Comment analyser cette série de mesures pour contrôler la qualité de la production ?
1. Introduction – Pourquoi les statistiques ?
Les statistiques permettent d'analyser un grand nombre de données pour en dégager des informations utiles à la prise de décision.
Dans tous les métiers (bois, énergie, bâtiment…), on utilise les statistiques pour :
Contrôler la qualité : dimensions des pièces produites, respect des tolérances
Optimiser la production : suivre les temps de fabrication, repérer les anomalies
Gérer les coûts : analyser les dépenses en matériaux sur plusieurs mois
Suivre les résultats : résultats d'élèves ou de contrôles en atelier
Exemples concrets :
— Un menuisier mesure les 50 planches d'un lot pour vérifier qu'elles font bien 200 cm ± 2 mm.
— Un chef d'atelier compare le temps de fabrication de deux opérateurs sur 30 pièces chacun.
— Un gestionnaire suit le coût mensuel des consommables sur une année.
2. Vocabulaire et organisation des données
2.1 Vocabulaire de base
Capacité C1
Population : l'ensemble de tous les éléments étudiés. Exemple : les 20 liteaux contrôlés.
Individu : chaque élément de la population. Exemple : un liteau du lot contrôlé.
Caractère : la propriété mesurée ou observée sur chaque individu. Exemple : la longueur d'un liteau.
La toute première question à se poser devant une série est : de quelle nature est ce caractère ?
C'est elle qui décidera plus loin du tableau à construire, du graphique à choisir (§5) et des calculs possibles.
Caractère qualitatif : il décrit des catégories, désignées par des mots ou des codes. On ne peut ni l'additionner ni en faire une moyenne. Exemples : l'essence d'un bois (chêne, hêtre, pin), l'énergie de chauffage d'un logement (gaz, électricité, bois), la couleur d'un câble, « conforme / non conforme ».
Caractère quantitatif : il s'exprime par un nombre issu d'un comptage ou d'une mesure. On distingue deux cas :
quantitatif discret — les valeurs possibles sont séparées. C’est le cas d’un nombre d’objets : on compte 3 objets ou 4 objets, jamais 3,5 objets. Exemples : le nombre de points lumineux d'une pièce (3 ou 4, jamais 3,5), le nombre de pannes par jour, le nombre de pièces d'un logement.
quantitatif continu — la grandeur mesurée peut prendre toutes les valeurs entre deux limites. Exemples : une longueur, une masse, une température, un taux d'humidité, une durée. Entre 17 mm et 18 mm il y a 17,4 mm.
Méthode — reconnaître la nature du caractère :
Des catégories (essence de bois, couleur, code postal) : caractère qualitatif.
Un comptage, avec des valeurs possibles isolées (0, 1, 2… pannes) : caractère quantitatif discret.
Une mesure pouvant prendre toute valeur d'un intervalle (longueur, durée…) : caractère quantitatif continu.
Attention aux arrondis : une longueur notée 50 cm peut avoir été mesurée à 50,2 cm, puis arrondie. La longueur reste un caractère continu.
Attention — un nombre n'est pas toujours un caractère quantitatif.
Un numéro de chantier, un code postal ou un numéro de série sont écrits avec des chiffres, mais ce sont des étiquettes :
calculer leur moyenne n'aurait aucun sens. Le caractère est alors qualitatif.
Effectif (\(n_i\)) : le nombre d'individus ayant la même valeur du caractère. Exemple : 4 liteaux mesurent 48 cm → effectif de 48 cm est 4.
Effectif total (\(N\)) : le nombre total d'individus dans la série. Exemple : \(N = 20\) liteaux au total.
Application — Reconnaître le vocabulaire
Dans un club, on mesure la taille (en cm) des 22 joueurs inscrits à un tournoi de basket. Parmi eux, 5 mesurent exactement 190 cm.
Quelle est la population étudiée ? Qu'est-ce qu'un individu ?
Quel est le caractère étudié ? Préciser sa nature (qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu).
Donne l'effectif total \(N\), puis l'effectif de la valeur « 190 cm ».
On note maintenant, pour chaque joueur, son poste (meneur, ailier, pivot) et son nombre de paniers marqués dans le tournoi. Donner la nature de chacun de ces deux caractères.
1. La population est l'ensemble des 22 joueurs inscrits au tournoi ; un individu est un joueur.
2. Le caractère étudié est la taille. C'est une mesure chiffrée, donc un caractère quantitatif ; et comme entre 189 cm et 190 cm il existe 189,4 cm, il est continu.
3. Effectif total : \(N = \mathbf{22}\). Effectif de la valeur « 190 cm » : 5 joueurs.
4. Le poste s'exprime par des mots (meneur, ailier, pivot) : caractère qualitatif.
Le nombre de paniers est un comptage : on peut marquer 7 paniers ou 8, jamais 7,5 → caractère quantitatif discret.
Fréquence (\(f_i\)) : proportion d'individus ayant une valeur donnée.
\[f_i = \frac{n_i}{N}\]
Pour calculer une fréquence, on divise l’effectif qui nous intéresse par l’effectif total.
Exemple : 4 liteaux sur 20 mesurent 48 cm. Leur fréquence est \(\dfrac{4}{20} = 0{,}20 = 20\,\%\). Cela signifie 20 liteaux sur 100 si l’on garde la même proportion.
Une fréquence est comprise entre 0 et 1, ou entre 0 % et 100 %. On peut arrondir son écriture décimale si nécessaire.
À quoi sert la fréquence ? À comparer deux séries de tailles différentes.
Deux ateliers contrôlent leurs pièces : l'atelier A trouve 12 pièces non conformes, l'atelier B en trouve 18.
Pour comparer la part de pièces non conformes, il faut aussi connaître le nombre de pièces contrôlées :
Atelier
Non conf. \(n_i\)
Contrôlées \(N\)
Fréquence \(f_i\)
A
12
40
\(\frac{12}{40} = 0{,}30\) → 30 %
B
18
90
\(\frac{18}{90} = 0{,}20\) → 20 %
Dans les lots contrôlés, l'atelier B a plus de pièces non conformes, mais une proportion plus faible : 20 % contre 30 %. Cela ne suffit pas, à lui seul, à conclure qu'il travaille mieux : les pièces et les conditions de contrôle doivent aussi être comparables.
Pour comparer la proportion de pièces non conformes dans des lots de tailles différentes, on utilise les fréquences. Les effectifs restent utiles pour connaître le nombre de pièces à remplacer.
2.2 Tableau des effectifs et fréquences
Capacités C1 et C2
On organise les données dans un tableau statistique. Voici le tableau pour les liteaux de la situation professionnelle :
Méthode — dépouiller une série brute : les données arrivent « en vrac », dans l'ordre où elles ont été relevées. Les organiser s'appelle dépouiller la série.
1
Repérer toutes les valeurs différentes et les ranger dans l'ordre croissant : les écrire dans la première colonne du tableau, une valeur par ligne.
2
Parcourir la série une seule fois, dans l'ordre du relevé, en faisant un trait de comptage à côté de la valeur correspondante. On barre la donnée dès qu'elle est comptée : c'est ce qui évite d'en oublier ou d'en compter deux fois.
3
Compter les traits de chaque ligne : ce sont les effectifs \(n_i\).
4
Contrôler : la somme des effectifs doit redonner \(N\), le nombre de données relevées. Si ce n'est pas le cas, recommencer le comptage — inutile d'aller plus loin.
Longueur \(x_i\) (cm)
Effectif \(n_i\)
Fréquence \(f_i\)
Fréquence (en %)
48
4
4/20 = 0,20
20 %
49
3
3/20 = 0,15
15 %
50
6
6/20 = 0,30
30 %
51
4
4/20 = 0,20
20 %
52
2
2/20 = 0,10
10 %
53
1
1/20 = 0,05
5 %
Total
20
1,00
100 %
Vérification : La somme des effectifs doit être égale à \(N\) et la somme des fréquences exactes à 1 (ou 100 %). Des fréquences arrondies peuvent donner un total légèrement différent de 100 %.
Application
Un atelier produit 40 pièces en une journée. Parmi elles, 34 sont conformes aux normes. Quelle est la fréquence des pièces conformes ? Exprime le résultat en écriture décimale et en pourcentage.
\(f = \dfrac{n_i}{N} = \dfrac{34}{40} = 0{,}85\)
En pourcentage : \(0{,}85 \times 100 = 85\,\%\)
La fréquence des pièces conformes est 0,85, soit 85 %.
3. Valeurs cumulées croissantes
Capacité C2
Beaucoup de questions professionnelles ne portent pas sur une valeur, mais sur toutes les valeurs jusqu'à un seuil : « combien de pièces mesurent au plus 50 cm ? », « quelle part du chantier respecte la tolérance ? ». Pour y répondre, on cumule — c'est-à-dire qu'on additionne au fur et à mesure.
Effectif cumulé croissant : somme de tous les effectifs jusqu'à la valeur \(x_i\) (incluse).
Il répond à la question « combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à \(x_i\) ? »
Fréquence cumulée croissante (\(F_i\)) : somme de toutes les fréquences jusqu'à la valeur \(x_i\) (incluse).
\[F_i = f_1 + f_2 + \cdots + f_i\]
Elle répond à la question « quelle proportion d'individus a une valeur inférieure ou égale à \(x_i\) ? »
Les deux se calculent de la même façon — on additionne en descendant le tableau. L'un compte des individus, l'autre des proportions :
\[\text{fréquence cumulée} = \frac{\text{effectif cumulé}}{N}\]
On complète le tableau des liteaux avec les deux colonnes cumulées :
Longueur \(x_i\) (cm)
Effectif \(n_i\)
Effectif cumulé
Fréquence \(f_i\) (%)
Fréquence cumulée \(F_i\) (%)
48
4
4
20 %
20 %
49
3
4 + 3 = 7
15 %
35 %
50
6
7 + 6 = 13
30 %
65 %
51
4
13 + 4 = 17
20 %
85 %
52
2
17 + 2 = 19
10 %
95 %
53
1
19 + 1 = 20
5 %
100 %
Lecture du tableau :
— Effectif cumulé de 50 cm \(= 13\) : 13 liteaux mesurent 50 cm ou moins.
— \(F_{50} = 65\,\%\) : cela représente 65 % des liteaux — et l'on retrouve bien \(\dfrac{13}{20} = 0{,}65\).
— \(F_{51} = 85\,\%\) : 85 % des liteaux mesurent 51 cm ou moins.
— Le dernier effectif cumulé vaut toujours \(N\) (ici 20), et la dernière fréquence cumulée vaut toujours 100 %.
La première vaut \(f_1\) et la dernière vaut toujours 1 (ou 100 %)
On passe d'une ligne à la suivante en ajoutant la fréquence de la ligne
Application
Un fabricant d'aggloméré contrôle l'épaisseur (en mm) de 30 panneaux. Il obtient le tableau suivant :
Épaisseur \(x_i\) (mm)
Effectif \(n_i\)
Effectif cumulé
Fréquence \(f_i\) (%)
Fréquence cumulée \(F_i\) (%)
16
6
?
20 %
?
17
9
?
30 %
?
18
10
?
?
?
19
5
?
?
?
Complète les colonnes effectif cumulé, fréquence et fréquence cumulée.
Quel pourcentage de panneaux mesurent 17 mm ou moins ?
Épaisseur
Effectif
Effectif cumulé
Fréquence
Fréquence cumulée
16 mm
6
6
20 %
20 %
17 mm
9
15
30 %
50 %
18 mm
10
25
33,3 %
83,3 %
19 mm
5
30
16,7 %
100 %
2. \(F_{17} = 50\,\%\) : 50 % des panneaux mesurent 17 mm ou moins.
4. Tableau à double entrée
Capacité C1
Tableau à double entrée : tableau qui classe les mêmes individus selon deux critères. Ici, on classe les radiateurs selon leur matériau et selon leur état.
Ce type de tableau permet de lire rapidement les effectifs correspondant à deux critères combinés.
Exemple : Une entreprise de chauffage recense 60 radiateurs réceptionnés, en fonction du matériau et de leur état (conforme ou non conforme) :
Conforme
Non conforme
Total
Acier
18
2
20
Fonte
21
9
30
Aluminium
8
2
10
Total
47
13
60
Comment lire un tableau à double entrée :
Par ligne : on lit les données pour un matériau. Ex : parmi les 30 radiateurs en fonte, 21 sont conformes.
Par colonne : on lit les données pour un état. Ex : parmi les 47 radiateurs conformes, 18 sont en acier.
La case "Total" en bas à droite est toujours l'effectif total de la série (\(N = 60\)).
La somme de chaque ligne = le total de cette ligne. La somme de chaque colonne = le total de cette colonne.
Avant de calculer une fréquence, demande-toi : « Parmi quel groupe ? » Le nombre placé sous la barre de fraction est l’effectif de ce groupe.
Parmi tous les radiateurs : il y a 9 radiateurs en fonte non conformes sur les 60 radiateurs livrés.
\(\dfrac{9}{60} = 0{,}15 = 15\,\%\) de toute la livraison.
On parle de fréquence globale.
Parmi les radiateurs en fonte : il y en a 9 non conformes sur les 30 radiateurs en fonte.
\(\dfrac{9}{30} = 0{,}30 = 30\,\%\) des radiateurs en fonte.
On parle de fréquence conditionnelle : on se limite à un groupe précis.
Pourquoi obtient-on deux résultats ? On compte les mêmes 9 radiateurs, mais on les compare à deux groupes différents : 60 radiateurs au total ou 30 radiateurs en fonte. Lis bien les mots « parmi les… » avant de choisir le total.
Application
D'après le tableau ci-dessus :
Combien y a-t-il de radiateurs en aluminium non conformes ?
Quelle est la fréquence des radiateurs conformes parmi tous les radiateurs en acier ?
Quelle est la fréquence globale des radiateurs non conformes dans la livraison ?
1. Il y a 2 radiateurs en aluminium non conformes (lecture directe dans le tableau).
2. Parmi les 20 radiateurs en acier, 18 sont conformes : \(f = \dfrac{18}{20} = 0{,}90\) soit 90 %.
3. Sur 60 radiateurs au total, 13 sont non conformes : \(f = \dfrac{13}{60} \approx 0{,}217\) soit environ 21,7 %.
5. Représentations graphiques
Capacité C5 — choisir le graphique
Le choix du graphique dépend de la façon dont les données sont présentées et de ce qu'on veut montrer.
Règle de choix du graphique : repère d’abord les données, puis ce que tu veux montrer.
Nature du caractère / des données
Graphique adapté
Quantitatif discret (valeurs isolées, peu nombreuses)
Diagramme en bâtons ou en colonnes
Qualitatif — catégories à comparer
Diagramme en colonnes
Qualitatif — répartition en parts d'un tout
Diagramme en secteurs (camembert)
Quantitatif continu, groupé en classes
Tableau de classes ; histogramme (pour aller plus loin)
Évolution dans le temps (données chronologiques)
Diagramme à lignes brisées
Application — Choisir le bon graphique
Pour chaque situation, indique le type de graphique le plus adapté et justifie en une phrase :
La répartition en pourcentages du prix d’un chantier (matériaux, main-d’œuvre, transport, marge).
L'évolution de la température d'un atelier relevée chaque heure de 8 h à 17 h.
Le nombre de logements vendus selon leur nombre de pièces (2, 3, 4 ou 5 pièces).
1. Ce sont des parts d'un tout exprimées en pourcentages → diagramme en secteurs (camembert).
2. C'est une évolution dans le temps (données chronologiques) → diagramme à lignes brisées.
3. Ce sont des valeurs discrètes et séparées (2, 3, 4, 5 pièces) → diagramme en bâtons (ou en colonnes).
5.1 Diagramme en bâtons
Capacité C3
Quand l'utiliser : pour des données discrètes (valeurs séparées, sans continuité). Chaque valeur est représentée par un trait vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif.
Exemple : nombre de liteaux par longueur (48, 49, 50, 51, 52, 53 cm). Les mesures sont arrondies au centimètre. On représente donc ici chaque longueur relevée par un bâton. La longueur reste une grandeur continue.
Diagramme en bâtons : un trait fin par valeur, traits séparés
Bâtons ou colonnes ? C'est l'épaisseur du tracé qui les distingue : le bâton est un simple trait (la valeur est un point précis), la colonne est un rectangle large (§5.2). Dans les deux cas les tracés sont séparés — contrairement à l'histogramme (pour aller plus loin, §5.4) dont les barres sont accolées.
5.2 Diagramme en colonnes (barres)
Capacité C3
Quand l'utiliser : pour comparer des catégories ou des valeurs discrètes. Les barres ont une largeur et sont espacées (contrairement à l'histogramme).
Diagramme en colonnes – Longueurs des 20 liteaux
Application
D'après le diagramme en colonnes des liteaux ci-dessus :
Quelle est la longueur la plus fréquente ? Quel est son effectif ?
Quelle est la longueur la moins fréquente ?
Combien de liteaux mesurent strictement plus de 50 cm ?
1. La longueur la plus fréquente est 50 cm : c'est la colonne la plus haute, avec un effectif de 6.
2. La longueur la moins fréquente est 53 cm, avec un effectif de 1.
3. Les liteaux de longueur strictement supérieure à 50 cm sont ceux de 51, 52 et 53 cm : \(4 + 2 + 1 = \mathbf{7}\) liteaux.
Méthode — construire le diagramme en colonnes au tableur
On reprend le tableau des liteaux et le diagramme ci-dessus comme modèle.
Dans A1, saisir « Longueur (cm) » ; dans B1, « Effectif ». Recopier ensuite le tableau des liteaux : les longueurs dans A2 à A7 et les effectifs dans B2 à B7.
Sélectionner A1:B7, sans ajouter de ligne « Total », puis insérer un graphique de type colonnes.
Vérifier que les longueurs (48, 49…) sont écrites sous les colonnes. La hauteur de chaque colonne doit représenter son effectif (4, 3…).
Donner le titre « Longueurs des 20 liteaux ». Écrire « Longueur (cm) » sous l’axe horizontal et « Effectif » le long de l’axe vertical. Faire commencer l'axe vertical à 0, avec des graduations entières régulières.
Contrôler le résultat : six colonnes séparées ; celle de 50 cm atteint 6 et celle de 53 cm atteint 1. Comparer au diagramme du cours.
Pour calculer aussi les fréquences, saisir « Fréquence » en C1 et =B2/20 en C2, recopier jusqu'en C7, puis appliquer le format pourcentage. On obtient 20 %, 15 %, 30 %, 20 %, 10 % et 5 %.
5.3 Diagramme en secteurs (camembert)
Capacité C4
Quand l'utiliser : pour montrer la répartition en proportions (parts d'un tout). Adapté quand le nombre de catégories est limité (6 ou moins).
Exemple : répartition de la consommation d'énergie d'un logement (chauffage, eau chaude, électroménager, éclairage). Chaque secteur représente un usage de l’énergie.
Calculer l'angle d'un secteur : l'angle du secteur est proportionnel à la fréquence.
\[\text{angle} = f_i \times 360°\]
Exemple : si le chauffage représente 55 % de la consommation → angle = \(0{,}55 \times 360 = 198°\)
Diagramme en secteurs – Consommation d'énergie d'un logement
Application
Un atelier fabrique quatre types de panneaux : contreplaqué (40 %), OSB (25 %), MDF (20 %), aggloméré (15 %).
Quel type de diagramme est le plus adapté pour représenter cette répartition ? Justifie.
Calcule l'angle correspondant à chaque type de panneau.
1. Le diagramme en secteurs (camembert) est le plus adapté : on cherche à représenter des parts d'un tout (les 100 % de la production), avec un nombre limité de catégories (4).
Classe, amplitude, centre : une classe est un intervalle \([a\,;\,b[\) — la borne de gauche est incluse, celle de droite est exclue, pour qu'une valeur ne puisse pas tomber dans deux classes à la fois.
Son amplitude est sa largeur : \(b - a\).
Son centre est \(c = \dfrac{a+b}{2}\) : la valeur qui représente toute la classe (on s'en servira au chapitre 3 pour calculer une moyenne).
Exemple : la classe \([16\,;\,18[\) a pour amplitude \(18 - 16 = 2\) mm et pour centre \(\dfrac{16+18}{2} = 17\) mm. Une épaisseur de 18 mm n'y est pas : elle appartient à \([18\,;\,20[\).
Méthode — choisir ses classes :
1
Repérer la plus petite et la plus grande valeur de la série : l'ensemble des classes doit couvrir toutes les données, y compris la plus grande valeur.
2
Pour une petite série, 4 à 8 classes peuvent servir de point de départ, à adapter aux données. Trop peu de classes masquent des différences ; trop de classes peuvent rendre la répartition difficile à lire.
3
Leur donner toutes la même amplitude, et choisir une amplitude « ronde » (1, 2, 5, 10…). C'est ce qui rend les effectifs des classes directement comparables entre eux.
4
Dépouiller (§2.2) classe par classe, puis contrôler que la somme des effectifs vaut bien \(N\).
Application — Regrouper par classes
Un installateur relève la puissance (en kW) de 12 pompes à chaleur d'un lotissement :
Regroupe ces valeurs dans les classes [8 ; 10[, [10 ; 12[, [12 ; 14[ et [14 ; 16[, puis donne l'effectif de chaque classe.
Quelle est l'amplitude de ces classes ? Donne le centre de chacune d'elles.
Dans quelle classe ranger une pompe de 12 kW ? Combien de pompes ont une puissance strictement inférieure à 12 kW ?
1. On range chaque valeur dans sa classe (borne de gauche incluse, borne de droite exclue) :
Classe (kW)
Valeurs
Effectif
[8 ; 10[
8 ; 9 ; 9
3
[10 ; 12[
10 ; 10 ; 11 ; 11
4
[12 ; 14[
12 ; 12 ; 13
3
[14 ; 16[
14 ; 15
2
Vérification : \(3 + 4 + 3 + 2 = 12\) pompes. Total correct.
2. Amplitude : \(10 - 8 = \mathbf{2}\) kW, la même pour les quatre classes.
Centres : \(\dfrac{8+10}{2} = 9\) ; \(\dfrac{10+12}{2} = 11\) ; \(\dfrac{12+14}{2} = 13\) ; \(\dfrac{14+16}{2} = 15\) kW.
3. 12 kW va dans \([12\,;\,14[\) : la borne de gauche est incluse. Strictement moins de 12 kW : classes \([8\,;\,10[\) et \([10\,;\,12[\), soit \(3 + 4 = \mathbf{7}\) pompes.
L’histogramme n’est pas au programme de Seconde. Il est présenté ici en complément.
Quand l'utiliser : pour des données continues groupées en classes (intervalles). Contrairement au diagramme en colonnes, les barres sont accolées (sans espace) car les valeurs sont continues.
Exemple : un plombier chauffagiste mesure les diamètres extérieurs (en mm) de 30 tubes de cuivre livrés. Les données sont regroupées en classes : [14 ; 16[, [16 ; 18[, [18 ; 20[, [20 ; 22[.
Les valeurs sont continues (le diamètre peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle) → histogramme adapté.
Histogramme – Diamètres extérieurs de 30 tubes de cuivre
Histogramme ≠ diagramme en colonnes : dans un histogramme, les barres sont accolées (sans espace) car les intervalles sont contigus. On ne laisse pas d'espacement décoratif entre deux classes contiguës. Une classe d'effectif nul a une hauteur nulle : elle peut donc créer un espace vide dans le graphique.
5.5 Diagramme à lignes brisées (évolution)
Capacité C7
Quand l'utiliser : pour représenter l'évolution d'une grandeur dans le temps (données chronologiques). Un point représente la valeur à une date. Relier les points dans l'ordre chronologique fait apparaître les hausses et les baisses. Les segments guident la lecture ; ils ne donnent pas de mesure supplémentaire entre deux dates.
Variation entre deux dates = valeur finale − valeur initiale. Un résultat positif indique une hausse ; un résultat négatif, une baisse.
Exemple : évolution du nombre de m² de cloisons posées chaque semaine sur un chantier, ou de la consommation de chauffage mois par mois.
Diagramme à lignes brisées – Cloisons posées par semaine (chantier)
Application — Lire une évolution
Un technicien relève la consommation de gaz d'un bâtiment (en kWh) sur six mois :
Mois
Oct.
Nov.
Déc.
Janv.
Févr.
Mars
Consommation (kWh)
800
1200
1600
1800
1500
1000
Entre quels deux mois consécutifs la hausse est-elle la plus forte ? Donne la variation en kWh.
Calcule la consommation totale de la période.
Pourquoi une ligne brisée convient-elle mieux ici qu'un diagramme en secteurs ?
1. Hausses successives : \(+400\) ; \(+400\) ; \(+200\). Baisses ensuite : \(-300\) ; \(-500\).
La plus forte hausse vaut +400 kWh, et elle se produit deux fois : d'octobre à novembre et de novembre à décembre.
2. \(800+1200+1600+1800+1500+1000 = \mathbf{7900}\) kWh.
3. Les six valeurs sont ordonnées dans le temps : la ligne brisée montre la montée en hiver puis la redescente. Un diagramme en secteurs représenterait des parts d'un tout et ferait disparaître cette chronologie.
6. Visualisation – Effectifs et fréquences cumulées des liteaux
Le graphique ci-dessous reprend les données de la situation professionnelle : longueurs des 20 liteaux. Les barres montrent les effectifs ; la courbe montre les fréquences cumulées croissantes (axe de droite).
Les barres montrent les effectifs (axe gauche) ; la courbe verte montre les fréquences cumulées croissantes (axe droit).
7. Erreurs fréquentes
❌
Confondre effectif et fréquence
L'effectif est un nombre d'individus (un entier : 6 liteaux). La fréquence est une proportion (0,30 ou 30 %). Écrire « la fréquence est 6 » n'a pas de sens. Conseil : contrôle l'ordre de grandeur. Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %) ; si tu trouves 6 ou 150 %, c'est qu'il y a une erreur.
❌
Se tromper de dénominateur dans un tableau à double entrée
Pour les 9 radiateurs en fonte non conformes : diviser par 60 donne 15 % (part dans toute la livraison), diviser par 30 donne 30 % (taux de défaut de la fonte). Les deux sont justes, mais ne répondent pas à la même question. Conseil : avant de calculer, pose-toi la question « parmi qui ? ». La réponse te donne le dénominateur.
❌
Oublier que le cumul se fait dans l'ordre du tableau
Après avoir rangé les valeurs par ordre croissant, on ajoute l'effectif (ou la fréquence) de la ligne au cumul précédent. Et elle ne peut jamais diminuer : une suite cumulée est toujours croissante. Conseil : vérifie la dernière ligne. L'effectif cumulé final doit valoir \(N\), et la fréquence cumulée finale 100 %. Si ce n'est pas le cas, l'erreur est plus haut.
❌
Accoler les barres d'un diagramme en bâtons ou en colonnes
Les bâtons et les colonnes représentent des valeurs ou des catégories isolées : ils sont séparés. Seul l'histogramme (pour aller plus loin) a des barres accolées, car ses classes se suivent sans trou. Conseil : regarde comment les données sont organisées. Des valeurs relevées une par une se représentent par des bâtons ou des colonnes séparés.
❌
Comparer deux séries sur leurs effectifs alors qu'elles n'ont pas le même total
« Le groupe B a trouvé 18 défauts contre 12 pour le groupe A, donc B travaille moins bien » : faux si B a contrôlé 90 pièces et A seulement 40 (20 % contre 30 %). L'effectif dépend de la taille de l'échantillon, pas seulement du phénomène observé. Conseil : pour comparer des proportions dans des groupes de tailles différentes, calcule les fréquences en précisant le groupe de référence.
❌
Choisir un camembert pour représenter une évolution
Le diagramme en secteurs montre les parts d'un tout. On peut additionner les consommations mensuelles et représenter la part de chaque mois dans le total annuel. En revanche, pour montrer leur évolution au fil des mois, une ligne brisée est plus adaptée. Conseil : s'il y a un axe du temps, c'est une ligne brisée. S'il s'agit de répartir un total en parts, c'est un camembert.
Application — Lire le graphique combiné
Sur les colonnes : quelle longueur a le plus grand effectif ? Combien de liteaux ?
Sur la courbe : quelle est la fréquence cumulée à 51 cm ? Que signifie-t-elle concrètement ?
Pourquoi la courbe des fréquences cumulées ne redescend-elle jamais ?
1. La colonne la plus haute est celle de 50 cm : 6 liteaux.
2. À 51 cm, la courbe atteint 85 % : 85 % des liteaux mesurent 51 cm ou moins (soit 17 liteaux sur 20).
3. Parce qu'on ajoute à chaque étape une fréquence, qui est toujours positive ou nulle : le cumul ne peut donc qu'augmenter (ou rester stable), jamais diminuer.
Suite dans le Chapitre 3
Les indicateurs de position (mode, moyenne, médiane, quartiles), les indicateurs de dispersion (étendue, écart type, écart interquartile) et le diagramme en boîte à moustaches sont entièrement traités dans le
Chapitre 3 → Indicateurs statistiques.
À retenir
Effectif : combien d’individus ? Fréquence : quelle part du groupe ?
Fréquence = effectif étudié ÷ effectif du groupe choisi.
Cumul croissant : ranger les valeurs dans l’ordre croissant, puis additionner au fur et à mesure.
Graphique : des bâtons ou des colonnes pour comparer, des secteurs pour partager un total, une ligne brisée pour suivre une évolution.
Classes : \([a\,;\,b[\) contient \(a\) mais pas \(b\) ; amplitude \(b-a\) ; centre \(\dfrac{a+b}{2}\).
Vérifier : les totaux, les unités, le titre et les graduations du graphique.