Chapitre 4 – Probabilités et fluctuation des fréquences
Seconde Bac Pro MAMA | Agencement · Menuiserie · Ameublement | Mathématiques
Dernière mise à jour : 10 juin 2026, 00:39
Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
Comprendre la notion d’expérience aléatoire
Identifier l’ensemble des issues (univers)
Calculer des probabilités simples
Comprendre la notion de fréquence
Observer la fluctuation des fréquences
Comprendre la stabilisation des fréquences avec l’augmentation du nombre d’expériences
Contexte :Contrôle qualité en atelier de menuiserieSituation :Un artisan vérifie des pièces de bois produites par une machine. Sur 100 pièces contrôlées, 8 présentent un défaut.Question :Peut-on estimer la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?
Cette situation sera analysée tout au long du chapitre.
1. Introduction – Le hasard dans les métiers
Dans certaines situations professionnelles, on ne peut pas prédire avec certitude le résultat d’une action.
Le hasard intervient : c’est le cas en contrôle qualité, en estimation de risque ou en prévision de chantier.
Exemples du quotidien
Lancer une pièce de monnaie : on ne sait pas à l’avance si on obtiendra Pile ou Face.
Lancer un dé : le résultat est imprévisible.
Vérifier une pièce en sortie de machine : on ne sait pas si elle sera défectueuse ou non.
Choisir un client au hasard dans un fichier : on ne sait pas s’il sera satisfait ou non.
Les probabilités permettent de mesurer le degré de certitude d’un résultat, et les fréquences
permettent d’estimer ces probabilités à partir d’observations réelles.
2. Expérience aléatoire, issues et univers
Définition – Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude,
mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Définition – Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Définition – Univers \(\Omega\)
L’univers \(\Omega\) (lettre grecque oméga) est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience.
« Obtenir un nombre entre 1 et 6 » → événement certain : \(\Omega\), (\(P(\Omega) = 1\))
Application — Tirage de boules
Un sac contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule verte. On tire une boule au hasard.
Quel est l'univers ? Combien d'issues y a-t-il ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou verte ?
Total de boules : \(3 + 2 + 1 = 6\) boules. L'univers a 6 issues équiprobables.
1. L'univers contient 6 issues (une par boule).
2. Issues favorables « rouge » : 3.
\[ P(\text{rouge}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
3. Issues favorables « bleue ou verte » : \(2 + 1 = 3\) issues.
\[ P(\text{bleue ou verte}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Vérification : \(P(\text{rouge}) + P(\text{bleue ou verte}) = 1\), cohérent car on couvre tout l'univers.
4. Probabilité d’un événement
Lorsque toutes les issues sont équiprobables (c’est-à-dire qu’elles ont toutes la même chance de se produire),
on peut calculer la probabilité d’un événement par une formule simple.
\[ P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} \]
Cette formule s’applique uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
Propriétés fondamentales
Pour tout événement \(A\) : \(0 \leq P(A) \leq 1\)
Événement certain : \(P(\Omega) = 1\)
Événement impossible : \(P(\emptyset) = 0\)
Plus \(P(A)\) est proche de 1, plus l’événement est probable.
Définition – Fréquence
Lorsqu’on réalise une expérience aléatoire un certain nombre de fois, la fréquence d’un événement
est le rapport entre le nombre de fois où l’événement s’est produit et le nombre total d’expériences réalisées.
\[ f = \dfrac{\text{nombre d'occurrences de l'événement}}{\text{nombre total d'expériences}} \]
Exemple
On lance une pièce de monnaie 20 fois. On obtient Pile 11 fois.
\[ f(\text{Pile}) = \frac{11}{20} = 0{,}55 \]
La fréquence observée est de 0,55, soit 55 %. La probabilité théorique est de 0,5 (50 %).
Ces deux valeurs sont proches, mais pas égales.
Distinction importante
La fréquence est une valeur observée, obtenue par l’expérience.
La probabilité est une valeur théorique, calculée à partir du modèle.
La fréquence peut varier d’une série d’expériences à l’autre, mais se rapproche de la probabilité quand le nombre d’expériences augmente.
Application — Fréquence observée
Un menuisier contrôle 50 lames de parquet et en rejette 8 défectueuses. 1. Calculer la fréquence des lames défectueuses. 2. Exprimer ce résultat en pourcentage.
Si on répète la même série d’expériences plusieurs fois, on n’obtient pas toujours la même fréquence.
C’est ce qu’on appelle la fluctuation des fréquences.
Exemple – 5 séries de 20 lancers d’une pièce
Série
Nombre de lancers
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
1
20
9
0,45
2
20
12
0,60
3
20
10
0,50
4
20
11
0,55
5
20
8
0,40
Les fréquences varient entre 0,40 et 0,60, autour de la valeur théorique 0,5.
Le graphique suivant illustre cette fluctuation :
Fluctuation des fréquences autour de la probabilité théorique 0,5
À retenir
Avec un petit nombre d’expériences, la fréquence peut être assez éloignée de la probabilité.
C’est tout à fait normal : c’est la fluctuation des fréquences.
Plus le nombre d’expériences est grand, moins la fluctuation est importante.
7. Stabilisation des fréquences – Loi des grands nombres
Plus le nombre d’expériences augmente, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
C’est le principe de la loi des grands nombres.
Loi des grands nombres (intuition)
Quand le nombre d’expériences \(n\) augmente, la fréquence \(f\) se rapproche de plus en plus de la probabilité \(p\).
En pratique : plus \(n\) est grand, moins la fréquence fluctue, et plus elle est proche de \(p\).
Le graphique suivant montre la convergence de la fréquence vers la probabilité :
La fréquence oscille d’abord beaucoup, puis se stabilise autour de p quand n augmente.
Exemple chiffré – lancer d’une pièce
Nombre de lancers (n)
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
10
7
0,70
50
28
0,56
100
53
0,53
500
247
0,494
1 000
501
0,501
La fréquence se rapproche de la probabilité théorique \(p = 0{,}5\) quand \(n\) augmente.
8. Applications concrètes en menuiserie
Exemple 1 – Contrôle qualité
Un atelier de menuiserie contrôle 200 planches en sortie de machine. 14 sont défectueuses.
Fréquence de défaut :
\[ f = \frac{14}{200} = 0{,}07 = 7\,\% \]
On estime donc : \(P(\text{pièce défectueuse}) \approx 7\,\%\)
Retour sur la situation d’introduction : sur 100 pièces avec 8 défauts :
\[ f = \frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\,\% \]
On estime que la probabilité qu’une pièce soit défectueuse est d’environ 8 %.
Exemple 2 – Sondage satisfaction client
Un fabricant de meubles interroge 300 clients. 180 se déclarent très satisfaits.
Fréquence de satisfaction :
\[ f = \frac{180}{300} = 0{,}60 = 60\,\% \]
On estime que la probabilité qu’un client soit très satisfait est d’environ 60 %.
Exemple 3 – Estimation météo pour chantier
En observant les données des années précédentes, il a plu 3 jours sur 5 au mois de mai.
\[ P(\text{pluie en mai}) \approx \frac{3}{5} = 0{,}60 = 60\,\% \]
Cette estimation est utile pour planifier des chantiers extérieurs et prévoir des jours de repli.
9. À retenir
Récapitulatif du chapitre
Vocabulaire essentiel
Expérience aléatoire : résultat non prévisible avec certitude, mais issues connues
Issue : résultat possible de l’expérience
Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues
Événement : sous-ensemble de l’univers (simple ou composé)
La fréquence est observée lors d’une expérience réelle.
La probabilité est une valeur théorique.
Quand \(n\) augmente, la fréquence se rapproche de la probabilité : c’est la loi des grands nombres.
Avec peu d’expériences, la fréquence peut s’éloigner de la probabilité : c’est la fluctuation.
10. Erreurs fréquentes
❌
Confondre fréquence et probabilité
La fréquence est un résultat observé lors d’une expérience. La probabilité est une valeur théorique.
Sur 10 lancers, obtenir Pile 7 fois ne signifie pas que \(P(\text{Pile}) = 0{,}7\).
Conseil : la fréquence permet d’estimer la probabilité, mais elles ne sont pas identiques.
❌
Le sophisme du joueur (erreur classique)
Croire que si on vient d’obtenir Pile 5 fois de suite, le prochain lancer a plus de chances de donner Face.
C’est faux : chaque lancer est indépendant, et \(P(\text{Face}) = 0{,}5\) à chaque fois.
Conseil : les résultats passés n’influencent pas les résultats futurs pour des expériences indépendantes.
❌
Croire que les résultats doivent être parfaitement équilibrés
Sur 10 lancers, on peut très bien obtenir 7 Pile et 3 Face. Ce n’est pas « anormal ».
La loi des grands nombres ne s’applique qu’à très long terme.
Conseil : la fluctuation est normale et attendue pour des petits échantillons.
❌
Oublier les bornes de la probabilité
La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %).
Un résultat comme \(P(A) = 1{,}5\) ou \(P(A) = -0{,}2\) est impossible.
Conseil : vérifier que \(0 \leq P(A) \leq 1\) après chaque calcul.
Graphique — Probabilités théoriques vs fréquences observées
En théorie, un dé équilibré donne chaque face avec une probabilité de \(\frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).
En pratique, on observe des fluctuations. Voici un exemple de 60 lancers :
Les barres bleues fluctuent autour de la droite rouge théorique (16,7%). Plus le nombre de lancers augmente, plus elles s'en rapprochent.
Animation — Simulateur de lancers de pièce
Lance une pièce virtuellement et observe comment la fréquence des Pile se stabilise autour de 0,5 quand le nombre de lancers augmente.