Conseil : le minimum est un point du graphique (le sommet de la parabole). Les racines sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\). Ce n'est pas la même chose.
❌
Ne pas voir la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées
Certains élèves construisent le tableau de valeurs uniquement pour des valeurs positives de \(x\), oubliant que \(f(-x) = f(x)\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Conseil : toujours calculer des valeurs symétriques (\(-2\) et \(2\), \(-3\) et \(3\), etc.) pour obtenir une parabole complète et vérifier la symétrie.
❌
N'écrire qu'une seule solution à \(x^2 = c\)
Pour \(x^2 = 225\), beaucoup d'élèves répondent \(x = 15\) et s'arrêtent là. Or \((-15)^2 = 225\) aussi : l'équation a deux solutions, \(15\) et \(-15\). Conseil : écrire systématiquement \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{c}\,;\,\sqrt{c}\}\), puis, seulement à la fin, revenir à la situation. Si l'inconnue est une longueur ou une durée, on écarte la solution négative — mais on l'a d'abord trouvée.
❌
Mal lire les coordonnées du sommet sur une parabole décalée
Pour \(g(x) = x^2 + 3\), le sommet est en \((0, 3)\) et non en \((0, 0)\). Certains élèves oublient de décaler la parabole vers le haut. Conseil : dans \(g(x) = x^2 + k\), le sommet est en \((0, k)\). Vérifier en calculant \(g(0)\).