2nde Bac Pro | Chapitre 10 | Mathématiques
Dernière mise à jour : 25 juillet 2026, 18:20
On considère la fonction \(f(x) = x^2\).
1. \(f(3) = 3^2 = 9\) et \(f(-3) = (-3)^2 = 9\) ; \(f(0{,}5) = 0{,}25\) et \(f(-2{,}5) = 6{,}25\).
On constate que \(f(3) = f(-3)\) : deux nombres opposés ont la même image, y compris avec des nombres décimaux.
2. \(f(5) = 25\) et \(f(-5) = 25\). Oui, même propriété : \(f(5) = f(-5)\).
3. Deux nombres opposés ont la même image par la fonction carré (car \((-x)^2 = x^2\)).
4. Non, c'est impossible. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul (\(x^2 \geq 0\)), donc \(f(x) = -4\) n'a pas de solution.
5. Sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 9\)… les images augmentent → \(f\) est croissante.
Sur \(]-\infty\,;\,0]\) : \(f(-3) = 9\), \(f(-2) = 4\), \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 0\)… les images diminuent → \(f\) est décroissante.
6. Le minimum est \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\). C'est le sommet de la parabole.
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | 16 | ? | ? | 0 | ? | 4 | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 16 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(x\) | \(-\infty\) | ↘ ou ↗ ? | 0 | ↘ ou ↗ ? | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | min = ? | \(+\infty\) | ||||
La parabole f(x) = x² est symétrique par rapport à l'axe vertical (x = 0). Sommet en bas (minimum). On dit qu'elle est « tournée vers le haut ».
| Côté \(c\) (m) | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Surface \(A\) (m²) | ? | ? | ? | ? |
| Côté \(c\) | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Surface \(A\) | 1 | 2,25 | 4 | 9 |
2. \(c = \sqrt{4} = \mathbf{2}\) m. Vérif : \(2^2 = 4\) ✔
3. \(c = \sqrt{2{,}25} = \mathbf{1{,}5}\) m. On retrouve la valeur du tableau !
En utilisant la parabole de \(f(x) = x^2\), résoudre graphiquement :
1. \(x^2 = 4\)
Trace la droite \(y = 4\). Elle coupe la parabole en \(x = \) ……… et \(x = \) ………
2. \(x^2 = 16\)
Trace la droite \(y = 16\). Les solutions sont \(x = \) ……… et \(x = \) ………
3. \(x^2 = 0\)
4. \(x^2 = -5\). Combien de solutions ?
1. La droite \(y = 4\) coupe la parabole en \(x = -2\) et \(x = 2\). Vérif : \((-2)^2 = 4\) ✔ et \(2^2 = 4\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-2\,;\,2\}\).
2. La droite \(y = 16\) coupe la parabole en \(x = -4\) et \(x = 4\). \(\mathcal{S} = \{-4\,;\,4\}\).
3. La droite \(y = 0\) (l'axe des abscisses) touche la parabole en un seul point : \(x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).
4. La droite \(y = -5\) est sous l'axe des abscisses et ne coupe jamais la parabole (\(x^2 \geq 0\) toujours). Aucune solution. \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Selon la position de la droite y = k : k > 0 → 2 solutions symétriques ; k = 0 → 1 solution (x=0) ; k < 0 → aucune solution.
La parabole \(f(x) = x^2\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela signifie que \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\).
1. Compléter le tableau en utilisant la symétrie (sans refaire les calculs) :
| \(x\) | \(1\) | \(-1\) | \(3\) | \(-3\) | \(7\) | \(-7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | ? | 9 | ? | 49 | ? |
2. Si \(f(a) = 25\), quelles sont les deux valeurs possibles de \(a\) ?
Indice : \(a^2 = 25\), donc \(a = \) ……… ou \(a = \) ………
3. Pourquoi la parabole a-t-elle toujours deux « branches » symétriques ?
1. Par symétrie : \(f(-1) = f(1) = 1\), \(f(-3) = f(3) = 9\), \(f(-7) = f(7) = 49\).
2. \(a^2 = 25\) → \(a = 5\) ou \(a = -5\). Vérif : \(5^2 = 25\) ✔ et \((-5)^2 = 25\) ✔.
3. Car \((-x)^2 = x^2\) : le signe de \(x\) disparaît quand on élève au carré. Un nombre et son opposé ont toujours la même image.
Un serrurier-métallier découpe des platines carrées de côté \(x\) cm, qui serviront à fixer les garde-corps d'un balcon. L'aire d'une platine est \(A(x) = x^2\) (en cm²).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire de la platine (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Le bureau d'études impose une platine de 400 cm². Quel doit être son côté ?
Compléter : \(x^2 = 400\) donc \(x = \sqrt{400} = \) ………
3. Le serrurier double le côté d'une platine (il passe de 10 à 20 cm). La quantité de tôle utilisée est-elle doublée ? Justifier.
1.
| Côté \(x\) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire | 25 | 100 | 225 | 400 | 900 |
2. \(x^2 = 400\) et \(x > 0\) → \(x = \sqrt{400} = 20\) cm.
3. Non ! \(A(10) = 100\) cm² et \(A(20) = 400\) cm². Il faut 4 fois plus de tôle, pas 2 fois. En effet, \((2x)^2 = 4x^2\).
La grande platine contient 4 petites platines identiques (10×10). C'est la propriété de la fonction carré : (2x)² = 4x².
Pour chaque affirmation, indiquer Vrai ou Faux et justifier.
1. « Le minimum de \(f(x) = x^2\) est 0. »
Aide : le carré d'un nombre est toujours ……… ou ………
2. « Il existe un nombre \(x\) tel que \(x^2 = -1\). »
3. « La fonction carré est croissante sur tout \(\mathbb{R}\). »
Aide : compare \(f(-3)\) et \(f(-1)\).
4. « Si \(a < b\) et \(a, b > 0\), alors \(a^2 < b^2\). »
5. « \(f(3) = f(-3)\) car la parabole est symétrique. »
1. VRAI. \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x\) et \(f(0) = 0\). Le minimum est bien 0, atteint en \(x = 0\).
2. FAUX. \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -1\) n'a aucune solution.
3. FAUX. Contre-exemple : \(-3 < -1\) mais \(f(-3) = 9 > f(-1) = 1\). Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\).
4. VRAI. Sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est croissante. Donc si \(0 < a < b\), alors \(a^2 < b^2\).
5. VRAI. \(f(3) = 9\) et \(f(-3) = 9\). La symétrie \(f(-x) = f(x)\) se vérifie.
Un chef de chantier sensibilise son équipe au risque de chute d'objets. Un outil tombe d'un plancher d'échafaudage situé à 20 m du sol. Sa hauteur (en mètres) est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 20\), où \(t\) est le temps en secondes (\(t \geq 0\)). Le coefficient 5 traduit la pesanteur — c'est le même que celui de l'exercice 2-9.
1. Compléter le tableau :
| \(t\) (s) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) (m) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Quelle est la hauteur de l'outil au départ (\(t = 0\)) ? Que représente ce nombre sur le chantier ?
3. Au bout de combien de temps l'outil touche-t-il le sol ? (On cherche \(t\) tel que \(h(t) = 0\).)
Compléter : \(-5t^2 + 20 = 0\) donc \(t^2 = \) ……… donc \(t = \) ………
1.
| \(t\) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) | 20 | 18,75 | 15 | 8,75 | 0 |
2. Au départ : \(h(0) = 20\) m. C'est la hauteur du plancher d'échafaudage d'où l'outil est tombé.
3. \(-5t^2 + 20 = 0 \Rightarrow 5t^2 = 20 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2\) s (on garde \(t > 0\)). L'outil touche le sol au bout de 2 secondes — le temps de crier « attention ! ». D'où l'obligation du casque et des plinthes de protection en rive de plancher.
Le coefficient devant t² est négatif : la parabole est tournée vers le bas. L'outil part de h = 20 m et touche le sol à t = 2 s.
Comparer sans calculer, en utilisant les variations de la fonction carré :
1. \((-8)^2\) et \((-3)^2\)
Aide : \(-8\) et \(-3\) sont négatifs. On a \(-8 < -3 < 0\). La fonction carré est ……… sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc l'image du plus petit est la plus ………
2. \((-1{,}5)^2\) et \((-4{,}2)^2\)
3. \(7^2\) et \((-7)^2\). Que remarque-t-on ?
4. \((-10)^2\) et \(9^2\).
Attention : les deux nombres ne sont pas du même signe ! Utilise une astuce.
1. \(-8 < -3 < 0\) et \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \((-8)^2 > (-3)^2\), soit \(64 > 9\). ✔
2. \(-4{,}2 < -1{,}5 < 0\) et \(f\) décroissante → \((-4{,}2)^2 > (-1{,}5)^2\).
3. \(7^2 = 49\) et \((-7)^2 = 49\). Ils sont égaux car \(7\) et \(-7\) sont opposés : \((-x)^2 = x^2\).
4. L'astuce : un nombre et son opposé ont le même carré, donc \((-10)^2 = 10^2\). On compare alors deux nombres positifs : \(0 < 9 < 10\) et \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(9^2 < 10^2\), soit \(81 < 100\). Finalement \((-10)^2 > 9^2\). ✔
La distance de freinage \(d\) (en mètres) d'une voiture sur route sèche dépend de sa vitesse \(v\) (en km/h) selon la formule simplifiée :
1. Compléter le tableau :
| Vitesse \(v\) (km/h) | 30 | 50 | 90 | 130 |
|---|---|---|---|---|
| Distance \(d\) (m) | ? | ? | ? | ? |
2. Quand la vitesse passe de 50 à 100 km/h (elle double), la distance de freinage est-elle doublée ?
Calculer \(d(50)\) et \(d(100)\) pour vérifier.
3. Pourquoi la limitation de vitesse en ville est-elle si importante ? Répondre en utilisant les résultats du tableau.
1.
| \(v\) (km/h) | 30 | 50 | 90 | 130 |
|---|---|---|---|---|
| \(d\) (m) | 5,4 | 15 | 48,6 | 101,4 |
2. \(d(50) = 15\) m et \(d(100) = 0{,}006 \times 10\,000 = 60\) m. La distance est multipliée par 4, pas par 2 ! En effet, \((2v)^2 = 4v^2\).
3. La distance de freinage augmente beaucoup plus vite que la vitesse (elle dépend du carré de la vitesse). À 130 km/h, il faut plus de 100 m pour s'arrêter. Réduire la vitesse réduit considérablement le risque d'accident.
À 130 km/h, il faut presque 20 fois plus de distance qu'à 30 km/h pour freiner. La fonction carré explique pourquoi les limitations de vitesse ont un impact aussi fort sur la sécurité.
Résoudre les équations suivantes en indiquant le nombre de solutions :
1. \(x^2 = 9\)
\(k = 9 > 0\) → ……… solutions : \(x = \sqrt{9} = \) ……… et \(x = -\sqrt{9} = \) ………
2. \(x^2 = 25\)
3. \(x^2 = -16\)
4. \(x^2 = 0{,}49\)
Indice : \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\) car \(0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49\).
5. \(x^2 = 100\)
1. \(x^2 = 9\) → \(x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
2. \(x^2 = 25\) → \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).
3. \(x^2 = -16\) → aucune solution car \(x^2 \geq 0\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
4. \(x^2 = 0{,}49\) → \(x = 0{,}7\) ou \(x = -0{,}7\). Vérif : \(0{,}7^2 = 0{,}49\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-0{,}7\,;\,0{,}7\}\).
5. \(x^2 = 100\) → \(x = 10\) ou \(x = -10\). \(\mathcal{S} = \{-10\,;\,10\}\).
Un installateur en génie climatique calcule la section (l'aire du disque) des gaines circulaires qu'il pose : c'est elle qui détermine le débit d'air. La section d'une gaine de rayon \(r\) (en cm) est donnée par \(A(r) = \pi r^2\) (en cm²).
1. Compléter le tableau (arrondir à l'unité) :
| Rayon \(r\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Section \(A\) (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. L'installateur remplace une gaine de rayon 5 cm par une gaine de rayon 10 cm. La section est-elle doublée ?
Comparer \(A(5)\) et \(A(10)\). Par combien la section est-elle multipliée ?
3. Le bureau d'études impose une section d'environ 200 cm². Quel doit être le rayon de la gaine ?
Compléter : \(\pi r^2 = 200\) donc \(r^2 = \dfrac{200}{\pi} \approx \) ……… donc \(r \approx \) ………
1.
| \(r\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A\) (cm²) | 3 | 13 | 28 | 79 | 314 |
2. Le rayon est multiplié par 2 (de 5 à 10). Comme la section est en \(r^2\), elle est multipliée par le carré de ce facteur : \(\left(\dfrac{10}{5}\right)^2 = 2^2 = 4\). En effet, \(\pi(2r)^2 = 4\pi r^2\). La section est donc multipliée par 4, pas par 2 — et le débit d'air avec elle.
Vérification approchée avec les valeurs arrondies du tableau : \(A(5) \approx 79\) cm² et \(A(10) \approx 314\) cm², soit \(\dfrac{314}{79} \approx 3{,}97 \approx 4\). L'écart avec 4 vient uniquement des arrondis à l'unité ; la valeur exacte du rapport est bien 4.
3. \(r^2 = \frac{200}{\pi} \approx 63{,}7\) donc \(r \approx \sqrt{63{,}7} \approx \mathbf{8{,}0}\) cm. La gaine mesure donc environ 16 cm de diamètre.
Compléter les tableaux de valeurs suivants :
1. \(f(x) = 2x^2\)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = 2x^2\) | ? | ? | ? | 0 | ? | ? | ? |
2. \(g(x) = 3x^2\)
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x) = 3x^2\) | ? | ? | 0 | ? | ? |
3. Quel est le minimum de \(f\) ? Et de \(g\) ? La symétrie est-elle toujours vérifiée ?
1.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 |
2.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 |
3. Le minimum de \(f\) est 0 (en \(x = 0\)) et le minimum de \(g\) est aussi 0 (en \(x = 0\)). La symétrie est toujours vérifiée : \(f(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = f(x)\). ✔
Un plaquiste découpe des trappes de visite carrées dans des plaques de plâtre. Le côté de la trappe mesure \(x\) cm.
La surface découpée est \(S(x) = x^2\) (en cm²) et le poids de la découpe est \(P(x) = 1{,}2 \times x^2\) (en grammes).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
| Poids (g) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Une trappe doit peser au maximum 480 g. Quel est le côté maximum ?
Compléter : \(1{,}2 x^2 \leq 480\) donc \(x^2 \leq \) ……… donc \(x \leq \) ………
3. Si le plaquiste triple le côté de la trappe, par combien le poids est-il multiplié ?
1.
| \(x\) (cm) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface (cm²) | 25 | 100 | 225 | 400 | 625 |
| Poids (g) | 30 | 120 | 270 | 480 | 750 |
2. \(1{,}2x^2 \leq 480 \Rightarrow x^2 \leq 400 \Rightarrow x \leq \sqrt{400} = \mathbf{20}\) cm. Le côté ne doit pas dépasser 20 cm.
3. Si \(x\) est multiplié par 3 : \(P(3x) = 1{,}2 \times (3x)^2 = 1{,}2 \times 9x^2 = 9 \times P(x)\). Le poids est multiplié par 9.
Sur une terrasse, on installe les deux carrés potagers représentés ci-dessus.
1. Compléter le tableau de valeurs de \(A(c) = c^2\) :
| Côté \(c\) (m) | 0,5 | 1 | 1,2 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Surface \(A(c)\) (m²) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Calculer la surface du carré A (côté 1,2 m), puis celle du carré B (côté 1,8 m).
3. Le côté de B vaut 1,5 fois celui de A (car \(1{,}2 \times 1{,}5 = 1{,}8\)). La surface de B est-elle, elle aussi, 1,5 fois plus grande ? Calculer le quotient de la surface de B par celle de A pour vérifier.
4. On veut un troisième carré potager d'exactement 2,25 m².
Compléter : \(c^2 = 2{,}25\) donc \(c = \sqrt{2{,}25} = \) ……… m.
Indice : la réponse est dans le tableau de la question 1.
5. Un sac de terreau de 40 L permet de remplir 0,20 m² de carré potager sur 20 cm de hauteur. Combien de sacs faut-il acheter pour remplir le carré B ?
| Côté \(c\) (m) | 0,5 | 1 | 1,2 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A(c) = c^2\) (m²) | 0,25 | 1 | 1,44 | 2,25 | 4 |
Détail : \(0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\) ; \(1 \times 1 = 1\) ; \(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\) ; \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\) ; \(2 \times 2 = 4\).
2. Surface des deux carrés :Carré A : \(A(1{,}2) = 1{,}2 \times 1{,}2 = \mathbf{1{,}44\ \text{m}^2}\)
Carré B : \(A(1{,}8) = 1{,}8 \times 1{,}8 = \mathbf{3{,}24\ \text{m}^2}\)
3. Le côté est 1,5 fois plus grand : et la surface ?\(\dfrac{3{,}24}{1{,}44} = \mathbf{2{,}25}\)
Non, la surface n'est pas 1,5 fois plus grande : elle est multipliée par 2,25.
Et ce n'est pas un hasard : \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Quand on multiplie le côté par un nombre, la surface est multipliée par le carré de ce nombre. C'est toute la différence avec une situation de proportionnalité.
4. Un carré potager de 2,25 m² :\(c^2 = 2{,}25\) donc \(c = \sqrt{2{,}25} = \mathbf{1{,}5\ \text{m}}\).
On lit en effet dans le tableau de la question 1 que \(A(1{,}5) = 2{,}25\). L'équation \(c^2 = 2{,}25\) admet aussi la solution \(-1{,}5\), mais un côté ne peut pas être négatif : on ne garde que \(c = 1{,}5\) m.
5. Nombre de sacs de terreau pour le carré B :Surface à remplir : 3,24 m². Chaque sac couvre 0,20 m².
\(\dfrac{3{,}24}{0{,}20} = 16{,}2\) sacs.
On ne peut pas acheter 0,2 sac : il faut arrondir au sac supérieur, soit \(\mathbf{17}\) sacs.
Remarque : pour le carré A, il en aurait fallu \(\dfrac{1{,}44}{0{,}20} = 7{,}2\), soit 8 sacs. Passer d'un côté de 1,2 m à 1,8 m fait donc plus que doubler le nombre de sacs (8 → 17) — c'est encore l'effet du carré.
Compléter les tableaux de valeurs suivants, puis indiquer le sens de variation sur chaque intervalle.
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 16 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 |
On obtient \(g(x)\) en ajoutant 3 à chaque valeur de \(f(x)\). Le minimum de \(g\) est 3, atteint en \(x = 0\).
3. Sens de variation :\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Elle atteint son minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = 0\).
Voici la parabole de \(f(x) = x^2\) représentée dans un repère.
| \(x\) | \(-\infty\) | → | \(0\) | → | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ? | ? | ? | \(+\infty\) | ||
1. On lit : \(f(-2) = 4\) et \(f(2) = 4\). Les deux valeurs sont égales → symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Les solutions de \(f(x) = 1\) sont \(x = -1\) et \(x = 1\).
3. \(f(x) \leq 4\) pour \(x \in [-2\,;\,2]\) (la courbe est en dessous ou sur la droite \(y = 4\)).
On considère les fonctions : \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^2 + 4\), \(h(x) = 2x^2\), \(p(x) = \dfrac{1}{2}x^2\).
\(g(0) = 4\) | \(g(1) = 5\) | \(g(-1) = 5\). Le minimum de \(g\) est 4, atteint en \(x = 0\).
2. Comparaison \(h(2)\) et \(f(2)\) :\(h(2) = 2 \times 4 = 8\) et \(f(2) = 4\). Donc \(h(2) > f(2)\) → la parabole est plus resserrée.
3. Comparaison \(p(2)\) et \(f(2)\) :\(p(2) = \frac{1}{2} \times 4 = 2\) et \(f(2) = 4\). Donc \(p(2) < f(2)\) → la parabole est plus ouverte.
4. Minimums :• \(g\) : minimum = 4 en \(x = 0\). • \(h\) : minimum = 0 en \(x = 0\). • \(p\) : minimum = 0 en \(x = 0\).
En utilisant le graphique de l'exercice 2-2, répondre aux questions pour \(f(x) = x^2\).
Sur le graphique, la droite \(y = 9\) coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\). Vérif : \((-3)^2 = 9\) ✔ | \(3^2 = 9\) ✔. Solution : \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
2. Résolution de \(f(x) < 9\) :La courbe est strictement en dessous de \(y = 9\) pour \(-3 < x < 3\). Solution : \(\mathcal{S} = ]-3\,;\,3[\).
3. Résolution de \(f(x) \geq 1\) :La droite \(y = 1\) coupe la parabole en \(x = -1\) et \(x = 1\). La courbe est au-dessus pour \(x \leq -1\) ou \(x \geq 1\). Solution : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1] \cup [1\,;\,+\infty[\).
4. Résolution de \(f(x) = -3\) :Aucune solution : \(f(x) = x^2 \geq 0\) toujours. La droite \(y = -3\) ne coupe pas la parabole. \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Un menuisier fabrique des panneaux de bois carrés. Si le côté d'un panneau mesure \(c\) mètres, alors sa surface est :
\(A(1) = 1 \text{ m}^2\) | \(A(1{,}2) = 1{,}44 \text{ m}^2\) | \(A(1{,}5) = 2{,}25 \text{ m}^2\) | \(A(2) = 4 \text{ m}^2\)
2. Trouver \(c\) pour \(A = 2{,}25\) :\(c^2 = 2{,}25\) et \(c > 0\) → \(c = \sqrt{2{,}25} = \mathbf{1{,}5}\) m. Vérif : \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ✔
3. Contrainte \(A(c) \leq 3\) :\(c^2 \leq 3\) et \(c > 0\) → \(c \leq \sqrt{3} \approx 1{,}73\) m.
4. Doublement du côté :Nouveau côté : \(2c\). Nouvelle surface : \((2c)^2 = 4c^2\). La surface est multipliée par 4.
Un agenceur pose un revêtement dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres. Le coût total est :
| \(c\) (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(c\) (m) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(c)\) (€) | 165 | 300 | 525 | 840 | 1 245 |
Exemple : \(C(3) = 45 \times 9 + 120 = 525 \text{ €}\).
2. Budget 925 € :\(45c^2 + 120 \leq 925 \Rightarrow 45c^2 \leq 805 \Rightarrow c^2 \leq 17{,}9 \Rightarrow c \leq \sqrt{17{,}9} \approx \mathbf{4{,}23} \text{ m}\).
3. Coût minimum :Minimum = \(C(0) = 120\,\text{€}\) (forfait déplacement seul). Ce n'est pas une situation réelle (pièce de surface nulle).
4. Lecture graphique :Sur le graphique, \(y = 600\) croise la courbe vers \(c \approx 3{,}3 \text{ m}\). Vérif : \(C(3{,}3) \approx 610\,\text{€}\) ✔
Un installateur thermique pose un plancher chauffant dans une pièce carrée de côté \(x\) mètres. Le coût total est donné par :
1. Calculer le coût pour \(x = 2\) m, \(x = 3\) m, \(x = 4\) m et \(x = 5\) m.
2. Un client dispose d'un budget de 2 500 €. Quelle est la taille maximale de pièce qu'il peut équiper ?
3. Un second client veut équiper une pièce de côté 6 m. L'installateur lui propose de limiter la zone chauffée à un carré de côté 4 m pour faire des économies. De combien le coût diminue-t-il ?
4. On multiplie le côté par 1,5. Par quel facteur le coût du plancher chauffant (hors raccordement) est-il multiplié ?
\(C(2) = 80 \times 4 + 250 = 570\) € | \(C(3) = 80 \times 9 + 250 = 970\) €
\(C(4) = 80 \times 16 + 250 = 1\,530\) € | \(C(5) = 80 \times 25 + 250 = 2\,250\) €
2. Budget 2 500 € :\(80x^2 + 250 \leq 2\,500 \Rightarrow 80x^2 \leq 2\,250 \Rightarrow x^2 \leq 28{,}125 \Rightarrow x \leq \sqrt{28{,}125} \approx 5{,}30\) m.
\(C(6) = 80 \times 36 + 250 = 3\,130\) € et \(C(4) = 1\,530\) €. Économie : \(3\,130 - 1\,530 = \mathbf{1\,600}\) €.
4. Facteur multiplicatif :Coût du plancher chauffant pour côté \(x\) : \(80x^2\). Pour côté \(1{,}5x\) : \(80 \times (1{,}5x)^2 = 80 \times 2{,}25x^2 = 2{,}25 \times 80x^2\). Ce coût est multiplié par 2,25.
On considère la fonction \(f(x) = x^2\).
1. Résoudre par le calcul \(x^2 = 36\). Donner les deux solutions.
2. Résoudre par le calcul \(x^2 = 2{,}25\).
3. Résoudre graphiquement \(x^2 = 5\) (utiliser le graphique de l'exercice 2-2 ; on accepte une valeur approchée lue sur la parabole). Vérifier à la calculatrice que \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).
4. L'équation \(x^2 = k\) a exactement une solution. Quelle est la valeur de \(k\) ? Justifier.
5. Pour quelles valeurs de \(k\) l'équation \(x^2 = k\) n'a-t-elle aucune solution ?
1. \(x^2 = 36\) → \(x = 6\) ou \(x = -6\). \(\mathcal{S} = \{-6\,;\,6\}\).
2. \(x^2 = 2{,}25\) → \(x = 1{,}5\) ou \(x = -1{,}5\). Vérif : \(1{,}5^2 = 2{,}25\) ✔. \(\mathcal{S} = \{-1{,}5\,;\,1{,}5\}\).
3. Sur le graphique, la droite \(y = 5\) coupe la parabole en deux points d'abscisses \(x \approx -2{,}24\) et \(x \approx 2{,}24\). \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}\).
4. Pour \(k = 0\) : \(x^2 = 0\) a pour unique solution \(x = 0\). C'est le sommet de la parabole.
5. Pour \(k < 0\), l'équation \(x^2 = k\) n'a aucune solution car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\).
En physique, la distance parcourue par un objet en chute libre (sans frottement) est :
1. Compléter le tableau de valeurs :
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(d(t)\) (m) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Après combien de secondes l'objet a-t-il parcouru 80 m ? Résoudre \(5t^2 = 80\).
3. La distance parcourue entre \(t = 0\) et \(t = 1\) est-elle la même qu'entre \(t = 4\) et \(t = 5\) ? Justifier.
4. La fonction \(d\) est-elle croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ? Expliquer le lien avec les variations de \(f(x) = x^2\).
1.
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(d(t)\) | 0 | 5 | 20 | 45 | 80 | 125 |
\(5t^2 = 80 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4\) s (on garde \(t \geq 0\)).
3. Comparaison des distances :Entre \(t = 0\) et \(t = 1\) : \(d(1) - d(0) = 5 - 0 = 5\) m.
Entre \(t = 4\) et \(t = 5\) : \(d(5) - d(4) = 125 - 80 = 45\) m.
Non, les distances ne sont pas les mêmes. L'objet accélère : il parcourt de plus en plus de distance à chaque seconde.
4. Croissance :Oui, \(d(t) = 5t^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) car \(f(t) = t^2\) est croissante sur cet intervalle et le facteur 5 est positif.
On considère \(f(x) = x^2\). Résoudre les inéquations suivantes :
1. \(x^2 \leq 25\). Écrire la solution sous forme d'intervalle.
2. \(x^2 > 16\). Écrire la solution comme réunion d'intervalles.
3. \(x^2 \geq 0\). Que remarque-t-on ?
4. \(x^2 < -1\). Que conclure ?
5. Application : Un vitrier découpe des carreaux carrés de côté \(x\) cm pour remplacer les vitraux d'une imposte. La surface de chaque carreau doit être comprise entre 16 cm² et 64 cm² (inclus). Quelles valeurs de \(x\) sont acceptables ?
1. \(x^2 \leq 25\) ⟺ \(-5 \leq x \leq 5\). \(\mathcal{S} = [-5\,;\,5]\).
2. \(x^2 > 16\) ⟺ \(x < -4\) ou \(x > 4\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]4\,;\,+\infty[\).
3. \(x^2 \geq 0\) est toujours vrai pour tout réel \(x\). \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\).
4. \(x^2 < -1\) est impossible car \(x^2 \geq 0\). \(\mathcal{S} = \emptyset\).
5. Application :\(16 \leq x^2 \leq 64\) avec \(x > 0\). Donc \(\sqrt{16} \leq x \leq \sqrt{64}\), soit \(4 \leq x \leq 8\).
La puissance produite par une éolienne est modélisée par \(P(v) = 0{,}5 v^2\) (en watts), où \(v\) est la vitesse du vent (en m/s).
1. Calculer la puissance pour \(v = 4\) m/s, \(v = 8\) m/s, \(v = 12\) m/s et \(v = 20\) m/s.
2. La puissance est-elle doublée quand la vitesse double ? Vérifier avec \(v = 4\) et \(v = 8\).
3. On veut une puissance d'au moins 50 W. Résoudre \(0{,}5v^2 \geq 50\).
4. À quelle vitesse de vent obtient-on exactement 200 W ? Résoudre \(0{,}5v^2 = 200\).
\(P(4) = 0{,}5 \times 16 = 8\) W | \(P(8) = 0{,}5 \times 64 = 32\) W
\(P(12) = 0{,}5 \times 144 = 72\) W | \(P(20) = 0{,}5 \times 400 = 200\) W
2. Doublement :\(P(4) = 8\) W et \(P(8) = 32\) W. Rapport : \(\frac{32}{8} = 4\). La puissance est multipliée par 4, pas par 2. En effet, \(P(2v) = 0{,}5(2v)^2 = 4 \times 0{,}5v^2 = 4P(v)\).
3. Puissance minimale :\(0{,}5v^2 \geq 50 \Rightarrow v^2 \geq 100 \Rightarrow v \geq 10\) m/s.
4. Résolution :\(0{,}5v^2 = 200 \Rightarrow v^2 = 400 \Rightarrow v = 20\) m/s (on garde \(v > 0\)).
Trois pièces carrées ont les côtés suivants : \(a = 3{,}8\) m, \(b = 4{,}2\) m et \(c = 4{,}0\) m.
1. Sans calculer les aires, ranger les trois pièces de la plus petite à la plus grande surface. Justifier en utilisant les variations de la fonction carré.
2. Calculer les trois aires pour vérifier le classement.
3. La différence d'aire entre la pièce de 3,8 m et celle de 4,2 m est-elle la même que la différence d'aire entre les pièces de 4,0 m et 4,4 m ? Calculer et commenter.
4. Un métreur affirme : « Quand j'ajoute 0,5 m au côté d'une pièce carrée, la surface augmente toujours du même nombre de m². » A-t-il raison ? Justifier avec un contre-exemple.
1. \(0 < 3{,}8 < 4{,}0 < 4{,}2\). La fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(3{,}8^2 < 4{,}0^2 < 4{,}2^2\). Classement : pièce de 3,8 m < pièce de 4,0 m < pièce de 4,2 m.
2. \(3{,}8^2 = 14{,}44\) m² | \(4{,}0^2 = 16\) m² | \(4{,}2^2 = 17{,}64\) m². ✔
3. Différence 3,8 m → 4,2 m : \(17{,}64 - 14{,}44 = 3{,}20\) m². Différence 4,0 m → 4,4 m : \(4{,}4^2 - 4{,}0^2 = 19{,}36 - 16 = 3{,}36\) m². Les différences ne sont pas égales.
4. Non, il a tort. Contre-exemple : de 2 à 2,5 m → \(6{,}25 - 4 = 2{,}25\) m². De 10 à 10,5 m → \(110{,}25 - 100 = 10{,}25\) m². L'augmentation de surface dépend du côté initial. La fonction carré n'est pas linéaire.
Un carreleur pose du carrelage mural en carreaux carrés de côté \(x\) cm. Le prix d'un carreau est proportionnel à sa surface : \(C(x) = 0{,}02 x^2\) (en euros par carreau).
1. Compléter le tableau :
| Côté \(x\) (cm) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? |
| Prix (€) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Le budget est de 12,50 € par carreau. Quel est le plus grand carreau possible ? Résoudre \(0{,}02x^2 \leq 12{,}50\).
3. Pour couvrir un mur de 1 m², combien faut-il de carreaux de côté 20 cm ? Et de côté 10 cm ?
4. Dans quel cas le coût total est-il le plus élevé : des carreaux de 20 cm ou de 10 cm ? Justifier par le calcul.
| \(x\) (cm) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | 100 | 225 | 400 | 625 | 900 |
| Prix (€) | 2 | 4,50 | 8 | 12,50 | 18 |
\(0{,}02x^2 \leq 12{,}50 \Rightarrow x^2 \leq 625 \Rightarrow x \leq 25\) cm. Le plus grand carreau possible mesure 25 cm de côté.
3. Nombre de carreaux pour 1 m² = 10 000 cm² :Carreaux de 20 cm : \(\frac{10\,000}{400} = 25\) carreaux. Carreaux de 10 cm : \(\frac{10\,000}{100} = 100\) carreaux.
4. Coût total :Carreaux de 20 cm : \(25 \times 8 = 200\) €. Carreaux de 10 cm : \(100 \times 2 = 200\) €. Le coût total est identique. C'est logique : le prix d'un carreau est proportionnel à sa surface (\(0{,}02\) € par cm² de carreau), donc couvrir \(10\,000\) cm² revient toujours à \(0{,}02 \times 10\,000 = 200\) €, quelle que soit la taille des carreaux.
Résoudre les équations et inéquations suivantes. Donner les solutions sous forme d'ensemble ou d'intervalle.
1. \(x^2 = 81\)
2. \(3x^2 = 75\)
3. \(x^2 + 5 = 14\)
4. \(x^2 - 7 = -7\)
5. \(2x^2 \leq 32\)
6. \(x^2 + 3 > 12\)
1. \(x^2 = 81\) → \(x = 9\) ou \(x = -9\). \(\mathcal{S} = \{-9\,;\,9\}\).
2. \(3x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 25\) → \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).
3. \(x^2 + 5 = 14 \Rightarrow x^2 = 9\) → \(x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
4. \(x^2 - 7 = -7 \Rightarrow x^2 = 0\) → \(x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).
5. \(2x^2 \leq 32 \Rightarrow x^2 \leq 16 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4\). \(\mathcal{S} = [-4\,;\,4]\).
6. \(x^2 + 3 > 12 \Rightarrow x^2 > 9 \Rightarrow x < -3\) ou \(x > 3\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(g(x) = x^2+3\) | … | … | … | … | … | … | … |
b) Que remarque-t-on ? Chaque valeur de \(g\) est égale à celle de \(f\) plus combien ?
c) Quel est le minimum de \(f\) ? Et celui de \(g\) ?
d) La courbe de \(g\) est obtenue à partir de celle de \(f\) par quelle transformation ?
a) \(g(x)\) : 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12
b) Chaque valeur de \(g\) est égale à celle de \(f\) plus 3. \(g(x) = f(x) + 3\).
c) Minimum de \(f\) : \(\mathbf{0}\) (atteint en \(x = 0\)). Minimum de \(g\) : \(\mathbf{3}\) (atteint en \(x = 0\)).
d) La courbe de \(g\) est obtenue par une translation verticale de 3 unités vers le haut de la courbe de \(f\). Sur la figure, l'écart vertical entre les deux sommets vaut exactement 3 : \(S_f(0\,;\,0)\) et \(S_g(0\,;\,3)\).
Un pendule est une masse suspendue à un fil ou à une tige. Sa période \(T\) est la durée d'un aller-retour complet, en secondes. Les physiciens ont montré que la longueur \(L\) du pendule (en mètres) se calcule à partir de sa période par la formule approchée :
1. Compléter le tableau de valeurs :
| Période \(T\) (s) | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Longueur \(L(T)\) (m) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Le balancier d'une horloge comtoise « bat la seconde » : il met 1 s pour aller d'un côté à l'autre, donc 2 s pour l'aller-retour. Quelle est la longueur de ce balancier ?
3. La période passe de 2 s à 4 s : elle double. La longueur double-t-elle ? Calculer le quotient \(\dfrac{L(4)}{L(2)}\), puis expliquer le résultat à l'aide de la fonction carré.
4. Un horloger monte un balancier de 1,44 m. Résoudre \(0{,}25\,T^2 = 1{,}44\) pour trouver la période obtenue. L'équation a deux solutions : laquelle faut-il garder ici, et pourquoi ?
5. Le bâti d'une horloge murale n'accepte qu'un balancier d'au plus 1 m. Résoudre \(0{,}25\,T^2 \leqslant 1\) pour \(T \gt 0\), puis retrouver l'ensemble des périodes possibles sur le graphique.
6. Sur \([0\,;\,4]\), la fonction \(L\) est-elle croissante ou décroissante ? Traduire ce sens de variation en une phrase utile à l'horloger.
| Période \(T\) (s) | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(L(T) = 0{,}25\,T^2\) (m) | 0,0625 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 |
Détail : \(L(0{,}5) = 0{,}25 \times 0{,}5^2 = 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}0625\) ; \(L(1) = 0{,}25 \times 1 = 0{,}25\) ; \(L(2) = 0{,}25 \times 4 = 1\) ; \(L(3) = 0{,}25 \times 9 = 2{,}25\) ; \(L(4) = 0{,}25 \times 16 = 4\).
2. Le balancier qui bat la seconde :Un aller-retour dure 2 s, donc \(T = 2\) s.
\(L(2) = 0{,}25 \times 2^2 = 0{,}25 \times 4 = \mathbf{1\ \text{m}}\)
Le balancier d'une horloge comtoise mesure donc environ 1 mètre — ce que l'on vérifie sur n'importe quelle horloge de ce type.
3. La période double : la longueur double-t-elle ?\(\dfrac{L(4)}{L(2)} = \dfrac{4}{1} = \mathbf{4}\)
Non : la longueur est multipliée par 4, pas par 2.
Explication : \(L(2T) = 0{,}25 \times (2T)^2 = 0{,}25 \times 4T^2 = 4 \times L(T)\). Doubler \(T\) revient à multiplier \(T^2\) par \(2^2 = 4\) : c'est la propriété de la fonction carré. Un pendule deux fois plus lent est quatre fois plus long.
4. Balancier de 1,44 m :\(0{,}25\,T^2 = 1{,}44\)
\(T^2 = \dfrac{1{,}44}{0{,}25} = 5{,}76\)
\(T = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\) ou \(T = -\sqrt{5{,}76} = -2{,}4\)
Une durée ne peut pas être négative : on garde \(T = \mathbf{2{,}4\ \text{s}}\). La solution \(-2{,}4\) est mathématiquement correcte, mais elle n'a pas de sens dans la situation étudiée — c'est pourquoi l'énoncé précise \(T \gt 0\).
Vérification : \(0{,}25 \times 2{,}4^2 = 0{,}25 \times 5{,}76 = 1{,}44\) ✓
5. Balancier d'au plus 1 m :\(0{,}25\,T^2 \leqslant 1\)
\(T^2 \leqslant \dfrac{1}{0{,}25} = 4\)
Pour \(T \gt 0\), cela donne \(T \leqslant 2\), soit \(\mathcal{S} = \left]\,0\,;\,2\,\right]\).
Toutes les périodes strictement positives et inférieures ou égales à 2 secondes conviennent. La borne 2 est incluse : \(L(2) = 1\) m exactement, et le bâti accepte « au plus 1 m ».
Lecture graphique : on trace la droite horizontale \(y = 1\) ; elle coupe la courbe au point d'abscisse 2. La courbe est en dessous de cette droite pour les valeurs de \(T\) situées entre 0 et 2 — on retrouve bien \(\left]\,0\,;\,2\,\right]\).
6. Sens de variation et interprétation :Sur \([0\,;\,4]\), les valeurs de \(L\) augmentent (0 ; 0,0625 ; 0,25 ; 1 ; 2,25 ; 4) : la fonction \(L\) est croissante. C'est cohérent avec le cours : \(T \mapsto T^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), et multiplier par \(0{,}25 \gt 0\) ne change pas le sens de variation.
Pour l'horloger : plus le balancier est long, plus la période est longue, donc plus l'horloge bat lentement. Si une horloge avance, il faut allonger le balancier ; si elle retarde, il faut le raccourcir. C'est exactement le rôle de la petite molette placée sous la lentille d'un balancier.
Limite du modèle : la formule \(L = 0{,}25\,T^2\) est une valeur approchée (la formule exacte fait intervenir l'intensité de la pesanteur et le nombre \(\pi\)). Elle donne 1 m pour le pendule qui bat la seconde, dont la longueur réelle est de 0,994 m : l'écart est inférieur à 1 %, ce qui suffit largement ici.
On définit \(g(x) = -x^2\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | −9 | −4 | −1 | 0 | −1 | −4 | −9 |
2. \(g\) admet un maximum de \(0\) en \(x = 0\). En effet, \(-x^2 \leq 0\) toujours.
3. \(g\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
4. Non, \(g(x) = -x^2 \leq 0\) toujours. La seule valeur nulle est en \(x = 0\).
5. Résolution de \(g(x) \geq -9\) :\(-x^2 \geq -9 \Rightarrow x^2 \leq 9\). La courbe de \(f(x) = x^2\) est en dessous de \(y = 9\) pour \(-3 \leq x \leq 3\).
| Prestataire | Tarif |
|---|---|
| IsoThermic | 50 €/m² — pas de forfait |
| ChaufConfort | 35 €/m² + 180 € de forfait |
1. Côté parallèle au mur : \(24 - 2x\)
2. \(A(x) = x \times (24 - 2x)\) (longueur × largeur)
3. \(A(x) = 24x - 2x^2 = -2x^2 + 24x\)
4. Tableau de valeurs :| \(x\) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | 40 | 64 | 72 | 64 | 40 | 0 |
Le maximum semble atteint pour \(x = 6\).
5. Maximum :\(A(6) = -2 \times 36 + 24 \times 6 = -72 + 144 = \mathbf{72 \text{ m}^2}\).
La fonction \(A(x) = -2x^2 + 24x\) (avec un terme en \(x\)) dépasse les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. Ici, on détermine le maximum uniquement par lecture du tableau de valeurs : aucune méthode algébrique de recherche du sommet n'est exigée à ce niveau.
Un particulier dispose de 20 mètres de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire pour ses poules.
On appelle \(x\) la largeur du rectangle (en mètres), avec \(0 < x < 10\).
1. Montrer que la longueur du rectangle s'écrit \(L = 10 - x\).
2. Montrer que l'aire de l'enclos est \(A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\).
3. Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
4. Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle maximale ? Quelle forme a alors l'enclos ?
5. Dresser le tableau de variations de \(A\) sur \(]0\,;\,10[\).
1. Périmètre = \(2x + 2L = 20\), donc \(2L = 20 - 2x\), d'où \(L = 10 - x\).
2. \(A(x) = x \times (10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\). ✔
3. Tableau :| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 | 24 | 21 | 16 | 9 |
L'aire est maximale pour \(x = 5\) : \(A(5) = 25\) m². La longueur est aussi \(10 - 5 = 5\) m. L'enclos est un carré de 5 m de côté.
5. Tableau de variations :\(A\) est croissante sur \(]0\,;\,5]\) et décroissante sur \([5\,;\,10[\). Maximum : \(A(5) = 25\) m².
La fonction \(A(x) = -x^2 + 10x\) (terme en \(x\)) dépasse les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. La position du maximum et le sens de variation se lisent ici directement sur le tableau de valeurs ; aucune recherche algébrique du sommet n'est attendue.
On considère \(f(x) = x^2\). Sans effectuer de calcul numérique, comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) dans chaque cas. Justifier à l'aide des variations de \(f\).
1. \(a = 3{,}14\) et \(b = \pi\). (Rappel : \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\))
2. \(a = -\sqrt{3}\) et \(b = -1{,}7\). (Rappel : \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\))
3. \(a = -100\) et \(b = 99\).
4. \(a = n\) et \(b = n + 1\) avec \(n \geq 0\). Que peut-on affirmer ?
5. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(|a| < |b|\). Montrer que \(a^2 < b^2\).
1. \(0 < 3{,}14 < \pi\) et \(f\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \(f(3{,}14) < f(\pi)\), soit \(3{,}14^2 < \pi^2\).
2. \(-\sqrt{3} \approx -1{,}732\) et \(-1{,}7\). Donc \(-\sqrt{3} < -1{,}7 < 0\). \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), donc \(f(-\sqrt{3}) > f(-1{,}7)\), soit \(3 > 2{,}89\).
3. \(|-100| = 100 > |99| = 99\). Donc \((-100)^2 = 10\,000 > 99^2 = 9\,801\). \(f(a) > f(b)\).
4. Si \(n \geq 0\) : \(0 \leq n < n + 1\) et \(f\) croissante → \(n^2 < (n + 1)^2\). Les carrés des entiers naturels forment une suite strictement croissante.
5. Démonstration :\(|a| < |b|\) signifie que \(a\) est plus proche de 0 que \(b\). Or \(a^2 = |a|^2\) et \(b^2 = |b|^2\). Comme \(|a|\) et \(|b|\) sont positifs et \(|a| < |b|\), on utilise la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) : \(|a|^2 < |b|^2\), soit \(a^2 < b^2\). ✔
Un fabricant de mobilier plaque des panneaux décoratifs carrés sur des façades de meubles. Le coût de revient d'un panneau de côté \(c\) (en décimètres) est :
Le prix de vente est fixé à : \(V(c) = 15c\) (en €).
1. Exprimer le bénéfice \(B(c) = V(c) - R(c)\) en fonction de \(c\).
2. Compléter le tableau de valeurs pour \(c \in \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\) :
| \(c\) (dm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(V(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(B(c)\) (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelles valeurs de \(c\) le fabricant réalise-t-il un bénéfice positif ?
4. Résoudre \(B(c) = 0\) pour trouver les seuils de rentabilité.
1. \(B(c) = 15c - (2{,}5c^2 + 8) = -2{,}5c^2 + 15c - 8\).
2. Tableau :| \(c\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R(c)\) | 10,5 | 18 | 30,5 | 48 | 70,5 | 98 |
| \(V(c)\) | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
| \(B(c)\) | 4,5 | 12 | 14,5 | 12 | 4,5 | −8 |
D'après le tableau, \(B(c) > 0\) de \(c = 1\) à \(c = 5\) ; plus précisément entre les deux seuils \(\approx 0{,}6\) dm et \(\approx 5{,}4\) dm (voir question 4). Le bénéfice est maximal autour de \(c = 3\) dm.
4. Seuils de rentabilité :On cherche les valeurs de \(c\) pour lesquelles \(B(c) = 0\), c'est-à-dire les abscisses où la courbe de \(B\) coupe l'axe horizontal. On les repère par lecture du tableau (ou graphiquement) en encadrant les changements de signe :
• \(B(0) = -8 < 0\) et \(B(1) = 4{,}5 > 0\) : \(B\) s'annule entre 0 et 1, vers \(c_1 \approx 0{,}6\) dm.
• \(B(5) = 4{,}5 > 0\) et \(B(6) = -8 < 0\) : \(B\) s'annule entre 5 et 6, vers \(c_2 \approx 5{,}4\) dm.
La fonction \(B(c) = -2{,}5c^2 + 15c - 8\) (trinôme avec un terme en \(c\)) dépasse les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. Les seuils de rentabilité sont ici déterminés par lecture et encadrement du tableau de valeurs (changements de signe) : aucune résolution algébrique d'équation du second degré (discriminant) n'est attendue à ce niveau.
On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 3\).
1. Compléter le tableau pour \(x \in \{-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\}\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(g(x) = 2x + 3\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Pour quelles valeurs de \(x\) du tableau a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
3. À l'aide du tableau, donner les solutions de l'équation \(x^2 = 2x + 3\), c'est-à-dire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > g(x)\) ? Interpréter graphiquement (la parabole est-elle au-dessus ou en dessous de la droite ?).
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| \(g(x)\) | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
2. \(f(x) = g(x)\) pour \(x = -1\) (les deux valent 1) et \(x = 3\) (les deux valent 9).
3. Lecture du tableau :D'après la question 2, les deux courbes se coupent lorsque \(f(x) = g(x)\), c'est-à-dire pour \(x = -1\) et \(x = 3\). Les solutions de \(x^2 = 2x + 3\) sont donc \(x = -1\) et \(x = 3\) : \(\mathcal{S} = \{-1\,;\,3\}\). ✔
4. \(f(x) > g(x)\) :En comparant les deux lignes du tableau, \(f(x) > g(x)\) pour \(x = -2\) (4 > −1) et pour \(x = 4\) (16 > 11). Entre les deux points de croisement (de \(x = -1\) à \(x = 3\)), c'est l'inverse : la parabole passe en dessous de la droite.
Conclusion : \(f(x) > g(x)\) pour \(x < -1\) ou \(x > 3\), soit \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).
La résolution algébrique de \(x^2 - 2x - 3 = 0\) par factorisation \((x-3)(x+1)=0\) relève du second degré complet, hors capacités de Seconde Bac Pro (où l'on ne résout que \(x^2 = c\) ou \(kx^2 = c\)). Ici, on se contente donc de lire les solutions sur le tableau ou sur le graphique. La factorisation est donnée à titre d'information : \((x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3\), ce qui confirme les solutions \(-1\) et \(3\).
L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) (en kg) se déplaçant à la vitesse \(v\) (en m/s) est :
Un véhicule de masse \(m = 1\,200\) kg roule à différentes vitesses.
1. Exprimer \(E_c\) en fonction de \(v\) pour ce véhicule.
2. Calculer \(E_c\) pour \(v = 10\) m/s (36 km/h), \(v = 20\) m/s (72 km/h) et \(v = 30\) m/s (108 km/h).
3. La vitesse passe de 20 m/s à 40 m/s (elle double). Par quel facteur l'énergie cinétique est-elle multipliée ? Quel danger cela représente-t-il ?
4. On souhaite que l'énergie cinétique ne dépasse pas 240 000 J. Quelle est la vitesse maximale autorisée ?
1. \(E_c = \frac{1}{2} \times 1\,200 \times v^2 = 600v^2\).
2. Calculs :\(E_c(10) = 600 \times 100 = 60\,000\) J = 60 kJ.
\(E_c(20) = 600 \times 400 = 240\,000\) J = 240 kJ.
\(E_c(30) = 600 \times 900 = 540\,000\) J = 540 kJ.
3. Doublement de la vitesse :\(E_c(40) = 600 \times 1\,600 = 960\,000\) J et \(E_c(20) = 240\,000\) J.
Rapport : \(\frac{960\,000}{240\,000} = 4\). L'énergie est multipliée par 4 (car \((2v)^2 = 4v^2\)).
\(600v^2 \leq 240\,000 \Rightarrow v^2 \leq 400 \Rightarrow v \leq 20\) m/s, soit 72 km/h.
Un menuisier fabrique une jardinière rectangulaire en bois, ouverte sur le dessus. La base est un carré de côté \(x\) (en dm) et la hauteur vaut \(h\) dm.
Le volume intérieur doit être exactement de 32 dm³ (soit 32 litres).
1. Exprimer le volume en fonction de \(x\) et \(h\), puis montrer que \(h = \dfrac{32}{x^2}\).
2. La surface totale de bois utilisée (base + 4 faces latérales) est :
Compléter le tableau pour \(x \in \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8\}\).
| \(x\) (dm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) (dm) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(S(x)\) (dm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelle valeur de \(x\) (parmi celles du tableau) la surface de bois est-elle minimale ? Quel est alors la hauteur correspondante ?
4. Le menuisier dispose de 60 dm² de bois. Quelles dimensions peut-il envisager ?
1. Volume = base × hauteur = \(x^2 \times h = 32\), donc \(h = \frac{32}{x^2}\).
2. Tableau :| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) | 32 | 8 | 3,56 | 2 | 1,28 | 0,89 | 0,5 |
| \(S(x)\) | 129 | 68 | 51,67 | 48 | 50,6 | 57,33 | 80 |
D'après le tableau, la surface est minimale pour \(x = 4\) dm : \(S(4) = 16 + 32 = \mathbf{48}\) dm². La hauteur est alors \(h = 2\) dm. La jardinière mesure 4 dm × 4 dm × 2 dm.
4. Budget de 60 dm² :D'après le tableau, \(S(x) \leq 60\) pour \(x\) entre environ 3 et 6 dm (les valeurs \(x = 3, 4, 5\) et \(6\) conviennent, car \(S(6) = 57{,}33 \leq 60\)). Le menuisier peut choisir un côté entre 3 et 6 dm environ.
La fonction \(S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}\) (somme d'un carré et d'un terme en \(\frac{1}{x}\)) dépasse largement les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. Cet exercice se traite exclusivement par lecture du tableau de valeurs (calcul des images à la calculatrice puis comparaison) : aucune étude algébrique du minimum n'est exigée à ce niveau.
Un menuisier agenceur dispose d'un panneau carré de 10 cm de côté. Il y découpe un rectangle en retirant une bande de largeur \(x\) (en cm) sur deux côtés opposés. Le rectangle obtenu a pour dimensions :
1. Pour quelles valeurs de \(x\) le découpage est-il possible ? (Condition sur \(10 - 2x\).)
2. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de \(x\) : \(A(x) = 10(10 - 2x)\). Développer.
3. Exprimer l'aire totale des deux bandes découpées : \(B(x) = \) … Montrer que \(B(x) = 20x\).
4. On s'intéresse maintenant au cas où le menuisier retire des bandes sur les quatre côtés. Le rectangle restant mesure \((10 - 2x)\) cm × \((10 - 2x)\) cm. Montrer que son aire est \(C(x) = (10 - 2x)^2 = 4x^2 - 40x + 100\).
5. Compléter le tableau pour \(x \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}\) et identifier la valeur de \(x\) pour laquelle le rectangle central disparaît.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) (cm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
6. Le menuisier veut que le carré restant ait une aire d'au moins 36 cm². Résoudre \((10 - 2x)^2 \geq 36\) pour \(0 < x < 5\).
1. Il faut \(10 - 2x > 0\), soit \(x < 5\). Avec \(x > 0\), on a \(0 < x < 5\).
2. \(A(x) = 10(10 - 2x) = 100 - 20x\).
3. Deux bandes de 10 cm × \(x\) cm : \(B(x) = 2 \times 10x = 20x\). On vérifie : \(A(x) + B(x) = 100 - 20x + 20x = 100\) cm² = aire du panneau. ✔
4. Développement :\(C(x) = (10 - 2x)^2 = 100 - 2 \times 10 \times 2x + (2x)^2 = 100 - 40x + 4x^2 = 4x^2 - 40x + 100\). ✔
5. Tableau :| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 100 | 64 | 36 | 16 | 4 | 0 |
Le rectangle central disparaît pour \(x = 5\) (\(C(5) = 0\)).
6. Résolution :\((10 - 2x)^2 \geq 36\). Posons \(u = 10 - 2x\) (\(u > 0\) car \(x < 5\)).
\(u^2 \geq 36 \Rightarrow u \geq 6\) (car \(u > 0\)).
\(10 - 2x \geq 6 \Rightarrow -2x \geq -4 \Rightarrow x \leq 2\).
La forme développée \(C(x) = 4x^2 - 40x + 100\) (trinôme complet) est donnée à titre informatif : elle dépasse les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. La résolution de la question 6 reste, elle, conforme au programme car elle se ramène à \(u^2 \geq 36\) (du type \(x^2 \geq c\)) grâce au changement \(u = 10 - 2x\). Le tableau de valeurs s'obtient par calcul direct des images.
On considère les trois fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 0{,}5x^2\) et \(h(x) = 3x^2\).
1. Compléter le tableau de valeurs pour \(x \in \{-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\) :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(g(x) = 0{,}5x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(h(x) = 3x^2\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Pour tout \(x \neq 0\), classer \(g(x)\), \(f(x)\) et \(h(x)\) dans l'ordre croissant. Justifier.
3. Résoudre \(g(x) = f(x)\). Puis résoudre \(h(x) = f(x)\). Interpréter géométriquement.
4. On considère la fonction \(p(x) = ax^2\) avec \(a > 0\). Montrer que \(p\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), quel que soit \(a > 0\).
5. Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(p(x) = ax^2\) vérifie-t-elle \(p(5) = 100\) ?
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(g(x)\) | 4,5 | 2 | 0,5 | 0 | 0,5 | 2 | 4,5 |
| \(h(x)\) | 27 | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 | 27 |
2. Pour \(x \neq 0\) : \(g(x) = 0{,}5x^2 < x^2 = f(x) < 3x^2 = h(x)\) car \(0{,}5 < 1 < 3\) et \(x^2 > 0\). Ordre : \(g(x) < f(x) < h(x)\).
3. Intersections :\(g(x) = f(x) \Rightarrow 0{,}5x^2 = x^2 \Rightarrow -0{,}5x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Les courbes ne se croisent qu'à l'origine.
De même, \(h(x) = f(x) \Rightarrow 3x^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Même résultat.
Géométriquement : les trois paraboles passent toutes par l'origine et ne se croisent nulle part ailleurs.
4. Démonstration :Soit \(0 \leq x_1 < x_2\). Alors \(x_1^2 < x_2^2\) (car la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)). Comme \(a > 0\), on multiplie par \(a\) sans changer le sens : \(ax_1^2 < ax_2^2\), soit \(p(x_1) < p(x_2)\). Donc \(p\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Raisonnement analogue sur \(]-\infty\,;\,0]\).
5. Trouver \(a\) :\(p(5) = a \times 25 = 100 \Rightarrow a = \frac{100}{25} = \mathbf{4}\). La fonction est \(p(x) = 4x^2\).
Un installateur conçoit un collecteur d'eau de pluie de forme cylindrique. La base est un disque de rayon \(r\) (en dm) et la hauteur est \(h\) dm. Le volume doit être exactement de 50 dm³ (soit 50 litres).
1. Rappeler la formule du volume d'un cylindre en fonction de \(r\) et \(h\). En déduire que \(h = \dfrac{50}{\pi r^2}\).
2. La surface totale de tôle nécessaire (fond + paroi latérale, sans couvercle) est :
Compléter le tableau pour \(r \in \{1 ; 1{,}5 ; 2 ; 2{,}5 ; 3 ; 4 ; 5\}\) (arrondir à l'unité) :
| \(r\) (dm) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) (dm) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(S(r)\) (dm²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
3. Pour quelle valeur de \(r\) (parmi celles du tableau) la surface de tôle est-elle minimale ? Quelles sont alors les dimensions du collecteur ?
4. Quand \(r\) est très petit, quel terme domine dans \(S(r)\) ? Et quand \(r\) est très grand ? Expliquer pourquoi il existe un minimum.
5. L'installateur dispose de 80 dm² de tôle. Quelles valeurs de \(r\) sont possibles d'après le tableau ?
1. Volume = \(\pi r^2 h = 50\), donc \(h = \frac{50}{\pi r^2}\). ✔
2. Tableau :| \(r\) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h\) | 15,9 | 7,1 | 4,0 | 2,5 | 1,8 | 1,0 | 0,6 |
| \(S(r)\) | 103 | 74 | 63 | 60 | 62 | 75 | 99 |
D'après le tableau, la surface est minimale pour \(r \approx 2{,}5\) dm : \(S \approx 60\) dm². La hauteur correspondante est \(h \approx 2{,}5\) dm. Le collecteur mesure environ 5 dm de diamètre et 2,5 dm de haut (soit 50 cm × 25 cm).
4. Analyse des termes :Quand \(r\) est très petit, le terme \(\frac{100}{r}\) domine (il devient très grand). Quand \(r\) est très grand, le terme \(\pi r^2\) domine. Les deux termes jouent en sens contraire : l'un diminue quand l'autre augmente, ce qui crée un minimum pour une valeur intermédiaire de \(r\).
5. Budget tôle :D'après le tableau, \(S(r) \leq 80\) pour \(r\) entre environ 1,5 et 4 dm. L'installateur peut choisir un rayon dans cet intervalle.
La fonction \(S(r) = \pi r^2 + \dfrac{100}{r}\) (somme d'un carré et d'un terme en \(\frac{1}{r}\)) dépasse largement les fonctions \(kx^2 + k\) du programme de Seconde Bac Pro. Cet exercice se traite uniquement par lecture du tableau de valeurs (images calculées à la calculatrice) ; la recherche algébrique du minimum n'est pas attendue à ce niveau. La question 4 explique qualitativement pourquoi il existe un minimum, sans démonstration.
Un technicien de maintenance en génie climatique dimensionne une gaine de ventilation de section carrée, de côté \(a\) (en cm). Le débit d'air maximal que la gaine peut transporter est proportionnel à l'aire de sa section :
1. Compléter le tableau de valeurs :
| Côté \(a\) (cm) | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Débit \(Q(a)\) (m³/h) | ? | ? | ? | ? | ? |
2. Une salle de classe exige un débit d'au moins 600 m³/h. Résoudre \(0{,}45\,a^2 \geq 600\) et en déduire le côté minimal de la gaine, arrondi au centimètre supérieur.
3. Le technicien remplace une gaine de 25 cm de côté par une gaine de 50 cm. Par combien le débit est-il multiplié ? Justifier sans calculer les deux débits, puis vérifier sur le tableau.
4. Une gaine transporte exactement 720 m³/h. Retrouver son côté par le calcul.
5. (Question ouverte) Le local technique n'accepte que des gaines de côté strictement inférieur à 35 cm. Quels débits sont alors possibles ? Écrire la réponse sous forme d'intervalle et justifier par le sens de variation de \(Q\).
| \(a\) (cm) | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(Q(a)\) (m³/h) | 180 | 281,25 | 405 | 720 | 1 125 |
Exemple : \(Q(25) = 0{,}45 \times 25^2 = 0{,}45 \times 625 = 281{,}25\) m³/h.
2. Débit d'au moins 600 m³/h :\(0{,}45\,a^2 \geq 600 \Rightarrow a^2 \geq \dfrac{600}{0{,}45} \approx 1\,333{,}3 \Rightarrow a \geq \sqrt{1\,333{,}3} \approx 36{,}5\) cm (on garde \(a > 0\)).
Le côté est multiplié par 2, donc \(Q(2a) = 0{,}45 \times (2a)^2 = 0{,}45 \times 4a^2 = 4 \times Q(a)\). Le débit est multiplié par 4.
Vérification sur le tableau : \(281{,}25 \times 4 = 1\,125\) m³/h ✔
4. Débit de 720 m³/h :\(0{,}45\,a^2 = 720 \Rightarrow a^2 = \dfrac{720}{0{,}45} = 1\,600 \Rightarrow a = \sqrt{1\,600} = \mathbf{40}\) cm (on garde \(a > 0\)).
5. Gaines de côté inférieur à 35 cm :\(Q\) est du type \(k\,a^2\) avec \(k = 0{,}45 > 0\) : elle est donc croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Les côtés possibles vérifient \(0 < a < 35\), donc les débits vérifient \(Q(0) < Q(a) < Q(35)\).
Or \(Q(35) = 0{,}45 \times 1\,225 = 551{,}25\) m³/h.
Un installateur thermique étudie les pertes de chaleur d'une verrière carrée de côté \(c\) (en mètres). Les déperditions totales sont modélisées par :
1. Calculer \(P(2)\), \(P(3)\), \(P(4)\) et \(P(5)\).
2. Quelle est la plus petite valeur que peut prendre \(P\) ? Pour quelle valeur de \(c\) ? Cette situation est-elle réalisable sur un chantier ? Que représente ce nombre ?
3. La réglementation impose des déperditions au plus égales à 500 W. Résoudre \(P(c) \leq 500\) et donner le côté maximal de la verrière, arrondi au centimètre.
4. Un collègue affirme : « si on double le côté, les déperditions doublent ». Montrer que c'est faux en comparant \(P(2)\) et \(P(4)\), puis expliquer d'où vient l'erreur.
5. (Question ouverte) On remplace le vitrage par un modèle plus performant : \(Q(c) = 18c^2 + 45\). Quelle économie réalise-t-on sur une verrière de 4 m de côté ? Cette économie dépend-elle des 45 W de châssis ? Justifier en calculant \(P(c) - Q(c)\).
\(P(2) = 28 \times 4 + 45 = 112 + 45 = \mathbf{157}\) W | \(P(3) = 28 \times 9 + 45 = \mathbf{297}\) W
\(P(4) = 28 \times 16 + 45 = \mathbf{493}\) W | \(P(5) = 28 \times 25 + 45 = \mathbf{745}\) W
2. Valeur minimale :Pour tout \(c\), \(c^2 \geq 0\) donc \(28c^2 \geq 0\) et \(P(c) = 28c^2 + 45 \geq 45\). Le minimum est 45 W, atteint en \(c = 0\).
\(28c^2 + 45 \leq 500 \Rightarrow 28c^2 \leq 455 \Rightarrow c^2 \leq \dfrac{455}{28} = 16{,}25 \Rightarrow c \leq \sqrt{16{,}25} \approx 4{,}03\) m (on garde \(c > 0\)).
\(P(2) = 157\) W et \(P(4) = 493\) W. Si les pertes doublaient, on aurait \(2 \times 157 = 314\) W, ce qui est faux.
L'erreur : seule la partie \(28c^2\) est multipliée par 4 quand le côté double (\(112 \rightarrow 448\)). Les 45 W du châssis, eux, ne changent pas. D'où \(P(4) = 448 + 45 = 493\) W, soit environ \(3{,}1\) fois \(P(2)\) et non 2 fois.
5. Vitrage plus performant :\(Q(4) = 18 \times 16 + 45 = 288 + 45 = 333\) W. Économie : \(493 - 333 = \mathbf{160}\) W.
En général : \(P(c) - Q(c) = (28c^2 + 45) - (18c^2 + 45) = 10c^2\). Les 45 W disparaissent dans la différence : l'économie ne dépend que de la surface vitrée. Vérification : \(10 \times 4^2 = 160\) W ✔
Un géomètre-topographe doit implanter une parcelle carrée de \(50\ \text{m}^2\) exactement. Le côté \(c\) (en mètres) vérifie donc \(c^2 = 50\). Sa calculatrice donne une valeur, mais il veut la retrouver et la contrôler à la main, en encadrant \(c\) de plus en plus finement.
1. Calculer \(7^2\) et \(8^2\). En déduire un encadrement de \(c\) entre deux entiers consécutifs.
2. Balayer au dixième : calculer \(7{,}0^2\) puis \(7{,}1^2\). En déduire un encadrement de \(c\) au dixième.
3. Poursuivre au centième entre \(7{,}00\) et \(7{,}10\) : compléter le tableau, puis donner un encadrement de \(c\) au centième.
| \(x\) | 7,06 | 7,07 | 7,08 |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | ? | ? | ? |
4. Quelle est l'amplitude de l'encadrement obtenu à la question 3 ? Que faudrait-il faire pour obtenir une amplitude de \(0{,}001\) ?
5. Pourquoi ce balayage fonctionne-t-il ? Quelle propriété de la fonction carré utilise-t-on à chaque étape ?
6. (Question ouverte) La parcelle voisine a une aire de \(72\ \text{m}^2\). Sans refaire tout le balayage, encadrer son côté entre deux entiers, puis dire laquelle des deux parcelles a le plus grand côté. Justifier.
\(7^2 = 49\) et \(8^2 = 64\). Or \(49 < 50 < 64\), donc \(\mathbf{7 < c < 8}\).
2. Balayage au dixième :\(7{,}0^2 = 49\) et \(7{,}1^2 = 50{,}41\). Or \(49 < 50 < 50{,}41\), donc \(\mathbf{7{,}0 < c < 7{,}1}\).
3. Balayage au centième :| \(x\) | 7,06 | 7,07 | 7,08 |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 49,8436 | 49,9849 | 50,1264 |
Le carré dépasse 50 entre \(7{,}07\) et \(7{,}08\) : \(49{,}9849 < 50 < 50{,}1264\), donc \(\mathbf{7{,}07 < c < 7{,}08}\).
4. Amplitude :L'amplitude vaut \(7{,}08 - 7{,}07 = \mathbf{0{,}01}\). Pour descendre à \(0{,}001\), il faut une étape de plus : balayer au millième entre 7,070 et 7,080. On trouve \(7{,}071^2 \approx 49{,}999\) et \(7{,}072^2 \approx 50{,}013\), d'où \(7{,}071 < c < 7{,}072\).
Parce que la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Si \(0 < a < c < b\), alors \(a^2 < c^2 < b^2\), c'est-à-dire \(a^2 < 50 < b^2\). L'ordre est conservé : encadrer le carré revient donc à encadrer le côté. (Attention : ce raisonnement ne vaut que pour des nombres positifs — sur les négatifs, la fonction carré est décroissante et l'ordre s'inverse.)
6. La parcelle voisine :Son côté \(c'\) vérifie \(c'^2 = 72\). Or \(8^2 = 64\) et \(9^2 = 81\), et \(64 < 72 < 81\), donc \(\mathbf{8 < c' < 9}\).
| Compétence | Exercices |
|---|---|
| Calculer des images de \(f(x) = x^2\) | Ex 1-1, 1-2, 1-14, 1-16 |
| Compléter un tableau de valeurs | Ex 1-2, 1-14, 1-16, 2-1, 3-7, 3-11 |
| Construire ou lire le tableau de variations | Ex 1-3, 2-1, 2-2 |
| Déterminer l'extremum et l'interpréter | Ex 1-8, 3-3, 3-4, 3-9, 3-10 |
| Symétrie de la parabole | Ex 1-1, 1-6 |
| Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans calculer | Ex 1-10, 2-12, 3-1, 3-5 |
| Résoudre \(x^2 = k\) | Ex 1-5, 1-12, 1-16, 2-4, 2-8, 2-14 |
| Résoudre une inéquation avec \(x^2\) | Ex 2-10, 2-14, 2-16 |
| Encadrer une solution par balayage | Ex 3-15 |
| Analyser les transformations de la parabole | Ex 2-3, 2-15 |
| Fonctions du type \(ax^2\) | Ex 1-13, 1-14, 2-9, 2-11, 2-16, 3-8, 3-11 |
| Comprendre que l'aire n'est pas proportionnelle au côté | Ex 1-16, 2-5, 2-12 |
| Modéliser une situation professionnelle | Ex 1-4, 1-7, 1-9, 1-13, 1-15, 2-5, 2-6, 2-7, 2-11, 2-13, 3-2, 3-3, 3-6, 3-9, 3-10, 3-13, 3-14, 3-15 |
| Optimisation (aire maximale, coût minimal) | Ex 2-5, 3-3, 3-4, 3-9, 3-10 |
| Comparer deux fonctions, résoudre \(f(x)=g(x)\) | Ex 3-1, 3-7, 3-11 |