reconnaître une fonction linéaire \(f(x) = ax\) et sa droite (qui passe par l'origine) ;
lire les coordonnées d'un point sur un graphique ;
calculer avec des nombres relatifs et des fractions.
Objectifs du chapitre :
C1 — Identifier les paramètres a et b
C2 — Calculer des images et construire un tableau de valeurs
C3 — Tracer la droite représentative
C4 — Déterminer le sens de variation selon le signe de a
C5 — Déterminer l’expression à partir de deux points
C6 — Résoudre un système de deux équations, graphiquement ou avec un outil numérique
C7 — Résoudre une équation f(x) = c
C8 — Déterminer graphiquement le coefficient directeur et l’interpréter comme un taux d’accroissement (pente)
C9 — Résoudre une inéquation f(x) < c
C10 — Reconnaître des droites parallèles
Les codes sont ceux du cours PDF. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : le tableau de signes et la résolution d'un système par le calcul.
La fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire. Sa courbe représentative est une droite. Ce chapitre permet aussi d'introduire la résolution de systèmes d'équations et la comparaison de deux tarifs.
1. Définition (C1)
Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme :
\[f(x) = ax + b\]
où \(a\) et \(b\) sont deux réels donnés.
\(a\) est le coefficient directeur (ou pente)
\(b\) est l'ordonnée à l'origine
Exemples
\(f(x) = 3x + 2\) : \(a = 3\), \(b = 2\)
\(g(x) = -2x + 5\) : \(a = -2\), \(b = 5\)
\(h(x) = 4x\) : \(a = 4\), \(b = 0\) — c'est aussi une fonction linéaire
\(k(x) = -3\) : \(a = 0\), \(b = -3\) — c'est une fonction constante
Cas particuliers
Si \(b = 0\) : \(f(x) = ax\) — c'est une fonction linéaire (vue au ch08), la droite passe par l'origine.
Si \(a = 0\) : \(f(x) = b\) — c'est une fonction constante, la droite est horizontale.
Application — Reconnaître a et b
Pour chacune de ces fonctions, donne le coefficient directeur \(a\), l'ordonnée à l'origine \(b\), et précise sa nature (affine, linéaire ou constante) : \(f(x) = -5x + 12\) ; \(g(x) = 7x\) ; \(h(x) = 4\).
Propriété
La courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite.
Pour la tracer, il suffit de placer deux points et de les relier.
Méthode — Tracer la droite de f(x) = ax + b
Calculer l'image de deux valeurs de \(x\). Le choix le plus économique est \(x=0\), qui donne directement le point \((0\,;\,b)\) : \(b\) se lit dans l'expression, sans calcul.
Choisir la seconde valeur de \(x\) de façon à obtenir un point éloigné du premier et à coordonnées simples.
Placer les deux points dans le repère, puis tracer la droite à la règle en la prolongeant de part et d'autre.
Vérifier avec un troisième point.
Attention
Deux points proches donnent un tracé imprécis : la moindre erreur de placement fait beaucoup pivoter la droite. Pour \(f(x)=0{,}2x+1\), le point \((1\,;\,1{,}2)\) est presque collé à \((0\,;\,1)\) — mieux vaut prendre \((10\,;\,3)\).
Exemple — Tracer f(x) = 2x + 1
\(f(0) = 1\) → point \(A(0\,;\,1)\)
\(f(2) = 5\) → point \(B(2\,;\,5)\)
On place \(A\) et \(B\) dans le repère, puis on trace la droite.
Rôle de b — l'ordonnée à l'origine
Le réel \(b\) est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
En \(x = 0\) : \(f(0) = a \times 0 + b = b\). Donc la droite coupe l'axe \(y\) au point \((0\,;\,b)\).
4. Coefficient directeur et pente (C8)
Définition — Coefficient directeur
Le coefficient directeur \(a\) mesure la pente de la droite : c'est l'accroissement de \(f(x)\) quand \(x\) augmente de 1.
\[a = \frac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
Le coefficient directeur est un taux d'accroissement
Le quotient \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\) s'appelle le taux d'accroissement de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) : il indique de combien \(f(x)\) varie par unité de \(x\).
Pour une fonction affine, ce taux est le même quels que soient les deux points choisis : il vaut toujours \(a\). C'est exactement ce qui fait que la représentation est une droite.
Dans un contexte professionnel, \(a\) porte donc toujours une unité composée : €/h, €/m², L/min, m/km, °C/h…
Méthode — Lire le coefficient directeur sur un graphique
Choisir deux points \(A(x_1\,;\,y_1)\) et \(B(x_2\,;\,y_2)\) sur la droite avec des coordonnées entières.
Calculer : \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
Vérifier le sens : si \(a > 0\) la droite monte, si \(a < 0\) elle descend.
Exemple graphique
Sur une droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,7)\) :
\(a = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Application — Coefficient directeur d'une montée
Sur un parcours de randonnée, l'altitude (en m) est une fonction affine de la distance parcourue (en km). Au point \(A\), à 2 km, l'altitude est de 340 m ; au point \(B\), à 5 km, l'altitude est de 610 m. Calculer le coefficient directeur et interpréter le résultat.
\(a = \dfrac{610 - 340}{5 - 2} = \dfrac{270}{3} = 90\) \(a = 90\) : l'altitude augmente de 90 m à chaque kilomètre parcouru. Comme \(a > 0\), le parcours monte.
5. Sens de variation (C4)
Variations selon le signe de a
\(a > 0\) : croissante
La droite monte de gauche à droite.
Plus \(x\) augmente, plus \(f(x)\) augmente.
\(a < 0\) : décroissante
La droite descend de gauche à droite.
Plus \(x\) augmente, plus \(f(x)\) diminue.
Si \(a = 0\) : fonction constante, droite horizontale, ni croissante ni décroissante.
Attention
Une fonction affine (avec \(a \neq 0\)) est strictement monotone sur \(\mathbb{R}\) entier : elle n'a pas de maximum ni de minimum.
Application — Une cuve qui se vide
Une cuve de récupération d'eau de pluie se vide. Le volume d'eau (en litres) après \(t\) minutes est \(V(t) = 200 - 15t\). Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ? Que vaut le coefficient directeur et que représente-t-il ?
Le coefficient directeur est \(a = -15\). Comme \(a < 0\), la fonction est décroissante.
\(a = -15\) signifie que le volume diminue de 15 litres par minute : c'est le débit de vidange.
6. Équation \(f(x)=c\) et inéquation \(f(x)<c\) (C7 et C9)
Le sens de variation dit si la droite monte ou descend. On peut aller plus loin et dire à quel moment elle traverse l'axe des abscisses : c'est ce qui permet de répondre aux questions du type « à partir de quand le bénéfice devient-il positif ? », « quand la batterie est-elle vide ? ».
a) Le zéro et l'équation \(f(x)=c\) (C7)
Définition
Soit \(f(x)=ax+b\) avec \(a\neq0\). Le zéro de \(f\) est l'unique solution de l'équation \(f(x)=0\) :
\[ax+b=0 \iff x=-\dfrac{b}{a}\]
Graphiquement, c'est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
Méthode — Résoudre \(f(x)=c\)
Écrire l'équation : \(ax+b=c\).
Isoler le terme en \(x\) : \(ax=c-b\).
Diviser par \(a\) : \(x=\dfrac{c-b}{a}\).
Vérifier en recalculant \(f\) de la valeur trouvée, et conclure avec l'unité du contexte.
Le zéro est simplement le cas \(c=0\). Graphiquement, la solution de \(f(x)=c\) est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'horizontale d'équation \(y=c\).
Exemple — \(f(x)=5x-20\) Zéro : \(5x-20=0 \Rightarrow 5x=20 \Rightarrow x=4\). La droite coupe l'axe des abscisses en \((4\,;\,0)\). Équation \(f(x)=15\) : \(5x-20=15 \Rightarrow 5x=35 \Rightarrow x=7\). Vérification : \(f(7)=35-20=15\) ✓
b) Résoudre une inéquation \(f(x) < c\) (C9)
Méthode — Par le calcul
Écrire l'inéquation : \(ax+b<c\).
Isoler le terme en \(x\) : \(ax<c-b\).
Diviser par \(a\) — et si \(a\) est négatif, changer le sens de l'inégalité (chapitre 6).
Conclure par une phrase.
Graphiquement : \(f(x)<c\) là où la droite passe sous l'horizontale \(y=c\). La réponse se lit sur l'axe des abscisses.
Exemple — Quand la facture dépasse-t-elle 500 € ?
Avec \(f(h)=50h+80\) : \(50h+80>500 \Rightarrow 50h>420 \Rightarrow h>8{,}4\).
Le coefficient 50 est positif : le sens ne change pas. La facture dépasse 500 € au-delà de 8,4 heures, soit 8 h 24.
Application — Stock de carreaux sur un chantier
Un carreleur dispose de 480 carreaux au départ et en pose 60 par jour. Le stock restant après \(j\) jours est \(S(j)=-60j+480\).
Déterminer le zéro de \(S\) et l'interpréter.
Résoudre \(S(j)=180\) et interpréter.
Résoudre \(S(j)<180\). Attention au sens de l'inégalité.
1. \(-60j+480=0 \Rightarrow -60j=-480 \Rightarrow j=8\). Le stock est épuisé au bout de 8 jours.
2. \(-60j+480=180 \Rightarrow -60j=-300 \Rightarrow j=5\). Vérification : \(S(5)=-300+480=180\) ✓ Il reste 180 carreaux après 5 jours.
3. \(-60j+480<180 \Rightarrow -60j<-300\). On divise par \(-60\), qui est négatif : le sens change, et \(j>5\). Il reste moins de 180 carreaux après 5 jours.
Remarque : au-delà de \(j=8\), le modèle donne un stock négatif, qui n'a aucun sens concret. La fonction n'est utilisable que sur \([0\,;\,8]\).
Pour aller plus loin — Signe d'une fonction affine Hors programme de Seconde, non évalué. Une fonction affine (\(a\neq0\)) change de signe une seule fois, en son zéro \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) : si \(a>0\), \(f(x)<0\) avant \(x_0\) et \(f(x)>0\) après ; si \(a<0\), c'est l'inverse. On peut le résumer dans un tableau de signes.
\(a=5>0\) : la fonction est négative avant son zéro et positive après.
7. Déterminer l'expression d'une fonction affine (C5)
Méthode — À partir de deux points
On cherche \(f(x) = ax + b\) connaissant deux points \(A(x_1\,;\,y_1)\) et \(B(x_2\,;\,y_2)\) :
Calculer \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
Remplacer dans \(f(x) = ax + b\) avec un des deux points : \(y_1 = a \cdot x_1 + b\)
En déduire \(b = y_1 - a \cdot x_1\)
Exemple
On cherche \(f(x) = ax + b\) sachant que \(f(1) = 5\) et \(f(3) = 11\). Étape 1 : \(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3\) Étape 2 : \(f(1) = 5 \Rightarrow 3 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 5 - 3 = 2\) Réponse : \(f(x) = 3x + 2\)
Application
Trouver l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) passant par les points \(A(0\,;\,4)\) et \(B(2\,;\,10)\).
Propriété
Deux fonctions affines \(f(x) = ax + b\) et \(g(x) = ax + b'\) avec le même coefficient directeur \(a\) ont des courbes parallèles (ou confondues si \(b = b'\)).
Exemples
\(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = 2x - 3\) sont parallèles : même pente \(a = 2\), ordonnées à l'origine différentes.
\(f(x) = 3x + 2\) et \(h(x) = -x + 2\) ne sont pas parallèles : \(a = 3 \neq -1\).
Application — Droites parallèles
Les fonctions \(f(x) = 3x + 5\) et \(g(x) = 3x - 2\) sont-elles parallèles ? Et \(h(x) = -2x + 5\) et \(f\) ?
\(f\) et \(g\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\) → leurs droites sont parallèles.
\(f\) et \(h\) ont des coefficients différents (\(3 \neq -2\)) → leurs droites ne sont pas parallèles.
9. Systèmes de deux équations : graphiquement ou avec un outil numérique (C6)
Définition
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est de la forme :
\[\begin{cases} y = ax + b \\ y = cx + d \end{cases}\]
La solution est le point d'intersection des deux droites.
Méthode — Résolution graphique
Tracer les deux droites dans le même repère.
Lire les coordonnées du point d'intersection \((x_0\,;\,y_0)\).
Vérifier : calculer l'ordonnée des deux droites pour \(x_0\). Les deux résultats doivent valoir \(y_0\).
Si les droites sont parallèles : pas de solution. Si elles sont confondues : infinité de solutions.
Exemple — Résoudre graphiquement
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}\)
On trace les deux droites dans le même repère (voir le graphique ci-dessous).
Les deux droites se croisent au point \((1\,;\,3)\). Vérification : \(2\times1+1=3\) et \(-1+4=3\) ✓
Solution : \(x = 1\) et \(y = 3\).
Méthode — Avec un outil numérique
Au grapheur (GeoGebra ou calculatrice graphique) : saisir les deux fonctions, puis demander leur intersection — la commande Intersection(f, g) dans GeoGebra, le menu de calcul d'intersection sur la calculatrice. L'outil affiche les coordonnées du point.
Au tableur : les valeurs de \(x\) en colonne A, une formule par fonction en colonnes B et C (par exemple =2*A2+1 et =-A2+4), recopiées vers le bas. La solution se lit sur la ligne où les deux colonnes sont égales.
Attention
Une lecture graphique donne une valeur approchée quand le point d'intersection ne tombe pas sur un nœud du quadrillage. On la précise avec un outil numérique (intersection au grapheur, pas plus petit au tableur), puis on vérifie en calculant les deux ordonnées.
Pour aller plus loin — Résoudre un système par le calcul Hors programme de Seconde, non évalué. On peut aussi égaler les deux expressions : \(2x+1=-x+4\) donne \(3x=3\), donc \(x=1\), puis \(y=3\). On retrouve le point lu sur le graphique.
À quoi cela sert : comparer deux tarifs
Deux offres modélisées par deux fonctions affines \(f\) et \(g\) se comparent sur le graphique ou au grapheur :
le point d'intersection donne le seuil \(x_0\), la quantité pour laquelle les deux offres coûtent la même chose ;
avant le seuil, l'offre dont la droite est la plus basse est la moins chère ; après, c'est l'autre.
Application — Deux formules d'abonnement
Une salle d'escalade propose deux formules, pour \(x\) séances dans l'année :
formule A : \(A(x)=9x+40\) (en euros) ;
formule B : \(B(x)=5x+120\) (en euros).
Interpréter les coefficients 9 et 40 pour la formule A.
Lire sur le graphique (ou au grapheur) le point d'intersection des deux droites, puis le vérifier. Interpréter.
Un grimpeur prévoit 30 séances. Quelle formule choisir ? Calculer l'économie réalisée.
1. 9 €/séance est le prix d'une séance (coefficient directeur, taux d'accroissement) ; 40 € est la part fixe, payée même sans venir une seule fois (ordonnée à l'origine).
2. Les droites se coupent au point \((20\,;\,220)\).
Vérification : \(A(20)=180+40=220\) € et \(B(20)=100+120=220\) € ✓
Pour 20 séances, les deux formules coûtent la même chose : c'est le seuil.
3. \(A(30)=270+40=310\) € et \(B(30)=150+120=270\) €. Au-delà du seuil de 20 séances, c'est la formule B qui est la moins chère : l'économie est de \(310-270=\mathbf{40}\) €.
Pour aller plus loin : \(9x+40=5x+120\) donne \(4x=80\), donc \(x=20\).
10. Application — Métiers du bois
🪵 Menuiserie / Agencement
Situation professionnelle
Un menuisier facture ses interventions selon la formule :
\(C(h) = 45h + 60\) (en euros), où \(h\) est le nombre d'heures de travail.
\(a = 45\) : taux horaire de 45 €/h
\(b = 60\) : forfait déplacement de 60 €
Questions :
Combien coûte une intervention de 3 h ? → \(C(3) = 45 \times 3 + 60 = 135 + 60 = 195 \,\text{€}\)
Pour quel nombre d'heures le coût est-il de 285 € ? → \(45h + 60 = 285 \Rightarrow 45h = 225 \Rightarrow h = 5 \text{ h}\)
11. Ouverture — La parabole de la fonction carré
La fonction affine a pour courbe une droite. La prochaine fonction de référence étudiée, la fonction carré \(f(x) = x^2\), a pour courbe une parabole.
Tableau de variations de f(x) = x²
Contrairement à une fonction affine, \(f(x) = x^2\) n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\) :
Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\)
Elle est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Elle admet un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = 0\)
La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle sera étudiée en détail au chapitre 10.
Ordonnée à l'origine : \(f(0) = b\), point de croisement avec l'axe \(y\).
Coefficient directeur = taux d'accroissement = pente de la droite ; il a une unité (€/h, L/min…).
Zéro de \(f\) : solution de \(f(x)=0\), soit \(x=-\dfrac{b}{a}\) ; c'est là que la droite coupe l'axe des abscisses.
Équation \(f(x)=c\) : \(ax+b=c\) donne \(x=\dfrac{c-b}{a}\) ; graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection avec l'horizontale \(y=c\).
Inéquation \(f(x)<c\) : même méthode, mais on change le sens si l'on divise par un nombre négatif ; graphiquement, là où la droite passe sous l'horizontale \(y=c\).
Deux droites de même \(a\) sont parallèles.
Système 2×2 : la solution est l'intersection des deux droites — lue graphiquement ou avec un outil numérique (grapheur, tableur), vérifiée en calculant les deux ordonnées.
13. Erreurs fréquentes
❌
Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Dans \(f(x) = 3x + 5\), certains élèves pensent que 3 est l'ordonnée à l'origine et que 5 est la pente. C'est l'inverse : \(a = 3\) est la pente et \(b = 5\) est l'ordonnée à l'origine. Conseil : \(f(x) = ax + b\). Le coefficient \(a\) est devant \(x\), et \(b\) est le terme indépendant. L'ordonnée à l'origine est \(f(0) = b\).
❌
Oublier le signe de b quand b est négatif
Pour \(f(x) = 2x - 4\), beaucoup d'élèves placent le point \((0, 4)\) au lieu de \((0, -4)\) sur le graphique, en oubliant le signe moins. Conseil : relire attentivement l'expression. Si \(f(x) = 2x - 4\), alors \(b = -4\) et la droite coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine.
❌
Confondre fonction affine et fonction linéaire
Une fonction affine est de la forme \(f(x) = ax + b\). Quand \(b = 0\), c'est le cas particulier de la fonction linéaire. Certains élèves appellent toutes les droites "fonctions linéaires". Conseil : si la droite passe par l'origine \((0, 0)\), c'est une fonction linéaire (cas particulier de la fonction affine). Sinon, c'est une fonction affine avec \(b \neq 0\).
❌
Inverser les coordonnées dans le calcul du coefficient directeur
Le coefficient directeur entre deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) est \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Certains élèves écrivent \(\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}\) (fraction inversée) ou font une erreur de signe. Conseil : penser "variation de \(y\) divisée par variation de \(x\)". Vérifier le signe : si la droite monte de gauche à droite, \(a > 0\).
❌
Tracer une droite avec un seul point
Une droite est déterminée par au moins deux points. Certains élèves calculent un seul point et tracent la droite "à vue d'oeil", ce qui produit un graphique inexact. Conseil : toujours calculer et placer au moins deux points (par exemple \(x = 0\) et \(x = 1\) ou \(x = 2\)) avant de tracer la droite avec une règle.