Chapitre 3 — Indicateurs statistiques

Indicateurs de position et de dispersion · Boîte à moustaches · 2^de Bac Pro

Dernière mise à jour : 7 août 2026, 12:58

Avant de commencer, tu dois savoir…

lire une série organisée en tableau d'effectifs ;
ranger une liste de valeurs dans l'ordre croissant ;
effectuer une division et une soustraction (calcul et comparaison de valeurs).

Objectifs du chapitre :

Calculer et interpréter les indicateurs de position : moyenne, médiane, quartiles
Calculer et interpréter les indicateurs de dispersion : étendue, écart-type, écart interquartile
Construire et lire un diagramme en boîte à moustaches
Comparer et interpréter plusieurs séries statistiques

🔨 Situation professionnelle

Un chef d’atelier analyse les temps d’intervention de ses menuisiers sur des chantiers de pose pendant un mois. Il relève (en minutes) : 25, 30, 18, 45, 22, 35, 28, 40, 20, 32, 55, 27.

Pour décider si son équipe est efficace et régulière, il calcule des indicateurs statistiques : moyenne, médiane, quartiles, écart-type. Il trace ensuite une boîte à moustaches.

1. Rappels — Données et regroupement par classes

Série statistique : ensemble de valeurs mesurées sur une population.
Effectif \(n_i\) : nombre de fois qu’une valeur apparaît. Effectif total \(N\) : nombre d’individus.
Fréquence \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\) (entre 0 et 1, ou en %).

Regroupement par classes : quand les données sont nombreuses ou continues, on les regroupe en intervalles \([a\,;\,b[\).
Le centre de classe est \(c_i = \dfrac{a+b}{2}\) (utilisé pour calculer la moyenne).

Exemple — Durées d’intervention de 20 techniciens, regroupées par classes :

Classe [min]	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	Total
Effectif \(n_i\)	3	7	6	3	1	20
Centre \(c_i\)	15	25	35	45	55	—
Fréquence	15 %	35 %	30 %	15 %	5 %	100 %

La classe modale est [20 ; 30[ (effectif 7, le plus grand).

2. Indicateurs de position

Les indicateurs de position donnent une valeur représentative de la série.

2.1 Le mode et la classe modale

Mode (Mo) : valeur dont l’effectif est le plus élevé dans la série.
Classe modale : classe d’effectif le plus élevé (données regroupées par classes).

Application — Mode d'une série

Un menuisier relève l'épaisseur (en mm) de 8 planches en stock : 18, 22, 18, 27, 18, 22, 15, 18. Quelle est l'épaisseur la plus fréquente (le mode) ?

On compte les apparitions de chaque valeur : 18 mm apparaît 4 fois, 22 mm 2 fois, 15 mm et 27 mm 1 fois chacune (total : 4 + 2 + 1 + 1 = 8 planches).
La valeur dont l'effectif est le plus élevé est 18 mm : le mode est Mo = 18 mm.

2.2 La moyenne

Formule : \[\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N} \qquad\text{avec effectifs :}\quad \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N} \qquad\text{avec classes :}\quad \bar{x} = \frac{\sum c_i \cdot n_i}{N}\] Les deux dernières formules s'appellent la moyenne pondérée : chaque valeur \(x_i\) (ou chaque centre de classe \(c_i\)) « pèse » autant de fois qu'elle apparaît, c'est-à-dire son effectif \(n_i\).

Nos 12 interventions : Somme = 377 → \(\bar{x} = \dfrac{377}{12} \approx \mathbf{31{,}4 \text{ min}}\)

⚠ Attention : La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. La valeur 55 min tire la moyenne vers le haut.

Regrouper deux groupes : la moyenne d'ensemble n'est pas la moyenne des moyennes.
Pour réunir deux groupes en un seul, on ne fait jamais la moyenne des deux moyennes (sauf si les groupes ont exactement le même effectif). On revient aux sommes : \[\bar{x} = \frac{N_1 \times \bar{x}_1 + N_2 \times \bar{x}_2}{N_1 + N_2}\]

Retrouver la somme de chaque groupe : \(\text{somme} = \text{effectif} \times \text{moyenne}\).

Additionner les deux sommes, additionner les deux effectifs.

Diviser la somme totale par l'effectif total.

Exemple : lors d'un cross, les 8 élèves du groupe A ont couru en 24 min en moyenne ; les 12 élèves du groupe B, en 29 min en moyenne. Quel est le temps moyen des 20 élèves ?

Somme du groupe A : \(8 \times 24 = 192\) min | Somme du groupe B : \(12 \times 29 = 348\) min
\[\bar{x} = \frac{192 + 348}{20} = \frac{540}{20} = \mathbf{27 \text{ min}}\] Ce n'est pas \(\dfrac{24 + 29}{2} = 26{,}5\) min : le groupe B est plus nombreux, il pèse davantage et tire la moyenne d'ensemble vers le haut. C'est encore une moyenne pondérée, les « poids » étant ici les effectifs 8 et 12.

2.3 La médiane

Médiane (Me) : valeur qui partage la série triée en deux moitiés égales — 50 % des valeurs sont ≤ Me.

Méthode

Trier dans l’ordre croissant.
\(N\) impair : \(Me\) = valeur au rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
\(N\) pair : \(Me\) = moyenne des rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).

Série triée (\(N=12\), pair) : 18 · 20 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 32 · 35 · 40 · 45 · 55
Rangs 6 et 7 : 28 et 30. \(\;Me = \dfrac{28+30}{2} = \mathbf{29 \text{ min}}\)

Application — Moyenne et médiane

7 temps de déplacement (min) : 12, 15, 20, 18, 15, 25, 10. Calculer la moyenne et la médiane.

Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{12+15+20+18+15+25+10}{7} = \dfrac{115}{7} \approx 16{,}4\) min.

Médiane : Triée : 10 · 12 · 15 · 15 · 18 · 20 · 25. N=7 impair, rang 4 → Me = 15 min.

2.4 Les quartiles Q₁ et Q₃

Q₁ : 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
Q₃ : 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
La médiane est Q₂ = Me.

Méthode (officielle BO) : sur la série triée de \(N\) valeurs,
• Q₁ est la valeur de rang \(\lceil N/4 \rceil\) (plus petit entier ≥ \(N/4\)).
• Q₃ est la valeur de rang \(\lceil 3N/4 \rceil\).
Autrement dit : Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont ≤ ; Q₃ idem avec 75 %.

Série triée (N = 12) : 18 · 20 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 32 · 35 · 40 · 45 · 55.
Position de Q₁ : \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q₁ = 3^e valeur = 22 min.
Position de Q₃ : \(\lceil 3 \times 12/4 \rceil = 9\) → Q₃ = 9^e valeur = 35 min.

⚠ Le tableur ne donne pas les mêmes quartiles que cette méthode. Sa fonction QUARTILE interpole entre deux valeurs voisines : sur nos 12 durées elle affiche 24,25 et 36,25 là où le cours donne 22 et 35. En classe et en évaluation, c’est la méthode des rangs ci-dessus qui s’applique. Explication complète au §3.4 (calcul au tableur).

Application — Quartiles et IQR (écart interquartile)

10 durées triées (min) : 8, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 40. Calculer Q₁, Me, Q₃ et l'IQR (écart interquartile). Interpréter.

N = 10, pair. Me = (5^e + 6^e)/2 = (20 + 22)/2 = 21 min.
Position Q₁ : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q₁ = 3^e valeur = 15 min.
Position Q₃ : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q₃ = 8^e valeur = 28 min.
IQR = 28 − 15 = 13 min. 50 % des interventions durent entre 15 et 28 min.

2.5 Effectifs cumulés : trouver Me, Q₁ et Q₃ dans un tableau

Jusqu'ici la série était donnée « en vrac », valeur par valeur. Mais dès qu'il y a beaucoup de données, elles arrivent regroupées dans un tableau d'effectifs : on ne va pas réécrire 80 notes une à une pour trouver la médiane. Les effectifs cumulés servent exactement à ça.

Effectif cumulé (croissant) d'une valeur : nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à celle-ci.
On l'obtient en additionnant les effectifs de gauche à droite. Le dernier effectif cumulé vaut toujours \(N\) — c'est le contrôle des additions.

Méthode — série donnée en tableau d'effectifs :

Ajouter une ligne effectif cumulé (additions successives ; la dernière case doit valoir \(N\)).
En déduire une ligne rangs occupés : chaque valeur occupe, dans la série triée, les rangs allant de (effectif cumulé précédent + 1) jusqu'à son propre effectif cumulé.
Calculer les rangs de \(Me\), \(Q_1\) et \(Q_3\) comme aux §2.3 et §2.4, puis lire dans quelle plage de rangs chacun tombe.

Intérêt : on n'écrit jamais la liste des \(N\) valeurs, même pour 500 données.

Exemple — Points lumineux par pièce (24 pièces d'un chantier) :

Nombre de points lumineux \(x_i\)	1	2	3	4	5	Total
Effectif \(n_i\) (nombre de pièces)	3	5	8	6	2	24
Effectif cumulé	3	8	16	22	24	—
Rangs occupés	1 à 3	4 à 8	9 à 16	17 à 22	23 à 24	—

Lecture des effectifs cumulés : \(3\), puis \(3+5=8\), puis \(8+8=16\), puis \(16+6=22\), puis \(22+2=24=N\) ✔

• \(N = 24\) est pair → \(Me\) = moyenne des valeurs de rang 12 et 13. Ces deux rangs sont dans la plage « 9 à 16 », occupée par la valeur 3 → \(Me = \mathbf{3}\) points lumineux.
• Rang de \(Q_1\) : \(\lceil 24/4 \rceil = 6\) → le rang 6 est dans « 4 à 8 » → \(Q_1 = \mathbf{2}\).
• Rang de \(Q_3\) : \(\lceil 3 \times 24/4 \rceil = 18\) → le rang 18 est dans « 17 à 22 » → \(Q_3 = \mathbf{4}\).
• IQR \(= 4 - 2 = \mathbf{2}\) : la moitié centrale des pièces compte entre 2 et 4 points lumineux.

Application — Effectifs cumulés et rangs occupés

Un poseur relève le nombre de fenêtres à changer dans 20 logements d'une résidence :

Nombre de fenêtres \(x_i\)	2	3	4	5	6	Total
Effectif \(n_i\)	3	4	6	5	2	20

Construire la ligne des effectifs cumulés, puis celle des rangs occupés. En déduire \(Me\), \(Q_1\), \(Q_3\) et l'IQR.

\(x_i\)	2	3	4	5	6
Effectif cumulé	3	7	13	18	20
Rangs occupés	1 à 3	4 à 7	8 à 13	14 à 18	19 à 20

Cumuls : \(3\) ; \(3+4=7\) ; \(7+6=13\) ; \(13+5=18\) ; \(18+2=20=N\) ✔

Médiane : \(N = 20\) pair → rangs 10 et 11, tous deux dans « 8 à 13 » → \(Me = \mathbf{4}\) fenêtres.
\(Q_1\) : rang \(\lceil 20/4 \rceil = 5\), dans « 4 à 7 » → \(Q_1 = \mathbf{3}\).
\(Q_3\) : rang \(\lceil 60/4 \rceil = 15\), dans « 14 à 18 » → \(Q_3 = \mathbf{5}\).
IQR \(= 5 - 3 = \mathbf{2}\) fenêtres : la moitié centrale des logements a entre 3 et 5 fenêtres à changer.

Récapitulatif de la partie 2 — les 12 interventions du chef d’atelier (série de la situation d’ouverture : 18 · 20 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 32 · 35 · 40 · 45 · 55). Ce sont les résultats des §2.1 à §2.4, pas ceux des séries en tableau du §2.5.

Mode / Classe modale

[20;30[

Classe la plus fréquente : 5 des 12

Moyenne x̅

≈ 31,4 min

Barycentre de la série

Médiane Me

29 min

Valeur centrale robuste

Q₁ / Q₃

22 / 35

Quartiles 1 et 3

3. Indicateurs de dispersion

Les indicateurs de dispersion mesurent la variabilité des données autour de la valeur centrale.

3.1 L’étendue

\[\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min}\]

Étendue = 55 − 18 = 37 min.

Limite : l’étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes — une seule valeur aberrante peut la rendre très grande.

Application — Étendue

Un basketteur a marqué sur 6 matchs : 12, 18, 9, 22, 15 et 20 points. Calculer l'étendue de ses scores et dire ce qu'elle indique.

Valeur maximale : 22 points ; valeur minimale : 9 points.
\(\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min} = 22 - 9 = \mathbf{13 \text{ points}}\).
C'est un indicateur de dispersion : plus l'étendue est grande, plus les scores sont irréguliers d'un match à l'autre.

3.2 L’écart interquartile (IQR)

\[\text{IQR} = Q_3 - Q_1\] Il représente l’étendue des 50 % centraux des données.

IQR = 35 − 22 = 13 min. La moitié centrale des interventions dure entre 22 et 35 min.

Pour aller plus loin — repérer une valeur aberrante (au-delà du programme). L’écart interquartile sert aussi à décider si une valeur est anormalement grande ou petite, et non simplement grande. Le critère usuel, non exigible au lycée professionnel, est : \[ \text{valeur aberrante si } x < Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} \quad \text{ou} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} \]

Sur l’exemple ci-dessus (Q₁ = 22, Q₃ = 35, IQR = 13) : seuil haut = 35 + 1,5 × 13 = 54,5 min. La plus longue intervention du mois, 55 min, dépasse ce seuil (de peu) : selon ce critère elle est bien aberrante — c’est elle qui allonge la moustache droite de la boîte (§4). En revanche une intervention de 50 min ne le serait pas, bien qu’elle soit elle aussi nettement au-dessus de Q₃.

Pourquoi 1,5 ? C’est une convention, pas un résultat démontré : elle a été choisie parce qu’elle signale peu de valeurs sur des séries ordinaires. Retenir : une valeur extrême n’est pas forcément aberrante — c’est ce critère qui tranche, et il faut toujours se demander ensuite si la valeur est une erreur de mesure ou un cas réel à expliquer.

3.3 L’écart-type σ

Variance : \(\sigma^2 = \dfrac{\displaystyle\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}\)
Écart-type : \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) (même unité que les données).
Plus \(\sigma\) est petit, plus la série est homogène.

Série donnée en tableau d'effectifs (ou par classes) : comme pour la moyenne (§2.2), chaque écart au carré compte autant de fois que sa valeur apparaît — on le pondère par l'effectif : \[\sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum n_i \,(x_i - \bar{x})^2}{N} \qquad\text{avec classes :}\quad \sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum n_i \,(c_i - \bar{x})^2}{N}\] On ajoute simplement une colonne \(n_i \times (x_i - \bar{x})^2\) au tableau de calcul, et l'on divise la somme de cette colonne par \(N\).

Exemple — nombre de séances de sport par semaine déclarées par 20 élèves. On dresse le tableau de calcul en colonnes : une ligne par valeur \(x_i\), et l'on ajoute au fur et à mesure les colonnes dont on a besoin.
Moyenne d'abord : \(\sum n_i x_i = 2 + 8 + 24 + 16 + 10 = 60\), donc \(\bar{x} = \dfrac{60}{20} = 3\) séances.

\(x_i\)	\(n_i\)	\((x_i - 3)^2\)	\(n_i \times (x_i - 3)^2\)
1	2	4	8
2	4	1	4
3	8	0	0
4	4	1	4
5	2	4	8
Total	20	—	24

\(\sigma^2 = \dfrac{24}{20} = 1{,}2\) → \(\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx \mathbf{1{,}1}\) séance.
Lecture : les élèves font 3 séances par semaine en moyenne, et s'écartent de cette moyenne d'environ 1 séance. Contrôle : la colonne \(n_i\) doit redonner \(N = 20\). ✔

Pour nos 12 interventions : \(\sigma \approx \mathbf{10{,}4 \text{ min}}\).
En moyenne, les temps d’intervention s’écartent de ±10,4 min de la moyenne.

En pratique : utiliser la touche σ (ou σ_n) de la calculatrice, ou au tableur la fonction =ECARTYPEP(plage).

⚠ Le tableur propose deux fonctions d'écart-type — ne pas les confondre :
• ECARTYPEP (« P » comme population) divise par \(N\) : c'est exactement la formule du cours ;
• ECARTYPE divise par \(N-1\) ; elle sert quand la série n'est qu'un échantillon prélevé dans une population plus grande, pour estimer la dispersion de cette population.
Sur nos 12 interventions, ECARTYPEP retrouve bien les 10,4 min ci-dessus, tandis que ECARTYPE afficherait 10,9 min. Comme on décrit ici tout le mois relevé — et non un échantillon — la bonne fonction est ECARTYPEP.

Application — Écart-type à la main

Un installateur thermique relève le temps de pose (en min) de 5 radiateurs : 40, 44, 46, 48, 52. Calculer la moyenne, puis l'écart-type. La série est-elle homogène ?

Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{40+44+46+48+52}{5} = \dfrac{230}{5} = 46\) min.

Écarts à la moyenne, puis carrés :
\((40-46)^2 = 36\) ; \((44-46)^2 = 4\) ; \((46-46)^2 = 0\) ; \((48-46)^2 = 4\) ; \((52-46)^2 = 36\).
Somme des carrés : \(36 + 4 + 0 + 4 + 36 = 80\).

Variance : \(\sigma^2 = \dfrac{80}{5} = 16\) → Écart-type : \(\sigma = \sqrt{16} = \mathbf{4 \text{ min}}\).

L'écart-type est faible devant la moyenne : les temps de pose sont homogènes, l'installateur est régulier.

3.4 Calculer tous les indicateurs au tableur

Le programme demande de comparer des séries « à l'aide d'indicateurs (calculatrice ou tableur) ». Le tableau ci-dessous rassemble les indicateurs de la partie 2 (position) et de la partie 3 (dispersion). Si la série est saisie dans les cellules B2 à B13 :

Indicateur	Formule à saisir
Moyenne \(\bar{x}\)	`=MOYENNE(B2:B13)`
Médiane \(Me\)	`=MEDIANE(B2:B13)`
Quartiles \(Q_1\) / \(Q_3\)	`=QUARTILE(B2:B13;1)` / `=QUARTILE(B2:B13;3)`
Étendue	`=MAX(B2:B13)-MIN(B2:B13)`
Écart-type \(\sigma\)	`=ECARTYPEP(B2:B13)`

⚠ Le tableur ne calcule pas les quartiles comme nous. QUARTILE interpole entre deux valeurs voisines, alors que la méthode du cours désigne toujours une valeur qui existe dans la série (rangs \(\lceil N/4 \rceil\) et \(\lceil 3N/4 \rceil\)). Sur nos 12 durées, QUARTILE affiche 24,25 et 36,25 là où le cours donne 22 et 35.
À retenir : en classe et en évaluation, on applique la méthode des rangs (§2.4) ; le tableur sert à traiter vite de grandes séries et à tracer les graphiques.

4. Diagramme en boîte à moustaches (box plot)

Le diagramme en boîte à moustaches représente graphiquement les 5 valeurs clés : \[\text{Min} \quad Q_1 \quad Me \quad Q_3 \quad \text{Max}\] — La boîte s’étend de Q₁ à Q₃ (50 % centraux des données).
— Le trait vertical dans la boîte = médiane.
— Les moustaches s’étendent de Min à Q₁ et de Q₃ à Max.

Lecture :

Longueur de la boîte = IQR = 13 min → dispersion des 50 % centraux.
Médiane à peu près centrée dans la boîte (légèrement à droite) → distribution assez symétrique au cœur.
Moustache droite très longue (35 → 55) → intervention à 55 min possiblement aberrante.

Application — Comparaison de deux équipes

Deux équipes de maintenance :

Équipe A : Min=10, Q₁=18, Me=22, Q₃=28, Max=35 min
Équipe B : Min=5, Q₁=15, Me=25, Q₃=42, Max=80 min

Quelle équipe est la plus efficace ? la plus régulière ? Justifier avec les indicateurs.

Efficacité (médiane) : A = 22 min < B = 25 min → Équipe A plus rapide.

Régularité (IQR) : A = 28−18 = 10 min ; B = 42−15 = 27 min → Équipe A 2,7× plus régulière.

Étendue : A = 25 min ; B = 75 min → Équipe B a des interventions très longues (Max 80 min).

Conclusion : l'équipe A est plus rapide ET plus régulière. La moustache droite très longue de B signale des interventions aberrantes à investiguer.

5. Visualisation — Deux techniciens, même moyenne, dispersions différentes

Ce graphique illustre que deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne et des dispersions très différentes : les deux techniciens mettent en moyenne 30 min par intervention, mais leurs écarts-types valent 1,3 min et 14,7 min. La moyenne seule ne dit donc rien de la régularité.

Somme A = 300 min et somme B = 300 min sur 10 interventions : les deux moyennes valent bien 30 min. Seule la dispersion change.

6. Animation — Moyenne vs Médiane face aux valeurs extrêmes

Déplacez le curseur pour modifier une valeur extrême et observer comment la moyenne et la médiane réagissent différemment.

Valeur aberrante (min) : 55

7. Exemples professionnels détaillés

Exemple 1 — Données par classes : températures de circuits chauffage

Températures (°C) relevées dans 25 circuits de chauffage :

Classe [°C]	[55;60[	[60;65[	[65;70[	[70;75[	[75;80[	Total
Effectif	3	8	9	4	1	25
Centre	57,5	62,5	67,5	72,5	77,5	—
\(c_i \times n_i\)	172,5	500	607,5	290	77,5	1647,5

\(\bar{x} = \dfrac{1647{,}5}{25} = \mathbf{65{,}9\,^{\circ}\text{C}}\) — Classe modale : [65 ; 70[ (effectif 9)

Application — Données par classes

Consommations mensuelles (kWh) de 20 climatiseurs :

Classe	[100;120[	[120;140[	[140;160[	[160;180[
Effectif	4	9	5	2

Identifier la classe modale. Calculer la moyenne.

Classe modale : [120;140[ (effectif 9, le plus grand).

Centres : 110, 130, 150, 170.
\[\bar{x} = \dfrac{4\times110 + 9\times130 + 5\times150 + 2\times170}{20} = \dfrac{2700}{20} = \mathbf{135 \text{ kWh}}\]

Exemple 2 — Comparaison deux équipes

Équipe A : 30, 32, 28, 31, 29, 33, 30, 27, 31, 29 → \(\bar{x}_A = 30\) min, \(\sigma_A \approx 1{,}7\) min
Équipe B : 15, 45, 20, 50, 25, 55, 18, 48, 22, 42 → \(\bar{x}_B = 34\) min, \(\sigma_B \approx 14{,}5\) min

Conclusion : L’équipe A est plus rapide ET plus régulière. L’écart-type révèle une information que la moyenne seule ne suffit pas à donner.

Exemple 3 — Lecture d’une boîte à moustaches

Données : Min=12, Q₁=20, Me=28, Q₃=35, Max=70.

Étendue = 70 − 12 = 58 ; IQR = 35 − 20 = 15.
Moustache droite (35 → 70) très longue → valeur 70 possiblement aberrante.
Boîte quasi symétrique mais moustache droite bien plus longue → distribution étirée vers la droite.
50 % des données centrales sont entre 20 et 35.

📌 À retenir

Indicateurs de position :

Mode / Classe modale = valeur ou classe la plus fréquente
Moyenne \(\bar{x}\) = barycentre, sensible aux extrêmes. Avec un tableau d'effectifs (ou des classes) : moyenne pondérée \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}\) (ou \(\frac{\sum n_i c_i}{N}\))
Réunir deux groupes : \(\bar{x} = \frac{N_1 \bar{x}_1 + N_2 \bar{x}_2}{N_1 + N_2}\) — jamais la moyenne des deux moyennes
Médiane Me = valeur centrale, robuste aux extrêmes
Quartiles Q₁ (25 %) et Q₃ (75 %)
Série en tableau d'effectifs : effectifs cumulés → rangs occupés → on y lit Me, Q₁ et Q₃ (dernier cumul = \(N\), c'est le contrôle)

Indicateurs de dispersion :

Étendue = Max − Min (sensible aux extrêmes)
IQR = Q₃ − Q₁ (robuste)
Écart-type \(\sigma\) = dispersion autour de la moyenne : \(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}\), et avec un tableau d'effectifs \(\sigma^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}\)
Repérer une valeur aberrante (au-delà du programme, §3.2) : \(x < Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\) ou \(x > Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}\)

Au tableur (§3.4) : MOYENNE, MEDIANE, MAX-MIN, ECARTYPEP. Mais QUARTILE interpole : ses valeurs diffèrent de celles du cours — en évaluation, on applique la méthode des rangs du §2.4.

Boîte à moustaches : représentation visuelle des 5 valeurs clés Min, Q₁, Me, Q₃, Max. Outil puissant pour comparer deux séries.

8. Erreurs fréquentes

❌

Confondre médiane et moyenne
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une seule donnée très élevée peut la faire monter. La médiane, elle, n'est pas influencée par les valeurs aberrantes. Pour la série 1, 2, 3, 4, 100 : moyenne = 22, médiane = 3.
Conseil : la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Pour la calculer, toujours commencer par trier les données dans l'ordre croissant.

❌

Oublier de trier les données avant de chercher la médiane ou les quartiles
Beaucoup d'élèves cherchent la valeur centrale sur la série dans l'ordre d'apparition, sans la trier. Résultat : une médiane ou des quartiles faux.
Conseil : la première étape est toujours de classer les données dans l'ordre croissant. Sans ce tri préalable, aucun calcul de médiane ou de quartile n'est valide.

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Confondre étendue et écart interquartile (IQR)
L'étendue = Max − Min (prend en compte toutes les valeurs, y compris les extrêmes). L'IQR = Q₃ − Q₁ (ne concerne que les 50 % centraux, plus robuste).
Conseil : l'IQR est toujours inférieur ou égal à l'étendue. Sur une boîte à moustaches, l'IQR correspond à la largeur du rectangle central.

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Mal identifier Q1 et Q3 (confusion sur la position)
Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont ≤. Q₃ idem avec 75 %. Certains élèves prennent le premier ou le dernier quart des valeurs au hasard sans appliquer la méthode de position officielle.
Conseil : la méthode officielle (BO) utilise les positions \(\lceil N/4 \rceil\) pour Q₁ et \(\lceil 3N/4 \rceil\) pour Q₃ sur la série triée (voir section 2.4). D'autres méthodes existent (calculatrice, tableur) et peuvent donner des résultats légèrement différents — en classe, on suit la méthode des positions.

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Mauvaise lecture d'une boîte à moustaches
Certains élèves pensent que le rectangle de la boîte représente toutes les données, ou que la moustache gauche contient forcément moins de données que la moustache droite.
Conseil : les quartiles définissent des seuils correspondant à 25 %, 50 % et 75 % de la série. Les quatre zones représentent les quatre quarts selon cette convention, mais elles ne contiennent pas nécessairement des effectifs strictement égaux, notamment lorsque des valeurs sont répétées. Une moustache longue indique une plus grande dispersion dans la zone concernée, pas davantage de données.

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Statistiques — Diagrammes et indicateurs