Chapitre 3 — Indicateurs statistiques

Indicateurs de position et de dispersion · Boîte à moustaches · 2^de Pro MA-MA

Dernière mise à jour : 26 juin 2026

Objectifs du chapitre :

Calculer et interpréter les indicateurs de position : moyenne, médiane, quartiles
Calculer et interpréter les indicateurs de dispersion : étendue, écart-type, écart interquartile
Construire et lire un diagramme en boîte à moustaches
Comparer et interpréter plusieurs séries statistiques

🔨 Situation professionnelle

Un chef d’atelier analyse les temps d’intervention de ses menuisiers sur des chantiers de pose pendant un mois. Il relève (en minutes) : 25, 30, 18, 45, 22, 35, 28, 40, 20, 32, 55, 27.

Pour décider si son équipe est efficace et régulière, il calcule des indicateurs statistiques : moyenne, médiane, quartiles, écart-type. Il trace ensuite une boîte à moustaches.

1. Rappels — Données et regroupement par classes

Série statistique : ensemble de valeurs mesurées sur une population.
Effectif \(n_i\) : nombre de fois qu’une valeur apparaît. Effectif total \(N\) : nombre d’individus.
Fréquence \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\) (entre 0 et 1, ou en %).

Regroupement par classes : quand les données sont nombreuses ou continues, on les regroupe en intervalles \([a\,;\,b[\).
Le centre de classe est \(c_i = \dfrac{a+b}{2}\) (utilisé pour calculer la moyenne).

Exemple — Durées d’intervention de 20 techniciens, regroupées par classes :

Classe [min]	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	Total
Effectif \(n_i\)	3	7	6	3	1	20
Centre \(c_i\)	15	25	35	45	55	—
Fréquence	15 %	35 %	30 %	15 %	5 %	100 %

La classe modale est [20 ; 30[ (effectif 7, le plus grand).

2. Indicateurs de position

Les indicateurs de position donnent une valeur représentative de la série.

2.1 Le mode et la classe modale

Mode (Mo) : valeur dont l’effectif est le plus élevé dans la série.
Classe modale : classe d’effectif le plus élevé (données regroupées par classes).

2.2 La moyenne

Formule : \[\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N} \qquad\text{avec effectifs :}\quad \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N} \qquad\text{avec classes :}\quad \bar{x} = \frac{\sum c_i \cdot n_i}{N}\]

Nos 12 interventions : Somme = 377 → \(\bar{x} = \dfrac{377}{12} \approx \mathbf{31{,}4 \text{ min}}\)

⚠ Attention : La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. La valeur 55 min tire la moyenne vers le haut.

2.3 La médiane

Médiane (Me) : valeur qui partage la série triée en deux moitiés égales — 50 % des valeurs sont ≤ Me.

Méthode :

Trier dans l’ordre croissant.
\(N\) impair : \(Me\) = valeur au rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
\(N\) pair : \(Me\) = moyenne des rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).

Série triée (\(N=12\), pair) : 18 · 20 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 32 · 35 · 40 · 45 · 55
Rangs 6 et 7 : 28 et 30. \(\;Me = \dfrac{28+30}{2} = \mathbf{29 \text{ min}}\)

Application — Moyenne et médiane

7 temps de déplacement (min) : 12, 15, 20, 18, 15, 25, 10. Calculer la moyenne et la médiane.

Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{12+15+20+18+15+25+10}{7} = \dfrac{115}{7} \approx 16{,}4\) min.

Médiane : Triée : 10 · 12 · 15 · 15 · 18 · 20 · 25. N=7 impair, rang 4 → Me = 15 min.

2.4 Les quartiles Q₁ et Q₃

Q₁ : 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
Q₃ : 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
La médiane est Q₂ = Me.

Méthode (officielle BO) : sur la série triée de \(N\) valeurs,
• Q₁ est la valeur de rang \(\lceil N/4 \rceil\) (plus petit entier ≥ \(N/4\)).
• Q₃ est la valeur de rang \(\lceil 3N/4 \rceil\).
Autrement dit : Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont ≤ ; Q₃ idem avec 75 %.

Série triée (N = 12) : 18 · 20 · 22 · 25 · 27 · 28 · 30 · 32 · 35 · 40 · 45 · 55.
Position de Q₁ : \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q₁ = 3^e valeur = 22 min.
Position de Q₃ : \(\lceil 3 \times 12/4 \rceil = 9\) → Q₃ = 9^e valeur = 35 min.

Application — Quartiles et IQR (écart interquartile)

10 durées triées (min) : 8, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 40. Calculer Q₁, Me, Q₃ et l'IQR (écart interquartile). Interpréter.

N = 10, pair. Me = (5^e + 6^e)/2 = (20 + 22)/2 = 21 min.
Position Q₁ : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q₁ = 3^e valeur = 15 min.
Position Q₃ : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q₃ = 8^e valeur = 28 min.
IQR = 28 − 15 = 13 min. 50 % des interventions durent entre 15 et 28 min.

Mode / Classe modale

[20;30[

Classe la plus fréquente

Moyenne x̅

≈ 31,4 min

Barycentre de la série

Médiane Me

29 min

Valeur centrale robuste

Q₁ / Q₃

22 / 35

Quartiles 1 et 3

3. Indicateurs de dispersion

Les indicateurs de dispersion mesurent la variabilité des données autour de la valeur centrale.

3.1 L’étendue

\[\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min}\]

Étendue = 55 − 18 = 37 min.

Limite : l’étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes — une seule valeur aberrante peut la rendre très grande.

3.2 L’écart interquartile (IQR)

\[\text{IQR} = Q_3 - Q_1\] Il représente l’étendue des 50 % centraux des données.

IQR = 35 − 22 = 13 min. La moitié centrale des interventions dure entre 22 et 35 min.

3.3 L’écart-type σ

Variance : \(\sigma^2 = \dfrac{\displaystyle\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}\)
Écart-type : \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) (même unité que les données).
Plus \(\sigma\) est petit, plus la série est homogène.

En pratique : utiliser la touche σ (ou σ_n) de la calculatrice ou la fonction ECARTTYPE du tableur.

Pour nos 12 interventions : \(\sigma \approx \mathbf{10{,}4 \text{ min}}\).
En moyenne, les temps d’intervention s’écartent de ±10,4 min de la moyenne.

4. Diagramme en boîte à moustaches (box plot)

Le diagramme en boîte à moustaches représente graphiquement les 5 valeurs clés : \[\text{Min} \quad Q_1 \quad Me \quad Q_3 \quad \text{Max}\] — La boîte s’étend de Q₁ à Q₃ (50 % centraux des données).
— Le trait vertical dans la boîte = médiane.
— Les moustaches s’étendent de Min à Q₁ et de Q₃ à Max.

Lecture :

Longueur de la boîte = IQR = 13 min → dispersion des 50 % centraux.
Médiane à peu près centrée dans la boîte (légèrement à droite) → distribution assez symétrique au cœur.
Moustache droite très longue (35 → 55) → intervention à 55 min possiblement aberrante.

Application — Comparaison de deux équipes

Deux équipes de maintenance :

Équipe A : Min=10, Q₁=18, Me=22, Q₃=28, Max=35 min
Équipe B : Min=5, Q₁=15, Me=25, Q₃=42, Max=80 min

Quelle équipe est la plus efficace ? la plus régulière ? Justifier avec les indicateurs.

Efficacité (médiane) : A = 22 min < B = 25 min → Équipe A plus rapide.

Régularité (IQR) : A = 28−18 = 10 min ; B = 42−15 = 27 min → Équipe A 2,7× plus régulière.

Étendue : A = 25 min ; B = 75 min → Équipe B a des interventions très longues (Max 80 min).

Conclusion : l'équipe A est plus rapide ET plus régulière. La moustache droite très longue de B signale des interventions aberrantes à investiguer.

5. Visualisation — Deux techniciens, même moyenne, dispersions différentes

Ce graphique illustre que deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes.

6. Animation — Moyenne vs Médiane face aux valeurs extrêmes

Déplacez le curseur pour modifier une valeur extrême et observer comment la moyenne et la médiane réagissent différemment.

Valeur aberrante (min) : 55

7. Exemples professionnels détaillés

Exemple 1 — Données par classes : températures de circuits chauffage

Températures (°C) relevées dans 25 circuits de chauffage :

Classe [°C]	[55;60[	[60;65[	[65;70[	[70;75[	[75;80[	Total
Effectif	3	8	9	4	1	25
Centre	57,5	62,5	67,5	72,5	77,5	—
\(c_i \times n_i\)	172,5	500	607,5	290	77,5	1647,5

\(\bar{x} = \dfrac{1647{,}5}{25} = \mathbf{65{,}9\,^{\circ}\text{C}}\) — Classe modale : [65 ; 70[ (effectif 9)

Application — Données par classes

Consommations mensuelles (kWh) de 20 climatiseurs :

Classe	[100;120[	[120;140[	[140;160[	[160;180[
Effectif	4	9	5	2

Identifier la classe modale. Calculer la moyenne.

Classe modale : [120;140[ (effectif 9, le plus grand).

Centres : 110, 130, 150, 170.
\[\bar{x} = \dfrac{4\times110 + 9\times130 + 5\times150 + 2\times170}{20} = \dfrac{2700}{20} = \mathbf{135 \text{ kWh}}\]

Exemple 2 — Comparaison deux équipes

Équipe A : 30, 32, 28, 31, 29, 33, 30, 27, 31, 29 → \(\bar{x}_A = 30\) min, \(\sigma_A \approx 1{,}7\) min
Équipe B : 15, 45, 20, 50, 25, 55, 18, 48, 22, 42 → \(\bar{x}_B = 34\) min, \(\sigma_B \approx 14{,}5\) min

Conclusion : L’équipe A est plus rapide ET plus régulière. L’écart-type révèle une information que la moyenne seule ne suffit pas à donner.

Exemple 3 — Lecture d’une boîte à moustaches

Données : Min=12, Q₁=20, Me=28, Q₃=35, Max=70.

Étendue = 70 − 12 = 58 ; IQR = 35 − 20 = 15.
Moustache droite (35 → 70) très longue → valeur 70 possiblement aberrante.
Boîte quasi symétrique mais moustache droite bien plus longue → distribution étirée vers la droite.
50 % des données centrales sont entre 20 et 35.

📌 À retenir

Indicateurs de position :

Mode / Classe modale = valeur ou classe la plus fréquente
Moyenne \(\bar{x}\) = barycentre, sensible aux extrêmes
Médiane Me = valeur centrale, robuste aux extrêmes
Quartiles Q₁ (25 %) et Q₃ (75 %)

Indicateurs de dispersion :

Étendue = Max − Min (sensible aux extrêmes)
IQR = Q₃ − Q₁ (robuste)
Écart-type \(\sigma\) = dispersion autour de la moyenne

Boîte à moustaches : représentation visuelle des 5 valeurs clés Min, Q₁, Me, Q₃, Max. Outil puissant pour comparer deux séries.

8. Erreurs fréquentes

❌

Confondre médiane et moyenne
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une seule donnée très élevée peut la faire monter. La médiane, elle, n'est pas influencée par les valeurs aberrantes. Pour la série 1, 2, 3, 4, 100 : moyenne = 22, médiane = 3.
Conseil : la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Pour la calculer, toujours commencer par trier les données dans l'ordre croissant.

❌

Oublier de trier les données avant de chercher la médiane ou les quartiles
Beaucoup d'élèves cherchent la valeur centrale sur la série dans l'ordre d'apparition, sans la trier. Résultat : une médiane ou des quartiles faux.
Conseil : la première étape est toujours de classer les données dans l'ordre croissant. Sans ce tri préalable, aucun calcul de médiane ou de quartile n'est valide.

❌

Confondre étendue et écart interquartile (IQR)
L'étendue = Max − Min (prend en compte toutes les valeurs, y compris les extrêmes). L'IQR = Q₃ − Q₁ (ne concerne que les 50 % centraux, plus robuste).
Conseil : l'IQR est toujours inférieur ou égal à l'étendue. Sur une boîte à moustaches, l'IQR correspond à la largeur du rectangle central.

❌

Mal identifier Q1 et Q3 (confusion sur la position)
Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont ≤. Q₃ idem avec 75 %. Certains élèves prennent le premier ou le dernier quart des valeurs au hasard sans appliquer la méthode de position officielle.
Conseil : la méthode officielle (BO) utilise les positions \(\lceil N/4 \rceil\) pour Q₁ et \(\lceil 3N/4 \rceil\) pour Q₃ sur la série triée (voir section 2.4). D'autres méthodes existent (calculatrice, tableur) et peuvent donner des résultats légèrement différents — en classe, on suit la méthode des positions.

❌

Mauvaise lecture d'une boîte à moustaches
Certains élèves pensent que le rectangle de la boîte représente toutes les données, ou que la moustache gauche contient forcément moins de données que la moustache droite.
Conseil : chaque "quart" (moustache gauche, moitié gauche du rectangle, moitié droite du rectangle, moustache droite) contient exactement 25 % des données. Une moustache longue indique une grande dispersion dans ce quart, pas plus de données.

Simulation interactive

Statistiques — Diagrammes et indicateurs