Chapitre 4 – Probabilités et fluctuation des fréquences
2nde Bac Pro | Statistique – Probabilités | Mathématiques
Dernière mise à jour : 31 juillet 2026, 21:30
Avant de commencer, tu dois savoir…
calculer une fréquence et l'exprimer en pourcentage ;
compter le nombre de résultats possibles d'une expérience simple (dé, pièce) ;
lire un tableau à double entrée.
Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
Comprendre la notion d’expérience aléatoire
Identifier l’ensemble des issues (univers)
Calculer des probabilités simples et vérifier que leur somme vaut 1
Utiliser l’événement contraire, la réunion (« ou ») et l’intersection (« et »)
Dénombrer des issues avec un arbre ou un tableau à double entrée
Calculer les probabilités d’une expérience répétée deux fois à l’aide d’un arbre pondéré
Comprendre la notion de fréquence et prévoir un effectif attendu
Observer la fluctuation des fréquences d’échantillons et en calculer l’étendue
Simuler un échantillon avec la calculatrice ou un tableur
Comprendre la stabilisation des fréquences avec l’augmentation du nombre d’expériences
Contexte :Contrôle qualité avant la pose d’équipements énergétiquesSituation :Une technicienne CVC vérifie des thermostats destinés à un bâtiment. Sur 100 thermostats contrôlés, 8 présentent un défaut.Question :Comment distinguer la fréquence de défaut observée de la probabilité de défaut estimée ?
Cette situation sera analysée tout au long du chapitre.
1. Introduction – Le hasard dans les métiers
Dans certaines situations professionnelles, on ne peut pas prédire avec certitude le résultat d’une action.
Le hasard intervient : c’est le cas en contrôle qualité, en estimation de risque ou en prévision de chantier.
Exemples du quotidien
Lancer une pièce de monnaie : on ne sait pas à l’avance si on obtiendra Pile ou Face.
Lancer un dé : le résultat est imprévisible.
Vérifier une pièce en sortie de machine : on ne sait pas si elle sera défectueuse ou non.
Choisir un client au hasard dans un fichier : on ne sait pas s’il sera satisfait ou non.
Les probabilités permettent de mesurer le degré de certitude d’un résultat, et les fréquences
permettent d’estimer ces probabilités à partir d’observations réelles.
2. Expérience aléatoire, issues et univers
Définition – Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude,
mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Définition – Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Définition – Univers \(\Omega\)
L’univers \(\Omega\) (lettre grecque oméga) est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience.
Attention
L’univers doit contenir toutes les issues, et chaque issue ne doit apparaître qu’une seule fois.
Application — Univers d'une expérience
À la réception d'une commande, un magasinier prend au hasard un pot dans un carton qui contient 12 pots de peinture répartis en 4 teintes : blanc, gris, bleu et vert. On note la teinte du pot tiré.
Cette expérience est-elle aléatoire ? Justifier.
Décrire l'univers \(\Omega\) et donner le nombre d'issues.
1. Oui, c'est une expérience aléatoire : avant de regarder le pot, on ne peut pas prédire avec certitude la teinte obtenue, mais on connaît à l'avance toutes les teintes possibles.
2. L'issue est la teinte observée. L'univers est donc :
\[ \Omega = \{\text{blanc}, \text{gris}, \text{bleu}, \text{vert}\} \]
Il y a 4 issues (les 4 teintes), et non 12 : les 12 pots ne donnent que 4 résultats possibles.
Remarque : ces 4 issues ne sont équiprobables que si le carton contient 3 pots de chaque
teinte. Si la répartition est différente, il faudra compter les pots pour calculer
une probabilité (voir l’encadré « Attention » de la partie 4).
3. Événements
Définition – Événement
Un événement est un sous-ensemble de l’univers \(\Omega\). C’est un regroupement d’une ou plusieurs issues.
Définition – Événement simple et composé
Un événement simple (ou élémentaire) ne contient qu’une seule issue.
« Obtenir un nombre compris entre 1 et 6 inclus » → événement certain : \(\Omega\), (\(P(\Omega) = 1\))
Application — Tirage de boules
Un sac contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule verte. On tire une boule au hasard.
Quel est l'univers ? Combien d'issues y a-t-il ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou verte ?
Total de boules : \(3 + 2 + 1 = 6\) boules. L'univers a 6 issues équiprobables.
1. L'univers contient 6 issues (une par boule).
2. Issues favorables « rouge » : 3.
\[ P(\text{rouge}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
3. Issues favorables « bleue ou verte » : \(2 + 1 = 3\) issues.
\[ P(\text{bleue ou verte}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Vérification : \(P(\text{rouge}) + P(\text{bleue ou verte}) = 1\), cohérent car on couvre tout l'univers.
4. Probabilité d’un événement
Lorsque toutes les issues sont équiprobables (c’est-à-dire qu’elles ont toutes la même chance de se produire),
on peut calculer la probabilité d’un événement par une formule simple.
\[ P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} \]
Cette formule s’applique uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
Propriétés fondamentales
Pour tout événement \(A\) : \(0 \leq P(A) \leq 1\)
Événement certain : \(P(\Omega) = 1\)
Événement impossible : \(P(\emptyset) = 0\)
Plus \(P(A)\) est proche de 1, plus l’événement est probable.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.
Attention — les issues ne sont pas toujours équiprobables
La formule ci-dessus n’est valable que si les issues sont équiprobables. Or, selon la façon
dont on décrit l’univers, ce n’est pas toujours le cas.
Exemple : une trousse de secours contient 13 pansements, 5 compresses et 2 bandes,
soit 20 articles rangés en vrac. On en attrape un sans regarder.
Si on décrit l’univers par les 20 articles, les issues sont équiprobables :
chaque article a la même chance d’être attrapé.
Si on décrit l’univers par les types,
\(\Omega=\{\text{pansement};\text{compresse};\text{bande}\}\), les trois issues ne sont
pas équiprobables : écrire \(P(\text{pansement})=\frac{1}{3}\) serait faux.
On compte les articles : \(P(\text{pansement})=\frac{13}{20}=0{,}65\).
Réflexe : « ces issues ont-elles vraiment la même chance ? » Si la réponse est non, on revient aux
objets (articles, pièces, cartes…) pour compter.
Dénombrer avec un arbre d’issues
Un arbre permet de lister sans oubli toutes les issues d’une expérience répétée. Dans l’exemple
ci-dessous, on lance deux fois une pièce équilibrée. Les quatre couples obtenus sont équiprobables,
car la pièce est équilibrée et chaque lancer est réalisé dans les mêmes conditions.
Arbre de dénombrement : deux lancers donnent quatre issues équiprobables.
Exemple
L’événement « obtenir exactement une fois Pile » contient deux issues :
\(\{\text{Pile–Face} ; \text{Face–Pile}\}\). Donc
\[P(\text{exactement un Pile})=\frac{2}{4}=0{,}5.\]
Dénombrer avec un tableau à double entrée
Quand l’expérience croise deux caractères, un tableau à double entrée
est souvent plus lisible qu’un arbre. Exemple : un magasinier prélève au hasard une cheville dans un
bac qui en contient 80, réparties selon la matière et le diamètre.
Ø 6 mm
Ø 8 mm
Total
Bois
18
12
30
Plastique
32
18
50
Total
50
30
80
Exemple
Les 80 chevilles sont indiscernables au toucher : elles sont équiprobables. On lit directement
les effectifs dans le tableau.
\[ P(\text{bois et Ø 6 mm}) = \frac{18}{80} = 0{,}225 \qquad
P(\text{Ø 8 mm}) = \frac{30}{80} = 0{,}375 \]
Attention
Les totaux des lignes et des colonnes doivent redonner l’effectif global :
\(30 + 50 = 80\) et \(50 + 30 = 80\). C’est le contrôle à faire avant tout calcul de probabilité.
Exemples de calculs
Lancer une pièce de monnaie — obtenir Pile :
Issues favorables : 1 (Pile). Total : 2.
\[ P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Lancer un dé — obtenir un nombre pair :
Issues favorables : \(\{2, 4, 6\}\) → 3 issues. Total : 6.
\[ P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Tirer une carte rouge dans un jeu de 52 cartes :
Issues favorables : 26 cartes rouges (cœurs + carreaux). Total : 52.
\[ P(\text{carte rouge}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Lancer un dé — obtenir un nombre strictement supérieur à 4 :
Issues favorables : \(\{5, 6\}\) → 2 issues. Total : 6.
\[ P(\text{nombre} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \]
Calculer avec les événements : contraire, « ou », « et »
À partir de deux événements \(A\) et \(B\) d’une même expérience, on en fabrique de nouveaux.
Trois situations reviennent sans arrêt dans les exercices et sur le terrain.
Définition – Événement contraire
L’événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\) (lire « A barre »),
est l’événement « \(A\) ne se produit pas ». Il regroupe toutes les issues de \(\Omega\)
qui ne sont pas dans \(A\).
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad \text{et donc} \qquad P(A) + P(\bar{A}) = 1 \]
Un événement et son contraire couvrent tout l’univers, sans se chevaucher.
Définition – Réunion et intersection
\(A \cup B\) (lire « \(A\) union \(B\) ») est l’événement
« \(A\) ou \(B\) » : au moins l’un des deux se produit.
\(A \cap B\) (lire « \(A\) inter \(B\) ») est l’événement
« \(A\) et \(B\) » : les deux se produisent en même temps.
Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire ensemble :
alors \(A \cap B = \emptyset\) et \(P(A \cap B) = 0\).
Dans un club omnisports, un adhérent tiré au sort pratique la course à pied (C) avec la probabilité 0,30 et la natation (N) avec la probabilité 0,20 ; il pratique les deux avec la probabilité 0,08. La zone commune est comptée une seule fois dans \(C \cup N\).
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
On retire \(P(A \cap B)\) parce que la zone commune a été comptée deux fois.
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, il n’y a pas de zone commune :
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exemple – club omnisports
Avec les données de la figure : \(P(C)=0{,}30\), \(P(N)=0{,}20\), \(P(C \cap N)=0{,}08\).
\[ P(C \cup N) = 0{,}30 + 0{,}20 - 0{,}08 = 0{,}42 \]
L’adhérent ne pratique ni l’une ni l’autre de ces deux activités avec la probabilité
\[ P(\overline{C \cup N}) = 1 - 0{,}42 = 0{,}58. \]
Contrôle par la figure : \(0{,}22+0{,}08+0{,}12+0{,}58 = 1\) ✔
Exemple – événements incompatibles
Sur 60 planches sorties d’une scierie, 9 sont fendues (F) et 6 sont voilées (V) ;
aucune ne cumule les deux défauts : F et V sont incompatibles.
\[ P(\text{F} \cup \text{V}) = \frac{9}{60} + \frac{6}{60} = \frac{15}{60} = 0{,}25 \]
Les planches sans défaut sont le contraire : \(P(\text{sans défaut}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\),
ce que confirme le comptage direct \(\frac{45}{60}\) ✔
Méthode – l’événement « au moins un »
Quand un énoncé demande « au moins un… », le calcul direct oblige à additionner
beaucoup de cas. Le contraire de « au moins un défectueux » est « aucun défectueux »,
c’est-à-dire « tous conformes » : un seul cas à calculer.
\[ P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}) \]
Application — Contraire, « ou », « et »
Dans un atelier, on prélève une pièce au hasard. La probabilité qu’elle soit hors cote est 0,12,
la probabilité qu’elle soit mal poncée est 0,09, et la probabilité qu’elle présente les deux défauts
à la fois est 0,03.
Calculer la probabilité que la pièce présente au moins un des deux défauts.
En déduire la probabilité qu’elle n’ait aucun de ces deux défauts.
Dans un autre atelier, une pièce est soit conforme, soit rebutée : ces deux événements sont-ils
incompatibles ? contraires ?
Notons \(H\) « hors cote » et \(M\) « mal poncée » :
\(P(H)=0{,}12\), \(P(M)=0{,}09\), \(P(H \cap M)=0{,}03\).
1. « Au moins un des deux défauts » est l’événement \(H \cup M\) :
\[ P(H \cup M) = 0{,}12 + 0{,}09 - 0{,}03 = \mathbf{0{,}18} \]
(Sans retirer 0,03 on trouverait 0,21 : les pièces qui cumulent les deux défauts auraient été comptées deux fois.)
2. « Aucun des deux défauts » est le contraire de \(H \cup M\) :
\[ P = 1 - 0{,}18 = \mathbf{0{,}82} \]
3. Oui, ils sont incompatibles (une pièce ne peut pas être à la fois conforme et rebutée) ;
et comme il n’y a que ces deux possibilités, ils sont même contraires :
\(P(\text{rebutée}) = 1 - P(\text{conforme})\).
Attention : deux événements incompatibles ne sont pas toujours contraires — F et V de
l’exemple précédent sont incompatibles, mais leur réunion ne fait pas 1.
Répéter une expérience : l’arbre pondéré
Quand on répète deux fois la même expérience — deux tirages, deux contrôles,
deux prélèvements — on écrit la probabilité de chaque issue sur la branche qui la porte.
L’arbre n’est plus seulement un outil de dénombrement : il devient un outil de calcul.
Règles de l’arbre pondéré
Les branches qui partent d’un même point ont des probabilités dont la somme vaut 1.
La probabilité d’un chemin complet s’obtient en multipliant
les probabilités rencontrées le long des branches.
La probabilité d’un événement qui correspond à plusieurs chemins s’obtient en
additionnant les probabilités de ces chemins.
Avec remise, et seulement avec remise
Dans ce chapitre, le tirage se fait avec remise (on remet la boule dans le sac,
ou le stock est très grand devant le prélèvement). Les deux tirages sont alors
indépendants : le second se fait dans les mêmes conditions que le premier,
donc les probabilités sont les mêmes aux deux étages de l’arbre.
Deux tirages avec remise dans un sac de 3 boules rouges et 2 bleues : \(P(R)=\frac{3}{5}=0{,}6\) et \(P(B)=\frac{2}{5}=0{,}4\). Somme des quatre chemins : \(0{,}36+0{,}24+0{,}24+0{,}16 = 1\).
Exemple – lire l’arbre
« Obtenir exactement une boule rouge » correspond à deux chemins,
R puis B et B puis R :
\[ P = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48 \]
« Obtenir au moins une boule rouge » est le contraire de « aucune rouge »,
c’est-à-dire de B puis B :
\[ P = 1 - 0{,}16 = 0{,}84 \]
Application — Deux flèches à la suite
À l’entraînement, une archère touche la zone jaune de la cible avec la probabilité \(p = 0{,}8\).
Elle tire deux flèches, dans les mêmes conditions : les deux tirs sont indépendants.
Quelle est la probabilité qu’une flèche manque la zone jaune ?
Construire l’arbre pondéré des deux tirs.
Calculer la probabilité que les deux flèches touchent la zone jaune.
En déduire la probabilité qu’au moins une des deux manque la zone jaune.
1. « Manquer » (M) est le contraire de « toucher » (T) :
\(P(M) = 1 - 0{,}8 = \mathbf{0{,}2}\).
2. L’arbre a deux étages ; à chaque étage, la branche T porte 0,8 et la branche M porte 0,2
(mêmes valeurs aux deux étages, car les tirs sont indépendants).
3. Chemin T puis T :
\[ P(\text{2 touches}) = 0{,}8 \times 0{,}8 = \mathbf{0{,}64} \]
4. « Au moins une manquée » est le contraire de « les deux touchées » :
\[ P = 1 - 0{,}64 = \mathbf{0{,}36} \]
Contrôle par les trois autres chemins :
\(0{,}8\times0{,}2 + 0{,}2\times0{,}8 + 0{,}2\times0{,}2 = 0{,}16+0{,}16+0{,}04 = 0{,}36\) ✔
5. Fréquence observée
Définition – Fréquence
Lorsqu’on réalise une expérience aléatoire un certain nombre de fois, la fréquence d’un événement
est le rapport entre le nombre de fois où l’événement s’est produit et le nombre total d’expériences réalisées.
\[ f = \dfrac{\text{nombre d'occurrences de l'événement}}{\text{nombre total d'expériences}} \]
Exemple
On lance une pièce de monnaie 20 fois. On obtient Pile 11 fois.
\[ f(\text{Pile}) = \frac{11}{20} = 0{,}55 \]
La fréquence observée est de 0,55, soit 55 %. La probabilité théorique est de 0,5 (50 %).
Ces deux valeurs sont proches, mais pas égales.
Distinction importante
La fréquence est une valeur observée, obtenue par l’expérience.
La probabilité est une valeur théorique, calculée à partir du modèle.
La fréquence peut varier d’une série d’expériences à l’autre. Quand le nombre d’expériences augmente, elle tend à se stabiliser autour de la probabilité, sans s’en rapprocher nécessairement à chaque nouvelle expérience.
De la probabilité à l’effectif attendu
La relation entre fréquence et effectif se lit aussi dans l’autre sens : si on connaît la probabilité \(p\),
on peut prévoir combien de fois l’événement devrait se produire sur \(n\) expériences.
\[ \text{effectif attendu} = n \times p \]
C’est une prévision, pas une certitude : l’effectif réellement observé fluctue autour de cette valeur.
Exemple
Dans un cabinet médical, on estime que 8 % des rendez-vous ne sont pas honorés (\(p = 0{,}08\)).
Sur les 300 rendez-vous d’un trimestre, on peut prévoir
\[ 300 \times 0{,}08 = 24 \text{ rendez-vous manqués.} \]
En observer 19 ou 28 ne signifie pas que l’estimation est fausse : c’est la fluctuation.
Application — Fréquence observée
Un électricien contrôle 50 luminaires LED à la réception et en rejette 8 défectueux. 1. Calculer la fréquence des luminaires défectueux. 2. Exprimer ce résultat en pourcentage.
Définition – Échantillon de taille \(n\)
Un échantillon de taille \(n\) est le résultat de \(n\) répétitions de la même
expérience aléatoire, réalisées dans les mêmes conditions et indépendantes les unes
des autres. Concrètement, le prélèvement se fait avec remise : chaque prélèvement
ne modifie pas la composition de ce dans quoi on prélève, donc la probabilité \(p\) reste la même
à chaque fois.
En pratique : dans un stock de plusieurs milliers de pièces, prélever 20 pièces sans les
remettre change si peu la composition qu’on raisonne comme si c’était avec remise.
Si on prélève plusieurs échantillons de même taille, on n’obtient pas toujours la
même fréquence. C’est ce qu’on appelle la fluctuation des fréquences (ou fluctuation
d’échantillonnage).
Exemple – 5 séries de 20 lancers d’une pièce
Série
Nombre de lancers
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
1
20
9
0,45
2
20
12
0,60
3
20
10
0,50
4
20
11
0,55
5
20
8
0,40
Les fréquences varient entre 0,40 et 0,60, autour de la valeur théorique 0,5.
Définition – Étendue des fréquences
Pour plusieurs échantillons de même taille, l’étendue des fréquences mesure l’écart
entre la plus grande et la plus petite fréquence observée :
\[ \text{étendue des fréquences}=f_{\max}-f_{\min}. \]
Ici, elle vaut \(0{,}60-0{,}40=0{,}20\). Il s’agit de l’étendue des
fréquences d’échantillons, utilisée pour observer leur fluctuation.
Application — Comparer deux tailles d’échantillon
Cinq échantillons sont prélevés pour deux tailles différentes :
Taille
Fréquence 1
Fréquence 2
Fréquence 3
Fréquence 4
Fréquence 5
\(n=20\)
0,35
0,45
0,50
0,60
0,65
\(n=200\)
0,47
0,49
0,50
0,51
0,53
Calcule les deux étendues et compare-les.
Pour \(n=20\) : \(0{,}65-0{,}35=\mathbf{0{,}30}\).
Pour \(n=200\) : \(0{,}53-0{,}47=\mathbf{0{,}06}\).
L’étendue est cinq fois plus petite pour \(n=200\) : les fréquences fluctuent
d’autant moins que la taille de l’échantillon est grande.
Le graphique suivant illustre cette fluctuation :
Fluctuation des fréquences autour de la probabilité théorique 0,5
À retenir
Avec un petit nombre d’expériences, la fréquence peut être assez éloignée de la probabilité.
C’est tout à fait normal : c’est la fluctuation des fréquences.
Plus le nombre d’expériences est grand, moins la fluctuation est importante.
Application — Étendue des fréquences
Dans un atelier de menuiserie, on prélève 4 échantillons de 50 tasseaux. Dans chaque échantillon, on compte le nombre de tasseaux mal calibrés :
Échantillon
1
2
3
4
Tasseaux mal calibrés
3
5
2
6
Calculer la fréquence de tasseaux mal calibrés dans chaque échantillon.
Déterminer l'étendue de ces fréquences.
1. Chaque échantillon compte 50 tasseaux, donc \(f = \dfrac{\text{nombre mal calibrés}}{50}\) :
\[ \frac{3}{50} = 0{,}06 \quad ; \quad \frac{5}{50} = 0{,}10 \quad ; \quad \frac{2}{50} = 0{,}04 \quad ; \quad \frac{6}{50} = 0{,}12 \]
soit 6 %, 10 %, 4 % et 12 %.
2. L'étendue est l'écart entre la plus grande et la plus petite fréquence :
\[ \text{étendue} = 0{,}12 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}08} \]
Les fréquences varient donc de 8 points de pourcentage d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation des fréquences.
Simuler un échantillon avec la calculatrice ou un tableur
On n’a pas toujours le temps de prélever réellement des centaines de pièces. On peut alors
simuler l’expérience : la machine tire des nombres au hasard à notre place.
Méthode – simuler \(n\) prélèvements de probabilité \(p\)
La calculatrice (touche nbrAléat() ou rand) et le tableur
(formule =ALEA()) tirent un nombre au hasard entre 0 et 1, chaque
valeur ayant la même chance de sortir.
On décide que le résultat compte pour un « succès » lorsque le nombre tiré est
inférieur à \(p\) — ce qui arrive justement avec la probabilité \(p\).
Au tableur : =SI(ALEA()<0,3;1;0) renvoie 1 avec la probabilité 0,3 et 0 sinon.
On recopie la formule sur \(n\) cellules : c’est un échantillon de taille \(n\).
On compte les 1 obtenus, puis on calcule \(f = \dfrac{\text{nombre de 1}}{n}\).
On recommence pour obtenir plusieurs échantillons, et on compare leurs fréquences
(étendue) — d’abord pour un petit \(n\), puis pour un grand \(n\).
Exemple – un échantillon simulé de taille \(n = 20\) pour \(p = 0{,}30\)
On simule 20 passages à un péage, sachant qu’un véhicule sur trois environ emprunte la voie
télépéage (\(p = 0{,}30\)). La machine a renvoyé la suite suivante (1 = télépéage, 0 = voie classique) :
1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
On compte huit 1, donc \( f = \dfrac{8}{20} = 0{,}40 \).
Cette fréquence n’est pas égale à \(p = 0{,}30\) : c’est normal, c’est la fluctuation
d’échantillonnage. Avec \(n = 200\) ou \(n = 1\,000\), les fréquences simulées se resserrent autour de 0,30.
7. Stabilisation des fréquences – Loi des grands nombres
Quand le nombre d’expériences augmente, la fréquence observée tend à se stabiliser autour de la probabilité théorique.
C’est le principe de la loi des grands nombres.
Loi des grands nombres (intuition)
Quand le nombre d’expériences \(n\) augmente, la fréquence \(f\) tend à se stabiliser autour de la probabilité \(p\).
En pratique : plus \(n\) est grand, moins un écart important entre \(f\) et \(p\) est probable. La fréquence peut toutefois s’éloigner ponctuellement de \(p\) au cours d’une série.
Le graphique suivant montre la stabilisation de la fréquence autour de la probabilité :
Les 100 premiers lancers de la série du tableau ci-dessous (53 Pile sur 100) : la fréquence de Pile s’écarte beaucoup de 0,5 au début, puis se resserre autour de 0,5 quand n augmente. Elle en devient très proche — ici 0,53 — sans pour autant lui devenir égale.
Exemple chiffré – lancer d’une pièce
Nombre de lancers (n)
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
10
7
0,70
50
28
0,56
100
53
0,53
500
247
0,494
1 000
501
0,501
C’est la série tracée sur le graphique ci-dessus, poursuivie jusqu’à 1 000 lancers : la fréquence se stabilise
progressivement autour de la probabilité théorique \(p = 0{,}5\) — elle s’en approche, mais aucune ligne du tableau
ne donne exactement \(0{,}5\).
Application — Estimer une probabilité
Un installateur de pompes à chaleur a posé 500 appareils. Un an après la pose, 460 fonctionnent sans aucune intervention de dépannage.
Calculer la fréquence des appareils sans intervention.
Quelle probabilité peut-on estimer pour qu'un nouvel appareil fonctionne sans intervention la première année ? Justifier.
1. Fréquence des appareils sans intervention :
\[ f = \frac{460}{500} = 0{,}92 = 92\,\% \]
2. Le nombre d'appareils \(n = 500\) est grand : d'après la loi des grands nombres, la fréquence observée est proche de la probabilité. On estime donc :
\[ P(\text{sans intervention}) \approx \mathbf{0{,}92} \ (92\,\%) \]
L'estimation est fiable parce qu'elle s'appuie sur un grand nombre d'appareils ; sur 5 ou 10 appareils seulement, elle serait beaucoup moins sûre.
8. Applications concrètes dans les métiers
Exemple 1 – Contrôle qualité
Une technicienne de maintenance énergétique contrôle 200 thermostats avant installation. 14 sont défectueux.
Fréquence de défaut :
\[ f = \frac{14}{200} = 0{,}07 = 7\,\% \]
Cette fréquence observée permet d’estimer la probabilité inconnue :
\(P(\text{thermostat défectueux}) \approx 7\,\%\). Ce n’est pas une probabilité théorique calculée
par équiprobabilité.
Retour sur la situation d’introduction : sur 100 pièces avec 8 défauts :
\[ f = \frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\,\% \]
La fréquence observée vaut 8 %. Elle fournit une estimation d’environ 8 %
pour la probabilité de défaut, à confirmer sur d’autres contrôles.
Exemple 2 – Sondage satisfaction client
Un installateur de pompes à chaleur interroge 300 clients. 180 se déclarent très satisfaits.
Fréquence de satisfaction :
\[ f = \frac{180}{300} = 0{,}60 = 60\,\% \]
On estime que la probabilité qu’un client soit très satisfait est d’environ 60 %.
Exemple 3 – Estimation météo pour chantier
Sur 60 journées de chantier comparables observées les années précédentes, 36 ont été pluvieuses.
\[ f(\text{journée pluvieuse})=\frac{36}{60}=0{,}60 \]
On peut donc estimer \(P(\text{journée pluvieuse})\approx 60\,\%\), en gardant à l’esprit
qu’il s’agit d’une estimation issue d’observations.
Cette estimation est utile pour planifier des chantiers extérieurs et prévoir des jours de repli.
9. À retenir
Récapitulatif du chapitre
Vocabulaire essentiel
Expérience aléatoire : résultat non prévisible avec certitude, mais issues connues
Issue : résultat possible de l’expérience
Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues
Événement : sous-ensemble de l’univers (simple ou composé)
Événement contraire \(\bar{A}\) : « \(A\) ne se produit pas »
\(A \cup B\) : « \(A\) ou \(B\) » — \(A \cap B\) : « \(A\) et \(B\) »
Événements incompatibles : ils ne peuvent pas se produire ensemble
Formules à connaître
\[ P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} \qquad (0 \leq P(A) \leq 1) \]
(uniquement si les issues sont équiprobables)
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
\[ \text{effectif attendu} = n \times p \]
Arbre pondéré (expérience répétée, avec remise)
Les branches issues d’un même point ont une somme égale à 1.
Le long d’un chemin, on multiplie ; entre plusieurs chemins, on additionne.
« Au moins un » se calcule par le contraire : \(1 - P(\text{aucun})\).
Fréquence et probabilité
La fréquence est observée lors d’une expérience réelle.
La probabilité est une valeur théorique.
Un échantillon de taille \(n\) = \(n\) répétitions indépendantes (prélèvement avec remise).
Pour plusieurs échantillons de même taille, l’étendue \(f_{\max}-f_{\min}\) décrit l’ampleur de la fluctuation.
Quand \(n\) augmente, la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité et les écarts importants deviennent moins probables : c’est la loi des grands nombres.
Avec peu d’expériences, la fréquence peut s’éloigner de la probabilité : c’est la fluctuation.
10. Erreurs fréquentes
❌
Confondre fréquence et probabilité
La fréquence est un résultat observé lors d’une expérience. La probabilité est une valeur théorique.
Sur 10 lancers, obtenir Pile 7 fois ne signifie pas que \(P(\text{Pile}) = 0{,}7\).
Conseil : la fréquence permet d’estimer la probabilité, mais elles ne sont pas identiques.
❌
Le sophisme du joueur (erreur classique)
Croire que si on vient d’obtenir Pile 5 fois de suite, le prochain lancer d’une pièce équilibrée
réalisée dans les mêmes conditions a plus de chances de donner Face.
C’est faux : les lancers sont indépendants — le résultat d’un lancer n’a aucune
influence sur le suivant — et le modèle reste \(P(\text{Face}) = 0{,}5\) à chaque lancer.
Conseil : pour des expériences indépendantes, les résultats passés ne modifient pas la
probabilité du lancer suivant.
❌
Croire que les résultats doivent être parfaitement équilibrés
Sur 10 lancers, on peut très bien obtenir 7 Pile et 3 Face. Ce n’est pas « anormal ».
La loi des grands nombres ne s’applique qu’à très long terme.
Conseil : la fluctuation est normale et attendue pour des petits échantillons.
❌
Additionner « A ou B » sans retirer la partie commune
Écrire \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) alors que \(A\) et \(B\) peuvent se produire ensemble :
les cas communs sont alors comptés deux fois et la probabilité obtenue est trop grande.
Conseil : l’addition simple n’est valable que pour des événements
incompatibles ; sinon, retirer \(P(A \cap B)\).
❌
Croire que les issues sont toujours équiprobables
Devant \(\Omega=\{\text{pansement};\text{compresse};\text{bande}\}\), écrire
\(P(\text{pansement})=\frac{1}{3}\) alors que la trousse contient 13 pansements, 5 compresses
et 2 bandes.
Conseil : la formule des cas favorables se compte sur les objets
(articles, pièces, cartes), pas sur les catégories.
❌
Oublier les bornes de la probabilité
La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %).
Un résultat comme \(P(A) = 1{,}5\) ou \(P(A) = -0{,}2\) est impossible.
Conseil : vérifier que \(0 \leq P(A) \leq 1\) après chaque calcul.
Graphique — Probabilités théoriques vs fréquences observées
En théorie, un dé équilibré donne chaque face avec une probabilité de \(\frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).
En pratique, on observe des fluctuations. Voici un exemple de 90 lancers :
Les barres bleues fluctuent autour de la droite rouge théorique (16,7%). Plus le nombre de lancers augmente, plus elles s'en rapprochent.
Animation — Simulateur de lancers de pièce
Lance une pièce virtuellement et observe comment la fréquence des Pile se stabilise autour de 0,5 quand le nombre de lancers augmente.