calculer le carré d'un nombre, positif ou négatif (\((-3)^2=9\)) ;
déterminer l'image et un antécédent d'un nombre par une fonction ;
placer des points dans un repère.
Objectifs du chapitre :
C1 — Calculer des images par f(x) = x², y compris pour les négatifs
C2 — Construire un tableau de valeurs et tracer la parabole
C3 — Lire et compléter un tableau de variations
C4 — Utiliser la propriété de symétrie f(−x) = f(x)
C5 — Résoudre x² = c par le calcul
C6 — Exploiter les transformations g(x) = x² + k et h(x) = kx²
C7 — Multiplier le côté par n multiplie l'aire par n²
C8 — Comparer deux carrés sans les calculer
C9 — Résoudre graphiquement x² = c et x² < c
C10 — Exploiter la courbe d'une fonction quelconque : tableau de variations, extremums sur un intervalle, courbes de f + k et variations de kf
1. Introduction — La surface dans les métiers
🪵 Situation professionnelle — Atelier de menuiserie
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
La surface à couvrir est : \(A = c \times c = c^2\)
Plus le côté est grand, plus la surface augmente — mais pas de façon proportionnelle.
Si on passe d'un côté de 2 m à 4 m (on double), la surface passe de 4 m² à 16 m² — elle est multipliée par 4.
C'est la propriété fondamentale de la fonction carré : \(f(c) = c^2\).
La fonction carré est la première fonction non linéaire étudiée. Sa courbe, en forme de U, s'appelle une parabole.
2. La fonction carré : calculer des images (C1)
Définition :
La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = x^2\]
Elle associe à tout réel \(x\) son carré \(x^2 = x \times x\).
⚠ Attention — Erreur très fréquente :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = \mathbf{9}\) et non \(-9\).
Le carré d'un nombre négatif est toujours positif car négatif × négatif = positif. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
Deux écritures à ne pas confondre :
\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = \mathbf{+9}\) : les parenthèses indiquent que c'est \(-3\) qui est élevé au carré ;
\(-3^2 = -(3^2) = \mathbf{-9}\) : sans parenthèses, on élève d'abord 3 au carré, puis on prend l'opposé.
De même, \(-x^2\) signifie \(-(x^2)\) : c'est l'opposé du carré, jamais le carré de l'opposé.
Pour \(f(x) = x^2\), calculer \(f(-6)\), \(f(0{,}4)\) et \(f(-2{,}5)\).
\(f(-6) = (-6)^2 = (-6)\times(-6) = \mathbf{36}\)
\(f(0{,}4) = (0{,}4)^2 = \mathbf{0{,}16}\)
\(f(-2{,}5) = (-2{,}5)^2 = \mathbf{6{,}25}\)
Chaque image est positive : le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
Animation — Explorer la fonction carré
Déplace le curseur pour observer l'image de \(x\) par la fonction \(f(x) = x^2\).
3. Deux nombres opposés ont la même image (C4)
Propriété — Symétrie :
Pour tout réel \(x\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
Deux nombres opposés ont toujours la même image : \(f(3) = f(-3) = 9\).
Cette propriété fait gagner la moitié des calculs. Elle se lit aussi sur la courbe : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (partie 4).
Exemple — Le calcul qu'on ne refait pas
Un menuisier a déjà calculé \(f(2{,}5) = 6{,}25\). Alors \(f(-2{,}5) = 6{,}25\) sans aucun calcul supplémentaire.
Si le point \(M(2{,}5\,;\,6{,}25)\) est sur la parabole, le point \(M'(-2{,}5\,;\,6{,}25)\) y est aussi : on change le signe de l'abscisse, on garde l'ordonnée.
Application — Utiliser la symétrie
Compléter sans calculer aucun carré : a) \(f(6) = 36\), donc \(f(-6) = \ldots\) b) \(f(-8) = 64\), donc \(f(8) = \ldots\)
c) La parabole passe par \(A(3\,;\,9)\). Quel autre point peut-on placer aussitôt ?
a) \(f(-6) = f(6) = 36\) | b) \(f(8) = f(-8) = 64\) : deux nombres opposés ont la même image.
c) Le point \(A'(-3\,;\,9)\) : même ordonnée, abscisse opposée.
4. Tableau de valeurs et tracé de la parabole (C2)
\(x\)
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(f(x)=x^2\)
16
9
4
1
0
1
4
9
16
On remarque que les valeurs sont symétriques par rapport à \(x = 0\) et que le minimum est \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\).
La parabole
Méthode — Tracer la parabole : placer les points du tableau, puis les relier à main levée par une courbe régulière, jamais à la règle : la parabole n'a aucun segment droit.
Vocabulaire :
La courbe représentative de \(f(x) = x^2\) est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe \(y\)).
Son point le plus bas s'appelle le sommet : ici \(S(0\,;\,0)\).
Méthode — Lire graphiquement :
Image d'un nombre : repérer \(x\) sur l'axe horizontal → monter jusqu'à la courbe → lire \(y\) sur l'axe vertical.
Antécédent(s) : repérer \(y\) sur l'axe vertical → tracer une droite horizontale → lire les abscisses des points d'intersection (souvent deux solutions symétriques).
Application — Lire des antécédents
Sur la parabole de \(f(x) = x^2\), quels sont les antécédents de 4 ? Vérifie ta réponse par le calcul.
La droite horizontale \(y = 4\) coupe la parabole en deux points, d'abscisses \(-2\) et \(2\).
Vérification : \((-2)^2 = 4\) et \(2^2 = 4\).
Les antécédents de 4 sont donc \(-2\) et \(2\).
5. Sens de variation et tableau de variations (C3)
Variations de f(x) = x² :
Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(f\) est décroissante — la courbe descend vers le sommet.
Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(f\) est croissante — la courbe monte depuis le sommet.
\(f\) admet un minimum égal à \(0\), atteint en \(x = 0\).
\(f\) n'a pas de maximum : la parabole monte sans limite.
Tableau de variations
Lecture du tableau. La première flèche descend : sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f\) est décroissante. La seconde monte : sur \([0\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante. Le nombre écrit au creux, 0, est le minimum ; l'abscisse où il est atteint, 0 elle aussi, se lit au-dessus, dans la ligne des \(x\).
⚠ Erreur fréquente — Le minimum n'est pas l'abscisse où il est atteint
Pour \(f(x) = x^2\), le minimum vaut 0 et il est atteint en \(x = 0\) : les deux nombres sont égaux, ce qui entretient la confusion. Pour \(g(x) = x^2 + 3\) (partie 8), le minimum vaut 3 et il est toujours atteint en \(x = 0\).
Application — Lire le tableau de variations
Répondre sans calculer les carrés, en citant l'intervalle utilisé.
a) \(f\) est-elle croissante sur \([1\,;\,4]\) ? b) \(f\) est-elle croissante sur \([-5\,;\,-2]\) ? c) Ranger \(f(1)\), \(f(2)\) et \(f(3)\) dans l'ordre croissant.
a) Oui : \([1\,;\,4]\) est contenu dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante.
b) Non : \([-5\,;\,-2]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,0]\), où \(f\) est décroissante.
c) 1, 2 et 3 sont dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante : \(f(1) < f(2) < f(3)\) (soit \(1 < 4 < 9\)).
6. Comparer deux carrés sans les calculer (C8)
Le tableau de variations sert à comparer deux images sans sortir la calculatrice.
Méthode — Comparer deux carrés sans les calculer :
Deux nombres positifs : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc l'ordre est conservé.
Si \(0 \leq a < b\), alors \(a^2 < b^2\). Exemple : \(5{,}3 < 5{,}9\) donc \(5{,}3^2 < 5{,}9^2\).
Deux nombres négatifs : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc l'ordre est inversé.
Si \(a < b \leq 0\), alors \(a^2 > b^2\). Exemple : \(-11 < -4\) donc \((-11)^2 > (-4)^2\) (soit \(121 > 16\)).
Deux nombres de signes contraires : on remplace le négatif par son opposé (même carré), puis on compare deux positifs.
Exemple : \((-9)^2 = 9^2\) et \(6 < 9\), donc \(6^2 < (-9)^2\).
En une phrase : plus un nombre est éloigné de zéro, plus son carré est grand.
Application — Comparer sans calculer
En utilisant uniquement les variations de la fonction carré, comparer :
a) \(4{,}1^2\) et \(4{,}6^2\) b) \((-12)^2\) et \((-5)^2\) c) \((-8)^2\) et \(11^2\)
a) \(0 < 4{,}1 < 4{,}6\) et \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(4{,}1^2 < 4{,}6^2\).
b) \(-12 < -5 < 0\) et \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \((-12)^2 > (-5)^2\) (en effet \(144 > 25\)).
c) \((-8)^2 = 8^2\) et \(0 < 8 < 11\), donc \((-8)^2 < 11^2\).
⚠ Erreur fréquente — « Plus petit » ne veut pas dire « carré plus petit »
\(-11\) est plus petit que \(-4\), et pourtant \((-11)^2\) est le plus grand des deux carrés. Sur les nombres négatifs, la fonction carré renverse l'ordre : c'est ce que dit la flèche descendante du tableau de variations.
7. Multiplier le côté par n multiplie l'aire par n² (C7)
Cette propriété explique pourquoi une pièce « deux fois plus grande » coûte quatre fois plus cher à revêtir.
Propriété — Le carré n'est pas proportionnel :
Si on multiplie un nombre par \(n\), son carré est multiplié par \(n^2\) :
\[(n \times x)^2 = n^2 \times x^2\]
Sur un carré de côté \(c\) : si le côté est multiplié par 2, l'aire est multipliée par \(2^2 = 4\) ; par 3, l'aire est multipliée par \(3^2 = 9\) ; par 1,5, l'aire est multipliée par \(1{,}5^2 = 2{,}25\).
C'est ce qui distingue la fonction carré d'une situation de proportionnalité.
⚠ Erreur fréquente — « Deux fois plus grand » coûte deux fois plus cher
C'est l'erreur de devis la plus courante. Le revêtement se facture au mètre carré : si le côté double, la facture de revêtement est multipliée par 4, pas par 2. En revanche le périmètre double bien : les plinthes restent proportionnelles au côté.
Application — Le devis d'un carreleur
Un carreleur facture 38 € le mètre carré posé. Une pièce carrée mesure 3 m de côté.
a) Calculer l'aire, puis le montant de la pose.
b) Le client hésite avec une pièce carrée de 6 m de côté. Sans recalculer l'aire, dire par combien le montant est multiplié, puis donner ce montant.
c) Le client affirme : « le côté double, donc je paie deux fois plus ». Que lui répondre ?
a) Aire : \(3^2 = 9\) m². Montant : \(9 \times 38 = 342\) €.
b) Le côté est multiplié par 2, donc l'aire et le montant par \(2^2 = 4\) : \(4 \times 342 = 1\,368\) €. Contrôle : \(6^2 \times 38 = 36 \times 38 = 1\,368\) €.
c) C'est faux : le côté double, l'aire est multipliée par 4, donc il paie 4 fois plus pour la pose.
8. La transformation g(x) = x² + k (C6)
Définition :
La fonction \(g(x) = x^2 + k\) (avec \(k\) réel) a pour courbe la même parabole que \(f(x) = x^2\), décalée verticalement de \(k\) unités.
Si \(k > 0\) : la parabole est décalée vers le haut — le minimum est \(k\).
Si \(k < 0\) : la parabole est décalée vers le bas — le minimum est \(k\).
Le sommet se déplace en \(S(0\,;\,k)\). Les variations restent les mêmes.
Exemple — g(x) = x² + 3
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(g(x)=x^2+3\)
12
7
4
3
4
7
12
Minimum de \(g\) : \(\mathbf{3}\) en \(x = 0\). La parabole est décalée de 3 vers le haut.
Méthode — Déduire les variations de g(x) = f(x) + k :
Les intervalles de croissance et décroissance de \(g\) sont les mêmes que ceux de \(f\).
On ajoute simplement \(k\) à toutes les valeurs du tableau de variations de \(f\).
Application — Parabole décalée vers le haut
Soit \(g(x) = x^2 + 5\). Calculer \(g(0)\) et \(g(4)\), puis donner le minimum de \(g\) et l'abscisse où il est atteint.
\(g(0) = 0^2 + 5 = \mathbf{5}\)
\(g(4) = 4^2 + 5 = 16 + 5 = \mathbf{21}\)
Le minimum de \(g\) est \(5\), atteint en \(x = 0\) : la parabole de \(f\) est décalée de 5 vers le haut, son sommet est en \(S(0\,;\,5)\).
9. La transformation h(x) = k x² (C6)
Définition :
La fonction \(h(x) = k\,x^2\) (avec \(k\) nombre fixe, \(k \neq 0\)) a pour courbe une parabole de même sommet \(S(0\,;\,0)\), mais d'allure différente.
\(k > 1\) : parabole plus resserrée (plus étroite).
\(0 < k < 1\) : parabole plus ouverte (plus large).
\(k < 0\) : parabole retournée — ouverte vers le bas, maximum en \(0\).
Animation — Explorer kx²
Méthode — Déduire les variations de h(x) = k x² :
Si \(k > 0\) : \(h\) a les mêmes sens de variation que \(f\). Le minimum reste \(0\) en \(x = 0\).
Si \(k < 0\) : les sens de variation sont inversés. La fonction a un maximum de \(0\) en \(x = 0\).
Application
Soit \(h(x) = 3x^2\). Calculer \(h(2)\) et \(h(-2)\), puis comparer à \(f(2) = 4\).
\(h(2) = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(h(-2) = 3 \times (-2)^2 = 3 \times 4 = 12\)
\(f(2) = 4\), donc \(h(2) = 3 \times f(2)\). Chaque ordonnée est multipliée par 3 : la parabole de \(h\) est donc plus resserrée que celle de \(f\).
10. Résoudre \(x^2 = c\) par le calcul (C5)
Rappel — Racine carrée :
Pour un nombre \(c\) positif ou nul, la racine carrée de \(c\), notée \(\sqrt{c}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(c\).
\[\sqrt{c} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{c})^2 = c\]
Exemples : \(\sqrt{9} = 3\) (car \(3^2 = 9\)) | \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) | \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) | \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\) (touche √ de la calculatrice).
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : \(\sqrt{-4}\) n'existe pas.
Propriété — Solutions de l'équation \(x^2 = c\) :
Si \(c > 0\) : deux solutions opposées, \(x = \sqrt{c}\) et \(x = -\sqrt{c}\).
Si \(c = 0\) : une seule solution, \(x = 0\).
Si \(c < 0\) : aucune solution, car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\).
⚠ Ne jamais oublier la solution négative : \(x^2 = 64\) donne \(\mathcal{S} = \{-8\,;\,8\}\), pas \(\{8\}\).
Méthode — Se ramener à \(x^2 = c\) :
Une équation du type \(kx^2 = c\) ou \(x^2 + b = c\) se résout en isolant \(x^2\), exactement comme on isole \(x\) dans une équation du premier degré. On termine avec la propriété ci-dessus.
1
Faire passer le terme constant de l'autre côté (on ajoute ou on soustrait).
2
Diviser par le coefficient de \(x^2\) → on obtient \(x^2 = c\).
3
Conclure : deux solutions \(\pm\sqrt{c}\) si \(c > 0\), une si \(c = 0\), aucune si \(c < 0\).
c) \(x^2 = 6\) → valeurs exactes : \(x = \sqrt{6}\) ou \(x = -\sqrt{6}\) ; valeurs approchées : \(x \approx 2{,}45\) ou \(x \approx -2{,}45\).
d) \(x^2 + 7 = 3\) → \(x^2 = -4\) : impossible, un carré n'est jamais négatif. \(\mathcal{S} = \emptyset\)
⚠ Attention — Revenir à la situation :
L'équation a deux solutions, mais la situation n'en garde parfois qu'une : une longueur, une durée, une vitesse, une épaisseur sont toujours positives.
Exemple : un tapis de gymnastique carré a une aire de 20,25 m². Son côté \(c\) vérifie \(c^2 = 20{,}25\), donc \(c = 4{,}5\) ou \(c = -4{,}5\).
Un côté ne peut pas être négatif : on conserve \(c = 4{,}5\) m et on écarte \(-4{,}5\) en le justifiant.
Tracer (ou utiliser) la parabole de \(f(x) = x^2\) dans un repère.
2
Tracer la droite horizontale d'équation \(y = c\).
3
\(f(x) = c\) : lire les abscisses des points d'intersection → les solutions.
4
\(f(x) < c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est en dessous de la droite \(y = c\).
5
\(f(x) > c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessus de la droite \(y = c\).
Exemple — Résoudre f(x) = 9, f(x) ≤ 9 et f(x) > 9
La droite \(y = 9\) coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\) (car \((-3)^2 = 9\) et \(3^2 = 9\)).
\(f(x) = 9\) : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\) \(f(x) \leq 9\) : la courbe est en dessous entre les deux points → \(\mathcal{S} = [-3\,;\,3]\) \(f(x) > 9\) : la courbe est au-dessus à l'extérieur → \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-3[ \cup ]3\,;\,+\infty[\)
⚠ Attention — Pas de solution si c < 0 :
\(f(x) = x^2 \geq 0\) toujours. L'équation \(f(x) = -4\) n'a aucune solution dans \(\mathbb{R}\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Propriété — Inéquations (avec \(c > 0\)) :
\(x^2 \leq c\) ⟺ \(-\sqrt{c} \leq x \leq \sqrt{c}\) : \(\mathcal{S} = [-\sqrt{c}\,;\,\sqrt{c}]\) — la courbe est en dessous de la droite \(y = c\).
\(x^2 \geq c\) ⟺ \(x \leq -\sqrt{c}\) ou \(x \geq \sqrt{c}\) : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-\sqrt{c}] \cup [\sqrt{c}\,;\,+\infty[\) — la courbe est au-dessus.
Avec des inégalités strictes (\(<\), \(>\)), les bornes sont exclues : crochets ouverts.
Animation — Résolution graphique de f(x) = c
Application — Par le calcul et graphiquement
a) Résoudre \(x^2 + 12 = 208\) par le calcul. b) Résoudre \(x^2 \geq 121\) et donner l'ensemble solution. c) Une bâche de protection carrée a une aire de 1,21 m². Quelle est la longueur de son côté ?
a) \(x^2 + 12 = 208\) donne \(x^2 = 208 - 12 = 196\), donc \(x = 14\) ou \(x = -14\). \(\mathcal{S} = \{-14\,;\,14\}\). b) \(\sqrt{121} = 11\), donc \(x^2 \geq 121\) équivaut à \(x \leq -11\) ou \(x \geq 11\) : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-11] \cup [11\,;\,+\infty[\).
Graphiquement : la droite \(y = 121\) coupe la parabole en \(x = -11\) et \(x = 11\), et la courbe est au-dessus à l'extérieur de ces deux points. c) Le côté \(c\) vérifie \(c^2 = 1{,}21\), donc \(c = 1{,}1\) ou \(c = -1{,}1\).
Une longueur est positive : le côté mesure 1,1 m.
12. Application — Métiers du bois (C9)
🏠 Situation — Agencement d'une pièce carrée
Un agenceur doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres.
Le coût total est : \(C(c) = 45c^2 + 120\) euros.
(\(45\,\text{€}/\text{m}^2\) de revêtement + \(120\,\text{€}\) de forfait déplacement.)
Questions
1. Calculer le coût pour \(c = 3\) m :
\(C(3) = 45 \times 3^2 + 120 = 45 \times 9 + 120 = 405 + 120 = \mathbf{525\,\text{€}}\)
2. Budget de 750 € — quel côté maximal ?
\(C(c) \leq 750 \Rightarrow 45c^2 + 120 \leq 750 \Rightarrow 45c^2 \leq 630 \Rightarrow c^2 \leq 14\)
Le côté est positif, donc \(c \leq \sqrt{14} \approx 3{,}74 \text{ m}\). La pièce peut mesurer au maximum environ 3,74 m de côté.
Vérification : \(C(3{,}74) = 45 \times 13{,}99 + 120 \approx 749{,}5\,\text{€} \leq 750\,\text{€}\) ✔
3. Si on double le côté, que se passe-t-il ?
\(C(2c) = 45(2c)^2 + 120 = 45 \times 4c^2 + 120\). La partie revêtement est multipliée par 4.
13. Fonction quelconque : variations, extremums, f + k et k f (C10)
Le tableau de variations ne sert pas seulement pour la fonction carré. Il résume la courbe de n'importe quelle fonction : on y lit où elle monte, où elle descend, et ses valeurs extrêmes.
Définition — Croissante, décroissante, extremum sur un intervalle
\(f\) est croissante sur un intervalle si la courbe monte quand on la parcourt de gauche à droite ; décroissante si elle descend.
Sur un intervalle \(I\), le maximum de \(f\) est la plus grande valeur prise par \(f(x)\) ; le minimum est la plus petite.
C'est une ordonnée (une valeur de \(f\)), atteinte en une abscisse.
Exemple 1 — La température d'une journée de printemps
La courbe donne la température \(T(t)\), en °C, en fonction de l'heure \(t\), en heures, pour \(0 \leq t \leq 24\).
Température \(T\) (en °C) en fonction de l'heure \(t\) (en h). Les points marquent les bornes et les changements de sens.
La courbe descend de 0 h à 5 h, monte de 5 h à 15 h, puis redescend jusqu'à 24 h. D'où le tableau de variations :
Sur \([0\,;\,24]\) : le maximum est 18 °C, atteint à 15 h ; le minimum est 6 °C, atteint à 5 h.
Sur \([15\,;\,24]\) : le maximum est 18 °C, atteint à 15 h ; le minimum est 9 °C, atteint à 24 h. Un extremum peut être atteint au bord de l'intervalle.
Méthode — Passer de la courbe au tableau de variations
1
Repérer les points où la courbe change de sens.
2
Écrire dans la ligne des \(x\) les bornes et ces abscisses.
3
Écrire sous chacune son image : en haut pour un sommet, en bas pour un creux.
4
Relier par des flèches : une flèche qui monte pour « croissante », une flèche qui descend pour « décroissante ».
⚠ Erreur fréquente — Confondre le maximum et l'heure
Dans l'exemple 1, le maximum est 18 (°C), pas 15 (h). La valeur se lit sur l'axe vertical ; l'endroit où elle est atteinte se lit sur l'axe horizontal.
Application — Le niveau d'un château d'eau
La courbe donne la hauteur d'eau \(h(t)\), en m, dans le réservoir d'un château d'eau, en fonction de l'heure \(t\), pour \(0 \leq t \leq 24\). On remplit le réservoir la nuit ; on le vide pendant la journée.
Hauteur d'eau \(h\) (en m) en fonction de l'heure \(t\) (en h). Les points marqués sont à 0 h, 6 h, 20 h et 24 h.
a. Dresser le tableau de variations de \(h\). b. Donner le maximum et le minimum de \(h\) sur \([0\,;\,24]\), et les heures où ils sont atteints. c. Donner le minimum de \(h\) sur \([0\,;\,6]\).
a. La courbe monte de 0 h à 6 h, descend de 6 h à 20 h, puis remonte jusqu'à 24 h.
b. Sur \([0\,;\,24]\) : maximum 8 m, atteint à 6 h ; minimum 4 m, atteint à 20 h.
c. Sur \([0\,;\,6]\), \(h\) est croissante : le minimum est 5,5 m, atteint à 0 h, au bord de l'intervalle.
Définition — Ajouter \(k\), multiplier par \(k\)
\(g(x) = f(x) + k\) : la courbe de \(g\) est celle de \(f\) décalée verticalement de \(k\). Mêmes variations ; les extremums augmentent de \(k\) et sont atteints aux mêmes abscisses.
\(k\,f\) avec \(k > 0\) : mêmes variations ; chaque image et chaque extremum sont multipliés par \(k\).
\(k\,f\) avec \(k < 0\) : variations inversées (croissante devient décroissante, et inversement) ; le maximum de \(f\) donne le minimum de \(k\,f\), et inversement.
Exemple 2 — Une journée plus chaude de 3 °C à toute heure
Une autre journée a, à chaque heure, 3 °C de plus que celle de l'exemple 1 : \(T_2(t) = T(t) + 3\).
La courbe de \(T_2\) (trait plein) est celle de \(T\) (tirets) montée de 3, à toutes les heures.
Mêmes variations que \(T\). Maximum 21 °C à 15 h, minimum 9 °C à 5 h : chaque extremum a augmenté de 3, aux mêmes heures.
Exemple 3 — Multiplier par \(k\)
Une fonction \(f\) est définie sur \([-2\,;\,4]\) par son tableau de variations :
Avec \(k = 2 > 0\) : chaque valeur est multipliée par 2, les variations ne changent pas.
Avec \(k = -1 < 0\) : chaque valeur change de signe et les variations sont inversées.
Le maximum 5 de \(f\), atteint en 1, devient le minimum \(-5\) de \(-f\), atteint en 1 aussi.
Application — Volume d'eau et tableau donné
a. Le réservoir du château d'eau de l'application précédente a une section de 150 m² : le volume d'eau vaut \(V(t) = 150\,h(t)\), en m³. Donner les variations de \(V\) et son maximum.
b. Une fonction \(f\) est définie sur \([-4\,;\,3]\) par son tableau de variations :
Dresser le tableau de variations de \(g = f + 5\).
c. Dresser le tableau de variations de \(h = -2f\), puis donner ses extremums.
a. \(k = 150 > 0\) : \(V\) a les mêmes variations que \(h\) (croissante de 0 h à 6 h, décroissante de 6 h à 20 h, croissante de 20 h à 24 h). Son maximum vaut \(150 \times 8 = 1\,200\) m³, atteint à 6 h.
b. On ajoute 5 à chaque valeur ; mêmes variations.
c. \(k = -2 < 0\) : chaque valeur est multipliée par \(-2\) et les variations sont inversées.
Maximum de \(h\) : 4, atteint en \(x = 3\). Minimum de \(h\) : \(-6\), atteint en \(x = -1\).
14. Chercher un extremum par balayage : tableur et Python (C10)
Le programme cite pour ce chapitre un algorithme : la recherche d'un extremum par balayage. À la partie 13, l'extremum se lisait sur une courbe ; ici, on le cherche par le calcul. Balayer, c'est essayer des valeurs l'une après l'autre et garder la meilleure. C'est ce que fait un métreur quand il cherche la forme la plus avantageuse à quantité de matériau fixée.
Exemple — La situation : 24 m de clôture
Un lycée dispose de 24 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire à outils. Si l'un des côtés mesure \(x\) mètres, l'autre mesure \(12 - x\) mètres, puisque les quatre côtés totalisent 24.
L'aire de l'enclos est donc \(A(x) = x\,(12 - x)\), avec \(0 < x < 12\).
Méthode — Au tableur : balayer de mètre en mètre
A
côté \(x\) (m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
aire (m²)
11
20
27
32
35
36
35
32
27
20
Le tableau est couché pour tenir sur la page : à l'écran, la colonne A contient les côtés (de A2 à A11) et la colonne B les aires. En B2 on saisit =A2*(12-A2), puis on recopie la formule vers le bas. La ligne des aires monte, atteint 36, puis redescend symétriquement : le maximum est 36 m², pour \(x = 6\).
Et pour \(x = 6\), l'autre côté vaut \(12 - 6 = 6\) : l'enclos le plus grand est un carré.
Méthode — En Python : le même balayage, au dixième
L'en-tête des fonctions est donné ; il reste à compléter le calcul.
def aire(x): # l'aire pour un côté x
return x * (12 - x)
def balayage(): # on essaie x = 0,1 ; 0,2 ; … ; 11,9
meilleure = 0 # la meilleure aire trouvée jusqu'ici
cote = 0 # le côté qui l'a donnée
for n in range(1, 120):
x = n / 10
if aire(x) > meilleure: # a-t-on fait mieux ?
meilleure = aire(x) # si oui, on retient
cote = x
return cote, meilleure
balayage() renvoie (6.0, 36.0) : le même résultat qu'au tableur, mais cherché de dixième en dixième.
⚠ Erreur fréquente — Ce que le balayage ne prouve pas
Le balayage ne démontre rien : il essaie des valeurs. Entre deux essais, il ne regarde pas. Il donne une valeur approchée de l'extremum et l'endroit où le chercher – c'est déjà ce qu'attend un chantier, mais ce n'est pas une preuve.
Remarque
Le balayage sert aussi à encadrer une racine carrée sans la touche √ : pour \(c^2 = 50\), on essaie \(7^2 = 49\) puis \(8^2 = 64\), d'où \(7 < c < 8\) ; puis au dixième, \(7{,}0^2 = 49\) et \(7{,}1^2 = 50{,}41\), d'où \(7{,}0 < c < 7{,}1\). Chaque étape divise l'amplitude par 10. Cela fonctionne parce que la fonction carré est croissante sur les nombres positifs : encadrer le carré revient à encadrer le côté.
Application — Compléter les deux outils
Un menuisier dispose de 16 m de tasseau pour encadrer un panneau rectangulaire. Si un côté mesure \(x\) mètres, l'autre mesure \(8 - x\) mètres, et l'aire est \(A(x) = x\,(8 - x)\).
a. Compléter le balayage au tableur :
côté \(x\) (m)
1
2
3
4
5
6
7
aire (m²)
b. Quelle est l'aire maximale, et pour quel côté ? Quelle forme a alors le panneau ? c. Dans la fonction aire ci-dessus, quelle ligne faudrait-il changer pour traiter ce nouveau problème ?
a.
côté \(x\) (m)
1
2
3
4
5
6
7
aire (m²)
7
12
15
16
15
12
7
Par exemple \(A(3) = 3 \times (8 - 3) = 3 \times 5 = 15\).
b. L'aire maximale est 16 m², pour \(x = 4\). L'autre côté vaut \(8 - 4 = 4\) : le panneau est un carré.
c. On remplace return x * (12 - x) par return x * (8 - x). Pour essayer \(x\) de 0,1 à 7,9, on change aussi la borne : range(1, 80).
15. Résumé — À retenir
📌 L'essentiel du chapitre
Calculer une image : \(f(x) = x^2\), avec des parenthèses pour les négatifs. Un carré est toujours positif ou nul. (C1)
Symétrie : \(f(-x) = f(x)\) ; deux nombres opposés ont la même image, la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (C4)
Tracer la parabole à partir d'un tableau de valeurs symétriques, à main levée, sommet en \(S(0\,;\,0)\). (C2)
Tableau de variations : décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), minimum 0 en \(x = 0\), pas de maximum. (C3)
Comparer deux carrés sans les calculer : plus un nombre est loin de zéro, plus son carré est grand. (C8)
Côté × \(n\) → aire × \(n^2\) : côté doublé, facture de revêtement multipliée par 4. (C7)
\(x^2 = c\) → deux solutions \(\pm\sqrt{c}\) si \(c > 0\), une si \(c = 0\), aucune si \(c < 0\) ; pour \(k\,x^2 = c\) ou \(x^2 + b = c\), on isole \(x^2\). Une longueur est positive : on écarte la solution négative en le justifiant. (C5)
Fonction quelconque : lire sur la courbe le tableau de variations et les extremums sur un intervalle (valeur sur l'axe vertical, abscisse sur l'axe horizontal ; un extremum peut être au bord) ; \(f + k\) décale la courbe de \(k\) ; \(k\,f\) garde les variations si \(k > 0\), les inverse si \(k < 0\). (C10)
Balayer au tableur ou en Python pour approcher un extremum ou encadrer une racine carrée – en sachant que le balayage approche, mais ne démontre pas. (C10)
16. Erreurs fréquentes
❌
Croire que \((-x)^2 = -x^2\)
Calculer \(f(-3)\) et écrire \(f(-3) = -9\) est une erreur très fréquente. Or \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\). Conseil : le carré d'un nombre négatif est toujours positif. \((-x)^2 = x^2\) pour tout \(x\). Penser : "négatif × négatif = positif".
❌
Confondre le minimum et l'abscisse où il est atteint
Le minimum est une valeur de la fonction : il se lit sur l'axe vertical. L'endroit où il est atteint est une abscisse : il se lit sur l'axe horizontal. Pour \(f(x) = x^2\), les deux valent 0 ; pour \(g(x) = x^2 + 3\), le minimum vaut 3 et il est atteint en \(x = 0\). Conseil : écrire toujours la phrase complète, « le minimum vaut … ; il est atteint en \(x = \) … ».
❌
Ne pas voir la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées
Certains élèves construisent le tableau de valeurs uniquement pour des valeurs positives de \(x\), oubliant que \(f(-x) = f(x)\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Conseil : toujours calculer des valeurs symétriques (\(-2\) et \(2\), \(-3\) et \(3\), etc.) pour obtenir une parabole complète et vérifier la symétrie.
❌
N'écrire qu'une seule solution à \(x^2 = c\)
Pour \(x^2 = 225\), beaucoup d'élèves répondent \(x = 15\) et s'arrêtent là. Or \((-15)^2 = 225\) aussi : l'équation a deux solutions, \(15\) et \(-15\). Conseil : écrire systématiquement \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{c}\,;\,\sqrt{c}\}\), puis, seulement à la fin, revenir à la situation. Si l'inconnue est une longueur ou une durée, on écarte la solution négative — mais on l'a d'abord trouvée.
❌
Mal lire les coordonnées du sommet sur une parabole décalée
Pour \(g(x) = x^2 + 3\), le sommet est en \((0\,;\,3)\) et non en \((0\,;\,0)\). Certains élèves oublient de décaler la parabole vers le haut. Conseil : dans \(g(x) = x^2 + k\), le sommet est en \((0\,;\,k)\). Vérifier en calculant \(g(0)\).