Comment analyser cette série de mesures pour contrôler la qualité de la production ?
1. Introduction – Pourquoi les statistiques ?
Les statistiques permettent d'analyser un grand nombre de données pour en dégager des informations utiles à la prise de décision.
Dans les métiers du bois (menuiserie, agencement), on utilise les statistiques pour :
Contrôler la qualité : dimensions des pièces produites, respect des tolérances
Optimiser la production : suivre les temps de fabrication, repérer les anomalies
Gérer les coûts : analyser les dépenses en matériaux sur plusieurs mois
Suivre les résultats : résultats d'élèves ou de contrôles en atelier
Exemples concrets :
— Un menuisier mesure les 50 planches d'un lot pour vérifier qu'elles font bien 200 cm ± 2 mm.
— Un chef d'atelier compare le temps de fabrication de deux opérateurs sur 30 pièces chacun.
— Un gestionnaire suit le coût mensuel des consommables sur une année.
2. Vocabulaire et organisation des données
2.1 Vocabulaire de base
Population : l'ensemble de tous les éléments étudiés. Exemple : toutes les planches produites par l'atelier.
Individu : chaque élément de la population. Exemple : une planche particulière.
Caractère : la propriété mesurée ou observée sur chaque individu. Exemple : la longueur d'un liteau (caractère quantitatif).
Effectif (\(n_i\)) : le nombre d'individus ayant la même valeur du caractère. Exemple : 4 liteaux mesurent 48 cm → effectif de 48 cm est 4.
Effectif total (\(N\)) : le nombre total d'individus dans la série. Exemple : \(N = 20\) liteaux au total.
Fréquence (\(f_i\)) : proportion d'individus ayant une valeur donnée.
\[f_i = \frac{n_i}{N}\]
La fréquence peut s'exprimer en fraction décimale (entre 0 et 1) ou en pourcentage (entre 0 % et 100 %).
2.2 Tableau des effectifs et fréquences
On organise les données dans un tableau statistique. Voici le tableau pour les liteaux de la situation professionnelle :
Longueur \(x_i\) (cm)
Effectif \(n_i\)
Fréquence \(f_i\)
Fréquence (en %)
48
4
4/20 = 0,20
20 %
49
3
3/20 = 0,15
15 %
50
6
6/20 = 0,30
30 %
51
4
4/20 = 0,20
20 %
52
2
2/20 = 0,10
10 %
53
1
1/20 = 0,05
5 %
Total
20
1,00
100 %
Vérification : La somme des effectifs doit être égale à \(N\) et la somme des fréquences doit être égale à 1 (ou 100 %).
Application
Un atelier produit 40 pièces en une journée. Parmi elles, 12 sont conformes aux normes. Quelle est la fréquence des pièces conformes ? Exprime le résultat en fraction décimale et en pourcentage.
\(f = \dfrac{n_i}{N} = \dfrac{12}{40} = 0{,}30\)
En pourcentage : \(0{,}30 \times 100 = 30\,\%\)
La fréquence des pièces conformes est 0,30, soit 30 %.
3. Fréquences cumulées croissantes
Fréquence cumulée croissante (\(F_i\)) : somme de toutes les fréquences jusqu'à la valeur \(x_i\) (incluse).
\[F_i = f_1 + f_2 + \cdots + f_i\]
Elle représente la proportion d'individus ayant une valeur inférieure ou égale à \(x_i\).
On complète le tableau des liteaux avec une colonne "Fréquence cumulée croissante" :
Longueur \(x_i\) (cm)
Effectif \(n_i\)
Fréquence \(f_i\) (%)
Fréquence cumulée \(F_i\) (%)
48
4
20 %
20 %
49
3
15 %
35 %
50
6
30 %
65 %
51
4
20 %
85 %
52
2
10 %
95 %
53
1
5 %
100 %
Lecture du tableau :
— \(F_{50} = 65\,\%\) : 65 % des liteaux mesurent 50 cm ou moins.
— \(F_{51} = 85\,\%\) : 85 % des liteaux mesurent 51 cm ou moins.
— La fréquence cumulée de la dernière valeur est toujours égale à 100 %.
La première vaut \(f_1\) et la dernière vaut toujours 1 (ou 100 %)
On passe d'une ligne à la suivante en ajoutant la fréquence de la ligne
Application
Un fabricant d'aggloméré contrôle l'épaisseur (en mm) de 30 panneaux. Il obtient le tableau suivant :
Épaisseur \(x_i\) (mm)
Effectif \(n_i\)
Fréquence \(f_i\) (%)
Fréquence cumulée \(F_i\) (%)
16
6
20 %
?
17
9
30 %
?
18
10
?
?
19
5
?
?
Complète les colonnes fréquence et fréquence cumulée.
Quel pourcentage de panneaux mesurent 17 mm ou moins ?
Épaisseur
Effectif
Fréquence
Fréquence cumulée
16 mm
6
20 %
20 %
17 mm
9
30 %
50 %
18 mm
10
33,3 %
83,3 %
19 mm
5
16,7 %
100 %
2. \(F_{17} = 50\,\%\) : 50 % des panneaux mesurent 17 mm ou moins.
4. Tableau à double entrée
Tableau à double entrée : tableau qui croise deux caractères simultanément. Les lignes représentent les modalités d'un caractère, les colonnes celles d'un autre.
Ce type de tableau permet de lire rapidement les effectifs correspondant à deux critères combinés.
Exemple : Dans un atelier de menuiserie, on recense 60 pièces produites, en fonction du type de bois utilisé et de leur état (conforme ou non conforme) :
Conforme
Non conforme
Total
Chêne
18
2
20
Pin
21
9
30
MDF
8
2
10
Total
47
13
60
Comment lire un tableau à double entrée :
Par ligne : on lit les données pour un type de bois. Ex : parmi les 30 pièces en pin, 21 sont conformes.
Par colonne : on lit les données pour un état. Ex : parmi les 47 pièces conformes, 18 sont en chêne.
La case "Total" en bas à droite est toujours l'effectif total de la série (\(N = 60\)).
La somme de chaque ligne = le total de cette ligne. La somme de chaque colonne = le total de cette colonne.
Application
D'après le tableau ci-dessus :
Combien y a-t-il de pièces en MDF non conformes ?
Quelle est la fréquence des pièces conformes parmi toutes les pièces en chêne ?
Quelle est la fréquence globale des pièces non conformes dans l'atelier ?
1. Il y a 2 pièces en MDF non conformes (lecture directe dans le tableau).
2. Parmi les 20 pièces en chêne, 18 sont conformes : \(f = \dfrac{18}{20} = 0{,}90\) soit 90 %.
3. Sur 60 pièces au total, 13 sont non conformes : \(f = \dfrac{13}{60} \approx 0{,}217\) soit environ 21,7 %.
5. Représentations graphiques
Le choix du graphique dépend du type de données et de ce qu'on veut montrer.
Règle de choix du graphique :
Type de données
Graphique adapté
Données discrètes (valeurs séparées)
Diagramme en bâtons ou en colonnes
Répartition en proportions (parts d'un tout)
Diagramme en secteurs (camembert)
Données continues groupées en classes
Histogramme
Évolution dans le temps (données chronologiques)
Diagramme en ligne (courbe)
5.1 Diagramme en bâtons
Quand l'utiliser : pour des données discrètes (valeurs séparées, sans continuité). Chaque valeur est représentée par un trait vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif.
Exemple : nombre de liteaux par longueur (48, 49, 50, 51, 52, 53 cm). Les valeurs sont distinctes et entières → diagramme en bâtons adapté.
5.2 Diagramme en colonnes (barres)
Quand l'utiliser : pour comparer des catégories ou des valeurs discrètes. Les barres ont une largeur et sont espacées (contrairement à l'histogramme).
Diagramme en colonnes – Longueurs des 20 liteaux
Application
D'après le diagramme en colonnes des liteaux ci-dessus :
Quelle est la longueur la plus fréquente ? Quel est son effectif ?
Quelle est la longueur la moins fréquente ?
Combien de liteaux mesurent strictement plus de 50 cm ?
1. La longueur la plus fréquente est 50 cm : c'est la colonne la plus haute, avec un effectif de 6.
2. La longueur la moins fréquente est 53 cm, avec un effectif de 1.
3. Les liteaux de longueur strictement supérieure à 50 cm sont ceux de 51, 52 et 53 cm : \(4 + 2 + 1 = \mathbf{7}\) liteaux.
5.3 Diagramme en secteurs (camembert)
Quand l'utiliser : pour montrer la répartition en proportions (parts d'un tout). Adapté quand le nombre de catégories est limité (6 ou moins).
Exemple : répartition des types de matériaux (contreplaqué, OSB, MDF...) dans une commande. Chaque secteur représente un type de panneau.
Calculer l'angle d'un secteur : l'angle du secteur est proportionnel à la fréquence.
\[\text{angle} = f_i \times 360°\]
Exemple : si le contreplaqué représente 40 % de la commande → angle = \(0{,}40 \times 360 = 144°\)
Application
Un atelier fabrique quatre types de panneaux : contreplaqué (40 %), OSB (25 %), MDF (20 %), aggloméré (15 %).
Quel type de diagramme est le plus adapté pour représenter cette répartition ? Justifie.
Calcule l'angle correspondant à chaque type de panneau.
1. Le diagramme en secteurs (camembert) est le plus adapté : on cherche à représenter des parts d'un tout (les 100 % de la production), avec un nombre limité de catégories (4).
Quand l'utiliser : pour des données continues groupées en classes (intervalles). Contrairement au diagramme en colonnes, les barres sont accolées (sans espace) car les valeurs sont continues.
Exemple : un artisan menuisier mesure les épaisseurs de coupe (en mm) de 30 planches. Les données sont regroupées en classes : [14 ; 16[, [16 ; 18[, [18 ; 20[, [20 ; 22[.
Les valeurs sont continues (l'épaisseur peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle) → histogramme adapté.
Histogramme – Épaisseurs de coupe de 30 planches
Histogramme ≠ diagramme en colonnes : dans un histogramme, les barres sont accolées (sans espace) car les intervalles sont contigus. Un espace entre les barres signifierait une rupture dans des données continues, ce qui n'a pas de sens physiquement.
5.5 Diagramme en ligne (évolution)
Quand l'utiliser : pour représenter l'évolution d'une grandeur dans le temps (données chronologiques).
Exemple : évolution du coût mensuel des matériaux sur 12 mois, ou évolution de la production d'un atelier semaine par semaine.
6. Visualisation – Effectifs et fréquences cumulées des liteaux
Le graphique ci-dessous reprend les données de la situation professionnelle : longueurs des 20 liteaux. Les barres montrent les effectifs ; la courbe montre les fréquences cumulées croissantes (axe de droite).
Les barres montrent les effectifs (axe gauche) ; la courbe verte montre les fréquences cumulées croissantes (axe droit).
Suite dans le Chapitre 3
Les indicateurs de position (mode, moyenne, médiane, quartiles) et les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, boîte à moustaches) sont entièrement traités dans le
Chapitre 3 → Indicateurs statistiques.