Seconde Bac Pro MAMA | Chapitre 10 | Mathématiques
Dernière mise à jour : 31 mai 2026, 16:00
On donne la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2\).
\(f(3) = 3^2 = 9\) | \(f(-3) = (-3)^2 = 9\) | \(f(0) = 0^2 = 0\)
\(f(5) = 25\) | \(f(-5) = 25\) | \(f(0{,}5) = 0{,}25\) | \(f(-2{,}5) = 6{,}25\)
2. Symétrie :On remarque que \(f(3) = f(-3) = 9\) et \(f(5) = f(-5) = 25\). Deux valeurs opposées ont toujours la même image par \(f\) car \((-x)^2 = x^2\).
3. Image négative :Non, car \(f(x) = x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\). Le carré est toujours positif ou nul. Donc \(f(x) = -4\) est impossible. \(\mathcal{S} = \emptyset\).
On considère la fonction \(f(x) = x^2\).
1. \(f(3) = 3^2 = 9\) et \(f(-3) = (-3)^2 = 9\). On constate que \(f(3) = f(-3)\).
2. \(f(5) = 25\) et \(f(-5) = 25\). Oui, même propriété : \(f(5) = f(-5)\).
3. Deux nombres opposés ont la même image par la fonction carré (car \((-x)^2 = x^2\)).
4. Non, c'est impossible. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul (\(x^2 \geq 0\)), donc \(f(x) = -4\) n'a pas de solution.
5. Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 9\)… les images augmentent → \(f\) est croissante.
Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(f(-3) = 9\), \(f(-2) = 4\), \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 0\)… les images diminuent → \(f\) est décroissante.
6. Le minimum est \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\). C'est le sommet de la parabole.
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | 16 | ? | ? | 0 | ? | 4 | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 16 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(x\) | \(-\infty\) | ↘ ou ↗ ? | 0 | ↘ ou ↗ ? | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | min = ? | \(+\infty\) | ||||
| \(x\) | \(-\infty\) | ↘ décroissante | 0 | ↗ croissante | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | 0 ← min | \(+\infty\) | ||||
La parabole f(x) = x² est symétrique par rapport à l'axe vertical (x = 0). Sommet en bas (minimum). On dit qu'elle est « tournée vers le haut ».
| Côté \(c\) (m) | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Surface \(A\) (m²) | ? | ? | ? | ? |
| Côté \(c\) | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Surface \(A\) | 1 | 2,25 | 4 | 9 |
2. \(c = \sqrt{4} = \mathbf{2}\) m. Vérif : \(2^2 = 4\) ✔
3. \(c = \sqrt{2{,}25} = \mathbf{1{,}5}\) m. On retrouve la valeur du tableau !
Comparer les nombres suivants sans calculer les carrés, en utilisant les variations de \(f(x) = x^2\).
1. Comparer \(3^2\) et \(5^2\).
Aide : 3 et 5 sont positifs. La fonction carré est ……… sur \([0\,;\,+\infty[\), donc le plus grand nombre a l'image la plus ………
2. Comparer \((-7)^2\) et \((-4)^2\).
Aide : \(-7\) et \(-4\) sont négatifs. La fonction carré est ……… sur \(]-\infty\,;\,0]\).
3. Comparer \(2{,}3^2\) et \(2{,}7^2\).
4. Comparer \((-6{,}1)^2\) et \((-6{,}5)^2\).
1. \(0 < 3 < 5\) et \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(3^2 < 5^2\), c'est-à-dire \(9 < 25\). ✔
2. \(-7 < -4 < 0\) et \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \((-7)^2 > (-4)^2\), c'est-à-dire \(49 > 16\). ✔
3. \(0 < 2{,}3 < 2{,}7\), \(f\) croissante → \(2{,}3^2 < 2{,}7^2\).
4. \(-6{,}5 < -6{,}1 < 0\), \(f\) décroissante → \((-6{,}1)^2 < (-6{,}5)^2\).
En utilisant la parabole de \(f(x) = x^2\), résoudre graphiquement :
1. \(x^2 = 4\)
Trace la droite \(y = 4\). Elle coupe la parabole en \(x = \) ……… et \(x = \) ………
2. \(x^2 = 16\)
Trace la droite \(y = 16\). Les solutions sont \(x = \) ……… et \(x = \) ………
3. \(x^2 = 0\)
4. \(x^2 = -5\). Combien de solutions ?
1. La droite \(y = 4\) coupe la parabole en \(x = -2\) et \(x = 2\). Vérif : \((-2)^2 = 4\) ✔ et \(2^2 = 4\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-2\,;\,2\}\).
2. La droite \(y = 16\) coupe la parabole en \(x = -4\) et \(x = 4\). \(\mathcal{S} = \{-4\,;\,4\}\).
3. La droite \(y = 0\) (l'axe des abscisses) touche la parabole en un seul point : \(x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).
4. La droite \(y = -5\) est sous l'axe des abscisses et ne coupe jamais la parabole (\(x^2 \geq 0\) toujours). Aucune solution. \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Selon la position de la droite y = k : k > 0 → 2 solutions symétriques ; k = 0 → 1 solution (x=0) ; k < 0 → aucune solution.
La parabole \(f(x) = x^2\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela signifie que \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\).
1. Compléter le tableau en utilisant la symétrie (sans refaire les calculs) :
| \(x\) | \(1\) | \(-1\) | \(3\) | \(-3\) | \(7\) | \(-7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | ? | 9 | ? | 49 | ? |
2. Si \(f(a) = 25\), quelles sont les deux valeurs possibles de \(a\) ?
Indice : \(a^2 = 25\), donc \(a = \) ……… ou \(a = \) ………
3. Pourquoi la parabole a-t-elle toujours deux « branches » symétriques ?
1. Par symétrie : \(f(-1) = f(1) = 1\), \(f(-3) = f(3) = 9\), \(f(-7) = f(7) = 49\).
2. \(a^2 = 25\) → \(a = 5\) ou \(a = -5\). Vérif : \(5^2 = 25\) ✔ et \((-5)^2 = 25\) ✔.
3. Car \((-x)^2 = x^2\) : le signe de \(x\) disparaît quand on élève au carré. Un nombre et son opposé ont toujours la même image.
Un cadre photo carré a un côté de longueur \(x\) cm. Son aire est \(A(x) = x^2\) (en cm²).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Un cadre a une aire de 400 cm². Quel est son côté ?
Compléter : \(x^2 = 400\) donc \(x = \sqrt{400} = \) ………
3. Quand le côté double (passe de 10 à 20 cm), l'aire est-elle doublée ? Justifier.
1.
| Côté \(x\) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire | 25 | 100 | 225 | 400 | 900 |
2. \(x^2 = 400\) et \(x > 0\) → \(x = \sqrt{400} = 20\) cm.
3. Non ! \(A(10) = 100\) cm² et \(A(20) = 400\) cm². L'aire est multipliée par 4, pas par 2. En effet, \((2x)^2 = 4x^2\).
Le grand carré contient 4 petits carrés identiques (10×10). C'est la propriété de la fonction carré : (2x)² = 4x².
Pour chaque affirmation, indiquer Vrai ou Faux et justifier.
1. « Le minimum de \(f(x) = x^2\) est 0. »
Aide : le carré d'un nombre est toujours ……… ou ………
2. « Il existe un nombre \(x\) tel que \(x^2 = -1\). »
3. « La fonction carré est croissante sur tout \(\mathbb{R}\). »
Aide : compare \(f(-3)\) et \(f(-1)\).
4. « Si \(a < b\) et \(a, b > 0\), alors \(a^2 < b^2\). »
5. « \(f(3) = f(-3)\) car la parabole est symétrique. »
1. VRAI. \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x\) et \(f(0) = 0\). Le minimum est bien 0, atteint en \(x = 0\).
2. FAUX. \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -1\) n'a aucune solution.
3. FAUX. Contre-exemple : \(-3 < -1\) mais \(f(-3) = 9 > f(-1) = 1\). Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\).
4. VRAI. Sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est croissante. Donc si \(0 < a < b\), alors \(a^2 < b^2\).
5. VRAI. \(f(3) = 9\) et \(f(-3) = 9\). La symétrie \(f(-x) = f(x)\) se vérifie.
Un entraîneur étudie la trajectoire d'un ballon de basket. La hauteur du ballon (en mètres) au-dessus du sol peut être modélisée par \(h(t) = -t^2 + 4\), où \(t\) est le temps en secondes (\(t \geq 0\)).
1. Compléter le tableau :
| \(t\) (s) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) (m) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Quelle est la hauteur du ballon au départ (\(t = 0\)) ?
3. À quel instant le ballon touche-t-il le sol ? (On cherche \(t\) tel que \(h(t) = 0\).)
Compléter : \(-t^2 + 4 = 0\) donc \(t^2 = \) ……… donc \(t = \) ………
1.
| \(t\) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) | 4 | 3,75 | 3 | 1,75 | 0 |
2. Au départ : \(h(0) = -0 + 4 = 4\) m.
3. \(-t^2 + 4 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2\) s (on garde \(t > 0\)). Le ballon touche le sol au bout de 2 secondes.
Le coefficient devant t² est négatif : la parabole est tournée vers le bas. Le ballon part de h=4 m et touche le sol à t=2 s.
La puissance produite par un panneau solaire carré est proportionnelle à sa surface. On note \(c\) le côté du panneau (en mètres).
La puissance est donnée par : \(P(c) = 150 \times c^2\) (en watts).
1. Compléter le tableau en calculant \(c^2\) puis \(150 \times c^2\) :
| Côté \(c\) (m) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(c^2\) (m²) | ? | ? | ? | ? |
| \(P(c)\) (W) | ? | ? | ? | ? |
2. On veut une puissance d'au moins 600 W. Quel côté minimum faut-il ?
Compléter : \(150 \times c^2 \geq 600\) donc \(c^2 \geq \) ……… donc \(c \geq \) ………
3. Si le côté est multiplié par 3, par combien la puissance est-elle multipliée ?
1.
| \(c\) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(c^2\) | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 |
| \(P(c)\) (W) | 37,5 | 150 | 337,5 | 600 |
2. \(150c^2 \geq 600 \Rightarrow c^2 \geq 4 \Rightarrow c \geq 2\) m. Le côté doit mesurer au moins 2 m.
3. Si \(c\) est multiplié par 3 : \(P(3c) = 150 \times (3c)^2 = 150 \times 9c^2 = 9 \times P(c)\). La puissance est multipliée par 9.
Comparer sans calculer, en utilisant les variations de la fonction carré :
1. \((-8)^2\) et \((-3)^2\)
Aide : \(-8\) et \(-3\) sont négatifs. On a \(-8 < -3 < 0\). La fonction carré est ……… sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc l'image du plus petit est la plus ………
2. \((-1{,}5)^2\) et \((-4{,}2)^2\)
3. \(7^2\) et \((-7)^2\). Que remarque-t-on ?
4. \((-10)^2\) et \(9^2\).
Attention : les deux nombres ne sont pas du même signe ! Utilise une astuce.
1. \(-8 < -3 < 0\) et \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \((-8)^2 > (-3)^2\), soit \(64 > 9\). ✔
2. \(-4{,}2 < -1{,}5 < 0\) et \(f\) décroissante → \((-4{,}2)^2 > (-1{,}5)^2\).
3. \(7^2 = 49\) et \((-7)^2 = 49\). Ils sont égaux car \(7\) et \(-7\) sont opposés : \((-x)^2 = x^2\).
4. On remarque que \(|-10| = 10 > 9\). Donc \((-10)^2 = 10^2 = 100 > 81 = 9^2\). ✔
La distance de freinage \(d\) (en mètres) d'une voiture sur route sèche dépend de sa vitesse \(v\) (en km/h) selon la formule simplifiée :
1. Compléter le tableau :
| Vitesse \(v\) (km/h) | 30 | 50 | 90 | 130 |
|---|---|---|---|---|
| Distance \(d\) (m) | ? | ? | ? | ? |
2. Quand la vitesse passe de 50 à 100 km/h (elle double), la distance de freinage est-elle doublée ?
Calculer \(d(50)\) et \(d(100)\) pour vérifier.
3. Pourquoi la limitation de vitesse en ville est-elle si importante ? Répondre en utilisant les résultats du tableau.
1.
| \(v\) (km/h) | 30 | 50 | 90 | 130 |
|---|---|---|---|---|
| \(d\) (m) | 5,4 | 15 | 48,6 | 101,4 |
2. \(d(50) = 15\) m et \(d(100) = 0{,}006 \times 10\,000 = 60\) m. La distance est multipliée par 4, pas par 2 ! En effet, \((2v)^2 = 4v^2\).
3. La distance de freinage augmente beaucoup plus vite que la vitesse (elle dépend du carré de la vitesse). À 130 km/h, il faut plus de 100 m pour s'arrêter. Réduire la vitesse réduit considérablement le risque d'accident.
À 130 km/h, il faut presque 20 fois plus de distance qu'à 30 km/h pour freiner. La fonction carré explique pourquoi les limitations de vitesse ont un impact aussi fort sur la sécurité.
Résoudre les équations suivantes en indiquant le nombre de solutions :
1. \(x^2 = 9\)
\(k = 9 > 0\) → ……… solutions : \(x = \sqrt{9} = \) ……… et \(x = -\sqrt{9} = \) ………
2. \(x^2 = 25\)
3. \(x^2 = -16\)
4. \(x^2 = 0{,}49\)
Indice : \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\) car \(0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49\).
5. \(x^2 = 100\)
1. \(x^2 = 9\) → \(x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
2. \(x^2 = 25\) → \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).
3. \(x^2 = -16\) → aucune solution car \(x^2 \geq 0\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
4. \(x^2 = 0{,}49\) → \(x = 0{,}7\) ou \(x = -0{,}7\). Vérif : \(0{,}7^2 = 0{,}49\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-0{,}7\,;\,0{,}7\}\).
5. \(x^2 = 100\) → \(x = 10\) ou \(x = -10\). \(\mathcal{S} = \{-10\,;\,10\}\).
On étudie la fonction \(A(r) = \pi r^2\) qui donne l'aire d'un disque en fonction de son rayon \(r\) (en cm).
1. Compléter le tableau (arrondir à l'unité) :
| Rayon \(r\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire \(A\) (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Quand le rayon double (de 5 à 10), l'aire est-elle doublée ?
Comparer \(A(5)\) et \(A(10)\). Par combien l'aire est-elle multipliée ?
3. Un couvercle a une aire de 200 cm² environ. Quel est son rayon ?
Compléter : \(\pi r^2 = 200\) donc \(r^2 = \dfrac{200}{\pi} \approx \) ……… donc \(r \approx \) ………
1.
| \(r\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A\) (cm²) | 3 | 13 | 28 | 79 | 314 |
2. \(A(5) \approx 79\) cm² et \(A(10) \approx 314\) cm². Rapport : \(\frac{314}{79} = 4\). L'aire est multipliée par 4, pas par 2 ! En effet, \(\pi(2r)^2 = 4\pi r^2\).
3. \(r^2 = \frac{200}{\pi} \approx 63{,}7\) donc \(r \approx \sqrt{63{,}7} \approx \mathbf{8{,}0}\) cm.
Compléter les tableaux de valeurs suivants :
1. \(f(x) = 2x^2\)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = 2x^2\) | ? | ? | ? | 0 | ? | ? | ? |
2. \(g(x) = 3x^2\)
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x) = 3x^2\) | ? | ? | 0 | ? | ? |
3. Quel est le minimum de \(f\) ? Et de \(g\) ? La symétrie est-elle toujours vérifiée ?
1.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 |
2.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 |
3. Le minimum de \(f\) est 0 (en \(x = 0\)) et le minimum de \(g\) est aussi 0 (en \(x = 0\)). La symétrie est toujours vérifiée : \(f(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = f(x)\). ✔
Un artisan menuisier découpe des hublots carrés dans des panneaux de contreplaqué. Le côté du hublot mesure \(x\) cm.
La surface découpée est \(S(x) = x^2\) (en cm²) et le poids de la chute est \(P(x) = 0{,}8 \times x^2\) (en grammes).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
| Poids (g) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Un hublot doit peser au maximum 200 g. Quel est le côté maximum ?
Compléter : \(0{,}8 x^2 \leq 200\) donc \(x^2 \leq \) ……… donc \(x \leq \) ………
3. Si le menuisier triple le côté du hublot, par combien le poids est-il multiplié ?
1.
| \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface (cm²) | 25 | 100 | 225 | 400 | 625 |
| Poids (g) | 20 | 80 | 180 | 320 | 500 |
2. \(0{,}8x^2 \leq 200 \Rightarrow x^2 \leq 250 \Rightarrow x \leq \sqrt{250} \approx \mathbf{15{,}8}\) cm. Le côté ne doit pas dépasser environ 15,8 cm.
3. Si \(x\) est multiplié par 3 : \(P(3x) = 0{,}8 \times (3x)^2 = 0{,}8 \times 9x^2 = 9 \times P(x)\). Le poids est multiplié par 9.
Un terrain de pétanque est un carré de côté \(c\) mètres. Son aire est \(A(c) = c^2\).
1. L'aire du terrain est de 64 m². Trouver le côté.
Compléter : \(c^2 = 64\) donc \(c = \sqrt{64} = \) ………
2. Un second terrain a une aire de 49 m². Quel est son côté ?
3. Un terrain a une aire de 30 m². Le côté est-il un nombre entier ?
Aide : calculer \(5^2\) et \(6^2\). Encadrer \(\sqrt{30}\).
4. Ranger les trois terrains dans l'ordre croissant de côté, puis dans l'ordre croissant d'aire. Est-ce le même ordre ? Pourquoi ?
1. \(c^2 = 64\) et \(c > 0\) → \(c = \sqrt{64} = \mathbf{8}\) m.
2. \(c^2 = 49\) et \(c > 0\) → \(c = \sqrt{49} = \mathbf{7}\) m.
3. \(5^2 = 25 < 30 < 36 = 6^2\), donc \(5 < \sqrt{30} < 6\). Le côté n'est pas un entier : \(\sqrt{30} \approx 5{,}48\) m.
4. Ordre croissant des côtés : \(\sqrt{30} \approx 5{,}48 < 7 < 8\). Ordre croissant des aires : \(30 < 49 < 64\). C'est le même ordre car la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : si \(0 < c_1 < c_2\) alors \(c_1^2 < c_2^2\). ✔
Compléter les tableaux de valeurs suivants, puis indiquer le sens de variation sur chaque intervalle.
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 16 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 |
On obtient \(g(x)\) en ajoutant 3 à chaque valeur de \(f(x)\). Le minimum de \(g\) est 3, atteint en \(x = 0\).
3. Sens de variation :\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Elle atteint son minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = 0\).
Voici la parabole de \(f(x) = x^2\) représentée dans un repère.
| \(x\) | \(-\infty\) | → | \(0\) | → | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ? | ? | ? | \(+\infty\) | ||
1. On lit : \(f(-2) = 4\) et \(f(2) = 4\). Les deux valeurs sont égales → symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Les solutions de \(f(x) = 1\) sont \(x = -1\) et \(x = 1\).
3. \(f(x) \leq 4\) pour \(x \in [-2\,;\,2]\) (la courbe est en dessous ou sur la droite \(y = 4\)).
4. Tableau de variations :| \(x\) | \(-\infty\) | ↘ décroissante | \(0\) | ↗ croissante | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(0\) ← min | \(+\infty\) | ||||
On considère les fonctions : \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^2 + 4\), \(h(x) = 2x^2\), \(p(x) = \dfrac{1}{2}x^2\).
\(g(0) = 4\) | \(g(1) = 5\) | \(g(-1) = 5\). Le minimum de \(g\) est 4, atteint en \(x = 0\).
2. Comparaison \(h(2)\) et \(f(2)\) :\(h(2) = 2 \times 4 = 8\) et \(f(2) = 4\). Donc \(h(2) > f(2)\) → la parabole est plus resserrée.
3. Comparaison \(p(2)\) et \(f(2)\) :\(p(2) = \frac{1}{2} \times 4 = 2\) et \(f(2) = 4\). Donc \(p(2) < f(2)\) → la parabole est plus ouverte.
4. Minimums :• \(g\) : minimum = 4 en \(x = 0\). • \(h\) : minimum = 0 en \(x = 0\). • \(p\) : minimum = 0 en \(x = 0\).
En utilisant le graphique de l'exercice 4, répondre aux questions pour \(f(x) = x^2\).
Sur le graphique, la droite \(y = 9\) coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\). Vérif : \((-3)^2 = 9\) ✔ | \(3^2 = 9\) ✔. Solution : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
2. Résolution de \(f(x) < 9\) :La courbe est strictement en dessous de \(y = 9\) pour \(-3 < x < 3\). Solution : \(\mathcal{S} = ]-3\,;\,3[\).
3. Résolution de \(f(x) \geq 1\) :La droite \(y = 1\) coupe la parabole en \(x = -1\) et \(x = 1\). La courbe est au-dessus pour \(x \leq -1\) ou \(x \geq 1\). Solution : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1] \cup [1\,;\,+\infty[\).
4. Résolution de \(f(x) = -3\) :Aucune solution : \(f(x) = x^2 \geq 0\) toujours. La droite \(y = -3\) ne coupe pas la parabole. \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Un menuisier fabrique des panneaux de bois carrés. Si le côté d'un panneau mesure \(c\) mètres, alors sa surface est :
\(A(1) = 1 \text{ m}^2\) | \(A(1{,}2) = 1{,}44 \text{ m}^2\) | \(A(1{,}5) = 2{,}25 \text{ m}^2\) | \(A(2) = 4 \text{ m}^2\)
2. Trouver \(c\) pour \(A = 2{,}25\) :\(c^2 = 2{,}25\) et \(c > 0\) → \(c = \sqrt{2{,}25} = \mathbf{1{,}5}\) m. Vérif : \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ✔
3. Contrainte \(A(c) \leq 3\) :\(c^2 \leq 3\) et \(c > 0\) → \(c \leq \sqrt{3} \approx 1{,}73\) m.
4. Doublement du côté :Nouveau côté : \(2c\). Nouvelle surface : \((2c)^2 = 4c^2\). La surface est multipliée par 4.
Un agenceur pose un revêtement dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres. Le coût total est :
| \(c\) (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(c\) (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(c)\) (€) | 165 | 300 | 525 | 840 | 1 245 |
Exemple : \(C(3) = 45 \times 9 + 120 = 525 \text{ €}\).
2. Budget 925 € :\(45c^2 + 120 \leq 925 \Rightarrow 45c^2 \leq 805 \Rightarrow c^2 \leq 17{,}9 \Rightarrow c \leq \sqrt{17{,}9} \approx \mathbf{4{,}23} \text{ m}\).
3. Coût minimum :Minimum = \(C(0) = 120\,€\) (forfait déplacement seul). Ce n'est pas une situation réelle (pièce de surface nulle).
4. Lecture graphique :Sur le graphique, \(y = 600\) croise la courbe vers \(c \approx 3{,}3 \text{ m}\). Vérif : \(C(3{,}3) \approx 610\,€\) ✔
Comparer les nombres suivants sans calculer, en utilisant les variations de \(f(x) = x^2\).
1. \(4{,}1^2\) et \(3{,}9^2\)
2. \((-5{,}3)^2\) et \((-5{,}8)^2\)
3. \((-2)^2\) et \(1{,}5^2\)
4. \(\left(\sqrt{7}\right)^2\) et \(2{,}5^2\). Rappel : \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\).
5. Ranger dans l'ordre croissant : \((-3)^2\), \(2^2\), \((-1)^2\), \(4^2\), \(0^2\).
1. \(0 < 3{,}9 < 4{,}1\) et \(f\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) → \(3{,}9^2 < 4{,}1^2\).
2. \(-5{,}8 < -5{,}3 < 0\) et \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) → \((-5{,}8)^2 > (-5{,}3)^2\).
3. On compare les valeurs absolues : \(|-2| = 2 > 1{,}5\). Donc \((-2)^2 = 4 > 1{,}5^2 = 2{,}25\).
4. \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\) et \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Donc \(\left(\sqrt{7}\right)^2 > 2{,}5^2\).
5. Calcul des carrés : \(0^2 = 0\), \((-1)^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \((-3)^2 = 9\), \(4^2 = 16\). Ordre croissant : \(0^2 < (-1)^2 < 2^2 < (-3)^2 < 4^2\).
Un artisan menuisier construit une terrasse en bois de forme carrée de côté \(x\) mètres. Le coût total est donné par :
1. Calculer le coût pour \(x = 2\) m, \(x = 3\) m, \(x = 4\) m et \(x = 5\) m.
2. Un client dispose d'un budget de 2 500 €. Quelle est la taille maximale de terrasse qu'il peut se permettre ?
3. Un second client veut une terrasse de côté 6 m. Le menuisier lui propose de réduire le côté à 4 m pour faire des économies. De combien le coût diminue-t-il ?
4. On multiplie le côté par 1,5. Par quel facteur le coût des lames de bois (hors quincaillerie) est-il multiplié ?
\(C(2) = 80 \times 4 + 250 = 570\) € | \(C(3) = 80 \times 9 + 250 = 970\) €
\(C(4) = 80 \times 16 + 250 = 1\,530\) € | \(C(5) = 80 \times 25 + 250 = 2\,250\) €
2. Budget 2 500 € :\(80x^2 + 250 \leq 2\,500 \Rightarrow 80x^2 \leq 2\,250 \Rightarrow x^2 \leq 28{,}125 \Rightarrow x \leq \sqrt{28{,}125} \approx 5{,}30\) m.
\(C(6) = 80 \times 36 + 250 = 3\,130\) € et \(C(4) = 1\,530\) €. Économie : \(3\,130 - 1\,530 = \mathbf{1\,600}\) €.
4. Facteur multiplicatif :Coût lames pour côté \(x\) : \(80x^2\). Pour côté \(1{,}5x\) : \(80 \times (1{,}5x)^2 = 80 \times 2{,}25x^2 = 2{,}25 \times 80x^2\). Le coût des lames est multiplié par 2,25.
On considère la fonction \(f(x) = x^2\).
1. Résoudre par le calcul \(x^2 = 36\). Donner les deux solutions.
2. Résoudre par le calcul \(x^2 = 2{,}25\).
3. Résoudre graphiquement \(x^2 = 5\) (on accepte une valeur approchée lue sur la parabole). Vérifier à la calculatrice que \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).
4. L'équation \(x^2 = k\) a exactement une solution. Quelle est la valeur de \(k\) ? Justifier.
5. Pour quelles valeurs de \(k\) l'équation \(x^2 = k\) n'a-t-elle aucune solution ?
1. \(x^2 = 36\) → \(x = 6\) ou \(x = -6\). \(\mathcal{S} = \{-6\,;\,6\}\).
2. \(x^2 = 2{,}25\) → \(x = 1{,}5\) ou \(x = -1{,}5\). Vérif : \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-1{,}5\,;\,1{,}5\}\).
3. Sur le graphique, la droite \(y = 5\) coupe la parabole en deux points d'abscisses \(x \approx -2{,}24\) et \(x \approx 2{,}24\). \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}\).
4. Pour \(k = 0\) : \(x^2 = 0\) a pour unique solution \(x = 0\). C'est le sommet de la parabole.
5. Pour \(k < 0\), l'équation \(x^2 = k\) n'a aucune solution car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\).
En physique, la distance parcourue par un objet en chute libre (sans frottement) est :
1. Compléter le tableau de valeurs :
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(d(t)\) (m) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Après combien de secondes l'objet a-t-il parcouru 80 m ? Résoudre \(5t^2 = 80\).
3. La distance parcourue entre \(t = 0\) et \(t = 1\) est-elle la même qu'entre \(t = 4\) et \(t = 5\) ? Justifier.
4. La fonction \(d\) est-elle croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ? Expliquer le lien avec les variations de \(f(x) = x^2\).
1.
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(d(t)\) | 0 | 5 | 20 | 45 | 80 | 125 |
\(5t^2 = 80 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4\) s (on garde \(t \geq 0\)).
3. Comparaison des distances :Entre \(t = 0\) et \(t = 1\) : \(d(1) - d(0) = 5 - 0 = 5\) m.
Entre \(t = 4\) et \(t = 5\) : \(d(5) - d(4) = 125 - 80 = 45\) m.
Non, les distances ne sont pas les mêmes. L'objet accélère : il parcourt de plus en plus de distance à chaque seconde.
4. Croissance :Oui, \(d(t) = 5t^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) car \(f(t) = t^2\) est croissante sur cet intervalle et le facteur 5 est positif.
On considère \(f(x) = x^2\). Résoudre les inéquations suivantes :
1. \(x^2 \leq 25\). Écrire la solution sous forme d'intervalle.
2. \(x^2 > 16\). Écrire la solution comme réunion d'intervalles.
3. \(x^2 \geq 0\). Que remarque-t-on ?
4. \(x^2 < -1\). Que conclure ?
5. Application : Un fabricant de mobilier découpe des pièces carrées de côté \(x\) cm. La surface doit être comprise entre 16 cm² et 64 cm² (inclus). Quelles valeurs de \(x\) sont acceptables ?
1. \(x^2 \leq 25\) ⟺ \(-5 \leq x \leq 5\). \(\mathcal{S} = [-5\,;\,5]\).
2. \(x^2 > 16\) ⟺ \(x < -4\) ou \(x > 4\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]4\,;\,+\infty[\).
3. \(x^2 \geq 0\) est toujours vrai pour tout réel \(x\). \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\).
4. \(x^2 < -1\) est impossible car \(x^2 \geq 0\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
5. Application :\(16 \leq x^2 \leq 64\) avec \(x > 0\). Donc \(\sqrt{16} \leq x \leq \sqrt{64}\), soit \(4 \leq x \leq 8\).
La puissance produite par une éolienne est modélisée par \(P(v) = 0{,}5 v^2\) (en watts), où \(v\) est la vitesse du vent (en m/s).
1. Calculer la puissance pour \(v = 4\) m/s, \(v = 8\) m/s, \(v = 12\) m/s et \(v = 20\) m/s.
2. La puissance est-elle doublée quand la vitesse double ? Vérifier avec \(v = 4\) et \(v = 8\).
3. On veut une puissance d'au moins 50 W. Résoudre \(0{,}5v^2 \geq 50\).
4. À quelle vitesse de vent obtient-on exactement 200 W ? Résoudre \(0{,}5v^2 = 200\).
\(P(4) = 0{,}5 \times 16 = 8\) W | \(P(8) = 0{,}5 \times 64 = 32\) W
\(P(12) = 0{,}5 \times 144 = 72\) W | \(P(20) = 0{,}5 \times 400 = 200\) W
2. Doublement :\(P(4) = 8\) W et \(P(8) = 32\) W. Rapport : \(\frac{32}{8} = 4\). La puissance est multipliée par 4, pas par 2. En effet, \(P(2v) = 0{,}5(2v)^2 = 4 \times 0{,}5v^2 = 4P(v)\).
3. Puissance minimale :\(0{,}5v^2 \geq 50 \Rightarrow v^2 \geq 100 \Rightarrow v \geq 10\) m/s.
4. Résolution :\(0{,}5v^2 = 200 \Rightarrow v^2 = 400 \Rightarrow v = 20\) m/s (on garde \(v > 0\)).
Trois pièces carrées ont les côtés suivants : \(a = 3{,}8\) m, \(b = 4{,}2\) m et \(c = 4{,}0\) m.
1. Sans calculer les aires, ranger les trois pièces de la plus petite à la plus grande surface. Justifier en utilisant les variations de la fonction carré.
2. Calculer les trois aires pour vérifier le classement.
3. La différence d'aire entre la pièce de 3,8 m et celle de 4,2 m est-elle la même que la différence d'aire entre les pièces de 4,0 m et 4,4 m ? Calculer et commenter.
4. Un métreur affirme : « Quand j'ajoute 0,5 m au côté d'une pièce carrée, la surface augmente toujours du même nombre de m². » A-t-il raison ? Justifier avec un contre-exemple.
1. \(0 < 3{,}8 < 4{,}0 < 4{,}2\). La fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(3{,}8^2 < 4{,}0^2 < 4{,}2^2\). Classement : pièce de 3,8 m < pièce de 4,0 m < pièce de 4,2 m.
2. \(3{,}8^2 = 14{,}44\) m² | \(4{,}0^2 = 16\) m² | \(4{,}2^2 = 17{,}64\) m². ✔
3. Différence 3,8 m → 4,2 m : \(17{,}64 - 14{,}44 = 3{,}20\) m². Différence 4,0 m → 4,4 m : \(4{,}4^2 - 4{,}0^2 = 19{,}36 - 16 = 3{,}36\) m². Les différences ne sont pas égales.
4. Non, il a tort. Contre-exemple : de 2 à 2,5 m → \(6{,}25 - 4 = 2{,}25\) m². De 10 à 10,5 m → \(110{,}25 - 100 = 10{,}25\) m². L'augmentation de surface dépend du côté initial. La fonction carré n'est pas linéaire.
Un menuisier agenceur pose du carrelage mural en carreaux carrés de côté \(x\) cm. Le prix d'un carreau est proportionnel à sa surface : \(C(x) = 0{,}02 x^2\) (en euros par carreau).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
| Prix (€) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Le budget est de 12,50 € par carreau. Quel est le plus grand carreau possible ? Résoudre \(0{,}02x^2 \leq 12{,}50\).
3. Pour couvrir un mur de 1 m², combien faut-il de carreaux de côté 20 cm ? Et de côté 10 cm ?
4. Dans quel cas le coût total est-il le plus élevé : des carreaux de 20 cm ou de 10 cm ? Justifier par le calcul.
| \(x\) (cm) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | 100 | 225 | 400 | 625 | 900 |
| Prix (€) | 2 | 4,50 | 8 | 12,50 | 18 |
\(0{,}02x^2 \leq 12{,}50 \Rightarrow x^2 \leq 625 \Rightarrow x \leq 25\) cm. Le plus grand carreau possible mesure 25 cm de côté.
3. Nombre de carreaux pour 1 m² = 10 000 cm² :Carreaux de 20 cm : \(\frac{10\,000}{400} = 25\) carreaux. Carreaux de 10 cm : \(\frac{10\,000}{100} = 100\) carreaux.
4. Coût total :Carreaux de 20 cm : \(25 \times 8 = 200\) €. Carreaux de 10 cm : \(100 \times 2 = 200\) €. Le coût total est identique : le prix au m² est le même (\(0{,}02 \times 10\,000 / 10\,000 = 0{,}02\) €/cm² dans les deux cas).
Résoudre les équations et inéquations suivantes. Donner les solutions sous forme d'ensemble ou d'intervalle.
1. \(x^2 = 81\)
2. \(3x^2 = 75\)
3. \(x^2 + 5 = 14\)
4. \(x^2 - 7 = -7\)
5. \(2x^2 \leq 32\)
6. \(x^2 + 3 > 12\)
1. \(x^2 = 81\) → \(x = 9\) ou \(x = -9\). \(\mathcal{S} = \{-9\,;\,9\}\).
2. \(3x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 25\) → \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).
3. \(x^2 + 5 = 14 \Rightarrow x^2 = 9\) → \(x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
4. \(x^2 - 7 = -7 \Rightarrow x^2 = 0\) → \(x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).
5. \(2x^2 \leq 32 \Rightarrow x^2 \leq 16 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4\). \(\mathcal{S} = [-4\,;\,4]\).
6. \(x^2 + 3 > 12 \Rightarrow x^2 > 9 \Rightarrow x < -3\) ou \(x > 3\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(g(x) = x^2+3\) | … | … | … | … | … | … | … |
b) Que remarque-t-on ? Chaque valeur de \(g\) est égale à celle de \(f\) plus combien ?
c) Quel est le minimum de \(f\) ? Et celui de \(g\) ?
d) La courbe de \(g\) est obtenue à partir de celle de \(f\) par quelle transformation ?
a) \(g(x)\) : 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12
b) Chaque valeur de \(g\) est égale à celle de \(f\) plus 3. \(g(x) = f(x) + 3\).
c) Minimum de \(f\) : \(\mathbf{0}\) (atteint en \(x = 0\)). Minimum de \(g\) : \(\mathbf{3}\) (atteint en \(x = 0\)).
d) La courbe de \(g\) est obtenue par une translation verticale de 3 unités vers le haut de la courbe de \(f\).
On définit \(g(x) = -x^2\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | −9 | −4 | −1 | 0 | −1 | −4 | −9 |
2. \(g\) admet un maximum de \(0\) en \(x = 0\). En effet, \(-x^2 \leq 0\) toujours.
3. \(g\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
4. Non, \(g(x) = -x^2 \leq 0\) toujours. La seule valeur nulle est en \(x = 0\).
5. Résolution de \(g(x) \geq -9\) :\(-x^2 \geq -9 \Rightarrow x^2 \leq 9\). La courbe de \(f(x) = x^2\) est en dessous de \(y = 9\) pour \(-3 \leq x \leq 3\).
| Prestataire | Tarif |
|---|---|
| ArtisanBois | 50 €/m² — pas de forfait |
| ParquetPro | 35 €/m² + 180 € de forfait |
1. Côté parallèle au mur : \(24 - 2x\)
2. \(A(x) = x \times (24 - 2x)\) (longueur × largeur)
3. \(A(x) = 24x - 2x^2 = -2x^2 + 24x\)
4. Tableau de valeurs :| \(x\) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | 40 | 64 | 72 | 64 | 40 | 0 |
Le maximum semble atteint pour \(x = 6\).
5. Maximum :\(A(6) = -2 \times 36 + 24 \times 6 = -72 + 144 = \mathbf{72 \text{ m}^2}\).
Un artisan menuisier dispose de 20 mètres de clôture en bois pour délimiter un enclos rectangulaire.
On appelle \(x\) la largeur du rectangle (en mètres), avec \(0 < x < 10\).
1. Montrer que la longueur du rectangle s'écrit \(L = 10 - x\).
2. Montrer que l'aire de l'enclos est \(A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\).
3. Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
4. Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle maximale ? Quelle forme a alors l'enclos ?
5. Dresser le tableau de variations de \(A\) sur \(]0\,;\,10[\).
1. Périmètre = \(2x + 2L = 20\), donc \(2L = 20 - 2x\), d'où \(L = 10 - x\).
2. \(A(x) = x \times (10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\). ✔
3. Tableau :| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 | 24 | 21 | 16 | 9 |
L'aire est maximale pour \(x = 5\) : \(A(5) = 25\) m². La longueur est aussi \(10 - 5 = 5\) m. L'enclos est un carré de 5 m de côté.
5. Tableau de variations :\(A\) est croissante sur \(]0\,;\,5]\) et décroissante sur \([5\,;\,10[\). Maximum : \(A(5) = 25\) m².
On considère \(f(x) = x^2\). Sans effectuer de calcul numérique, comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) dans chaque cas. Justifier à l'aide des variations de \(f\).
1. \(a = 3{,}14\) et \(b = \pi\). (Rappel : \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\))
2. \(a = -\sqrt{3}\) et \(b = -1{,}7\). (Rappel : \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\))
3. \(a = -100\) et \(b = 99\).
4. \(a = n\) et \(b = n + 1\) avec \(n \geq 0\). Que peut-on affirmer ?
5. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(|a| < |b|\). Montrer que \(a^2 < b^2\).
1. \(0 < 3{,}14 < \pi\) et \(f\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(f(3{,}14) < f(\pi)\), soit \(3{,}14^2 < \pi^2\).
2. \(-\sqrt{3} \approx -1{,}732\) et \(-1{,}7\). Donc \(-\sqrt{3} < -1{,}7 < 0\). \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \(f(-\sqrt{3}) > f(-1{,}7)\), soit \(3 > 2{,}89\).
3. \(|-100| = 100 > |99| = 99\). Donc \((-100)^2 = 10\,000 > 99^2 = 9\,801\). \(f(a) > f(b)\).
4. Si \(n \geq 0\) : \(0 \leq n < n + 1\) et \(f\) croissante → \(n^2 < (n + 1)^2\). Les carrés des entiers naturels forment une suite strictement croissante.
5. Démonstration :\(|a| < |b|\) signifie que \(a\) est plus proche de 0 que \(b\). Or \(a^2 = |a|^2\) et \(b^2 = |b|^2\). Comme \(|a|\) et \(|b|\) sont positifs et \(|a| < |b|\), on utilise la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(|a|^2 < |b|^2\), soit \(a^2 < b^2\). ✔
Un fabricant de mobilier plaque des panneaux décoratifs carrés sur des façades de meubles. Le coût de revient d'un panneau de côté \(c\) (en décimètres) est :
Le prix de vente est fixé à : \(V(c) = 15c\) (en €).
1. Exprimer le bénéfice \(B(c) = V(c) - R(c)\) en fonction de \(c\).
2. Compléter le tableau de valeurs pour \(c \in \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\) :
| \(c\) (dm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(V(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(B(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelles valeurs de \(c\) le fabricant réalise-t-il un bénéfice positif ?
4. Résoudre \(B(c) = 0\) pour trouver les seuils de rentabilité.
1. \(B(c) = 15c - (2{,}5c^2 + 8) = -2{,}5c^2 + 15c - 8\).
2. Tableau :| \(c\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R(c)\) | 10,5 | 18 | 30,5 | 48 | 70,5 | 98 |
| \(V(c)\) | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
| \(B(c)\) | 4,5 | 12 | 14,5 | 12 | 4,5 | −8 |
D'après le tableau, \(B(c) > 0\) de \(c = 1\) à \(c = 5\) ; plus précisément entre les deux seuils \(\approx 0{,}6\) dm et \(\approx 5{,}4\) dm (voir question 4). Le bénéfice est maximal autour de \(c = 3\) dm.
4. Seuils de rentabilité :On cherche les valeurs de \(c\) pour lesquelles \(B(c) = 0\), c'est-à-dire les abscisses où la courbe de \(B\) coupe l'axe horizontal. On les repère par lecture du tableau (ou graphiquement) en encadrant les changements de signe :
• \(B(0) = -8 < 0\) et \(B(1) = 4{,}5 > 0\) : \(B\) s'annule entre 0 et 1, vers \(c_1 \approx 0{,}6\) dm.
• \(B(5) = 4{,}5 > 0\) et \(B(6) = -8 < 0\) : \(B\) s'annule entre 5 et 6, vers \(c_2 \approx 5{,}4\) dm.
On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 3\).
1. Compléter le tableau pour \(x \in \{-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\}\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(g(x) = 2x + 3\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Pour quelles valeurs de \(x\) du tableau a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
3. Résoudre algébriquement \(x^2 = 2x + 3\). (Indication : ramener à \(x^2 - 2x - 3 = 0\) et factoriser.)
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > g(x)\) ? Interpréter graphiquement.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(g(x)\) | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
2. \(f(x) = g(x)\) pour \(x = -1\) (les deux valent 1) et \(x = 3\) (les deux valent 9).
3. Résolution algébrique :\(x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\).
Factorisation : \((x - 3)(x + 1) = 0\). Donc \(x = 3\) ou \(x = -1\). \(\mathcal{S} = \{-1\,;\,3\}\). ✔
4. \(f(x) > g(x)\) :\(x^2 > 2x + 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) > 0\).
Par un tableau de signes : \(x < -1\) ou \(x > 3\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).
L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) (en kg) se déplaçant à la vitesse \(v\) (en m/s) est :
Un véhicule de masse \(m = 1\,200\) kg roule à différentes vitesses.
1. Exprimer \(E_c\) en fonction de \(v\) pour ce véhicule.
2. Calculer \(E_c\) pour \(v = 10\) m/s (36 km/h), \(v = 20\) m/s (72 km/h) et \(v = 30\) m/s (108 km/h).
3. La vitesse passe de 20 m/s à 40 m/s (elle double). Par quel facteur l'énergie cinétique est-elle multipliée ? Quel danger cela représente-t-il ?
4. On souhaite que l'énergie cinétique ne dépasse pas 240 000 J. Quelle est la vitesse maximale autorisée ?
1. \(E_c = \frac{1}{2} \times 1\,200 \times v^2 = 600v^2\).
2. Calculs :\(E_c(10) = 600 \times 100 = 60\,000\) J = 60 kJ.
\(E_c(20) = 600 \times 400 = 240\,000\) J = 240 kJ.
\(E_c(30) = 600 \times 900 = 540\,000\) J = 540 kJ.
3. Doublement de la vitesse :\(E_c(40) = 600 \times 1\,600 = 960\,000\) J et \(E_c(20) = 240\,000\) J.
Rapport : \(\frac{960\,000}{240\,000} = 4\). L'énergie est multipliée par 4 (car \((2v)^2 = 4v^2\)).
\(600v^2 \leq 240\,000 \Rightarrow v^2 \leq 400 \Rightarrow v \leq 20\) m/s, soit 72 km/h.
Un menuisier fabrique une jardinière rectangulaire en bois, ouverte sur le dessus. La base est un carré de côté \(x\) (en dm) et la hauteur vaut \(h\) dm.
Le volume intérieur doit être exactement de 32 dm³ (soit 32 litres).
1. Exprimer le volume en fonction de \(x\) et \(h\), puis montrer que \(h = \dfrac{32}{x^2}\).
2. La surface totale de bois utilisée (base + 4 faces latérales) est :
Compléter le tableau pour \(x \in \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8\}\).
| \(x\) (dm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) (dm) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(S(x)\) (dm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelle valeur de \(x\) (parmi celles du tableau) la surface de bois est-elle minimale ? Quel est alors la hauteur correspondante ?
4. Le menuisier dispose de 60 dm² de bois. Quelles dimensions peut-il envisager ?
1. Volume = base × hauteur = \(x^2 \times h = 32\), donc \(h = \frac{32}{x^2}\).
2. Tableau :| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) | 32 | 8 | 3,56 | 2 | 1,28 | 0,89 | 0,5 |
| \(S(x)\) | 129 | 68 | 51,67 | 48 | 50,6 | 57,33 | 80 |
D'après le tableau, la surface est minimale pour \(x = 4\) dm : \(S(4) = 16 + 32 = \mathbf{48}\) dm². La hauteur est alors \(h = 2\) dm. La jardinière mesure 4 dm × 4 dm × 2 dm.
4. Budget de 60 dm² :D'après le tableau, \(S(x) \leq 60\) pour \(x\) entre environ 3 et 6 dm (les valeurs \(x = 3, 4, 5\) et \(6\) conviennent, car \(S(6) = 57{,}33 \leq 60\)). Le menuisier peut choisir un côté entre 3 et 6 dm environ.
Un menuisier agenceur dispose d'un panneau carré de 10 cm de côté. Il y découpe un rectangle en retirant une bande de largeur \(x\) (en cm) sur deux côtés opposés. Le rectangle obtenu a pour dimensions :
1. Pour quelles valeurs de \(x\) le découpage est-il possible ? (Condition sur \(10 - 2x\).)
2. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de \(x\) : \(A(x) = 10(10 - 2x)\). Développer.
3. Exprimer l'aire totale des deux bandes découpées : \(B(x) = \) … Montrer que \(B(x) = 20x\).
4. On s'intéresse maintenant au cas où le menuisier retire des bandes sur les quatre côtés. Le rectangle restant mesure \((10 - 2x)\) cm × \((10 - 2x)\) cm. Montrer que son aire est \(C(x) = (10 - 2x)^2 = 4x^2 - 40x + 100\).
5. Compléter le tableau pour \(x \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}\) et identifier la valeur de \(x\) pour laquelle le rectangle central disparaît.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
6. Le menuisier veut que le carré restant ait une aire d'au moins 36 cm². Résoudre \((10 - 2x)^2 \geq 36\) pour \(0 < x < 5\).
1. Il faut \(10 - 2x > 0\), soit \(x < 5\). Avec \(x > 0\), on a \(0 < x < 5\).
2. \(A(x) = 10(10 - 2x) = 100 - 20x\).
3. Deux bandes de 10 cm × \(x\) cm : \(B(x) = 2 \times 10x = 20x\). On vérifie : \(A(x) + B(x) = 100 - 20x + 20x = 100\) cm² = aire du panneau. ✔
4. Développement :\(C(x) = (10 - 2x)^2 = 100 - 2 \times 10 \times 2x + (2x)^2 = 100 - 40x + 4x^2 = 4x^2 - 40x + 100\). ✔
5. Tableau :| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 100 | 64 | 36 | 16 | 4 | 0 |
Le rectangle central disparaît pour \(x = 5\) (\(C(5) = 0\)).
6. Résolution :\((10 - 2x)^2 \geq 36\). Posons \(u = 10 - 2x\) (\(u > 0\) car \(x < 5\)).
\(u^2 \geq 36 \Rightarrow u \geq 6\) (car \(u > 0\)).
\(10 - 2x \geq 6 \Rightarrow -2x \geq -4 \Rightarrow x \leq 2\).
On considère les trois fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 0{,}5x^2\) et \(h(x) = 3x^2\).
1. Compléter le tableau de valeurs pour \(x \in \{-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\) :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(g(x) = 0{,}5x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(h(x) = 3x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Pour tout \(x \neq 0\), classer \(g(x)\), \(f(x)\) et \(h(x)\) dans l'ordre croissant. Justifier.
3. Résoudre \(g(x) = f(x)\). Puis résoudre \(h(x) = f(x)\). Interpréter géométriquement.
4. On considère la fonction \(p(x) = ax^2\) avec \(a > 0\). Montrer que \(p\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), quel que soit \(a > 0\).
5. Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(p(x) = ax^2\) vérifie-t-elle \(p(5) = 100\) ?
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(g(x)\) | 4,5 | 2 | 0,5 | 0 | 0,5 | 2 | 4,5 |
| \(h(x)\) | 27 | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 | 27 |
2. Pour \(x \neq 0\) : \(g(x) = 0{,}5x^2 < x^2 = f(x) < 3x^2 = h(x)\) car \(0{,}5 < 1 < 3\) et \(x^2 > 0\). Ordre : \(g(x) < f(x) < h(x)\).
3. Intersections :\(g(x) = f(x) \Rightarrow 0{,}5x^2 = x^2 \Rightarrow -0{,}5x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Les courbes ne se croisent qu'à l'origine.
De même, \(h(x) = f(x) \Rightarrow 3x^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Même résultat.
Géométriquement : les trois paraboles passent toutes par l'origine et ne se croisent nulle part ailleurs.
4. Démonstration :Soit \(0 \leq x_1 < x_2\). Alors \(x_1^2 < x_2^2\) (car la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)). Comme \(a > 0\), on multiplie par \(a\) sans changer le sens : \(ax_1^2 < ax_2^2\), soit \(p(x_1) < p(x_2)\). Donc \(p\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Raisonnement analogue sur \(]-\infty\,;\,0]\).
5. Trouver \(a\) :\(p(5) = a \times 25 = 100 \Rightarrow a = \frac{100}{25} = \mathbf{4}\). La fonction est \(p(x) = 4x^2\).
Un installateur conçoit un collecteur d'eau de pluie de forme cylindrique. La base est un disque de rayon \(r\) (en dm) et la hauteur est \(h\) dm. Le volume doit être exactement de 50 dm³ (soit 50 litres).
1. Rappeler la formule du volume d'un cylindre en fonction de \(r\) et \(h\). En déduire que \(h = \dfrac{50}{\pi r^2}\).
2. La surface totale de tôle nécessaire (fond + paroi latérale, sans couvercle) est :
Compléter le tableau pour \(r \in \{1 ; 1{,}5 ; 2 ; 2{,}5 ; 3 ; 4 ; 5\}\) (arrondir à l'unité) :
| \(r\) (dm) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) (dm) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(S(r)\) (dm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelle valeur de \(r\) (parmi celles du tableau) la surface de tôle est-elle minimale ? Quelles sont alors les dimensions du collecteur ?
4. Quand \(r\) est très petit, quel terme domine dans \(S(r)\) ? Et quand \(r\) est très grand ? Expliquer pourquoi il existe un minimum.
5. L'installateur dispose de 80 dm² de tôle. Quelles valeurs de \(r\) sont possibles d'après le tableau ?
1. Volume = \(\pi r^2 h = 50\), donc \(h = \frac{50}{\pi r^2}\). ✔
2. Tableau :| \(r\) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) | 15,9 | 7,1 | 4,0 | 2,5 | 1,8 | 1,0 | 0,6 |
| \(S(r)\) | 103 | 74 | 63 | 60 | 62 | 75 | 99 |
D'après le tableau, la surface est minimale pour \(r \approx 2{,}5\) dm : \(S \approx 60\) dm². La hauteur correspondante est \(h \approx 2{,}5\) dm. Le collecteur mesure environ 5 dm de diamètre et 2,5 dm de haut (soit 50 cm × 25 cm).
4. Analyse des termes :Quand \(r\) est très petit, le terme \(\frac{100}{r}\) domine (il devient très grand). Quand \(r\) est très grand, le terme \(\pi r^2\) domine. Les deux termes jouent en sens contraire : l'un diminue quand l'autre augmente, ce qui crée un minimum pour une valeur intermédiaire de \(r\).
5. Budget tôle :D'après le tableau, \(S(r) \leq 80\) pour \(r\) entre environ 1,5 et 4 dm. L'installateur peut choisir un rayon dans cet intervalle.
| Compétence | Exercices |
|---|---|
| Calculer des images de \(f(x) = x^2\) | Ex 1, 2, 3 |
| Compléter un tableau de valeurs | Ex 3, 17, 20, 41, 45 |
| Construire le tableau de variations | Ex 4, 21, 39 |
| Symétrie de la parabole | Ex 1, 2, 8 |
| Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calculer | Ex 6, 13, 26, 32, 40 |
| Résoudre \(x^2 = k\) | Ex 7, 15, 19, 28, 31, 34 |
| Résoudre des inéquations avec \(x^2\) | Ex 30, 33, 34, 44 |
| Analyser les transformations de la parabole | Ex 22, 35, 36, 45 |
| Fonctions du type \(ax^2\) | Ex 16, 17, 25, 29, 31, 33, 43, 46 |
| Modéliser une situation professionnelle | Ex 5, 9, 11, 14, 18, 19, 24, 27, 37, 38, 44, 47 |
| Optimisation (aire maximale, coût minimal) | Ex 38, 39, 44, 45, 47 |
| Comparer deux fonctions / résoudre une équation | Ex 36, 37, 41, 42, 46 |