Seconde Bac Pro MAMA | Algèbre – Analyse | Mathématiques
Dernière mise à jour : 22 avril 2026
Objectifs du chapitre :
Reconnaître une fonction affine f(x) = ax + b
Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
Représenter graphiquement une fonction affine
Déterminer le sens de variation d'une fonction affine
La fonction affine est une généralisation de la fonction linéaire. Sa courbe représentative est une droite. Ce chapitre permet aussi d'introduire la résolution graphique de systèmes d'équations.
1. Définition
Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme :
\[f(x) = ax + b\]
où \(a\) et \(b\) sont deux réels donnés.
\(a\) est le coefficient directeur (ou pente)
\(b\) est l'ordonnée à l'origine
Exemples
\(f(x) = 3x + 2\) : \(a = 3\), \(b = 2\)
\(g(x) = -2x + 5\) : \(a = -2\), \(b = 5\)
\(h(x) = 4x\) : \(a = 4\), \(b = 0\) — c'est aussi une fonction linéaire
\(k(x) = -3\) : \(a = 0\), \(b = -3\) — c'est une fonction constante
Cas particuliers
Si \(b = 0\) : \(f(x) = ax\) — c'est une fonction linéaire (vue au ch08), la droite passe par l'origine.
Si \(a = 0\) : \(f(x) = b\) — c'est une fonction constante, la droite est horizontale.
2. Tableau de valeurs
Méthode
Pour construire un tableau de valeurs de \(f(x) = ax + b\) : choisir des valeurs de \(x\), puis calculer \(f(x)\) pour chacune.
Propriété
La courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite.
Pour la tracer, il suffit de placer deux points et de les relier.
Méthode — Tracer la droite de f(x) = ax + b
Calculer l'image de deux valeurs de \(x\) (souvent \(x = 0\) et \(x = 1\) ou \(x = 2\)).
Placer les deux points correspondants dans le repère.
Tracer la droite qui passe par ces deux points.
Vérifier avec un troisième point si possible.
Exemple — Tracer f(x) = 2x + 1
\(f(0) = 1\) → point \(A(0\,;\,1)\)
\(f(2) = 5\) → point \(B(2\,;\,5)\)
On place \(A\) et \(B\) dans le repère, puis on trace la droite.
Rôle de b — l'ordonnée à l'origine
Le réel \(b\) est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
En \(x = 0\) : \(f(0) = a \times 0 + b = b\). Donc la droite coupe l'axe \(y\) au point \((0\,;\,b)\).
4. Coefficient directeur et pente
Définition — Coefficient directeur
Le coefficient directeur \(a\) mesure la pente de la droite : c'est l'accroissement de \(f(x)\) quand \(x\) augmente de 1.
\[a = \frac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
Méthode — Lire le coefficient directeur sur un graphique
Choisir deux points \(A(x_1\,;\,y_1)\) et \(B(x_2\,;\,y_2)\) sur la droite avec des coordonnées entières.
Calculer : \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
Vérifier le sens : si \(a > 0\) la droite monte, si \(a < 0\) elle descend.
Exemple graphique
Sur une droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,7)\) :
\(a = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
5. Sens de variation
Variations selon le signe de a
\(a > 0\) : croissante
La droite monte de gauche à droite.
Plus \(x\) augmente, plus \(f(x)\) augmente.
\(a < 0\) : décroissante
La droite descend de gauche à droite.
Plus \(x\) augmente, plus \(f(x)\) diminue.
Si \(a = 0\) : fonction constante, droite horizontale, ni croissante ni décroissante.
Attention
Une fonction affine (avec \(a \neq 0\)) est strictement monotone sur \(\mathbb{R}\) entier : elle n'a pas de maximum ni de minimum.
6. Déterminer l'expression d'une fonction affine
Méthode — À partir de deux points
On cherche \(f(x) = ax + b\) connaissant deux points \(A(x_1\,;\,y_1)\) et \(B(x_2\,;\,y_2)\) :
Calculer \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
Remplacer dans \(f(x) = ax + b\) avec un des deux points : \(y_1 = a \cdot x_1 + b\)
En déduire \(b = y_1 - a \cdot x_1\)
Exemple
On cherche \(f(x) = ax + b\) sachant que \(f(1) = 5\) et \(f(3) = 11\). Étape 1 : \(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3\) Étape 2 : \(f(1) = 5 \Rightarrow 3 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 5 - 3 = 2\) Réponse : \(f(x) = 3x + 2\)
Application
Trouver l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) passant par les points \(A(0\,;\,4)\) et \(B(2\,;\,10)\).
Propriété
Deux fonctions affines \(f(x) = ax + b\) et \(g(x) = ax + b'\) avec le même coefficient directeur \(a\) ont des courbes parallèles (ou confondues si \(b = b'\)).
Exemples
\(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = 2x - 3\) sont parallèles : même pente \(a = 2\), ordonnées à l'origine différentes.
\(f(x) = 3x + 2\) et \(h(x) = -x + 2\) ne sont pas parallèles : \(a = 3 \neq -1\).
Application — Droites parallèles
Les fonctions \(f(x) = 3x + 5\) et \(g(x) = 3x - 2\) sont-elles parallèles ? Et \(h(x) = -2x + 5\) et \(f\) ?
\(f\) et \(g\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\) → leurs droites sont parallèles.
\(f\) et \(h\) ont des coefficients différents (\(3 \neq -2\)) → leurs droites ne sont pas parallèles.
8. Résolution graphique d'un système de deux équations
Définition
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est de la forme :
\[\begin{cases} y = ax + b \\ y = cx + d \end{cases}\]
La solution est le point d'intersection des deux droites.
Méthode — Résolution graphique
Tracer les deux droites dans le même repère.
Lire les coordonnées du point d'intersection \((x_0\,;\,y_0)\).
La solution est \(x = x_0\) et \(y = y_0\).
Si les droites sont parallèles : pas de solution. Si elles sont confondues : infinité de solutions.
Exemple — Résoudre graphiquement
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}\)
On trace les deux droites (voir graphique ci-dessus, courbes bleue et rouge).
Les deux droites se croisent au point \((1\,;\,3)\).
Solution : \(x = 1\) et \(y = 3\).
9. Application — Métiers du bois
🪵 Menuiserie / Agencement
Situation professionnelle
Un menuisier facture ses interventions selon la formule :
\(C(h) = 45h + 60\) (en euros), où \(h\) est le nombre d'heures de travail.
\(a = 45\) : taux horaire de 45 €/h
\(b = 60\) : forfait déplacement de 60 €
Questions :
Combien coûte une intervention de 3 h ? → \(C(3) = 45 \times 3 + 60 = 135 + 60 = 195 \,€\)
Pour quel nombre d'heures le coût est-il de 285 € ? → \(45h + 60 = 285 \Rightarrow 45h = 225 \Rightarrow h = 5 \text{ h}\)
10. Ouverture — La parabole de la fonction carré
La fonction affine a pour courbe une droite. La prochaine fonction de référence étudiée, la fonction carré \(f(x) = x^2\), a pour courbe une parabole.
Tableau de variations de f(x) = x²
Contrairement à une fonction affine, \(f(x) = x^2\) n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\) :
Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\)
Elle est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
Elle admet un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = 0\)
La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle sera étudiée en détail au chapitre 10.
Ordonnée à l'origine : \(f(0) = b\), point de croisement avec l'axe \(y\).
Coefficient directeur = taux d'accroissement = pente de la droite.
Deux droites de même \(a\) sont parallèles.
Système 2×2 : la solution est l'intersection des deux droites (lue graphiquement).
12. Erreurs fréquentes
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Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Dans \(f(x) = 3x + 5\), certains élèves pensent que 3 est l'ordonnée à l'origine et que 5 est la pente. C'est l'inverse : \(a = 3\) est la pente et \(b = 5\) est l'ordonnée à l'origine. Conseil : \(f(x) = ax + b\). Le coefficient \(a\) est devant \(x\), et \(b\) est le terme indépendant. L'ordonnée à l'origine est \(f(0) = b\).
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Oublier le signe de b quand b est négatif
Pour \(f(x) = 2x - 4\), beaucoup d'élèves placent le point \((0, 4)\) au lieu de \((0, -4)\) sur le graphique, en oubliant le signe moins. Conseil : relire attentivement l'expression. Si \(f(x) = 2x - 4\), alors \(b = -4\) et la droite coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine.
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Confondre fonction affine et fonction linéaire
Une fonction affine est de la forme \(f(x) = ax + b\). Quand \(b = 0\), c'est le cas particulier de la fonction linéaire. Certains élèves appellent toutes les droites "fonctions linéaires". Conseil : si la droite passe par l'origine \((0, 0)\), c'est une fonction linéaire (cas particulier de la fonction affine). Sinon, c'est une fonction affine avec \(b \neq 0\).
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Inverser les coordonnées dans le calcul du coefficient directeur
Le coefficient directeur entre deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) est \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Certains élèves écrivent \(\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}\) (fraction inversée) ou font une erreur de signe. Conseil : penser "variation de \(y\) divisée par variation de \(x\)". Vérifier le signe : si la droite monte de gauche à droite, \(a > 0\).
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Tracer une droite avec un seul point
Une droite est déterminée par au moins deux points. Certains élèves calculent un seul point et tracent la droite "à vue d'oeil", ce qui produit un graphique inexact. Conseil : toujours calculer et placer au moins deux points (par exemple \(x = 0\) et \(x = 1\) ou \(x = 2\)) avant de tracer la droite avec une règle.