Construire un tableau d'effectifs et de fréquences
Calculer des effectifs et des fréquences cumulés croissants
Lire et construire un tableau à double entrée
Choisir et construire une représentation graphique adaptée (bâtons, barres, secteurs, histogramme, ligne)
Lire et interpréter un diagramme statistique
Mode d'emploi : Résous chaque exercice dans la zone prévue, puis clique sur « Voir la correction » pour vérifier ton travail.
Les exercices sont classés du plus simple au plus complexe — avance à ton rythme !
Exercices guidés pas à pas
Exercice 1-1Lire un tableau statistiqueSocle
Effectif par type d'appareil installé
Énergie – Installation de chauffage
Une entreprise de chauffage a relevé les types d'appareils installés par ses équipes sur une semaine d'interventions. Les résultats sont résumés ci-dessous :
Type d'appareil
Radiateur
Sèche-serviettes
Plancher chauffant
Convecteur
Total
Effectif
12
8
5
3
?
Fréquence
?
?
?
?
1
Questions : a) Quel est l'effectif total d'appareils installés ? b) Calculer la fréquence de chaque type d'appareil (donner le résultat en fraction décimale et en %). c) Quel est le type d'appareil le plus installé ?
c) Le type d'appareil le plus installé est le radiateur (12 appareils, soit environ 43 % du total).
Exercice 0-1Organiser, représenter puis exploiter une série
Contrôle dimensionnel
Un opérateur contrôle la largeur (en mm) de 10 pièces découpées. Il relève :
45 ; 47 ; 45 ; 46 ; 48 ; 45 ; 47 ; 46 ; 45 ; 46
a) Compléter le tableau des effectifs.
Largeur (mm)
45
46
47
48
Total
Effectif
…
…
…
…
10
b) Construire le diagramme en bâtons des effectifs sur le repère ci-dessous.
c) Lire la valeur la plus fréquente (le plus grand effectif) directement sur le diagramme.
a) Tableau des effectifs :
Largeur (mm)
45
46
47
48
Total
Effectif
4
3
2
1
10
b) Diagramme en bâtons :
c) Valeur la plus fréquente : le bâton le plus haut correspond à 45 mm (effectif 4).
La largeur la plus fréquente est 45 mm.
Exercice 1-2Contrôle qualité guidéSocle
Contrôle qualité – Atelier
Un plombier chauffagiste mesure au pied à coulisse (précision 0,01 mm) le diamètre extérieur (en mm) de 15 tubes de cuivre reçus d'un fournisseur (diamètre nominal : 18 mm). Voici la série déjà triée :
Le tableau ci-dessous résume les effectifs. Complète-le :
Diamètre (mm)
17,96
17,97
17,98
17,99
18,00
18,01
18,02
18,03
18,04
Total
Effectif
1
1
1
3
?
?
?
1
1
15
a) Complète le tableau (effectifs manquants). b) Sur un tube de cuivre de diamètre 18 mm, la norme impose une tolérance de ± 0,04 mm, soit l'intervalle [17,96 ; 18,04]. La valeur la plus petite de la série est .......... et la plus grande est ..........
Tous les tubes sont-ils conformes ?
b) La plus petite valeur est 17,96 mm, la plus grande 18,04 mm.
17,96 ≥ 17,96 ✔ et 18,04 ≤ 18,04 ✔ : les deux tubes extrêmes sont pile sur les limites de la tolérance. Comme les bornes de l'intervalle [17,96 ; 18,04] sont incluses, ils sont acceptés.
Les 15 tubes sont tous conformes : leurs diamètres sont compris dans [17,96 ; 18,04] mm.
Exercice 1-3Compléter un tableau de fréquences — guidéSocle
Effectif (nombre d'élèves) par nombre de pompes réussies
Sport – Test de condition physique
Rappel La fréquence d'une valeur = \(\dfrac{\text{effectif de cette valeur}}{\text{effectif total}}\). La somme des fréquences vaut toujours 1 (ou 100 %).
Dans une classe de 25 élèves, on a relevé le nombre de pompes réussies lors d'un test sportif :
Nombre de pompes
5
10
15
20
25
Total
Effectif
3
7
8
5
2
?
Fréquence
?
?
?
?
?
1
Fréquence (%)
?
?
?
?
?
100 %
a) Vérifie que l'effectif total est bien 25. b) Calcule chaque fréquence : par exemple \(f(5) = \dfrac{3}{25} =\) .......... c) Convertis chaque fréquence en pourcentage. d) Quelle est la valeur la plus fréquente de cette série (le plus grand effectif) ?
a) \(3 + 7 + 8 + 5 + 2 = \mathbf{25}\) ✔
b) et c) Tableau complété :
Nombre de pompes
5
10
15
20
25
Total
Effectif
3
7
8
5
2
25
Fréquence
0,12
0,28
0,32
0,20
0,08
1
Fréquence (%)
12 %
28 %
32 %
20 %
8 %
100 %
d) La valeur la plus fréquente est 15 pompes (effectif le plus élevé : 8 élèves).
Rappel L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est la somme de tous les effectifs des valeurs inférieures ou égales à cette valeur.
Un plombier chauffagiste note le nombre d'interventions de dépannage réalisées chaque jour pendant 20 jours :
Interventions/jour
2
3
4
5
6
Total
Effectif
3
5
6
4
2
20
ECC
3
?
?
?
?
a) Complète la ligne des effectifs cumulés croissants. Aide : ECC(3) = effectif de 2 + effectif de 3 = 3 + 5 = .......... b) Combien de jours le plombier a-t-il réalisé au plus 4 interventions ? c) Quelle proportion (en %) des 20 jours le plombier a-t-il réalisé au plus 4 interventions ?
a) Tableau complété :
Interventions/jour
2
3
4
5
6
Effectif
3
5
6
4
2
ECC
3
8
14
18
20
Ces cinq valeurs cumulées, ramenées en % des 20 jours (15 % ; 40 % ; 70 % ; 90 % ; 100 %), donnent la courbe suivante :
Effectifs cumulés croissants (en % des 20 jours)
b) ECC(4) = 14 → le plombier a réalisé au plus 4 interventions pendant 14 jours.
c) ECC(4) = 14 jours sur 20 : \(\dfrac{14}{20} = 0{,}70 = \mathbf{70\,\%}\) des jours.
Le plombier a réalisé au plus 4 interventions 70 % des jours.
Exercice 1-5Lire un diagramme en bâtons — guidéSocle
Consommation électrique mensuelle de l'atelier (kWh)
Énergie – Consommation
Le diagramme en bâtons ci-dessous représente la consommation électrique mensuelle (en kWh) d'un petit atelier sur 6 mois :
Mois
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Consommation (kWh)
320
290
250
210
180
160
a) Quel mois la consommation est-elle la plus élevée ? .......... b) Quel mois la consommation est-elle la plus faible ? .......... c) De combien la consommation a-t-elle baissé entre janvier et juin ? .......... − .......... = .......... d) La consommation diminue-t-elle au fil des mois ? Pourquoi selon toi ?
a) La consommation la plus élevée est en janvier (320 kWh).
b) La consommation la plus faible est en juin (160 kWh).
c) Baisse entre janvier et juin : \(320 - 160 = \mathbf{160 \text{ kWh}}\).
d) Oui, la consommation diminue régulièrement de janvier à juin. Cela s'explique par les jours plus longs et les températures plus douces au printemps, nécessitant moins de chauffage et d'éclairage.
Exercice 1-6Diagramme circulaire — lire et interpréterSocle
Répartition des matériaux (les valeurs sont à calculer)
Bâtiment – Matériaux
Rappel Dans un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur = fréquence × 360°.
Un métreur recense le matériau principal de 200 commandes passées pour un chantier de construction sur un mois :
Matériau
Béton
Brique
Acier
Verre
Total
Effectif
80
60
40
20
200
Fréquence
?
?
?
?
1
Angle (°)
?
?
?
?
360°
a) Calcule la fréquence de chaque matériau. Aide : \(f(\text{béton}) = \dfrac{80}{200} =\) .......... b) Calcule l'angle de chaque secteur. Aide : angle(béton) = 0,40 × 360 = .......... c) Vérifie que la somme des angles fait bien 360°.
Rappel Les effectifs cumulés croissants (ECC) indiquent combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée. On additionne les effectifs un par un en partant du début.
On a chronométré le temps (en secondes) de 20 élèves sur un 100 m :
Temps (s)
13
14
15
16
17
Effectif
2
5
7
4
2
ECC
?
?
?
?
?
a) Complète la ligne des ECC. Aide : ECC(13) = 2 ; ECC(14) = 2 + 5 = .......... ; ECC(15) = 7 + .......... = .......... b) Calcule \(N\) (effectif total). c) À l'aide des ECC, combien d'élèves ont mis au plus 15 s ? Quelle proportion (en %) des 20 élèves cela représente-t-il ?
a) Effectifs cumulés croissants :
Temps (s)
13
14
15
16
17
Effectif
2
5
7
4
2
ECC
2
7
14
18
20
Ces cinq valeurs cumulées, ramenées en % des 20 élèves (10 % ; 35 % ; 70 % ; 90 % ; 100 %), donnent la courbe suivante :
Effectifs cumulés croissants (en % des 20 élèves)
b) \(N = 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = \mathbf{20}\)
c) ECC(15) = 14 : 14 élèves ont mis au plus 15 s, soit \(\dfrac{14}{20} = 0{,}70 = \mathbf{70\,\%}\) des élèves.
Les effectifs cumulés croissants se lisent directement : 70 % des élèves ont couru le 100 m en 15 s ou moins.
Exercice 1-8Lire un diagramme en bâtons – classes DPESocle
Énergie – Diagnostic de performance (DPE)
Rappel l'effectif \(n_i\) est le nombre de fois où une valeur apparaît. La fréquence se calcule avec \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\) (où \(N\) est le total), puis on passe en % en multipliant par 100.
Un technicien de maintenance énergétique a relevé la classe DPE de \(N=20\) logements. Le diagramme ci-dessus donne les effectifs.
a) Lis sur le graphique l'effectif de la classe C : \(n_{\text{C}}=\) ……
b) Calcule la fréquence de la classe D : \(f_{\text{D}}=\dfrac{5}{20}=\) …… (nombre décimal)
c) Écris cette fréquence en pourcentage : \(f_{\text{D}}=\) …… \(\times 100=\) …… %
a) La barre C monte jusqu'à 6 : \(n_{\text{C}}=6\) logements.
b) \(f_{\text{D}}=\dfrac{5}{20}=0{,}25\).
c) \(0{,}25\times 100 = 25\) %. La classe D représente \(25\%\) des logements. Vérification du total : \(2+3+6+5+4=20=N\). ✓
Exercice 1-9Compléter effectifs et fréquences – radiateursSocle
Énergie – Chauffage
Rappel le total \(N\) est la somme de tous les effectifs. Chaque fréquence vaut \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\), et la somme de toutes les fréquences fait toujours \(1\) (soit \(100\%\)).
Un installateur thermique a posé des radiateurs de 4 types dans un immeuble. Les effectifs se lisent sur le diagramme : fonte \(=8\), aluminium \(=12\), acier \(=6\), à inertie \(=4\).
a) Calcule le total : \(N=8+12+6+4=\) ……
b) Calcule la fréquence des radiateurs en aluminium : \(f=\dfrac{12}{\ldots}=\) …… soit …… %
c) Calcule la fréquence des radiateurs en acier : \(f=\dfrac{6}{\ldots}=\) …… soit …… %
a) \(N=8+12+6+4=30\) radiateurs.
b) \(f_{\text{alu}}=\dfrac{12}{30}=0{,}40=40\%\).
c) \(f_{\text{acier}}=\dfrac{6}{30}=0{,}20=20\%\). Contrôle : \(\dfrac{8}{30}+0{,}40+0{,}20+\dfrac{4}{30}\approx 0{,}27+0{,}40+0{,}20+0{,}13=1\). ✓ Le type le plus fréquent est l'aluminium.
Exercice 1-10Construire un diagramme en colonnes – consommation gazSocle
Vie courante – Consommation de gaz
Rappel pour tracer une colonne, sa hauteur doit correspondre à la valeur en suivant l'échelle des graduations. Ici 1 graduation = 200 kWh. Chaque carreau vertical vaut donc 200 kWh.
Un particulier relève sa consommation de gaz (en kWh) chauffé par une chaudière : octobre \(=400\), novembre \(=600\), décembre \(=800\), janvier \(=1000\).
a) Sur le repère ci-dessus, place la hauteur de chaque colonne. Rappel : octobre \(=400\) kWh \(\Rightarrow\) 2 graduations de haut.
b) Combien de graduations pour décembre ? …… graduations.
c) Quel mois a la plus forte consommation ? ……
a) Hauteurs à tracer : Oct. 2 graduations (400), Nov. 3 graduations (600), Déc. 4 graduations (800), Jan. 5 graduations (1000).
b) Décembre \(=800\) kWh, et \(800\div 200 = 4\) : donc 4 graduations.
c) La plus forte consommation est en janvier (1000 kWh) de la saison de chauffe.
Exercice 1-11Lire un diagramme à lignes brisées – températureSocle
Énergie – Régulation du chauffage
Rappel sur un diagramme à lignes brisées, chaque point donne une valeur. Pour lire un point, on regarde la graduation en face sur l'axe vertical.
Un électricien règle la programmation d'un chauffage. La courbe donne la température (°C) d'un local relevée toutes les 2 heures.
a) Lis la température à 6 h : …… °C, puis à 12 h : …… °C.
b) À quelle heure la température est-elle la plus élevée ? …… h
c) De combien la température a-t-elle augmenté entre 6 h et 12 h ? …… \(-\) …… \(=\) …… °C
a) À 6 h : \(16\) °C ; à 12 h : \(21\) °C.
b) Le point le plus haut est à 12 h : la température y est la plus élevée (\(21\) °C).
c) \(21-16=5\) °C. La température a augmenté de \(5\) °C entre 6 h et 12 h.
Exercice 1-12Lire un diagramme en secteurs – énergie de chauffageSocle
Bâtiment – Parc de logements
Rappel dans un diagramme en secteurs (camembert), l'angle d'un secteur vaut \(\text{angle}=f_i\times 360^\circ\). Un tour complet \((360^\circ)\) représente le total \(N\).
Un conducteur de travaux étudie le type de chauffage de \(N=40\) maisons : gaz \(=20\), électricité \(=10\), pompe à chaleur (PAC) \(=6\), bois \(=4\).
a) Calcule la fréquence du gaz : \(f=\dfrac{20}{40}=\) …… , puis son angle : \(\ldots\times 360=\) …… °
b) Calcule l'angle du secteur « électricité » : \(f=\dfrac{10}{40}=\) …… ; angle \(=\) …… °
c) Quel est le type de chauffage le plus fréquent ? ……
a) \(f_{\text{gaz}}=\dfrac{20}{40}=0{,}5\) et \(0{,}5\times 360 = 180^\circ\) (le demi-cercle).
b) \(f_{\text{élec}}=\dfrac{10}{40}=0{,}25\) et \(0{,}25\times 360 = 90^\circ\).
c) Le gaz est le plus fréquent : la moitié des maisons. Contrôle des angles : \(180+90+54+36=360^\circ\) (PAC : \(\tfrac{6}{40}\times360=54^\circ\) ; bois : \(\tfrac{4}{40}\times360=36^\circ\)). ✓
Exercice 1-13Tableau à double entrée – vitragesSocle
Bâtiment – Fenêtres et isolation
Rappel dans un tableau à double entrée, chaque case « Total » d'une ligne = somme de la ligne ; chaque case « Total » d'une colonne = somme de la colonne. Le grand total en bas à droite doit être le même en additionnant par lignes ou par colonnes.
Un métreur compte les fenêtres d'un pavillon selon l'étage et le type de vitrage :
• Rez-de-chaussée : 4 simple vitrage et 8 double vitrage.
• 1er étage : 2 simple vitrage et 10 double vitrage.
a) Complète le total de chaque type : simple \(=4+2=\) …… ; double \(=8+10=\) ……
b) Complète le total de chaque étage : RDC \(=4+8=\) …… ; 1er \(=2+10=\) ……
c) Combien de fenêtres en tout ? …… (vérifie : total par lignes = total par colonnes)
a) Simple \(=4+2=6\) ; double \(=8+10=18\). Ces deux totaux se visualisent bien en colonnes :
b) RDC \(=4+8=12\) ; 1er étage \(=2+10=12\).
c) Total \(=6+18=24\) fenêtres, et par étages \(12+12=24\). ✓ Les deux calculs donnent bien \(24\).
Exercice 1-14Effectifs et fréquences cumulés – épaisseur d'isolantSocle
Bâtiment – Isolation
Rappel l'effectif cumulé croissant (ECC) s'obtient en ajoutant les effectifs au fur et à mesure. La fréquence cumulée croissante (FCC) vaut \(\dfrac{\text{ECC}}{N}\). La dernière valeur cumulée doit donner \(N\) (et FCC \(=1\)).
Un métreur note l'épaisseur d'isolant posée sur \(N=25\) chantiers. Les effectifs se lisent sur le diagramme : 10 cm \(\to 5\) ; 12 cm \(\to 8\) ; 14 cm \(\to 7\) ; 16 cm \(\to 5\).
a) Complète les effectifs cumulés croissants (ECC) : \(5\) ; \(5+8=\) …… ; \(\ldots+7=\) …… ; \(\ldots+5=\) ……
b) Calcule la fréquence cumulée croissante à 12 cm : \(\text{FCC}=\dfrac{13}{25}=\) …… soit …… %
c) Combien de chantiers ont une épaisseur d'au plus 14 cm ? …… chantiers.
a) ECC : \(5\) ; \(5+8=13\) ; \(13+7=20\) ; \(20+5=25\). Le dernier vaut bien \(N=25\). ✓
b) \(\text{FCC}_{12}=\dfrac{13}{25}=0{,}52=52\%\).
c) « Au plus 14 cm » = ECC jusqu'à 14 cm \(=20\) chantiers.
Exercice 1-15Durée de sommeil — regrouper en classesSocle
L'infirmière du lycée interroge 20 élèves sur leur durée de sommeil (en heures) une nuit de semaine. Les réponses ont été rangées dans l'ordre croissant pour t'aider :
Une durée est une mesure : on regroupe les valeurs par classes (des intervalles). La classe \([6\,;\,7[\) contient toutes les durées supérieures ou égales à 6 h et strictement inférieures à 7 h : la borne de gauche est incluse, celle de droite est exclue.
Rappel : \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\) où \(n_i\) est l'effectif de la classe et \(N = 20\) l'effectif total. Pour obtenir un pourcentage, on multiplie par 100.
Classe (heures)
Effectif \(n_i\)
Fréquence \(f_i\) (en %)
Fréquence cumulée croissante (en %)
\([6\,;\,7[\)
5
\(\dfrac{5}{20} = 0{,}25\) soit 25 %
25 %
\([7\,;\,8[\)
…
…
…
\([8\,;\,9[\)
…
…
…
\([9\,;\,10[\)
…
…
…
Total
20
100 %
—
1. Compléter la colonne « Effectif » en comptant les durées de chaque classe (la première ligne est déjà faite).
2. Compléter la colonne « Fréquence » à l'aide de la formule rappelée ci-dessus.
3. Compléter la colonne « Fréquence cumulée croissante » : on ajoute à chaque ligne la fréquence de la ligne, en partant du haut.
4. Combien d'élèves dorment moins de 8 heures ? Quel pourcentage cela représente-t-il ?
5. Les recommandations de santé conseillent au moins 8 heures de sommeil pour un adolescent. Quel pourcentage des élèves interrogés respecte cette recommandation ?
6. Quelle représentation graphique est adaptée à des données regroupées en classes ?
3. On ajoute au fur et à mesure : \(25\) ; \(25 + 40 = \mathbf{65\,\%}\) ; \(65 + 25 = \mathbf{90\,\%}\) ; \(90 + 10 = \mathbf{100\,\%}\). La dernière fréquence cumulée vaut toujours 100 %.
4. « Moins de 8 heures » correspond aux deux premières classes : \(5 + 8 = \mathbf{13}\) élèves. C'est la fréquence cumulée de la classe \([7\,;\,8[\) : \(\mathbf{65\,\%}\) des élèves interrogés dorment moins de 8 h.
5. « Au moins 8 heures » correspond aux deux dernières classes : \(5 + 2 = 7\) élèves, soit \(\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = \mathbf{35\,\%}\). Seulement 35 % des élèves interrogés atteignent la durée conseillée. On retrouve ce résultat avec les cumuls : \(100 - 65 = 35\,\%\) ✓
6. Les durées sont des données continues regroupées en classes : la représentation adaptée est l'histogramme, dont les barres sont accolées (sans espace), car les classes se suivent sans interruption.
Exercice 1-16Club omnisports : fréquences et anglesSocle
Sport – Vie associative
Rappel : la fréquence d'une valeur vaut \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\), et l'angle de son secteur vaut \(\text{angle}=f_i\times 360^\circ\). La somme des angles fait toujours \(360^\circ\).
Un club omnisports compte \(N=200\) licenciés répartis en cinq sections :
Section
Football
Basket
Judo
Natation
Escalade
Total
Effectif \(n_i\)
70
50
30
30
20
?
Fréquence \(f_i\)
?
?
?
?
?
1
Angle
?
?
?
?
?
360°
Cercle vierge à compléter au rapporteur
a) Vérifie l'effectif total : \(70+50+30+30+20=\) ……
b) Calcule la fréquence de chaque section. Le calcul est amorcé : \(f(\text{football})=\dfrac{70}{200}=\) …… soit …… %.
c) Calcule l'angle de chaque secteur. Amorce : angle(football) \(=0{,}35\times 360=\) …… °.
d) Vérifie que la somme des cinq angles vaut bien \(360^\circ\).
e) Construis le diagramme en secteurs dans le cercle vierge ci-dessus, au rapporteur, en partant du rayon déjà tracé.
a) \(70+50+30+30+20=\mathbf{200}\) licenciés. C'est bien l'effectif total \(N\) annoncé. ✔
c) Angles : football \(0{,}35\times360=\mathbf{126^\circ}\) ; basket \(0{,}25\times360=\mathbf{90^\circ}\) ; judo \(0{,}15\times360=\mathbf{54^\circ}\) ; natation \(0{,}15\times360=\mathbf{54^\circ}\) ; escalade \(0{,}10\times360=\mathbf{36^\circ}\).
d) \(126+90+54+54+36=\mathbf{360^\circ}\) ✔ Le tour complet est bien reconstitué.
e) On part du rayon tracé et on reporte les angles au rapporteur, toujours dans le même sens : 126° pour le football, puis 90° pour le basket, puis 54° pour le judo, 54° pour la natation et enfin 36° pour l'escalade — le dernier secteur doit se refermer exactement sur le rayon de départ. Judo et natation ont le même effectif : leurs deux secteurs ont exactement la même ouverture.
Exercice 1-17Lire un histogramme — nombre de pas quotidiensSocle
Santé – Activité physique
Rappel dans un histogramme, chaque barre représente une classe (un intervalle) et sa hauteur donne l'effectif de cette classe. Les barres sont accolées parce que les classes se suivent sans trou. La fréquence d'une classe vaut \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\).
Nombre de pas relevés au podomètre par 25 élèves un même mardi
Dans le cadre d'un projet de la classe sur l'activité physique, 25 élèves ont relevé leur nombre de pas au podomètre du téléphone pendant une même journée de semaine. Les résultats ont été regroupés en classes de 2 000 pas et représentés par l'histogramme ci-dessus.
a) Lis sur l'histogramme l'effectif de chacune des quatre classes, puis vérifie que l'effectif total est bien \(N=25\).
b) Calcule la fréquence de chaque classe, en décimal puis en pourcentage. Vérifie que la somme des fréquences vaut 100 %.
c) Quelle est la classe la plus représentée ?
d) Combien d'élèves ont fait au moins 8 000 pas ce jour-là ? Quel pourcentage de la classe cela représente-t-il ?
e) Pourquoi les barres de ce diagramme sont-elles collées les unes aux autres, alors que celles d'un diagramme en colonnes sont séparées ?
a) Lecture des hauteurs :
Classe (pas)
\([4\,000\,;\,6\,000[\)
\([6\,000\,;\,8\,000[\)
\([8\,000\,;\,10\,000[\)
\([10\,000\,;\,12\,000[\)
Total
Effectif \(n_i\)
3
7
9
6
25
Fréquence \(f_i\)
0,12
0,28
0,36
0,24
1
Fréquence (%)
12 %
28 %
36 %
24 %
100 %
Vérification de l'effectif total : \(3+7+9+6=\mathbf{25}\) ✔
c) La classe la plus représentée est \([8\,000\,;\,10\,000[\) : c'est la barre la plus haute, avec 9 élèves (36 % de la classe).
d) « Au moins 8 000 pas » regroupe les deux dernières classes : \(9+6=\mathbf{15}\) élèves, soit \(\dfrac{15}{25}=0{,}60=\mathbf{60\,\%}\) des élèves.
e) Ici les données sont regroupées en classes, et ces classes se touchent : la valeur 6 000 termine la première classe et commence la deuxième, sans aucun trou entre les deux. Laisser un espace entre les barres laisserait croire qu'il manque des valeurs entre deux classes — par exemple qu'aucun élève ne peut se situer juste au-dessus de 6 000 pas — ce qui serait faux. Dans un diagramme en colonnes, au contraire, les catégories sont des étiquettes distinctes (des mois, des matériaux, des filières) : rien ne se trouve « entre » deux colonnes, et l'espace qui les sépare est donc justifié.
La classe la plus fournie est \([8\,000\,;\,10\,000[\) avec 9 élèves, et 60 % des élèves ont marché au moins 8 000 pas ce jour-là.
Exercice 1-18Venir au lycée : tableau à double entréeSocle
Développement durable – Mobilité
Rappel dans un tableau à double entrée, le total d'une ligne s'obtient en additionnant les cases de cette ligne, le total d'une colonne en additionnant les cases de cette colonne. Le grand total (en bas à droite) doit être le même que l'on additionne les totaux de lignes ou les totaux de colonnes.
Dans le cadre du plan de mobilité de l'établissement, le conseil de vie lycéenne interroge les 150 élèves d'un lycée professionnel sur leur mode de déplacement principal entre leur domicile et le lycée :
Mode de déplacement
2nde
1re
Terminale
Total
Bus ou car scolaire
32
28
25
?
À pied ou à vélo
16
12
9
?
Voiture
12
10
6
?
Total
?
?
?
?
a)Lecture du tableau. Combien d'élèves de Terminale viennent à pied ou à vélo ? Explique où tu as lu ce nombre (quelle ligne, quelle colonne). Même travail pour les élèves de 1re qui viennent en voiture. b) Complète le total de chaque ligne. Le premier calcul est amorcé : bus ou car \(=32+28+25=\) …… c) Complète le total de chaque colonne, puis calcule le grand total de deux façons (par les lignes, puis par les colonnes). Les deux résultats doivent être égaux. d) Quelle est la fréquence des élèves qui viennent à pied ou à vélo, sur l'ensemble du lycée ? Donne le résultat en pourcentage, arrondi au dixième. e) Le lycée veut afficher dans le hall la répartition des trois modes de déplacement sur l'ensemble de l'établissement. Quelle représentation graphique proposes-tu ? Justifie ton choix — aucun calcul n'est demandé ici.
a) On croise une ligne et une colonne. Ligne « à pied ou à vélo », colonne « Terminale » : la case donne 9 élèves. Ligne « voiture », colonne « 1re » : 10 élèves. Chaque case du tableau répond ainsi à deux conditions à la fois (un mode de déplacement et un niveau de classe).
b) et c) Tableau complété :
Mode de déplacement
2nde
1re
Terminale
Total
Bus ou car scolaire
32
28
25
85
À pied ou à vélo
16
12
9
37
Voiture
12
10
6
28
Total
60
50
40
150
Totaux de lignes : \(32+28+25=85\) ; \(16+12+9=37\) ; \(12+10+6=28\).
Totaux de colonnes : \(32+16+12=60\) ; \(28+12+10=50\) ; \(25+9+6=40\).
Grand total par les lignes : \(85+37+28=\mathbf{150}\). Par les colonnes : \(60+50+40=\mathbf{150}\). Les deux calculs concordent ✔ et l'on retrouve bien les 150 élèves interrogés.
d) La question porte sur l'ensemble du lycée : le total de référence est donc le grand total, 150 élèves.
\[f=\frac{37}{150}\approx0{,}247=\mathbf{24{,}7\,\%}\]
Environ un quart des élèves viennent à pied ou à vélo.
e) Les trois modes de déplacement forment les parts d'un tout — les 150 élèves du lycée — et chaque élève est compté dans un seul mode. Un diagramme en secteurs est donc adapté : il montre d'un coup d'œil que le bus occupe plus de la moitié du disque. Un diagramme en colonnes des trois effectifs conviendrait aussi, et serait même plus précis pour comparer deux modes entre eux, car l'œil compare mieux des hauteurs que des angles. En revanche un diagramme à lignes brisées n'aurait aucun sens : il n'y a pas d'évolution dans le temps, seulement une répartition.
85 élèves en bus ou car, 37 à pied ou à vélo (24,7 % du lycée), 28 en voiture : total 150, retrouvé par les lignes comme par les colonnes ✔
Exercices d'application
Exercice 2-1Lire un diagramme en bâtons et organiser les donnéesStandard
Gestion d'atelier – Commandes
Un menuisier note le nombre de commandes reçues chaque jour ouvré pendant 15 jours. Il représente les effectifs par le diagramme en bâtons ci-dessous.
a) Lire les effectifs sur le diagramme et compléter le tableau (effectifs et effectifs cumulés croissants). b) Quel nombre de commandes par jour est le plus fréquent ? c) À l'aide des ECC, combien de jours le menuisier a-t-il reçu au plus 4 commandes ? Quelle proportion (en %) des 15 jours cela représente-t-il ?
a) Tableau lu sur le diagramme :
Commandes / jour
2
3
4
5
6
Total
Effectif (jours)
2
4
5
3
1
15
ECC
2
6
11
14
15
—
b) Le nombre de commandes le plus fréquent est 4 (bâton le plus haut, effectif 5 jours).
c) ECC(4) = 11 : le menuisier a reçu au plus 4 commandes pendant 11 jours, soit \(\dfrac{11}{15} \approx 0{,}733 = \mathbf{73{,}3\,\%}\) des jours.
Valeur la plus fréquente : 4 commandes | au plus 4 commandes : 11 jours (≈ 73 %).
Exercice 2-2Contrôle qualité en menuiserieStandard
Contrôle qualité – Atelier
Un opérateur mesure l'épaisseur (en mm) de 15 pièces en sortie de machine. Les mesures sont représentées sur le diagramme à points ci-dessous. La zone verte est la tolérance de fabrication [17,5 ; 18,5] mm (±0,5 mm autour de 18 mm).
a) Combien de pièces sont hors tolérance (hors de la zone verte) ? Laquelle ? b) Combien de pièces sont dans la tolérance ? Quelle proportion (en %) de la production est conforme ? c) Conclure sur la conformité de la production.
a) Pièces hors tolérance :1 pièce — celle qui mesure 18,6 mm (point rouge, à droite de la zone verte, car \(18{,}6 > 18{,}5\)).
b) Pièces conformes : 14 pièces sur 15 sont dans [17,5 ; 18,5] : \(\dfrac{14}{15} \approx 0{,}933 = \mathbf{93{,}3\,\%}\) de la production est conforme.
c) Conclusion : 14 pièces sur 15 sont dans la tolérance, mais 1 la dépasse (18,6 > 18,5). La production n'est pas totalement conforme : il faut régler la machine pour recentrer les épaisseurs.
Exercice 2-3Fréquences et diagramme en bâtonsStandard
Énergie – Consommation domestique
Un technicien de maintenance énergétique relève la consommation électrique mensuelle (en kWh) de 30 logements d'un immeuble. Il regroupe les résultats :
Consommation (kWh)
100
150
200
250
300
Total
Effectif
3
8
10
6
3
30
Fréquence
?
?
?
?
?
1
Fréquence (%)
?
?
?
?
?
100 %
a) Compléter le tableau des fréquences (décimale et %). b) Construire un diagramme en bâtons représentant les effectifs. c) Quelle est la consommation la plus fréquente ? Interpréter.
a) Tableau complété :
Consommation (kWh)
100
150
200
250
300
Total
Effectif
3
8
10
6
3
30
Fréquence
0,10
0,267
0,333
0,20
0,10
1
Fréquence (%)
10 %
26,7 %
33,3 %
20 %
10 %
100 %
b) Diagramme en bâtons : on porte les consommations en abscisse (100, 150, 200, 250, 300 kWh) et les effectifs en ordonnée, gradués de 2 en 2 jusqu’à 10. On trace cinq bâtons séparés — la consommation est ici une valeur repérée, pas une grandeur continue : on ne colle pas les bâtons comme dans un histogramme.
Consommation (kWh)
100
150
200
250
300
Hauteur du bâton
3
8
10
6
3
Le bâton le plus haut est celui de 200 kWh : c’est ce que la question c) demande de retrouver, et le diagramme le montre d’un coup d’œil.
c) La consommation la plus fréquente est 200 kWh (effectif le plus élevé : 10 logements). Un tiers des logements consomme 200 kWh par mois.
La consommation la plus fréquente est 200 kWh par mois (10 logements sur 30).
Exercice 2-4Effectifs cumulés et lecture graphiqueStandard
Santé – IMC
Lors d'une visite médicale, on a relevé l'indice de masse corporelle (IMC) de 40 élèves d'un lycée professionnel :
IMC
18
20
22
24
26
28
Effectif
4
10
12
8
4
2
a) Construire le tableau des effectifs cumulés croissants. b) Combien d'élèves ont un IMC au plus égal à 22 ? Quelle proportion (en %) cela représente-t-il ? c) Un IMC « normal » est compris entre 18,5 et 25. Quel pourcentage d'élèves a un IMC normal ?
a) Effectifs cumulés croissants :
IMC
18
20
22
24
26
28
Effectif
4
10
12
8
4
2
ECC
4
14
26
34
38
40
b) ECC(22) = 26 : 26 élèves ont un IMC au plus égal à 22, soit \(\dfrac{26}{40} = 0{,}65 = \mathbf{65\,\%}\).
c) IMC « normal » (entre 18,5 et 25) : valeurs 20, 22, 24 → effectif = \(10 + 12 + 8 = 30\).
\[\text{Pourcentage} = \frac{30}{40} = 0{,}75 = \mathbf{75\,\%}\]
26 élèves (65 %) ont un IMC ≤ 22 ; 75 % des élèves ont un IMC normal.
Exercice 2-5Analyser une série à l'aide d'un tableauStandard
Commerce – Vente
Une fleuriste note le nombre de bouquets vendus par jour pendant 20 jours ouvrés :
Nombre de bouquets
4
5
6
7
8
Nombre de jours
2
5
8
3
2
a) Quel est l'effectif total ? Vérifier que \(N = 20\). b) Calculer le nombre total de bouquets vendus sur les 20 jours. c) Quel nombre de bouquets par jour est le plus fréquent ? d) La fleuriste s'était fixé un objectif de 120 bouquets vendus en 20 jours. L'a-t-elle atteint ? Justifier avec le total.
a) \(N = 2 + 5 + 8 + 3 + 2 = \mathbf{20}\) jours. ✔
b) Nombre total de bouquets :
\[4 \times 2 + 5 \times 5 + 6 \times 8 + 7 \times 3 + 8 \times 2 = 8 + 25 + 48 + 21 + 16 = \mathbf{118 \text{ bouquets}}\]
c) Le nombre de bouquets le plus fréquent est 6 (effectif le plus élevé : 8 jours).
d) Total vendu = 118 bouquets en 20 jours.
La fleuriste a vendu 118 bouquets, soit 2 de moins que l'objectif de 120. L'objectif n'est pas atteint, mais il est très proche.
Exercice 2-6Diagramme circulaire — Répartition du budgetStandard
Énergie – Gestion
Le budget mensuel d’une entreprise d’installation de chauffage se répartit ainsi :
Poste
Chaudières
Tuyauterie
Outillage
Salaires
Divers
Montant (€)
3 600
1 200
2 400
4 800
600
a. Calculer le budget total. b. Calculer la fréquence (en %) de chaque poste. c. Calculer l’angle au centre correspondant à chaque poste (en degrés). d. Le poste «Chaudières» augmente de 15%. Quels sont les nouveaux pourcentages ?
a. \(3600+1200+2400+4800+600 = \mathbf{12\,600\,\text{€}}\)
d. Nouveau poste «Chaudières» : \(3600 \times 1{,}15 = 4140\). Nouveau total : 13 140 €. Chaudières : 31,5%, les autres postes baissent proportionnellement.
Exercice 2-7Luminaires installés : effectifs et fréquencesStandard
Éclairage / électricien
Un électricien a posé 40 luminaires dans les parties communes d'un immeuble. Le diagramme en bâtons ci-dessus donne la répartition par type.
a) Lis les effectifs sur le graphique et complète un tableau des effectifs.
b) Vérifie que le total est bien 40 luminaires.
c) Calcule la fréquence de chaque type (en décimal puis en %).
d) Quel est le type de luminaire le plus fréquent ?
a) et b) Effectifs lus : LED 8, tube fluorescent 12, spot encastré 16, halogène 4. Total : \(8+12+16+4=40\). ✓
c) Fréquences :
LED : \(\dfrac{8}{40}=0{,}20=20\%\)
Tube fluorescent : \(\dfrac{12}{40}=0{,}30=30\%\)
Spot encastré : \(\dfrac{16}{40}=0{,}40=40\%\)
Halogène : \(\dfrac{4}{40}=0{,}10=10\%\)
Vérification : \(20+30+40+10=100\%\). ✓
d) Le type le plus fréquent est le spot encastré (16 luminaires, soit 40 %).
Un technicien de maintenance énergétique a relevé l'étiquette DPE de 50 logements d'un quartier (de A, très performant, à G, très énergivore). Le diagramme donne les effectifs.
a) Recopie et complète un tableau avec les effectifs, puis les effectifs cumulés croissants (ECC).
b) Calcule les fréquences cumulées croissantes (FCC) en %.
c) Quelle proportion de logements a une étiquette « au plus D » (c'est-à-dire A, B, C ou D) ?
d) Quelle proportion a une étiquette « au plus E » ?
a) Effectifs : A 2, B 5, C 8, D 13, E 12, F 6, G 4 (total 50).
ECC : 2 ; 7 ; 15 ; 28 ; 40 ; 46 ; 50.
b) FCC (on divise l'ECC par 50) :
A : \(\frac{2}{50}=4\%\) ; B : \(\frac{7}{50}=14\%\) ; C : \(\frac{15}{50}=30\%\) ; D : \(\frac{28}{50}=56\%\) ; E : \(\frac{40}{50}=80\%\) ; F : \(\frac{46}{50}=92\%\) ; G : \(\frac{50}{50}=100\%\).
c) « Au plus D » correspond à la FCC de la classe D : 56 % des logements.
d) « Au plus E » correspond à la FCC de la classe E : 80 % des logements.
Exercice 2-9Tableau à double entrée : énergie de chauffageStandard
Bâtiment – Parc de logements
Un conducteur de travaux a classé 100 logements selon leur type et leur énergie de chauffage :
Gaz
Électrique
Pompe à chaleur
Total
Maison
30
10
20
60
Appartement
15
20
5
40
Le diagramme illustre la ligne « Maison ».
a) Combien de logements sont chauffés au gaz au total (maisons + appartements) ?
b) Parmi les maisons uniquement, calcule la fréquence de chaque énergie (fréquence conditionnelle par ligne, en %).
c) Parmi les appartements uniquement, quelle énergie est la plus fréquente ?
d) Vérifie que les trois fréquences de la ligne « Maison » ont bien pour somme 100 %.
a) Gaz au total : \(30+15=45\) logements.
b) Sur la ligne « Maison » (total 60) :
Gaz : \(\dfrac{30}{60}=0{,}50=50\%\)
Électrique : \(\dfrac{10}{60}\approx0{,}167\approx16{,}7\%\)
Pompe à chaleur : \(\dfrac{20}{60}\approx0{,}333\approx33{,}3\%\)
c) Sur la ligne « Appartement » (total 40) : Gaz 15, Électrique 20, PAC 5. L'énergie la plus fréquente est l'électrique (20 appartements).
d) \(50\%+16{,}7\%+33{,}3\%=100\%\). ✓
Exercice 2-10Dépenses d'énergie : angles d'un diagramme circulaireStandard
Vie courante – Dépenses du logement
Dans un logement, la répartition des dépenses annuelles d'énergie est : Chauffage 60 %, Eau chaude sanitaire 15 %, Électricité spécifique 20 %, Cuisson 5 %.
a) Rappelle la formule qui donne l'angle d'un secteur à partir d'une fréquence.
b) Calcule l'angle (en degrés) de chacun des quatre secteurs.
c) Vérifie que la somme des angles vaut bien 360°.
d) Si la facture annuelle totale est de 1 800 €, quel montant correspond au chauffage ?
a) Angle = fréquence \(\times 360°\) (avec la fréquence en décimal).
b) Chauffage : \(0{,}60\times360=216°\)
Eau chaude : \(0{,}15\times360=54°\)
Électricité spécifique : \(0{,}20\times360=72°\)
Cuisson : \(0{,}05\times360=18°\)
c) \(216+54+72+18=360°\). ✓
d) Chauffage : \(0{,}60\times1800=1\,080\) €.
Exercice 2-11Épaisseur d'isolant : histogramme par classesStandard
Isolation / métreur
Un métreur relève l'épaisseur d'isolant posé (en cm) sur 40 chantiers. Les résultats sont regroupés par classes de 10 cm dans l'histogramme ci-dessus.
a) Lis l'effectif de chaque classe et recopie le tableau.
b) Vérifie que le total est bien 40 chantiers.
c) Calcule la fréquence (en %) de la classe \([20\,;30[\).
d) Quelle proportion de chantiers ont un isolant d'au moins 20 cm (classes \([20\,;30[\) et \([30\,;40[\)) ?
a) et b) Effectifs : \([0\,;10[\) : 6 ; \([10\,;20[\) : 14 ; \([20\,;30[\) : 16 ; \([30\,;40[\) : 4. Total : \(6+14+16+4=40\). ✓
c) Classe \([20\,;30[\) : \(\dfrac{16}{40}=0{,}40=40\%\).
d) Au moins 20 cm : \(16+4=20\) chantiers, soit \(\dfrac{20}{40}=0{,}50=50\%\).
Exercice 2-12Consommation de gaz : ligne briséeStandard
Suivi de consommation / plombier chauffagiste
Un plombier chauffagiste suit la consommation mensuelle de gaz d'une chaudière (en kWh), représentée par la ligne brisée.
a) Lis la consommation de janvier et celle de juin.
b) Entre quels deux mois consécutifs la baisse est-elle la plus forte ?
c) Calcule la baisse totale entre janvier et juin (en kWh).
d) Pourquoi une ligne brisée est-elle adaptée ici plutôt qu'un diagramme circulaire ?
a) Janvier : 1 800 kWh ; Juin : 200 kWh.
b) Baisses successives : Jan→Fév \(-200\) ; Fév→Mar \(-400\) ; Mar→Avr \(-400\) ; Avr→Mai \(-400\) ; Mai→Juin \(-200\). La baisse la plus forte (400 kWh) se produit entre février-mars, mars-avril et avril-mai (ces trois périodes sont à égalité).
c) Baisse totale : \(1800-200=1\,600\) kWh.
d) La ligne brisée montre une évolution dans le temps : elle rend visible la tendance à la baisse mois après mois, ce qu'un diagramme circulaire (fait pour des parts d'un tout) ne permet pas.
Exercice 2-13Construire un diagramme dans un repère viergeStandard
Consommation électrique / électricien
Un électricien relève la consommation d'un chantier chaque jour de la semaine (en kWh) :
Jour
Lun
Mar
Mer
Jeu
Ven
kWh
12
18
15
20
14
a) Dans le repère vierge ci-dessus, place un point pour chaque jour à la bonne hauteur.
b) Relie les points par une ligne brisée.
c) Quel jour la consommation est-elle la plus forte ? La plus faible ?
d) Calcule la consommation totale de la semaine.
a) et b) Points à placer : Lun (12), Mar (18), Mer (15), Jeu (20), Ven (14), puis reliés dans l'ordre par des segments.
c) La plus forte : jeudi (20 kWh). La plus faible : lundi (12 kWh).
d) Total : \(12+18+15+20+14=79\) kWh.
Exercice 2-14Matériaux livrés : lecture d'un diagramme en colonnesStandard
Chantier / maçon
Un maçon reçoit une livraison de 60 palettes de matériaux, réparties selon le diagramme en colonnes.
a) Lis l'effectif de chaque matériau et complète le tableau.
b) Calcule la fréquence (en %) de chaque matériau.
c) Quel matériau est le plus fréquent (valeur la plus fréquente) ?
d) La livraison de sable et de gravier réunis représente quelle proportion du total ?
a) Effectifs : Ciment 15, Sable 9, Gravier 12, Parpaings 24. Total : \(15+9+12+24=60\). ✓
b) Fréquences :
Ciment : \(\dfrac{15}{60}=0{,}25=25\%\)
Sable : \(\dfrac{9}{60}=0{,}15=15\%\)
Gravier : \(\dfrac{12}{60}=0{,}20=20\%\)
Parpaings : \(\dfrac{24}{60}=0{,}40=40\%\)
c) La valeur la plus fréquente est Parpaings (24 palettes, 40 %).
d) Sable + Gravier : \(9+12=21\) palettes, soit \(\dfrac{21}{60}=0{,}35=35\%\) (ou \(15\%+20\%=35\%\)).
Exercice 2-15Choisir la bonne représentationStandard
Rénovation énergétique / technicien de maintenance énergétique
Après une rénovation énergétique, un technicien de maintenance énergétique suit la consommation annuelle d'un bâtiment (en kWh) : 2020 : 15 000 ; 2021 : 12 000 ; 2022 : 9 000 ; 2023 : 7 000. Les données sont ici présentées en bâtons.
a) Lis la consommation de 2020 et celle de 2023 sur le graphique.
b) Ces données décrivent une évolution dans le temps : quelle représentation graphique serait la plus adaptée ? Justifie.
c) Calcule la baisse totale de consommation entre 2020 et 2023 (en kWh).
d) Un diagramme circulaire (camembert) conviendrait-il pour ces données ? Explique pourquoi.
a) 2020 : 15 000 kWh ; 2023 : 7 000 kWh.
b) La représentation la plus adaptée est la ligne brisée : les années se suivent dans le temps, et une ligne brisée met en évidence la tendance (ici une baisse régulière) d'une année à l'autre.
c) Baisse totale : \(15\,000-7\,000=8\,000\) kWh.
d) Non : un diagramme circulaire sert à représenter les parts d'un tout à un instant donné. Ici, les valeurs sont des consommations d'années différentes, pas des parts d'un même ensemble : les additionner en un « tout » n'aurait pas de sens.
Exercice 2-16Parcelles d'un lotissement : regrouper en classesStandard
Bâtiment – Géomètre-topographe
Un géomètre-topographe a mesuré la surface (en m²) des 30 parcelles d'un futur lotissement. Voici le relevé, dans l'ordre du bornage (les valeurs ne sont pas rangées) :
405
352
470
428
312
383
361
448
396
455
338
418
374
495
365
440
325
392
431
358
462
347
410
378
388
437
481
370
422
444
Une surface est une grandeur continue : on regroupe les valeurs par classes de 50 m². Rappel : la classe \([350\,;\,400[\) contient les surfaces supérieures ou égales à 350 m² et strictement inférieures à 400 m².
a) Dépouille le relevé et complète la ligne des effectifs. Vérifie que le total vaut bien 30.
b) Calcule la fréquence de chaque classe, en pourcentage arrondi au dixième. Vérifie la somme.
c) Construis l'histogramme dans le repère vierge ci-dessus. Les barres doivent-elles être accolées ou séparées ? Justifie.
d) Le règlement du lotissement impose une surface d'au moins 400 m² pour construire une maison individuelle avec garage. Combien de parcelles respectent cette règle, et quelle proportion du lotissement cela représente-t-il ?
e) L'aménageur annonce : « moins d'une parcelle sur cinq fait moins de 350 m². » A-t-il raison ?
c) Quatre barres de même largeur (une classe = 50 m², soit 1 case entière), de hauteurs 4, 11, 10 et 5. Elles sont accolées, sans espace : les classes se suivent sans interruption (une parcelle de 400 m² exactement passe de la deuxième à la troisième classe). Un espace laisserait croire qu'aucune surface n'existe entre deux classes, ce qui est faux pour une grandeur continue.
d) « Au moins 400 m² » = les deux dernières classes : \(10+5=\mathbf{15}\) parcelles, soit \(\dfrac{15}{30}=0{,}50=\mathbf{50\,\%}\) du lotissement. Une parcelle sur deux est constructible avec garage.
e) Les parcelles de moins de 350 m² sont celles de la première classe : 4 sur 30, soit \(\dfrac{4}{30}\approx13{,}3\,\%\). Or « une parcelle sur cinq » vaut \(\dfrac{1}{5}=20\,\%\). Comme \(13{,}3\,\%\) est inférieur à \(20\,\%\), l'aménageur a raison.
Exercice 2-17Permis de construire : tableau à double entréeStandard
Bâtiment – Service urbanisme
Le service urbanisme d'une commune a instruit 90 demandes d'autorisation de travaux en un an. Un technicien du bureau d'études les classe selon le type de projet et la décision rendue :
Accordé
Refusé
En instruction
Total
Maison individuelle
28
6
6
…
Extension
22
3
5
…
Garage, abri de jardin
16
1
3
…
Total
…
…
…
…
a) Complète les totaux en ligne, en colonne, puis le total général. Vérifie ce total général de deux façons différentes.
b) Quelle est la fréquence globale des dossiers accordés (en % arrondi au dixième) ?
c) Parmi les maisons individuelles uniquement, quelle proportion de dossiers a été refusée ?
d) On veut représenter la ligne « Maison individuelle » par un diagramme en secteurs. Calcule les trois angles, puis vérifie leur somme.
e) Un habitant affirme : « dans cette commune, plus d'un dossier sur dix est refusé ». A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
a) Totaux par ligne : maison individuelle \(28+6+6=\mathbf{40}\) ; extension \(22+3+5=\mathbf{30}\) ; garage ou abri \(16+1+3=\mathbf{20}\).
Totaux par colonne : accordés \(28+22+16=\mathbf{66}\) ; refusés \(6+3+1=\mathbf{10}\) ; en instruction \(6+5+3=\mathbf{14}\).
Total général par les lignes : \(40+30+20=\mathbf{90}\). Par les colonnes : \(66+10+14=\mathbf{90}\). Les deux calculs donnent le même résultat ✔
b) \(f(\text{accordé})=\dfrac{66}{90}\approx0{,}733=\mathbf{73{,}3\,\%}\) des dossiers.
c) On travaille sur la ligne « Maison individuelle » seule, dont le total est 40 : \(\dfrac{6}{40}=0{,}15=\mathbf{15\,\%}\) des maisons individuelles ont été refusées.
d) Toujours sur la ligne « Maison individuelle » (total 40) :
accordé : \(\dfrac{28}{40}=0{,}70\) → \(0{,}70\times360=\mathbf{252^\circ}\) ;
refusé : \(\dfrac{6}{40}=0{,}15\) → \(0{,}15\times360=\mathbf{54^\circ}\) ;
en instruction : \(\dfrac{6}{40}=0{,}15\) → \(\mathbf{54^\circ}\).
Vérification : \(252+54+54=\mathbf{360^\circ}\) ✔
e) Sur l'ensemble des 90 dossiers, 10 ont été refusés : \(\dfrac{10}{90}\approx0{,}111=11{,}1\,\%\). Or « un dossier sur dix » vaut \(\dfrac{1}{10}=10\,\%\). Comme \(11{,}1\,\%\) dépasse \(10\,\%\), l'habitant a raison — mais de peu : il suffirait d'un refus de moins (9 sur 90, soit 10 %) pour que ce ne soit plus vrai.
Exercice 2-18Bâtons ou histogramme ? Deux relevés d'atelierStandard
Bois – Atelier de menuiserie
Un atelier de menuiserie doit présenter deux relevés dans son rapport de fin de mois.
Relevé 1 — nombre de tiroirs par meuble (50 meubles fabriqués) :
Nombre de tiroirs
0
1
2
3
4
Total
Effectif (meubles)
8
14
16
9
3
50
Relevé 2 — taux d'humidité du bois mesuré à l'humidimètre sur 40 planches d'un lot de chêne (le bois doit descendre sous 12 % avant usinage) :
a) Pour chacun des deux relevés, indique la représentation adaptée — diagramme en bâtons ou histogramme — et justifie ton choix.
b) Représente le relevé 1 dans le repère vierge ci-dessus. Quelle est la valeur la plus fréquente ?
c) Complète la ligne des fréquences du relevé 2 (en %) et vérifie leur somme.
d) Dans un cas les barres se touchent, dans l'autre non. Explique cette différence en une phrase.
e) Le chef d'atelier ne veut usiner que le bois dont le taux d'humidité est strictement inférieur à 12 %. Quelle proportion du lot peut-il usiner ?
a) Relevé 1 : le nombre de tiroirs ne peut prendre que des valeurs entières isolées (0, 1, 2, 3 ou 4) — ce sont des données discrètes → diagramme en bâtons.
Relevé 2 : le taux d'humidité est une mesure qui peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle (10,4 % par exemple) — ce sont des données continues regroupées en classes → histogramme.
b) Cinq bâtons, un par valeur, de hauteurs 8, 14, 16, 9 et 3 (soit 2 graduations pour 8, 3,5 graduations pour 14, 4 graduations pour 16…). Le bâton le plus haut est celui de 2 tiroirs (16 meubles) : c'est la valeur la plus fréquente.
d) Dans l'histogramme (relevé 2) les barres sont accolées parce que les classes se suivent sans trou : entre 9 % et 12 % toutes les valeurs existent. Dans le diagramme en bâtons (relevé 1) les bâtons sont séparés parce qu'il n'existe rien entre 2 et 3 tiroirs : un meuble ne peut pas avoir 2,4 tiroirs.
e) « Strictement inférieur à 12 % » correspond aux deux premières classes : \(6+14=20\) planches, soit \(\dfrac{20}{40}=0{,}50=\mathbf{50\,\%}\) du lot. La moitié du lot est prête à usiner ; l'autre moitié doit encore sécher.
Exercice 2-19Comparer deux échantillons de tailles différentesStandard
Sciences – Protocole de mesure
Deux groupes d'élèves participent à un protocole scientifique sur la variabilité d'une plante : ils ouvrent des gousses de haricot et comptent le nombre de graines de chacune. Le groupe A a ouvert 40 gousses, le groupe B en a ouvert 60. Voici les effectifs relevés, également représentés ci-dessous.
Nombre de graines
4
5
6
7
8
Total
Groupe A (effectif)
4
10
14
8
4
40
Groupe B (effectif)
3
12
24
15
6
60
Effectifs bruts relevés par les deux groupes
a) Sur le diagramme, le bâton du groupe B est plus haut que celui du groupe A pour toutes les valeurs sauf une. Laquelle ? Cela prouve-t-il que les gousses du groupe B contiennent plus de graines ? Explique le problème.
b) Calcule les fréquences (en %) de chaque valeur pour le groupe A, puis pour le groupe B. Vérifie les deux sommes.
c) Compare maintenant les deux séries valeur par valeur. Pour « 5 graines », que constates-tu par rapport à la lecture des effectifs bruts ?
d) Quelle proportion de gousses contient au moins 6 graines dans chaque groupe ?
e) Pour comparer les deux groupes sur un même graphique, faut-il représenter les effectifs ou les fréquences ? Justifie.
a) L'exception est la valeur 4 graines : 4 gousses pour A contre 3 pour B. Pour toutes les autres valeurs le bâton de B est plus haut. Cela ne prouve rien du tout : le groupe B a ouvert 60 gousses contre 40 pour A. Il est normal que ses effectifs soient plus grands presque partout. Deux séries d'effectifs totaux différents ne se comparent pas sur les effectifs bruts : il faut passer par les fréquences.
b) Groupe A (\(N=40\)) : \(\dfrac{4}{40}=\mathbf{10\,\%}\) ; \(\dfrac{10}{40}=\mathbf{25\,\%}\) ; \(\dfrac{14}{40}=\mathbf{35\,\%}\) ; \(\dfrac{8}{40}=\mathbf{20\,\%}\) ; \(\dfrac{4}{40}=\mathbf{10\,\%}\). Somme : \(10+25+35+20+10=100\,\%\) ✔
Groupe B (\(N=60\)) : \(\dfrac{3}{60}=\mathbf{5\,\%}\) ; \(\dfrac{12}{60}=\mathbf{20\,\%}\) ; \(\dfrac{24}{60}=\mathbf{40\,\%}\) ; \(\dfrac{15}{60}=\mathbf{25\,\%}\) ; \(\dfrac{6}{60}=\mathbf{10\,\%}\). Somme : \(5+20+40+25+10=100\,\%\) ✔
c) Pour « 5 graines », les effectifs bruts donnent 10 pour A et 12 pour B : on croirait B devant. Les fréquences donnent \(25\,\%\) pour A et \(20\,\%\) pour B : c'est A qui a proportionnellement le plus de gousses à 5 graines. La comparaison s'inverse quand on passe aux fréquences. Pour 4, 6 et 7 graines, les fréquences confirment ce que montraient les effectifs. Mais pour 8 graines, les effectifs (4 contre 6) laissaient croire à un avantage de B, alors que les deux fréquences valent 10 % : les deux groupes sont en réalité à égalité. C’est un second cas où l’effectif brut induit en erreur.
d) Au moins 6 graines : groupe A \(14+8+4=26\) gousses, soit \(\dfrac{26}{40}=0{,}65=\mathbf{65\,\%}\) ; groupe B \(24+15+6=45\) gousses, soit \(\dfrac{45}{60}=0{,}75=\mathbf{75\,\%}\). Les gousses du groupe B sont donc bien un peu plus fournies — mais c'est ce calcul de fréquences qui le montre, pas la hauteur des bâtons.
e) Il faut représenter les fréquences (en %). Elles ramènent les deux groupes à un même total de 100 %, ce qui rend les hauteurs directement comparables ; les effectifs, eux, dépendent du nombre de gousses ouvertes et font croire à une différence qui n'est due qu'à la taille de l'échantillon.
Exercice 2-20Dépouiller une série brute — paniers à 3 pointsStandard
Sport – Basket-ball
Méthodedépouiller une série brute, c'est compter combien de fois chaque valeur apparaît pour construire le tableau des effectifs. On procède valeur par valeur, en barrant les données au fur et à mesure, et on contrôle toujours que la somme des effectifs redonne le nombre de données de départ.
L'équipe de basket-ball de l'association sportive du lycée a disputé 24 matchs dans la saison, championnat et tournois compris. À chaque match, le statisticien de l'équipe a noté le nombre de paniers à 3 points réussis par l'équipe. Voici les résultats, match après match :
a) Dépouille cette série dans un tableau d'effectifs, pour les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Vérifie que la somme des effectifs vaut bien \(N=24\). b) Calcule la fréquence de chaque valeur en pourcentage, arrondie au dixième. Vérifie la somme. c) Construis la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC). Dans combien de matchs l'équipe a-t-elle réussi au plus 2 paniers à 3 points ? Quelle proportion des matchs cela représente-t-il ? d) Dans combien de matchs l'équipe a-t-elle réussi au moins 4 paniers à 3 points ? Retrouve ce nombre de deux façons différentes. e) Calcule le nombre total de paniers à 3 points réussis sur la saison. f) Quelle représentation graphique est adaptée à cette série : diagramme en bâtons ou histogramme ? Justifie.
a) et b) et c) Tableau complété :
Paniers à 3 points
0
1
2
3
4
5
6
Total
Effectif (matchs)
2
3
5
6
4
3
1
24
Fréquence (%)
8,3
12,5
20,8
25,0
16,7
12,5
4,2
100,0
ECC
2
5
10
16
20
23
24
—
a) Vérification : \(2+3+5+6+4+3+1=\mathbf{24}\) matchs ✔ On retrouve bien les 24 données de départ : aucune valeur n'a été oubliée ni comptée deux fois.
c) ECC : \(2\) ; \(2+3=5\) ; \(5+5=10\) ; \(10+6=16\) ; \(16+4=20\) ; \(20+3=23\) ; \(23+1=24\). Le dernier vaut bien \(N=24\) ✔
« Au plus 2 paniers » se lit directement : \(\text{ECC}(2)=\mathbf{10}\) matchs, soit \(\dfrac{10}{24}\approx0{,}417=\mathbf{41{,}7\,\%}\) des matchs.
d) Première façon, en additionnant les effectifs concernés : \(4+3+1=\mathbf{8}\) matchs.
Seconde façon, par le complémentaire à l'aide des cumuls : « au moins 4 » est le contraire de « au plus 3 », donc \(24-\text{ECC}(3)=24-16=\mathbf{8}\) matchs ✔ Cela représente \(\dfrac{8}{24}\approx\mathbf{33{,}3\,\%}\) des matchs, soit un match sur trois.
e) Attention : il ne faut pas additionner les effectifs, mais multiplier chaque valeur par son effectif.
\[0\times2+1\times3+2\times5+3\times6+4\times4+5\times3+6\times1\]
\[=0+3+10+18+16+15+6=\mathbf{68\ \text{paniers à 3 points}}\]
f) Le nombre de paniers est une donnée quantitative discrète : il ne peut prendre que des valeurs entières (on ne marque pas 2,5 paniers). Comme elle ne prend ici que sept valeurs (de 0 à 6), on peut les lister une par une : la représentation adaptée est le diagramme en bâtons, avec un bâton isolé au-dessus de chaque valeur entière. L'histogramme, lui, est réservé aux données regroupées en classes — une durée, une longueur, ou un comptage qui prend trop de valeurs différentes pour être listées une à une.
L'équipe a réussi 68 paniers à 3 points en 24 matchs. Le résultat le plus fréquent est 3 paniers (6 matchs, 25 %) ; elle a réussi au moins 4 paniers dans 8 matchs, soit un tiers de la saison.
Exercice 2-21Fréquence cardiaque de repos : comparer deux relevésStandard
Santé – Endurance
Rappel la fréquence cardiaque de repos se mesure assis, au calme, en battements par minute (bpm). Chez un adolescent, elle se situe le plus souvent entre 50 et 90 bpm ; l'entraînement en endurance a tendance à la faire baisser.
En début d'année, un groupe de 20 élèves mesure sa fréquence cardiaque de repos en cours d'EPS, selon un protocole précis : chacun s'assoit et reste cinq minutes au calme avant de compter ses battements pendant une minute. Après huit semaines d'un cycle d'endurance, les mêmes 20 élèves refont la mesure, à la même heure de la journée et selon exactement le même protocole. Les résultats ont été regroupés en classes de 10 bpm :
Fréquence cardiaque (bpm)
\([50\,;\,60[\)
\([60\,;\,70[\)
\([70\,;\,80[\)
\([80\,;\,90[\)
Total
Relevé 1 (septembre)
2
5
9
4
20
Relevé 2 (novembre)
3
8
7
2
20
a) Calcule les fréquences (en %) de chaque classe pour les deux relevés. Vérifie les deux sommes. b) Construis, pour chaque relevé, la ligne des fréquences cumulées croissantes (FCC). c) Quelle part du groupe avait une fréquence cardiaque de repos inférieure à 70 bpm en septembre ? Et en novembre ? d) Quelle est la classe la plus représentée dans chaque relevé ? Décris en une phrase ce qui a changé entre les deux relevés. e) Quelle représentation graphique convient à ces données ? Comment la construire pour que les deux relevés soient comparables d'un coup d'œil ? f) Un élève affirme : « ce tableau prouve que la fréquence cardiaque de chaque élève du groupe a baissé ». A-t-il raison ? Justifie.
b) On cumule de gauche à droite. Relevé 1 : \(10\) ; \(10+25=35\) ; \(35+45=80\) ; \(80+20=100\,\%\). Relevé 2 : \(15\) ; \(15+40=55\) ; \(55+35=90\) ; \(90+10=100\,\%\). Dans les deux cas la dernière FCC vaut 100 % ✔
c) « Inférieure à 70 bpm » correspond aux deux premières classes, c'est-à-dire à la FCC de la classe \([60\,;\,70[\) :
en septembre \(\mathbf{35\,\%}\) du groupe (7 élèves) ; en novembre \(\mathbf{55\,\%}\) du groupe (11 élèves). Quatre élèves de plus sont passés sous 70 bpm.
d) La classe la plus représentée est \([70\,;\,80[\) en septembre (9 élèves, 45 %) et \([60\,;\,70[\) en novembre (8 élèves, 40 %). La répartition s'est donc légèrement déplacée vers les valeurs basses : la classe la plus fournie a glissé d'une classe vers la gauche, et la classe la plus élevée \([80\,;\,90[\) est passée de 4 élèves à 2. Ordre de grandeur : le déplacement porte sur une seule classe, soit quelques battements par minute — c'est bien ce que l'on peut espérer de huit semaines d'EPS à une ou deux heures par semaine, pas un bouleversement. Et rien ne dit que l'EPS en soit la seule cause : il n'y a pas de groupe témoin, et certains élèves pratiquent aussi un sport en club.
e) La fréquence cardiaque est une grandeur continue regroupée en classes : la représentation adaptée est l'histogramme, barres accolées, les quatre classes ayant ici la même amplitude (10 bpm).
Pour comparer les deux relevés d'un coup d'œil, on trace les deux histogrammes l'un sous l'autre avec exactement la même échelle et les mêmes classes ; le glissement de la « bosse » vers la gauche devient alors visible immédiatement. (Ici les deux relevés portent sur le même groupe de 20 élèves : effectifs et fréquences donnent la même forme, et la seule chose qui change d'un relevé à l'autre est la date. C'est ce qui distingue cette comparaison appariée de celle de l'exercice 2-19, où deux groupes différents, de tailles différentes, obligeaient à passer par les fréquences.)
f)Non. Le tableau ne donne que des effectifs par classe : il décrit le groupe dans son ensemble, pas chaque élève un par un. On voit que la répartition globale s'est déplacée vers les valeurs basses, mais rien n'interdit qu'un élève ait vu sa fréquence cardiaque augmenter pendant que d'autres baissaient. Pour affirmer quelque chose sur chaque élève, il faudrait disposer des deux mesures individuelles et les comparer élève par élève.
La part d'élèves sous 70 bpm passe de 35 % à 55 % et la classe la plus fournie glisse de \([70\,;\,80[\) à \([60\,;\,70[\) : la répartition du groupe s'est déplacée, modérément, vers les fréquences cardiaques plus basses. Ce constat vaut pour le groupe, pas pour chaque élève pris séparément.
Exercices d'approfondissement
Exercice 3-1Choisir le bon type de diagramme — JustifierApprofondissement
Menuiserie – Gestion d'atelier
Un artisan menuisier dispose des données suivantes sur son activité du mois :
Donnée 1 : Répartition des commandes par type de meuble :
Type
Étagère
Table
Armoire
Bureau
Porte
Nb commandes
12
8
5
10
15
Donnée 2 : Évolution du chiffre d'affaires mensuel (en milliers d'euros) :
Mois
Jan
Fév
Mar
Avr
Mai
Jun
CA (k€)
8
6
10
12
14
11
Donnée 3 : Répartition du budget par poste (en %) : Bois 40 %, Quincaillerie 15 %, Machines 20 %, Salaires 20 %, Divers 5 %.
a) Pour chaque jeu de données, choisir le type de diagramme le plus adapté parmi : diagramme en bâtons, diagramme circulaire, courbe d'évolution. Justifier chaque choix. b) Construire les trois diagrammes. c) Pour la donnée 1, un stagiaire propose un diagramme circulaire. Est-ce pertinent ? Comparer les avantages et inconvénients des deux représentations. d) Un client demande un résumé visuel de l'activité. Quelle représentation unique serait la plus informative ? Justifier.
Exemple de diagramme en bâtons pour la donnée 1
a) Choix des diagrammes :
Donnée 1 (types de meubles) : diagramme en bâtons — variable qualitative, on compare des effectifs par catégorie.
Donnée 2 (CA mensuel) : courbe d'évolution — on veut visualiser une évolution dans le temps.
Donnée 3 (répartition %) : diagramme circulaire — on visualise les parts d'un tout (100 %).
b) Construction des trois diagrammes.
Donnée 1 — bâtons (effectifs en ordonnée, gradués de 5 en 5 jusqu’à 15) : étagère 12, table 8, armoire 5, bureau 10, porte 15. Bâtons séparés, le plus haut est « porte ».
Donnée 2 — ligne brisée (mois en abscisse, CA en ordonnée de 0 à 15 k€) : 8, 6, 10, 12, 14, 11. On relie les six points : creux en février, sommet en mai, repli en juin.
Donnée 3 — diagramme circulaire : on convertit chaque pourcentage en angle par \(\text{angle} = \dfrac{p}{100} \times 360^\circ\), et on vérifie que la somme fait bien 360°.
c) Un diagramme circulaire est possible pour la donnée 1 (après calcul des fréquences). Avantage : montre les proportions. Inconvénient : moins facile de comparer visuellement les effectifs. Le diagramme en bâtons est préférable quand on veut comparer des quantités.
d) Un tableau de bord avec les 3 représentations est l'idéal. Si une seule : le diagramme en bâtons (donnée 1) car il montre directement l'activité principale de l'atelier.
Exercice 3-2Analyse de données réelles — Consommation énergétique d'un logementApprofondissement
Énergie – Logement
Le gestionnaire d'un parc de logements sociaux relève la consommation électrique mensuelle (en kWh) de l'un des logements sur deux années :
Mois
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Année 1
420
390
310
250
200
180
170
175
220
300
380
450
Année 2
380
350
280
230
190
170
160
165
210
290
360
410
a) Calculer le total annuel de consommation de chaque année. b) Construire les diagrammes en bâtons superposés des deux années (ou décrire précisément comment les tracer). c) La consommation a-t-elle baissé entre les deux années ? Quantifier la baisse en % par rapport à l'année 1. d) Quels mois présentent la plus forte baisse (en kWh) ? La plus faible ? Proposer une explication. e) Le gestionnaire affirme avoir économisé « 10 % sur l'année ». Vérifier ce chiffre.
a) Totaux annuels : Année 1 : somme = 3445 kWh ; Année 2 : somme = 3195 kWh. Contrôle de vraisemblance : environ 3 400 kWh par an, c'est bien l'ordre de grandeur de la consommation électrique annuelle d'un logement.
b) On trace, pour chaque mois, deux bâtons accolés (année 1 puis année 2), en graduant l'axe vertical à partir de 0 avec une échelle régulière — par exemple 1 cm pour 50 kWh, donc 9 cm de hauteur pour le maximum (450 kWh en décembre). Chaque bâton est mesuré avec cette même échelle : 420 kWh → 8,4 cm, 200 kWh → 4 cm, etc. Sur le graphique ci-dessous, l'année 2 est partout un peu plus basse que l'année 1. Ce graphique ne porte que les graduations 0, 150, 300 et 450 kWh, pour rester lisible à l'écran : les hauteurs des bâtons y respectent bien la même échelle régulière, mais sur votre copie il est plus commode d'en tracer une tous les 50 kWh.
Comparaison des consommations mensuelles
c) Baisse : \(\frac{3445-3195}{3445} \times 100 \approx \mathbf{7{,}3\,\%}\)
d) Plus forte baisse : 40 kWh, en janvier, février et décembre. Plus faible baisse : 10 kWh, de mai à octobre. Les mois d'hiver (fort chauffage) montrent la plus forte baisse en valeur absolue, probablement grâce à une meilleure isolation.
e) Le gestionnaire exagère légèrement : la baisse réelle est de 7,3 %, pas 10 %.
Exercice 3-3Projet d'étude statistique — Déchets de chantierApprofondissement
Bâtiment – Tri des déchets de chantier
Un chef de chantier souhaite analyser les déchets produits par son équipe pour optimiser le tri. Pendant 4 semaines, il pèse les déchets (en kg) par catégorie :
Catégorie
Sem. 1
Sem. 2
Sem. 3
Sem. 4
Total
Bois
45
52
38
65
?
Métal
12
8
15
10
?
Plastique
5
7
4
6
?
Plâtre
20
18
25
22
?
Divers
8
5
8
7
?
Total hebdo
?
?
?
?
?
a) Compléter le tableau (totaux par catégorie et par semaine). b) Calculer la fréquence (en %) de chaque catégorie sur l'ensemble des 4 semaines. c) Quelle représentation graphique choisir pour montrer la répartition des déchets par catégorie ? Justifier et construire ce diagramme. d) Quelle représentation choisir pour montrer l'évolution du total hebdomadaire ? Justifier et construire. e) Le chef de chantier veut réduire ses déchets de bois de 20 %. Quelle serait la nouvelle quantité de bois sur les 4 semaines ? Quel serait alors le nouveau pourcentage du bois dans les déchets ? f) Rédiger un rapport de 5 lignes avec les principaux enseignements et une recommandation.
a) Tableau complété :
Bois : 200 kg | Métal : 45 kg | Plastique : 22 kg | Plâtre : 85 kg | Divers : 28 kg
Totaux hebdo : 90, 90, 90, 110 kg | Total général : 380 kg
c)Diagramme circulaire : on montre les parts d'un total (100 %). Le bois représente plus de la moitié des déchets.
Diagramme circulaire de la répartition des déchets
d)Courbe d'évolution ou diagramme en bâtons pour les 4 semaines. La semaine 4 est anormalement haute (110 kg).
e) Bois actuel : 200 kg sur 4 semaines. Après réduction de 20 % : \(200 \times 0{,}8 = 160\) kg (soit 40 kg de moins). Nouveau total : 380 − 40 = 340 kg. Nouveau % bois : \(\frac{160}{340} \approx 47{,}1\,\%\).
f) Rapport : Le bois représente plus de la moitié des déchets du chantier (53 %), suivi du plâtre (22 %). La semaine 4 a généré plus de déchets que les autres, probablement en raison de démolitions. Recommandation : mettre en place une benne spécifique bois pour faciliter le recyclage et réduire les coûts d'élimination. Objectif : réduire le bois de 20 % en optimisant les découpes.
Exercice 3-4Lire et construire un diagramme à lignes briséesApprofondissement
Menuiserie – Suivi de production
Un atelier de menuiserie suit le nombre de meubles fabriqués chaque mois (l'atelier est fermé en août). Les données sont représentées par le diagramme à lignes brisées ci-dessous :
Production mensuelle de meubles (l'atelier est fermé en août). Attention : l'axe vertical ne part pas de 0, il démarre à 80 — le petit zigzag au bas de l'axe signale cette rupture.
a) Lire sur le graphique la production de chaque mois et reporter les valeurs dans un tableau. b) Quel mois la production est-elle maximale ? minimale ? Comment l'expliquer ? c) Calculer la production totale de la période, puis de combien la production a chuté entre juin et juillet. d) Pourquoi un diagramme à lignes brisées est-il bien adapté ici, plutôt qu'un diagramme circulaire ?
a) Lecture du graphique :
Mois
Janv.
Févr.
Mars
Avril
Mai
Juin
Juil.
Sept.
Meubles
120
135
150
140
165
180
90
175
b) Production maximale en juin (180 meubles), minimale en juillet (90 meubles). Le creux de juillet s'explique par les départs en congés avant la fermeture d'août.
c) Production totale : \(120 + 135 + 150 + 140 + 165 + 180 + 90 + 175 = \mathbf{1155 \text{ meubles}}\) sur les 8 mois travaillés. Chute entre juin et juillet : \(180 - 90 = \mathbf{90 \text{ meubles}}\).
Attention à l'axe vertical : il est tronqué, il démarre à 80 et non à 0 (c'est ce que signale le zigzag de rupture). Sur le dessin, le point de juillet descend presque jusqu'à l'axe : on croit que la production s'est effondrée à presque rien. Or 90 meubles, c'est encore la moitié des 180 de juin — sur un axe partant de 0, le point de juillet serait exactement à mi-hauteur de celui de juin. Un axe tronqué grossit les écarts : c'est utile pour mieux voir de petites variations, mais il faut toujours le signaler, sinon le graphique trompe le lecteur.
d) Le diagramme à lignes brisées relie les points dans l'ordre du temps : il met en évidence l'évolution et les variations d'un mois à l'autre (hausse, creux de juillet). Un diagramme circulaire, lui, ne sert qu'à montrer la répartition d'un total à un instant donné — il ne montrerait pas l'évolution.
Exercice 3-5Choisir et justifier une représentation graphiqueApprofondissement
Gestion d'atelier – Choix d'un graphique
Un responsable d'atelier dispose de plusieurs jeux de données et hésite sur la représentation à utiliser pour son rapport. Il saisit ses séries dans un tableur pour les représenter. Voici ses trois jeux de données :
a) Pour chaque jeu, choisir la représentation graphique la plus adaptée parmi : diagramme circulaire, diagramme à lignes brisées, histogramme, diagramme en bâtons. Justifier chaque choix. b) Pour le jeu ①, calculer les angles des secteurs du diagramme circulaire. c) Pour le jeu ③, expliquer pourquoi on utilise un histogramme et non un diagramme en bâtons.
a) Choix des représentations :
Jeu
Représentation
Justification
① Matériaux
Diagramme circulaire
On montre la part de chaque essence dans un total (100 %).
② Production
Diagramme à lignes brisées
Données dans le temps : on visualise l'évolution mois après mois.
③ Contrôle
Histogramme
Données continues regroupées en classes de même largeur.
c) Le jeu ③ porte sur une grandeur continue (la longueur) découpée en classes. On utilise un histogramme : les rectangles sont accolés (pas d'espace entre eux) car les valeurs se suivent sans interruption. Le diagramme en bâtons, lui, est réservé aux valeurs isolées (discrètes), avec des bâtons séparés.
Exercice 3-6Diagnostic énergétique d'un parc de logementsApprofondissement
Conducteur de travaux — rénovation énergétique
Un conducteur de travaux gère un parc de 40 logements. Le diagramme ci-dessus donne la répartition des étiquettes DPE de ce parc.
a) Reconstitue le tableau complet des effectifs, puis calcule pour chaque étiquette sa fréquence (en % arrondie au dixième). Vérifie que la somme fait bien 100 %.
b) Construis la colonne des fréquences cumulées croissantes (FCC). Que représente concrètement la FCC de l'étiquette D ?
c) On appelle « passoires thermiques » les logements classés F ou G. Quelle proportion du parc représentent-elles ?
d) Le conducteur affirme : « Plus de la moitié du parc est classé C ou mieux. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul de fréquence cumulée.
e) Le maître d'ouvrage veut un seul graphique montrant à la fois la répartition ET la part cumulée du parc. Quelle représentation proposes-tu et pourquoi ?
a) Effectifs : A 2, B 5, C 8, D 12, E 7, F 4, G 2 (total 40).
Fréquences : A \(\frac{2}{40}=5\,\%\) ; B \(\frac{5}{40}=12{,}5\,\%\) ; C \(\frac{8}{40}=20\,\%\) ; D \(\frac{12}{40}=30\,\%\) ; E \(\frac{7}{40}=17{,}5\,\%\) ; F \(\frac{4}{40}=10\,\%\) ; G \(\frac{2}{40}=5\,\%\).
Somme : \(5+12{,}5+20+30+17{,}5+10+5=100\,\%\). ✓
b) FCC : A 5 % ; B 17,5 % ; C 37,5 % ; D 67,5 % ; E 85 % ; F 95 % ; G 100 %. La FCC de D (67,5 %) signifie que 67,5 % des logements sont classés D ou mieux (A à D).
c) F + G = 4 + 2 = 6 logements, soit \(\frac{6}{40}=15\,\%\) du parc.
d) « C ou mieux » = A + B + C = 2 + 5 + 8 = 15 logements → \(\frac{15}{40}=37{,}5\,\%\). C'est inférieur à 50 % : l'affirmation est FAUSSE.
e) Un diagramme en colonnes des fréquences complété par la courbe des fréquences cumulées croissantes (polygone des FCC) : les colonnes montrent la répartition, la ligne montre le cumul. C'est la seule représentation qui combine les deux lectures.
Exercice 3-7Consommations de gaz regroupées en classesApprofondissement
Technicien de maintenance énergétique
Un technicien relève la consommation annuelle de gaz de 50 logements, regroupée en classes de 5000 kWh (histogramme ci-dessus).
a) Dresse le tableau : classes, effectifs, fréquences (%). Vérifie les totaux.
b) Quelle est la classe la plus fréquente ? Peut-on parler de « la valeur la plus fréquente » précise ? Explique la nuance liée au regroupement en classes.
c) Quel pourcentage de logements consomment au moins 15 000 kWh par an ?
d) Le technicien veut cibler pour un audit les logements les plus énergivores. À partir de quelle classe recommanderais-tu de commencer, et quelle part du parc cela représente-t-il ?
e) Pourquoi a-t-on utilisé un histogramme à barres accolées plutôt qu'un diagramme en bâtons séparés ?
a) [0;5000[ : 6 → \(\frac{6}{50}=12\,\%\) ; [5000;10000[ : 14 → 28 % ; [10000;15000[ : 18 → 36 % ; [15000;20000[ : 9 → 18 % ; [20000;25000[ : 3 → 6 %. Effectifs : 6+14+18+9+3 = 50 ✓. Fréquences : 12+28+36+18+6 = 100 % ✓.
b) La classe la plus fréquente est [10000;15000[ (18 logements). On ne connaît pas la valeur exacte la plus fréquente : les données sont groupées, on ne dispose que d'un intervalle, pas des valeurs individuelles.
c) « Au moins 15 000 » = [15000;20000[ + [20000;25000[ = 9 + 3 = 12 logements → \(\frac{12}{50}=24\,\%\).
d) On commence par la classe [20000;25000[ (les plus énergivores), puis [15000;20000[ : ensemble 24 % du parc, soit environ un logement sur quatre.
e) Les valeurs sont continues et regroupées en classes contiguës : l'histogramme accolé traduit cette continuité. Des bâtons séparés conviennent à des valeurs isolées (données discrètes).
Exercice 3-8Effet d'une isolation : comparaison de deux courbesApprofondissement
Installateur thermique — bilan avant/après travaux
Un installateur compare la consommation mensuelle de chauffage (en kWh) d'une maison, avant et après des travaux d'isolation, sur la saison de chauffe.
Avant : Nov 800, Déc 1100, Jan 1300, Fév 1200, Mar 900, Avr 500. Après : Nov 500, Déc 700, Jan 850, Fév 780, Mar 600, Avr 350.
a) Vérifie que les points de la courbe correspondent bien à ces valeurs (lecture graphique).
b) Calcule la consommation totale de chaque saison, puis la réduction globale en kWh et en pourcentage.
c) Pour quel mois la baisse en kWh est-elle la plus forte ? Et en pourcentage ?
d) Un client dit : « L'isolation fait gagner exactement 35 % chaque mois. » L'affirmation est-elle vraie mois par mois ? Justifie avec deux mois de ton choix.
e) Pourquoi la ligne brisée est-elle ici plus parlante qu'un tableau de nombres ? Que met-elle en évidence ?
a) Lecture graphique. On relève les ordonnées des douze points et on les compare au tableau : courbe du haut (avant travaux) Nov 800, Déc 1100, Jan 1300, Fév 1200, Mar 900, Avr 500 ; courbe du bas (après travaux) Nov 500, Déc 700, Jan 850, Fév 780, Mar 600, Avr 350. Les douze points coïncident avec les valeurs de l’énoncé. On note au passage que les deux courbes ont la même allure — maximum en janvier, minimum en avril : l’isolation abaisse la consommation sans changer le rythme de la saison de chauffe.
b) Total avant : \(800+1100+1300+1200+900+500=5800\) kWh. Total après : \(500+700+850+780+600+350=3780\) kWh.
Réduction : \(5800-3780=2020\) kWh, soit \(\frac{2020}{5800}\approx 0{,}348=34{,}8\,\%\).
c) Baisse en kWh : Nov 300, Déc 400, Jan 450, Fév 420, Mar 300, Avr 150. Maximum en janvier (450 kWh).
En % : Nov \(\frac{300}{800}=37{,}5\,\%\) ; Jan \(\frac{450}{1300}\approx34{,}6\,\%\) ; Avr \(\frac{150}{500}=30\,\%\). La plus forte baisse en % est en novembre (37,5 %).
d) Non. Nov : 37,5 % ; Avr : 30 %. Les pourcentages varient d'un mois à l'autre, donc « exactement 35 % chaque mois » est faux.
e) Les deux courbes superposées montrent d'un coup d'œil que la consommation « après » est partout sous la consommation « avant », et que l'écart est maximal au cœur de l'hiver : l'efficacité de l'isolation se lit immédiatement, ce qu'un tableau ne montre pas aussi vite.
Exercice 3-9Type de logement et énergie de chauffageApprofondissement
Thermicien — étude d'un quartier
Un thermicien étudie 100 logements d'un quartier en croisant le type de logement et l'énergie de chauffage. Les six colonnes ci-dessus donnent tous les effectifs.
a) Reconstitue le tableau à double entrée (lignes : maison / appartement ; colonnes : gaz / électricité / PAC), avec les totaux en ligne et en colonne. Vérifie que le total général est 100.
b) Quelle est la fréquence globale des logements chauffés au gaz ? À la pompe à chaleur (PAC) ?
c) Parmi les maisons uniquement, quelle proportion est équipée d'une PAC ? Parmi les appartements, quelle proportion est chauffée à l'électricité ?
d) Parmi les logements chauffés au gaz, quelle est la part de maisons ? Compare avec la part de maisons dans l'ensemble du parc : que remarques-tu ?
e) Le thermicien affirme : « La PAC est proportionnellement plus répandue en maison qu'en appartement. » Vérifie par un calcul de fréquences conditionnelles.
a) Maisons : Gaz 18, Élec 6, PAC 12 → total 36. Appartements : Gaz 24, Élec 30, PAC 10 → total 64. Totaux colonnes : Gaz 42, Élec 36, PAC 22. Total général : \(36+64=100\) et \(42+36+22=100\) ✓.
b) Gaz : \(\frac{42}{100}=42\,\%\) ; PAC : \(\frac{22}{100}=22\,\%\).
c) Maisons avec PAC : \(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\approx33{,}3\,\%\). Appartements à l'électricité : \(\frac{30}{64}\approx46{,}9\,\%\).
d) Parmi les logements gaz, part de maisons : \(\frac{18}{42}\approx42{,}9\,\%\). Dans tout le parc, les maisons pèsent \(\frac{36}{100}=36\,\%\). Les maisons sont donc surreprésentées parmi les logements au gaz.
e) Part de PAC en maison : \(\frac{12}{36}\approx33{,}3\,\%\). Part de PAC en appartement : \(\frac{10}{64}\approx15{,}6\,\%\). \(33{,}3\,\% > 15{,}6\,\%\) : l'affirmation est vraie.
Exercice 3-10Répartition des déperditions thermiquesApprofondissement
Audit énergétique — bilan des pertes de chaleur
Un audit énergétique répartit les déperditions thermiques d'une maison en 6 postes. Le diagramme circulaire ci-dessus a été construit avec les angles suivants : toiture 108°, murs 90°, ventilation 72°, fenêtres 46,8°, plancher 25,2°, ponts thermiques 18°.
a) Vérifie que la somme des angles fait bien 360°, puis retrouve le pourcentage de chaque poste (rappel : \(\text{angle}=\text{fréquence}\times360°\)).
b) Quel poste représente la plus grande part des pertes ? Quels deux postes réunis dépassent à eux seuls la moitié des pertes ?
c) La maison perd 12 000 kWh de chaleur par an. Combien de kWh sont perdus par la toiture ? Par les fenêtres ?
d) On isole la toiture, ce qui supprime 70 % de ses pertes. De combien de kWh la déperdition totale annuelle diminue-t-elle ?
e) Le propriétaire veut un graphique qui insiste sur la hiérarchie des postes (du plus au moins coûteux). Le camembert est-il le meilleur choix, ou proposerais-tu autre chose ? Justifie.
a) \(108+90+72+46{,}8+25{,}2+18=360°\) ✓. Pourcentages : \(\frac{108}{360}=30\,\%\) ; \(\frac{90}{360}=25\,\%\) ; \(\frac{72}{360}=20\,\%\) ; \(\frac{46{,}8}{360}=13\,\%\) ; \(\frac{25{,}2}{360}=7\,\%\) ; \(\frac{18}{360}=5\,\%\). Somme 100 % ✓.
b) Poste principal : toiture (30 %). Toiture + murs = \(30+25=55\,\% > 50\,\%\).
c) Toiture : \(0{,}30\times12000=3600\) kWh. Fenêtres : \(0{,}13\times12000=1560\) kWh.
d) Pertes toiture 3600 kWh ; suppression de 70 % : \(0{,}70\times3600=2520\) kWh en moins. La déperdition totale passe de 12 000 à \(12000-2520=9480\) kWh.
e) Pour une hiérarchie (classer du plus grand au plus petit), un diagramme en colonnes ordonnées est plus lisible : les hauteurs se comparent mieux que des angles. Le camembert reste bon pour montrer des parts d'un tout, moins pour classer précisément.
Exercice 3-11Suivi de l'avancement d'un chantierApprofondissement
Conducteur de travaux — planning
Le conducteur de travaux relève chaque semaine le pourcentage d'avancement cumulé d'un chantier : S1 5 %, S2 12 %, S3 22 %, S4 35 %, S5 50 %, S6 68 %, S7 85 %, S8 100 %.
a) Ce graphique représente-t-il des valeurs cumulées ou hebdomadaires ? Comment le sait-on à sa forme ?
b) Calcule l'avancement réalisé pendant chaque semaine (progression semaine par semaine).
c) Pendant quelle semaine le chantier a-t-il le plus progressé ? Pendant quelle semaine le moins ?
d) À mi-parcours (fin S4), le chantier devait atteindre 50 %. Le respecte-t-il ? De combien s'en écarte-t-il ?
e) Le maître d'ouvrage veut un graphique qui montre l'effort de CHAQUE semaine plutôt que le cumul. Quelle représentation proposes-tu à la place ? Justifie.
a) Valeurs cumulées : la courbe est toujours croissante et atteint 100 % à la fin, ce qui est caractéristique d'un cumul.
b) Progressions : S1 5 ; S2 \(12-5=7\) ; S3 \(22-12=10\) ; S4 \(35-22=13\) ; S5 \(50-35=15\) ; S6 \(68-50=18\) ; S7 \(85-68=17\) ; S8 \(100-85=15\) (en points de %).
c) Plus forte progression : S6 (+18). Plus faible : S1 (+5).
d) Fin S4 : 35 %. Objectif 50 %. Écart : \(50-35=15\) points de retard.
e) Un diagramme en colonnes de la progression hebdomadaire (5, 7, 10, 13, 15, 18, 17, 15) montre directement l'effort de chaque semaine, alors que la ligne cumulée le masque.
Exercice 3-12Construire et choisir la bonne représentationApprofondissement
Électricien — relevé de consommation d'un atelier
Un électricien relève la consommation électrique quotidienne d'un atelier : Lun 120 kWh, Mar 145, Mer 130, Jeu 160, Ven 110. Le repère ci-dessus est vierge (gradué de 0 à 200 kWh).
a) L'atelier fonctionne du lundi au vendredi ; on veut voir l'évolution jour après jour. Quelle représentation choisis-tu (bâtons, colonnes, ligne brisée, secteurs) ? Justifie.
b) Place précisément les 5 points dans le repère (indique leurs coordonnées), puis trace la représentation choisie.
c) Quel jour la consommation est-elle maximale ? Minimale ? De combien de kWh varie-t-elle entre ces deux jours ?
d) Le contrat impose de ne pas dépasser 150 kWh par jour. Quel(s) jour(s) la limite est-elle dépassée ?
e) Aurait-on pu utiliser un diagramme en secteurs pour ces données ? Explique pourquoi un camembert serait ici trompeur.
a) Une ligne brisée (ou des colonnes) : on suit une évolution dans le temps sur des jours ordonnés. La ligne brisée relie les jours et montre la tendance.
b) Points : (Lun ; 120), (Mar ; 145), (Mer ; 130), (Jeu ; 160), (Ven ; 110). Sur l'axe vertical, 120 se situe entre les graduations 100 et 150, 160 juste au-dessus de 150, etc.
c) Maximum jeudi (160 kWh), minimum vendredi (110 kWh). Variation : \(160-110=50\) kWh.
d) 150 kWh dépassé uniquement le jeudi (160 kWh). Mardi est à 145 (< 150), donc conforme.
e) Non : un camembert représente des PARTS d'un même tout. Ici chaque jour est une mesure indépendante, pas une part d'un total qui aurait un sens. Additionner les jours (665 kWh) puis en faire des parts n'aurait pas d'intérêt pour suivre l'évolution : ce serait trompeur.
Exercice 3-13Contrôle de planéité d'un dallageApprofondissement
Carreleur / maçon — contrôle qualité
Un carreleur contrôle la planéité de 40 dalles avec une règle : il mesure l'écart (en mm). La tolérance exige un écart strictement inférieur à 4 mm. Les mesures sont regroupées en classes de 2 mm (histogramme ci-dessus).
a) Dresse le tableau (classes, effectifs, fréquences en %). Vérifie que la somme des effectifs vaut 40 et celle des fréquences 100 %.
b) Combien de dalles sont conformes (écart < 4 mm) ? Quelle fréquence cela représente-t-il ?
c) Le cahier des charges exige au moins 90 % de dalles conformes pour valider la pose. Le lot est-il accepté ? Justifie.
d) Combien de dalles faudrait-il rendre conformes pour atteindre le seuil de 90 % (sur 40 dalles) ?
e) Le chef de chantier veut visualiser d'un coup la part conforme / non conforme. Quelle représentation, en une seule figure simple, mettrait le mieux en évidence ces deux catégories ? Justifie.
a) [0;2[ : 14 → \(\frac{14}{40}=35\,\%\) ; [2;4[ : 16 → 40 % ; [4;6[ : 7 → 17,5 % ; [6;8[ : 2 → 5 % ; [8;10[ : 1 → 2,5 %. Effectifs : 14+16+7+2+1 = 40 ✓. Fréquences : 35+40+17,5+5+2,5 = 100 % ✓.
b) Conformes (< 4 mm) = [0;2[ + [2;4[ = 14 + 16 = 30 dalles → \(\frac{30}{40}=75\,\%\).
c) 75 % < 90 % : le lot n'atteint PAS le seuil, il est refusé.
d) Pour 90 % de 40 : \(0{,}90\times40=36\) dalles conformes exigées. Il en manque \(36-30=6\).
e) Un diagramme en secteurs à deux parts (conforme 75 % / non conforme 25 %) ou une colonne empilée : deux catégories exclusives d'un même tout, la part de chacune se lit immédiatement.
Exercice 3-14Analyse des pannes de chaudièresApprofondissement
Plombier chauffagiste — maintenance
Un plombier chauffagiste recense les 50 pannes de chaudières traitées sur une saison, par type (diagramme ci-dessus).
a) Dresse le tableau des effectifs et des fréquences (%). Vérifie les totaux.
b) Quelle est la panne la plus fréquente ? Quelle est sa fréquence ? (On dit « la valeur la plus fréquente », pas de terme calculé.)
c) L'entreprise prévoit 200 interventions pour la saison suivante, avec la même répartition. Combien de pannes de brûleur peut-elle anticiper ? Combien de fuites ?
d) Le magasinier veut constituer un stock de pièces. Classe les postes du plus au moins prioritaire et justifie à l'aide des fréquences.
e) Pour présenter cette répartition en réunion, un collègue propose un camembert, un autre un diagramme en colonnes. Lequel est le plus adapté pour comparer précisément les effectifs entre eux ? Justifie.
a) Fuite 12 → \(\frac{12}{50}=24\,\%\) ; Thermostat 8 → 16 % ; Brûleur 15 → 30 % ; Pompe 6 → 12 % ; Électronique 9 → 18 %. Effectifs : 12+8+15+6+9 = 50 ✓. Fréquences : 24+16+30+12+18 = 100 % ✓.
b) La panne la plus fréquente est le brûleur, avec 15 interventions soit 30 %.
c) Brûleur : \(0{,}30\times200=60\) pannes. Fuites : \(0{,}24\times200=48\) pannes.
d) Ordre de priorité (fréquences décroissantes) : brûleur 30 %, fuite 24 %, électronique 18 %, thermostat 16 %, pompe 12 %. On stocke en priorité les pièces de brûleur et les joints (fuites).
e) Le diagramme en colonnes : pour comparer précisément des effectifs, l'œil compare mieux des hauteurs que des angles de secteurs. Le camembert sert plutôt à montrer des parts d'un tout.
Exercice 3-15Contrôle de l'épaisseur d'isolant en toitureApprofondissement
Technicien / conducteur de travaux — réception d'isolation
À la réception d'une toiture isolée, un technicien mesure l'épaisseur d'isolant en 60 points. La prescription impose une épaisseur d'au moins 20 cm. Les mesures sont regroupées en classes de 2 cm (histogramme ci-dessus).
a) Dresse le tableau (classes, effectifs, fréquences en % arrondies au centième). Vérifie que les effectifs somment à 60 et les fréquences à 100 %.
b) Combien de points sont conformes (épaisseur ≥ 20 cm) ? Quelle fréquence cela représente-t-il ?
c) Quelle est la classe la plus fréquente ? Est-elle du côté conforme ou non conforme de la prescription ?
d) Le maître d'ouvrage exige au moins 80 % de points conformes. La toiture est-elle réceptionnée ? Sinon, combien de points supplémentaires (sur 60) faudrait-il rendre conformes ?
e) Pour le rapport de réception, faut-il conserver l'histogramme ou passer à un simple diagramme conforme/non conforme ? Discute selon l'objectif (analyser la répartition vs. décider de la réception).
a) [14;16[ : 3 → \(\frac{3}{60}\approx5{,}00\,\%\) ; [16;18[ : 8 → 13,33 % ; [18;20[ : 13 → 21,67 % ; [20;22[ : 20 → 33,33 % ; [22;24[ : 12 → 20,00 % ; [24;26[ : 4 → 6,67 %. Effectifs : 3+8+13+20+12+4 = 60 ✓. Fréquences : 5+13,33+21,67+33,33+20+6,67 = 100 % ✓.
b) Conformes (≥ 20 cm) = [20;22[ + [22;24[ + [24;26[ = 20 + 12 + 4 = 36 points → \(\frac{36}{60}=60\,\%\).
c) Classe la plus fréquente : [20;22[ (20 points). Elle est du côté CONFORME (≥ 20 cm).
d) 60 % < 80 % : la toiture n'est PAS réceptionnée. Seuil : \(0{,}80\times60=48\) points conformes exigés. Il en manque \(48-36=12\).
e) L'histogramme sert à analyser la répartition et à repérer où se concentrent les défauts (ici les points sous 20 cm). Pour la décision de réception, un diagramme conforme (60 %) / non conforme (40 %) suffit et est plus direct. On garde les deux selon le lecteur : l'histogramme pour l'analyse technique, la répartition en deux parts pour la décision.
Exercice 3-16Qualité de l'air : une année d'indicesApprofondissement
Développement durable – Qualité de l'air
Chaque jour, l'organisme agréé de surveillance de la qualité de l'air publie pour une agglomération un indice à cinq niveaux (de « bon » à « très mauvais »), calculé à partir des polluants mesurés. Sur les 365 jours d'une année, les niveaux se répartissent ainsi :
Niveau de l'indice
Bon
Moyen
Dégradé
Mauvais
Très mauvais
Total
Nombre de jours
128
164
51
18
4
365
Répartition des 365 jours de l'année par niveau d'indice
a) Calcule la fréquence de chaque niveau (en % arrondi au dixième) et vérifie que la somme vaut 100 % à l'arrondi près.
b) Construis la ligne des fréquences cumulées croissantes (FCC). Que signifie concrètement la FCC du niveau « Moyen » ?
c) Le plan air-climat de l'agglomération fixe un objectif de 300 jours « bon ou moyen » par an. Est-il atteint ? Sinon, combien de jours manque-t-il ?
d) Combien de jours l'air a-t-il été au moins « dégradé » ? Quelle part de l'année cela représente-t-il ?
e) Pour le rapport annuel, un élu veut un graphique montrant la part de chaque niveau, un autre veut lire directement « combien de jours au maximum tel niveau ». Quelle représentation proposes-tu à chacun ? Un diagramme à lignes brisées jour après jour conviendrait-il pour répondre à ces deux demandes ?
a) \(f(\text{bon})=\dfrac{128}{365}\approx0{,}351=\mathbf{35{,}1\,\%}\) ; \(f(\text{moyen})=\dfrac{164}{365}\approx\mathbf{44{,}9\,\%}\) ; \(f(\text{dégradé})=\dfrac{51}{365}\approx\mathbf{14{,}0\,\%}\) ; \(f(\text{mauvais})=\dfrac{18}{365}\approx\mathbf{4{,}9\,\%}\) ; \(f(\text{très mauvais})=\dfrac{4}{365}\approx\mathbf{1{,}1\,\%}\).
Vérification : \(35{,}1+44{,}9+14{,}0+4{,}9+1{,}1=100{,}0\,\%\) ✔ (les arrondis se compensent ici ; avec des données réelles on tolère un écart de quelques dixièmes).
b) Effectifs cumulés croissants : 128 ; \(128+164=292\) ; \(292+51=343\) ; \(343+18=361\) ; \(361+4=365\).
FCC : \(\dfrac{128}{365}\approx\mathbf{35{,}1\,\%}\) ; \(\dfrac{292}{365}=\mathbf{80{,}0\,\%}\) ; \(\dfrac{343}{365}\approx\mathbf{94{,}0\,\%}\) ; \(\dfrac{361}{365}\approx\mathbf{98{,}9\,\%}\) ; \(\dfrac{365}{365}=\mathbf{100\,\%}\).
La FCC du niveau « Moyen » vaut exactement 80 % : 80 % des jours de l'année ont un air de qualité « bonne » ou « moyenne » — c'est-à-dire au niveau « moyen » ou mieux. (La dernière FCC vaut toujours 100 %.)
c) Jours « bon ou moyen » : \(128+164=\mathbf{292}\) jours. L'objectif de 300 jours n'est pas atteint : il manque \(300-292=\mathbf{8}\) jours. En proportion, l'agglomération est à \(80{,}0\,\%\) au lieu de \(\dfrac{300}{365}\approx82{,}2\,\%\).
d) « Au moins dégradé » = dégradé + mauvais + très mauvais \(=51+18+4=\mathbf{73}\) jours, soit \(\dfrac{73}{365}=0{,}20=\mathbf{20\,\%}\) de l'année, c'est-à-dire exactement un jour sur cinq. On retrouve ce résultat avec les cumuls : \(100-80=20\,\%\) ✔
e) Pour la part de chaque niveau : un diagramme en secteurs (parts d'un tout, cinq catégories seulement) ou un diagramme en colonnes des fréquences si l'on veut comparer précisément deux niveaux entre eux — l'œil compare mieux des hauteurs que des angles.
Pour lire « combien de jours au maximum tel niveau » : la courbe (polygone) des fréquences cumulées croissantes, qui se lit directement en cumul.
Un diagramme à lignes brisées jour après jour ne conviendrait ni à l'un ni à l'autre : d'abord parce qu'on ne dispose pas ici de la chronologie (on ne connaît que le nombre de jours de chaque niveau, pas leurs dates) ; ensuite parce qu'une ligne brisée sert à montrer une évolution dans le temps, pas une répartition ni un cumul. Elle serait en revanche le bon outil pour une autre question : « la qualité de l'air s'améliore-t-elle d'une année sur l'autre ? ».
Exercice 3-17Températures d'un mois : choisir ses classesApprofondissement
Sciences – Relevés météo
La station météo installée sur le toit du lycée enregistre chaque jour la température maximale. Voici les 30 relevés du mois de juin, jour après jour (en °C) :
a) Un élève commence à construire un tableau d'effectifs valeur par valeur, comme pour un nombre de pièces. Explique pourquoi cette méthode ne mène à rien ici, et ce qu'il faut faire à la place.
b) Deux découpages sont proposés à la classe :
Découpage 1 : deux classes, \([15\,;\,24[\) et \([24\,;\,33[\) ;
Découpage 2 : dix-huit classes de 1 °C, \([15\,;\,16[\), \([16\,;\,17[\), … , \([32\,;\,33[\).
Quel est le défaut de chacun ? On retient finalement un découpage en six classes d'amplitude 3 °C : \([15\,;\,18[\), \([18\,;\,21[\), \([21\,;\,24[\), \([24\,;\,27[\), \([27\,;\,30[\) et \([30\,;\,33[\).
c) Dépouille les 30 relevés dans ces six classes, puis complète le tableau des effectifs et des fréquences (en %, arrondies au dixième). Vérifie l'effectif total et la somme des fréquences.
d) Ajoute la ligne des fréquences cumulées croissantes. Combien de jours la température maximale est-elle restée inférieure à 24 °C ? Quelle part du mois cela représente-t-il ?
e) Le protocole « fortes chaleurs » de l'établissement se déclenche dès que la température maximale atteint ou dépasse 30 °C. Combien de jours a-t-il été déclenché en juin ? Quelle fréquence cela représente-t-il ?
f) Construis l'histogramme des effectifs dans le repère vierge ci-dessous.
Repère vierge à compléter — un carreau vertical vaut 2 jours
g) Le professeur de sciences pose une tout autre question : la chaleur s'est-elle installée progressivement au fil du mois, ou par à-coups ? Reprends les 30 relevés dans l'ordre des jours et réponds-lui en deux ou trois phrases : repère la plus forte hausse, la plus forte baisse, et dis à quel moment du mois se situent les journées les plus chaudes. Indique enfin quelle représentation graphique tu joindrais à ta réponse.
a) La température est une grandeur continue : elle peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle. Ici, les 30 relevés sont tous différents les uns des autres. Un tableau valeur par valeur aurait donc 30 colonnes ayant chacune l'effectif 1 : il serait aussi long que la liste de départ et n'apprendrait rien. Pour des données continues, on regroupe les valeurs en classes (des intervalles), et c'est l'effectif de chaque classe que l'on compte.
b)Découpage 1 (deux classes de 9 °C) : beaucoup trop grossier. On saurait seulement combien de jours sont « sous 24 °C » et combien sont « au-dessus » ; toute la forme de la répartition — la présence d'un pic, l'existence de quelques jours très chauds — serait effacée. Découpage 2 (dix-huit classes de 1 °C) : beaucoup trop fin. Avec 30 données pour 18 classes, chaque classe aurait 0, 1 ou 2 jours : l'histogramme serait un peigne irrégulier où l'on ne verrait plus aucune tendance. On ne ferait que redessiner le hasard des relevés.
Le bon compromis, avec 30 données, est un découpage en 5 à 8 classes de même amplitude : d'où les six classes de 3 °C retenues. L'amplitude constante est importante — elle permet de comparer directement les hauteurs des barres.
c) Dépouillement classe par classe (borne de gauche incluse, borne de droite exclue) :
Vérifications : \(3+6+9+6+4+2=\mathbf{30}\) jours ✔ et \(10{,}0+20{,}0+30{,}0+20{,}0+13{,}3+6{,}7=\mathbf{100{,}0\,\%}\) ✔
Détail de deux fréquences : \(\dfrac{4}{30}\approx0{,}133=13{,}3\,\%\) et \(\dfrac{2}{30}\approx0{,}067=6{,}7\,\%\).
d) Fréquences cumulées croissantes : \(10{,}0\,\%\) ; \(30{,}0\,\%\) ; \(60{,}0\,\%\) ; \(80{,}0\,\%\) ; \(93{,}3\,\%\) ; \(100{,}0\,\%\).
« Inférieure à 24 °C » correspond aux trois premières classes : \(3+6+9=\mathbf{18}\) jours, soit \(\dfrac{18}{30}=0{,}60=\mathbf{60\,\%}\) du mois. C'est exactement la FCC de la classe \([21\,;\,24[\) ✔
e) « Atteindre ou dépasser 30 °C » correspond à la dernière classe \([30\,;\,33[\), qui contient les relevés 30,6 et 31,8 : le protocole a été déclenché 2 jours, soit \(\dfrac{2}{30}\approx0{,}067=\mathbf{6{,}7\,\%}\) des jours du mois — environ un jour sur quinze. Remarque : la question tombe juste parce que 30 est une borne de classe, et que cette borne est incluse dans \([30\,;\,33[\). Si le seuil avait été 29 °C, la classe \([27\,;\,30[\) n'aurait pas suffi : il aurait fallu revenir à la liste des relevés. Un regroupement en classes fait toujours perdre le détail des valeurs.
f) Histogramme : six barres accolées, chacune large de 3 °C, de hauteurs 3, 6, 9, 6, 4 et 2 jours. Sur le repère proposé, un carreau vertical valant 2 jours, cela donne des barres de 1,5 ; 3 ; 4,5 ; 3 ; 2 et 1 carreau. La forme obtenue est une « bosse » centrée sur la classe \([21\,;\,24[\), qui redescend plus lentement vers la droite : quelques journées chaudes isolées étirent la série vers le haut.
g) En relisant les relevés dans l'ordre des jours :
du 1er au 10, la température monte presque sans interruption, de 15,8 °C à 28,9 °C, soit +13,1 °C en neuf jours ;
du 10 au 13, tout retombe : 28,9 → 23,4 → 20,8 → 17,2 °C, soit −11,7 °C en trois jours — la plus forte baisse du mois est celle du 10 au 11 (\(23{,}4-28{,}9=-5{,}5\) °C) ;
du 14 au 25, la température oscille entre 18 et 26 °C sans direction nette ;
du 26 au 29, elle remonte franchement jusqu'à 31,8 °C le 29, maximum du mois, avant de redescendre à 29,5 °C le 30.
Réponse au professeur de sciences : non, la chaleur ne s'est pas installée progressivement. Le mois s'est déroulé en deux épisodes chauds séparés par un net coup de fraîcheur vers le 13. En revanche les journées les plus chaudes sont bien concentrées en fin de mois : les deux jours du protocole « fortes chaleurs » (30,6 °C et 31,8 °C) sont les 28 et 29, deux jours consécutifs, ce que la question e) ne pouvait pas dire.
La représentation à joindre est un diagramme à lignes brisées : numéro du jour en abscisse, température maximale en ordonnée. Elle utilise l'ordre des jours, que le regroupement en classes de la question f) avait effacé.
Six classes de 3 °C donnent les effectifs 3 ; 6 ; 9 ; 6 ; 4 ; 2 (total 30 ✔). 60 % des jours sont restés sous 24 °C et le protocole « fortes chaleurs » s'est déclenché 2 jours (6,7 %), les 28 et 29. Dans l'ordre des jours, le mois s'est déroulé en deux épisodes chauds séparés par un coup de fraîcheur vers le 13, les journées les plus chaudes arrivant en fin de mois.
Bilan des compétences travaillées
Compétence
Exercices
Lire et construire un tableau statistique (effectifs, fréquences)