Exercices – Probabilités et fluctuation des fréquences
Seconde Bac Pro MAMA | Chapitre 4 | Mathématiques
Dernière mise à jour : 30 avril 2026
🎯 Objectifs du chapitre
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Comprendre la notion d’expérience aléatoire
Identifier l’ensemble des issues (univers)
Calculer des probabilités simples
Comprendre la notion de fréquence
Observer la fluctuation des fréquences
Comprendre la stabilisation des fréquences avec l’augmentation du nombre d’expériences
Mode d’emploi : Résous chaque exercice dans la zone prévue, puis clique sur « Voir la correction » pour vérifier ton travail.
Les exercices sont classés du plus simple au plus complexe — avance à ton rythme !
Exercices guidés pas à pas
Exercice 1Identifier une expérience aléatoireSocle
Pour chaque situation, dire si elle est aléatoire (résultat imprévisible) ou déterministe (résultat certain). Justifier.
a) Lancer un dé à 6 faces et observer le numéro obtenu. b) Calculer le résultat de \(3 \times 4\). c) Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes. d) Chauffer de l’eau à 100°C sous pression atmosphérique normale et observer si elle bout.
a) Lancer un dé → aléatoire. On ne sait pas à l’avance quel numéro va sortir.
b) Calculer \(3 \times 4\) → déterministe. Le résultat est toujours 12, sans hasard possible.
c) Tirer une carte → aléatoire. On ne connaît pas la carte qui va être tirée à l’avance.
d) Chauffer l’eau à 100°C → déterministe. L’eau bout toujours à 100°C sous pression atmosphérique normale ; le résultat est certain et prévisible.
✔ Aléatoires : a) et c). Déterministes : b) et d).
Exercice 2Univers et issuesSocle
Pour chaque expérience, écrire l’univers \(\Omega\) et compter le nombre d’issues.
a) Lancer un dé à 6 faces. b) Lancer une pièce de monnaie. c) Tirer une carte parmi un ensemble de 4 cartes : Roi, Dame, Valet, As.
a) Dé à 6 faces :
\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \quad \rightarrow \quad 6 \text{ issues}\]
b) Pièce de monnaie :
\[\Omega = \{\text{Pile}, \text{Face}\} \quad \rightarrow \quad 2 \text{ issues}\]
c) 4 cartes :
\[\Omega = \{\text{Roi}, \text{Dame}, \text{Valet}, \text{As}\} \quad \rightarrow \quad 4 \text{ issues}\]
✔ Le nombre d’issues correspond au nombre d’éléments dans \(\Omega\).
Exercice 3Calculer une probabilité — méthode guidéeSocle
Méthode : Pour calculer une probabilité :
• Étape 1 : Compter le nombre total d’issues (= taille de l’univers \(\Omega\))
• Étape 2 : Compter les issues favorables
• Étape 3 : Appliquer \(P = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas}}\)
On lance un dé à 6 faces équilibré.
Exemple guidé : P(obtenir 3)
Étape 1 : Nombre total d’issues = …… (combien de faces ?)
Étape 2 : Issues favorables = \(\{3\}\), soit …… issue(s)
Étape 3 : \(P(3) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
À toi : a) P(obtenir un nombre impair)
Étape 1 : Total = 6. Étape 2 : Issues favorables = \(\{1, 3, 5\}\), soit …… issues.
Étape 3 : \(P(\text{impair}) = \dfrac{\ldots}{6} = \) ……
b) P(obtenir un nombre < 5)
Étape 2 : Issues favorables = \(\{\) ………… \(\}\), soit …… issues.
Étape 3 : \(P = \dfrac{\ldots}{6} = \) ……
Exemple : Total = 6, favorable = 1. \(P(3) = \frac{1}{6} \approx 0{,}17\).
a) Favorables : \(\{1, 3, 5\}\), soit 3. \(P(\text{impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
b) Favorables : \(\{1, 2, 3, 4\}\), soit 4. \(P(<5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx \mathbf{0{,}67}\)
Exercice 4Fréquence observée — guidéSocle
Rappel : Fréquence = \(\dfrac{\text{nombre de fois où l’événement se produit}}{\text{nombre total d’expériences}}\)
On lance une pièce 50 fois. On obtient Pile 28 fois.
a) Fréquence observée de Pile :
\(f = \dfrac{28}{\ldots} = \) ……
b) Probabilité théorique de Pile (pièce équilibrée) = ……
c) Compare f et P(Pile). Sont-ils égaux ? Est-ce normal ?
Complète : « La fréquence (0,…) est __________________ de la probabilité (0,5). C’est normal car avec seulement …… lancers, la fréquence __________________ autour de la probabilité. »
a) \(f = \frac{28}{50} = 0{,}56 = 56\%\)
b) \(P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%\)
c) La fréquence (0,56) est proche de la probabilité (0,5). C’est normal car avec seulement 50 lancers, la fréquence fluctue autour de la probabilité.
Rappel : fréquence = observée (réelle). Probabilité = théorique. Elles se rapprochent quand on augmente le nombre d’expériences.
Exercice 5Contrôle qualité guidéSocle
Menuiserie – Contrôle qualité
Un atelier reçoit 150 planches. Après vérification, 12 sont défectueuses.
a) Calculer la fréquence de défaut :
\(f = \dfrac{12}{\ldots} = \) …… = …… %
b) On estime que la probabilité de défaut est égale à la fréquence :
\(P(\text{défectueuse}) \approx\) ……
c) Sur un prochain lot de 500 planches, combien seront défectueuses ?
Nombre prévu = …… × …… = …… planches
a) \(f = \frac{12}{150} = 0{,}08 = 8\%\)
b) \(P(\text{défectueuse}) \approx 0{,}08\)
c) \(500 \times 0{,}08 = \mathbf{40}\) planches défectueuses.
C’est une estimation. Le nombre réel peut varier légèrement à cause de la fluctuation.
Exercice 6Événement contraire — guidéSocle
Rappel : L’événement contraire de A se note \(\bar{A}\). On a toujours : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
a) Combien y a-t-il de Rois dans ce jeu ? …… b) Calculer \(P(\text{Roi})\) :
\(P(\text{Roi}) = \dfrac{\ldots}{32} = \) ……
c) L’événement contraire de « obtenir un Roi » est « ne PAS obtenir un Roi ».
Calculer \(P(\overline{\text{Roi}})\) :
\(P(\overline{\text{Roi}}) = 1 - P(\text{Roi}) = 1 - \dfrac{\ldots}{32} = \dfrac{\ldots}{32} = \) ……
a) Il y a 4 Rois (un par couleur : pique, cœur, carreau, trèfle).
b) \(P(\text{Roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\)
Astuce : quand un événement est compliqué à calculer directement, on peut passer par le contraire !
Exercice 7Arbre de probabilités — guidéSocle
Méthode : Un arbre de probabilités représente toutes les issues. On écrit les probabilités sur chaque branche. Pour obtenir la probabilité d’un chemin, on multiplie les probabilités le long des branches.
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues.
Arbre de probabilités — 2 tirages avec remise On tire une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la remet dans le sac et on tire une deuxième boule.
Exercice 8Vocabulaire des probabilités — vrai ou fauxSocle
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Corriger si faux.
a) Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît le résultat à l’avance. b) L’univers \(\Omega\) est l’ensemble de toutes les issues possibles. c) La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1. d) Si \(P(A) = 0{,}3\), alors \(P(\bar{A}) = 0{,}3\). e) La fréquence observée est toujours égale à la probabilité théorique.
a)FAUX. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l’avance.
b)VRAI. \(\Omega\) contient toutes les issues possibles.
c)VRAI. \(0 \leq P(A) \leq 1\) pour tout événement \(A\).
e)FAUX. La fréquence observée fluctue autour de la probabilité théorique. Elle ne lui est égale que par hasard ou à la limite (loi des grands nombres).
Exercice 9Loi des grands nombres — guidéSocle
On lance un dé à 6 faces équilibré et on note la fréquence d’apparition du 6. Voici les résultats selon le nombre de lancers :
Nombre de lancers
Nombre de 6 obtenus
Fréquence du 6
10
3
à calculer
50
11
à calculer
200
36
à calculer
1 000
172
à calculer
a) Complète la colonne « Fréquence du 6 » (arrondir au centième).
b) La probabilité théorique d’obtenir un 6 est \(P(6) = \dfrac{1}{6} \approx\) ……
c) Que remarques-tu quand le nombre de lancers augmente ?
Complète : « Quand le nombre de lancers augmente, la fréquence se __________________ de la probabilité théorique. C’est la __________________. »
c) Quand le nombre de lancers augmente, la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. C’est la loi des grands nombres.
Exercice 10Probabilités d’une roue colorée — guidéSocle
Une roue est divisée en 8 secteurs égaux : 3 secteurs rouges, 2 secteurs bleus, 2 secteurs verts et 1 secteur jaune. On fait tourner la roue et on note la couleur obtenue.
a) Combien y a-t-il d’issues ? ……
b) Calculer la probabilité de chaque couleur (complète) :
\(P(\text{Rouge}) = \dfrac{3}{\ldots} = \) ……
\(P(\text{Bleu}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
\(P(\text{Vert}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
\(P(\text{Jaune}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
c) Vérifie que la somme de toutes les probabilités vaut 1 :
\(P(R) + P(B) + P(V) + P(J) = \) ……
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1. Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur !
Exercice 11Estimation sur un chantier — guidéSocle
Menuiserie – Chantier
Un métreur a constaté que sur ses 80 derniers chantiers, 12 chantiers ont nécessité une commande supplémentaire de matériaux (erreur d’estimation initiale).
a) Calculer la fréquence de commande supplémentaire :
\(f = \dfrac{12}{\ldots} = \) …… = …… %
b) On estime que la probabilité est égale à la fréquence :
\(P(\text{commande suppl.}) \approx\) ……
c) Sur les 50 prochains chantiers, combien de commandes supplémentaires peut-on prévoir ?
Nombre prévu = …… × …… = …… chantiers
d) Quelle est la probabilité qu’un chantier ne nécessite PAS de commande supplémentaire ?
\(P(\overline{\text{suppl.}}) = 1 - \) …… = ……
a) \(f = \dfrac{12}{80} = 0{,}15 = 15\%\)
b) \(P(\text{commande suppl.}) \approx 0{,}15\)
c) \(50 \times 0{,}15 = \mathbf{7{,}5}\), soit environ 7 ou 8 chantiers.
Dans 85 % des cas, l’estimation initiale est suffisante. Mais prévoir une marge de sécurité sur les commandes reste une bonne pratique professionnelle.
Exercice 12Fluctuation des fréquences — guidéSocle
Rappel : Les fréquences fluctuent d'un échantillon à l'autre. L'étendue des fréquences d'une série d'échantillons est : maximum − minimum.
La probabilité théorique d’obtenir Pile avec une pièce équilibrée est \(p = 0{,}5\). On simule 8 séries de \(n = 100\) lancers ; voici les fréquences de Pile obtenues :
0,47 ; 0,53 ; 0,49 ; 0,56 ; 0,44 ; 0,51 ; 0,58 ; 0,46
a) Quelle est la fréquence minimale ? la fréquence maximale ?
Minimum = …… Maximum = ……
b) Calculer l’étendue des fréquences :
Étendue = maximum − minimum = …… − …… = ……
c) On lance une autre pièce 100 fois et on observe 58 Pile, soit \(f = 0{,}58\). Ce résultat est-il compatible avec une pièce équilibrée ? Conclure.
a) Minimum = \(0{,}44\). Maximum = \(0{,}58\).
b) Étendue = \(0{,}58 - 0{,}44 = \mathbf{0{,}14}\).
c) \(f = 0{,}58\) a aussi été obtenue par simulation avec une pièce équilibrée : le résultat est compatible avec une pièce équilibrée (la fluctuation normale suffit à l'expliquer).
Exercice 13Probabilités avec deux dés — guidéSocle
On lance deux dés à 6 faces et on additionne les résultats.
a) Le score minimum possible est : 1 + 1 = ……
Le score maximum possible est : 6 + 6 = ……
b) Combien de façons d’obtenir un total de 7 ? Complète le tableau :
Dé 1
Dé 2
Total
1
…
7
2
…
7
3
…
7
4
…
7
5
…
7
6
…
7
Nombre de combinaisons = ……
c) Le nombre total de combinaisons possibles avec deux dés est \(6 \times 6 = \) ……
Diagonale jaune : 6 cas favorables sur 36 → P = 1/6.
Le total 7 est le résultat le plus probable avec deux dés. C’est pour cela qu’au jeu de société les Colons de Catane, la case 7 est spéciale !
Exercice 14Fréquence et prévision — livraison de visSocle
Menuiserie – Fournitures
Un fabricant de mobilier a constaté que dans ses boîtes de 200 vis, il y a en moyenne 6 vis défectueuses par boîte.
a) Calculer la fréquence de vis défectueuses dans une boîte :
\(f = \dfrac{6}{\ldots} = \) …… = …… %
b) On estime la probabilité qu’une vis soit défectueuse :
\(P(\text{défectueuse}) \approx\) ……
c) Quelle est la probabilité qu’une vis soit conforme ?
\(P(\text{conforme}) = 1 - \) …… = ……
d) Pour un chantier, le menuisier a besoin de 500 vis conformes. Combien doit-il en commander au minimum pour être sûr d’en avoir assez ?
Nombre à commander ≥ \(\dfrac{500}{\ldots} = \) …… vis
a) \(f = \dfrac{6}{200} = 0{,}03 = 3\%\)
b) \(P(\text{défectueuse}) \approx 0{,}03\)
c) \(P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}03 = \mathbf{0{,}97} = 97\%\)
d) \(\dfrac{500}{0{,}97} \approx 515{,}5\), soit au minimum 516 vis à commander.
En pratique, on arrondit toujours au-dessus et on prévoit une marge supplémentaire. Commander 530 ou 550 vis serait une précaution raisonnable.
Exercice 15Arbre de probabilités — contrôle en deux étapesSocle
Santé – Dépistage
Lors d’une visite médicale scolaire, un test de vision est réalisé. On sait que :
• 80 % des élèves réussissent le test de vision de loin.
• Parmi ceux qui ont réussi le test de loin, 90 % réussissent aussi le test de vision de près.
• Parmi ceux qui ont échoué au test de loin, 50 % réussissent le test de vision de près.
a) Complète les probabilités sur l’arbre :
1re étape : P(Réussite loin) = …… P(Échec loin) = 1 - …… = ……
b) 2e étape (après Réussite loin) : P(Réussite près) = ……
2e étape (après Échec loin) : P(Réussite près) = ……
c) Calculer P(Réussite loin ET Réussite près) :
\(P = \) …… \(\times\) …… = ……
a) Obtenir 3 : une seule issue favorable \(\{3\}\).
\[P(3) = \frac{1}{6} \approx 0{,}17\]
b) Obtenir un nombre impair : issues favorables \(\{1, 3, 5\}\), soit 3 issues.
\[P(\text{impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\]
c) Obtenir un nombre < 5 : issues favorables \(\{1, 2, 3, 4\}\), soit 4 issues.
\[P(<5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\]
✔ Résultats : a) 1/6, b) 1/2, c) 2/3.
Exercice 17Fréquence observéeStandard
On lance une pièce de monnaie équilibrée 50 fois. On obtient Pile 28 fois.
a) Calculer la fréquence observée de l’événement « obtenir Pile ». b) Quelle est la probabilité théorique d’obtenir Pile ? c) Comparer la fréquence et la probabilité. Ce résultat est-il cohérent ? Expliquer.
a) Fréquence observée :
\[f(\text{Pile}) = \frac{28}{50} = 0{,}56 = 56\%\]
b) Probabilité théorique :
\[P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%\]
c) La fréquence (0,56) est proche de la probabilité théorique (0,5), mais elles ne sont pas égales.
C’est tout à fait cohérent : avec seulement 50 lancers, il est normal que la fréquence fluctue un peu autour de 0,5.
✔ f = 0,56 ; P = 0,5. L’écart (0,06) est dû à la fluctuation des fréquences, c’est normal.
Rappel : la fréquence est observée (réelle), la probabilité est théorique. Elles ne sont égales qu’en moyenne, sur un très grand nombre d’expériences (loi des grands nombres).
Exercice 18Contrôle qualité en menuiserieStandard
Menuiserie – Contrôle qualité
Un atelier reçoit un lot de 150 planches de bois. Après contrôle, 12 planches sont jugées défectueuses (noeuds, fissures, défaut d’épaisseur).
a) Calculer la fréquence de défaut dans ce lot. b) Estimer la probabilité qu’une planche choisie au hasard soit défectueuse. c) Sur un prochain lot de 500 planches, combien de planches défectueuses peut-on prévoir (approximativement) ?
a) Fréquence de défaut :
\[f = \frac{12}{150} = 0{,}08 = 8\%\]
b) On estime la probabilité à partir de la fréquence observée :
\[P(\text{défectueuse}) \approx 0{,}08 = 8\%\]
c) Sur 500 planches, on prévoit :
\[500 \times 0{,}08 = 40 \text{ planches défectueuses}\]
✔ Fréquence : 8 %. Estimation : environ 40 planches défectueuses sur 500.
Attention : il s’agit d’une estimation. Le nombre réel peut être légèrement différent (fluctuation). Cette méthode est cependant très utile pour prévoir les besoins en contrôle qualité et réduire les pertes.
Exercice 19Fluctuation des fréquences – ObservationStandard
Statistiques – Probabilités
Quatre élèves réalisent chacun 30 lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Voici leurs résultats :
Elève
Nombre de lancers
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
Alix
30
14
à calculer
Bruno
30
18
à calculer
Clara
30
12
à calculer
David
30
16
à calculer
a) Calculer la fréquence de Pile pour chaque élève (arrondir au centième). b) Calculer le nombre total de Pile et la fréquence globale sur les 4 séries combinées. c) Conclure sur la probabilité estimée d’obtenir Pile et sur le phénomène observé.
a) Fréquences individuelles :
Alix : \(f = \dfrac{14}{30} \approx 0{,}47\)
Bruno : \(f = \dfrac{18}{30} = 0{,}60\)
Clara : \(f = \dfrac{12}{30} = 0{,}40\)
David : \(f = \dfrac{16}{30} \approx 0{,}53\)
Les fréquences varient entre 0,40 et 0,60 : c’est la fluctuation des fréquences.
b) Total Pile : \(14 + 18 + 12 + 16 = 60\). Nombre total de lancers : \(4 \times 30 = 120\).
\[f_{\text{globale}} = \frac{60}{120} = 0{,}50 = 50\%\]
c) La fréquence globale (0,50) est égale à la probabilité théorique (0,5). En combinant les séries, on augmente le nombre d’expériences et la fréquence se rapproche de la probabilité : c’est la loi des grands nombres.
✔ Fréquences individuelles entre 0,40 et 0,60. Fréquence globale = 0,50. La fluctuation diminue quand n augmente.
Exercice 20Comparaison de deux machinesStandard
Agencement – Contrôle qualité
Un atelier d’agencement dispose de deux machines pour découper des panneaux de bois.
Après une série de contrôles, on a relevé :
Machine
Pièces produites
Pièces défectueuses
Fréquence de défaut
Machine A
80
5
à calculer
Machine B
100
8
à calculer
a) Calculer la fréquence de défaut pour chaque machine. Arrondir au millième.
b) Quelle machine est la plus fiable ? Justifier avec les calculs.
c) Sur une production de 400 pièces par la machine la moins fiable, combien de pièces défectueuses peut-on prévoir ?
a) Fréquences de défaut :
\[f_A = \frac{5}{80} = 0{,}0625 \approx 6{,}25\%\]
\[f_B = \frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\%\]
b) La machine A a une fréquence de défaut plus faible (6,25 % < 8 %).
✔ La machine A est la plus fiable : elle produit moins de défauts en proportion.
c) La machine la moins fiable est la machine B (f = 8 %).
\[\text{Nombre prévu} = 400 \times 0{,}08 = 32 \text{ pièces défectueuses}\]
✔ On prévoit environ 32 pièces défectueuses sur 400 produites par la machine B.
Exercice 21Événement contraire et probabilitéStandard
Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire un jeton au hasard.
a) Calculer \(P(\text{obtenir un multiple de 3})\). b) En déduire \(P(\text{ne PAS obtenir un multiple de 3})\) en utilisant l’événement contraire. c) Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair})\). d) Calculer \(P(\text{obtenir un nombre > 7})\). En déduire \(P(\text{obtenir un nombre} \leq 7)\).
Exercice 22Loi des grands nombres — tirs au basketStandard
Sport – Basket-ball
Un joueur de basket-ball a une probabilité de réussite de \(p = 0{,}6\) pour ses lancers francs. Trois séances d’entraînement donnent les résultats suivants :
Séance
Lancers tentés
Lancers réussis
Fréquence
Lundi
20
14
à calculer
Mercredi
50
28
à calculer
Vendredi
100
63
à calculer
a) Calculer la fréquence de réussite pour chaque séance. b) Laquelle est la plus proche de la probabilité théorique \(p = 0{,}6\) ? c) Calculer la fréquence globale sur les trois séances cumulées. d) Expliquer pourquoi la fréquence globale est plus proche de \(p\) que les fréquences individuelles.
a)
Lundi : \(f = \dfrac{14}{20} = 0{,}70\)
Mercredi : \(f = \dfrac{28}{50} = 0{,}56\)
Vendredi : \(f = \dfrac{63}{100} = 0{,}63\)
b) La fréquence du vendredi (0,63) est la plus proche de \(p = 0{,}6\). C’est aussi la séance avec le plus de lancers.
c) Total réussis : \(14 + 28 + 63 = 105\). Total tentés : \(20 + 50 + 100 = 170\).
\[f_{\text{globale}} = \frac{105}{170} \approx 0{,}618\]
d) La fréquence globale (0,618) est plus proche de \(p = 0{,}6\) car on a cumulé davantage de lancers (170 au total). C’est la loi des grands nombres : plus le nombre d’expériences augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
Exercice 23Arbre de probabilités — fiabilité d’une machineStandard
Menuiserie – Production
Dans un atelier de menuiserie, une machine de découpe fonctionne en deux étapes : découpe puis ponçage.
• La découpe est réussie dans 95 % des cas.
• Si la découpe est réussie, le ponçage est bon dans 90 % des cas.
• Si la découpe est ratée, le ponçage est bon dans seulement 40 % des cas.
a) Construire l’arbre de probabilités (noter les probabilités sur chaque branche). b) Calculer la probabilité qu’une pièce soit parfaite (découpe réussie ET ponçage bon). c) Calculer la probabilité qu’une pièce ait un défaut de découpe mais un ponçage correct. d) Sur un lot de 200 pièces, combien seront parfaites ?
a) Arbre :
D = Découpe, P = Ponçage. Le chemin marqué ★ donne la pièce parfaite.
b) \(P(\text{parfaite}) = 0{,}95 \times 0{,}90 = \mathbf{0{,}855} = 85{,}5\%\)
Vérification : la somme de toutes les probabilités des chemins doit valoir 1.
\(0{,}855 + 0{,}095 + 0{,}02 + 0{,}03 = 1 \quad \checkmark\)
Exercice 24Tableau à double entrée — DénombrementStandard
Professionnel — Contrôle qualité
Dans un atelier, on contrôle des pièces de bois. Chaque pièce est classée selon deux critères : essence (chêne ou hêtre) et qualité (conforme ou non conforme).
Conforme
Non conforme
Total
Chêne
42
8
50
Hêtre
35
15
50
Total
77
23
100
On tire une pièce au hasard parmi les 100.
a) Quelle est la probabilité que la pièce soit conforme ?
b) Quelle est la probabilité que la pièce soit en chêne ?
c) Quelle est la probabilité que la pièce soit en chêne et conforme ?
d) Quelle est la probabilité que la pièce soit non conforme ou en hêtre ?
a) \(P(\text{conforme}) = \dfrac{77}{100} = \mathbf{0{,}77}\)
b) \(P(\text{chêne}) = \dfrac{50}{100} = \mathbf{0{,}50}\)
c) \(P(\text{chêne et conforme}) = \dfrac{42}{100} = \mathbf{0{,}42}\)
d) Non conforme ou hêtre : \(23 + 50 - 15 = 58\). \(P = \dfrac{58}{100} = \mathbf{0{,}58}\)
Exercices d'approfondissement
Note : plusieurs exercices d'approfondissement utilisent l'« intervalle de fluctuation » \([p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]\), qui ne figure pas au programme du Bac Pro (anticipation BTS). Le programme attend la comparaison avec la fluctuation observée sur une série d'échantillons.
Exercice 25Jeu de cartes – 32 cartesApprofondissement
Un jeu de 32 cartes comporte 8 valeurs (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As) réparties en 4 couleurs (égales : pique, cœur, carreau, trèfle).
On tire une carte au hasard dans ce jeu mélangé.
a) Calculer P(tirer un As). b) Calculer P(tirer une carte de cœur). c) Calculer P(tirer l’As de cœur). d) Calculer P(tirer une figure : Valet, Dame ou Roi). e) Vérifier que P(figure) + P(non-figure) = 1.
a) Il y a 4 As (un par couleur), soit 4 issues favorables.
\[P(\text{As}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\%\]
b) Il y a 8 cartes de cœur (une par valeur), soit 8 issues favorables.
\[P(\text{cœur}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%\]
c) Il n’existe qu’une seule carte « As de cœur », soit 1 issue favorable.
\[P(\text{As de cœur}) = \frac{1}{32} \approx 0{,}03 = 3{,}125\%\]
d) Les figures sont : Valet, Dame, Roi. Il y en a 3 × 4 = 12 cartes.
\[P(\text{figure}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\%\]
e) Les non-figures sont les 20 autres cartes (7, 8, 9, 10, As) × 4 couleurs.
\[P(\text{non-figure}) = \frac{20}{32} = \frac{5}{8} = 0{,}625\]
Vérification :
\[P(\text{figure}) + P(\text{non-figure}) = \frac{12}{32} + \frac{20}{32} = \frac{32}{32} = 1 \quad \checkmark\]
La relation P(A) + P(Â) = 1 est toujours vraie : un événement et son contraire couvrent toujours tout l’univers.
Exercice 26Contrôle qualité et intervalle de fluctuationApprofondissement
Agencement – Production industrielle
Un fabricant de panneaux d’agencement affirme que 5 % de ses panneaux présentent un défaut de surface (probabilité théorique \(p = 0{,}05\)).
Un menuisier agenceur réceptionne un lot de 200 panneaux et en contrôle chacun. Il détecte 16 panneaux défectueux.
1. Calculer la fréquence de défaut observée \(f\) dans ce lot. 2. Calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\;;\; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) avec \(n = 200\). 3. La fréquence observée appartient-elle à cet intervalle ? Conclure : le menuisier doit-il contester la qualité annoncée par le fabricant ? 4. Si le fabricant avait annoncé \(p = 0{,}08\) au lieu de 0,05, la conclusion serait-elle différente ? Justifier.
1. \(f = \dfrac{16}{200} = 0{,}08 = 8\%\).
2. \(\dfrac{1}{\sqrt{200}} \approx 0{,}0707\). Intervalle :
\[\left[0{,}05 - 0{,}0707\;;\; 0{,}05 + 0{,}0707\right] = [-0{,}0207\;;\; 0{,}1207]\]
On ramène la borne inférieure à 0 : \(\mathbf{[0\;;\; 0{,}1207]}\).
3. \(f = 0{,}08 \in [0\;;\; 0{,}1207]\). La fréquence est dans l’intervalle.
f = 0,08 tombe dans l'intervalle vert : la fréquence observée est compatible avec p = 0,05.
✔ On ne peut pas remettre en cause l’affirmation du fabricant. Le résultat est compatible avec \(p = 0{,}05\).
✔ Avec \(p = 0{,}08\), la conclusion est identique. La fréquence observée est compatible avec les deux hypothèses — un échantillon de 200 ne permet pas de trancher entre 5 % et 8 %.
Un artisan menuisier commande des charnières auprès de deux fournisseurs. Il contrôle ses réceptions sur 6 mois :
Fournisseur
Pièces reçues
Pièces défectueuses
QuincPro
500
18
FerraBois
300
15
1. Calculer la fréquence de défaut pour chaque fournisseur. 2. QuincPro annonce un taux de défaut de 3 %. Calculer l’intervalle de fluctuation pour \(n = 500\) et \(p = 0{,}03\). La fréquence observée est-elle compatible ? 3. FerraBois annonce un taux de défaut de 3 % également. Calculer l’intervalle pour \(n = 300\) et \(p = 0{,}03\). Conclure. 4. Quel fournisseur l’artisan devrait-il privilégier ? Rédiger un avis argumenté.
✔ FerraBois : fréquence observée compatible également, mais plus élevée.
4. Les deux sont statistiquement compatibles avec 3 %, mais la fréquence de FerraBois (5 %) est nettement supérieure à celle de QuincPro (3,6 %). Sur le plan pratique, l’artisan devrait privilégier QuincPro qui a un taux de défaut plus faible sur un échantillon plus large (donc plus fiable).
Un élève suspecte qu’une pièce de monnaie est truquée. Il la lance 400 fois et obtient Pile 228 fois.
1. Calculer la fréquence observée de Pile. 2. Sous l’hypothèse que la pièce est équilibrée (\(p = 0{,}5\)), calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour \(n = 400\). 3. La fréquence observée appartient-elle à l’intervalle ? Conclure sur la pièce. 4. L’élève refait l’expérience avec 100 lancers et obtient Pile 57 fois. Calculer le nouvel intervalle et conclure. Comparer avec la question 3.
Avec 100 lancers, l’intervalle est plus large et on ne détecte pas l’anomalie. Avec 400 lancers, l’intervalle est plus étroit et permet de déceler le biais. Plus n est grand, plus le test est précis.
Exercice 29Problème ouvert — optimisation de commandeApprofondissement
Menuiserie – Gestion de stock
Un artisan menuisier commande des poignées de porte auprès d’un fournisseur. Le fournisseur annonce un taux de défaut de 4 % (\(p = 0{,}04\)).
L’artisan a besoin de exactement 480 poignées conformes pour un chantier d’aménagement d’un hôtel.
1. S’il commande exactement 480 poignées, combien risque-t-il d’en recevoir de défectueuses (estimation) ? 2. Combien de poignées doit-il commander au minimum pour espérer en avoir 480 conformes ? 3. Il commande 510 poignées et en reçoit 28 défectueuses. Calculer la fréquence de défaut observée. 4. Calculer l’intervalle de fluctuation pour \(n = 510\) et \(p = 0{,}04\). Le taux annoncé par le fournisseur est-il crédible ? 5. Aura-t-il ses 480 poignées conformes ? Justifier.
1. \(480 \times 0{,}04 = 19{,}2\), soit environ 19 poignées défectueuses. Il n’en aurait que \(480 - 19 = 461\) conformes : insuffisant.
2. Il faut résoudre : \(n \times (1 - 0{,}04) \geq 480\), soit \(n \geq \dfrac{480}{0{,}96} = 500\). Il doit commander au minimum 500 poignées.
4. \(\dfrac{1}{\sqrt{510}} \approx 0{,}0443\). Intervalle :
\[[0{,}04 - 0{,}0443\;;\; 0{,}04 + 0{,}0443] = [0\;;\; 0{,}0843]\]
\(f \approx 0{,}055 \in [0\;;\; 0{,}0843]\) : compatible avec le taux annoncé de 4 %.
5. Poignées conformes : \(510 - 28 = 482 \geq 480\). Oui, il dispose de 482 poignées conformes, ce qui suffit pour le chantier.
✔ La commande de 510 poignées est suffisante malgré les 28 défauts.
Exercice 30Arbre à deux épreuves et probabilités composéesApprofondissement
Énergie – Panneaux solaires
Une entreprise installe des panneaux solaires. À la réception d’un lot :
• 92 % des panneaux passent le contrôle visuel (pas de rayure).
• Parmi les panneaux ayant passé le contrôle visuel, 97 % passent le test électrique.
• Parmi les panneaux ayant échoué au contrôle visuel, seulement 60 % passent le test électrique.
Un panneau est accepté s’il passe les deux tests.
1. Construire l’arbre de probabilités complet (4 chemins). 2. Calculer la probabilité qu’un panneau soit accepté (visuel OK et électrique OK). 3. Calculer la probabilité qu’un panneau soit refusé (au moins un test échoué). Utiliser l’événement contraire. 4. Sur une livraison de 500 panneaux, combien seront acceptés et combien refusés (estimations) ? 5. Le technicien constate que 438 panneaux sur 500 sont acceptés. Ce résultat est-il compatible avec les probabilités annoncées ? (Calculer l’intervalle de fluctuation avec \(p = P(\text{accepté})\) et \(n = 500\).)
1. Arbre de probabilités :
V = Visuel, E = Électrique. Seul le chemin V OK + E OK aboutit à un panneau accepté.
✔ Le résultat observé (438/500) est compatible avec les probabilités annoncées.
Exercice 31Synthèse — contrôle qualité et décisionApprofondissement
Agencement – Contrôle industriel
Un fabricant de panneaux mélaminés garantit un taux de défaut de surface inférieur à 3 %. Un menuisier agenceur reçoit trois lots successifs et contrôle chaque panneau :
Lot
Taille \(n\)
Panneaux défectueux
Lot A
100
5
Lot B
250
9
Lot C
400
18
1. Calculer la fréquence de défaut pour chaque lot. 2. Pour chaque lot, calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % avec \(p = 0{,}03\). 3. Pour chaque lot, la fréquence observée est-elle compatible avec la garantie du fabricant ? 4. Calculer la fréquence globale de défaut sur l’ensemble des trois lots cumulés. Calculer l’intervalle de fluctuation correspondant et conclure. 5. Rédiger un avis argumenté (5 lignes minimum) destiné au chef d’atelier : le menuisier doit-il contester la qualité auprès du fabricant ?
1. Fréquences de défaut :
Lot A : \(f_A = \dfrac{5}{100} = 0{,}05 = 5\%\)
Lot B : \(f_B = \dfrac{9}{250} = 0{,}036 = 3{,}6\%\)
Lot C : \(f_C = \dfrac{18}{400} = 0{,}045 = 4{,}5\%\)
2. Intervalles de fluctuation avec \(p = 0{,}03\) :
Lot A (\(n = 100\)) : \(\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1\) → \([0\;;\; 0{,}13]\)
Lot B (\(n = 250\)) : \(\dfrac{1}{\sqrt{250}} \approx 0{,}0632\) → \([0\;;\; 0{,}0932]\)
Lot C (\(n = 400\)) : \(\dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05\) → \([0\;;\; 0{,}08]\)
3.
Lot A : \(f_A = 0{,}05 \in [0\;;\; 0{,}13]\) → compatible
Lot B : \(f_B = 0{,}036 \in [0\;;\; 0{,}0932]\) → compatible
Lot C : \(f_C = 0{,}045 \in [0\;;\; 0{,}08]\) → compatible
5. Avis argumenté : bien que les fréquences de défaut observées (entre 3,6 % et 5 %) soient toutes supérieures au taux garanti de 3 %, elles restent dans les intervalles de fluctuation. Statistiquement, on ne peut pas affirmer que le fabricant ne respecte pas sa garantie. Cependant, la fréquence globale (4,3 %) est nettement au-dessus de 3 %. Il serait prudent de poursuivre la surveillance sur les prochains lots et, si la tendance se confirme, de demander des explications au fabricant.
✔ Statistiquement compatible, mais la tendance est préoccupante. Surveillance recommandée.
Bilan des compétences travaillées
Compétence
Exercices
Identifier une expérience aléatoire / déterministe