Seconde Bac Pro MAMA | Calcul numérique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 13 mai 2026
Objectifs du chapitre :
Reconnaître une situation de proportionnalité
Calculer un coefficient de proportionnalité
Appliquer la règle de trois
Calculer un pourcentage, une augmentation ou une diminution
1. Introduction — Dans les métiers de la menuiserie
Situation professionnelle — Métreur en menuiserie
Situation 1 — Proportionnalité : Un métreur prépare un devis pour l'installation d'une cuisine équipée.
La pièce fait 14 m² au total et la zone de plan de travail à équiper représente 9 m².
Quelle proportion de la surface totale est concernée par les travaux ?
Situation 2 — Remise commerciale : Son fournisseur de quincaillerie lui propose une remise de 15%
sur un lot de charnières et coulisses dont le prix catalogue HT est 240 €. Il doit calculer le prix réel à payer.
Ces deux situations utilisent les mêmes outils mathématiques : la proportionnalité et les pourcentages.
Ce chapitre vous donne toutes les clés pour maîtriser ces calculs en situation professionnelle.
2. Notions essentielles — Proportionnalité
Définition — Deux grandeurs proportionnelles :
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que :
\[y = k \times x\]
Le réel \(k\) s'appelle le coefficient de proportionnalité.
On calcule \(k\) par : \(\displaystyle k = \frac{y}{x}\)
Exemple professionnel : Un tuyau coûte 3,50 €/mètre. Si \(x\) = longueur (m) et \(y\) = prix (€), alors \(y = 3{,}50 \times x\). Le coefficient est \(k = 3{,}50\,\text{€}/\text{m}\).
Propriétés — Tableau de proportionnalité :
Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par le même coefficient \(k\).
\(x\) (quantité)
1
2
3
5
n
\(y\) (prix en €)
3,50
7,00
10,50
17,50
\(3{,}50 \times n\)
Produits croisés : Dans un tableau de proportionnalité, les produits croisés sont égaux :
\[\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 \times y_2 = x_2 \times y_1\]
Méthode — Trois façons de travailler avec la proportionnalité :
1
Calculer le coefficient : \(k = \dfrac{y}{x}\) — diviser une valeur de \(y\) par la valeur de \(x\) correspondante.
2
Vérifier la proportionnalité : Calculer \(\dfrac{y_1}{x_1}\), \(\dfrac{y_2}{x_2}\), \(\dfrac{y_3}{x_3}\) — si tous égaux, c'est proportionnel.
3
Règle de trois : Si \(x_1 \to y_1\) et on cherche \(y_2\) pour \(x_2\), alors \(y_2 = \dfrac{x_2 \times y_1}{x_1}\).
Attention — Erreurs fréquentes :
Confusion proportionnalité / linéarité : \(y = kx\) est proportionnel (passe par l'origine).
Mais \(y = kx + b\) (avec \(b \neq 0\)) est affine, pas proportionnel — même si le graphique est une droite.
Exemple : Un menuisier facture 50 € de déplacement + 40 €/heure. Le coût total n'est PAS proportionnel au temps : \(C = 40t + 50\). Si on double le temps, on ne double pas le coût.
Sur les pourcentages : "Augmenter de 20% puis diminuer de 20%" ne redonne pas la valeur initiale ! \(100 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 96\), pas \(100\).
Application — Règle de trois
Un menuisier pose 8 mètres de lambris en 45 minutes. En supposant qu'il travaille à la même vitesse, combien de temps lui faudra-t-il pour poser 20 mètres ?
Les grandeurs sont proportionnelles (même vitesse de pose).
Longueur (m)
Temps (min)
8
45
20
?
Règle de trois :
\[t = \frac{20 \times 45}{8} = \frac{900}{8} = 112{,}5\,\text{min}\]
Soit 1 h 52 min 30 s (ou 112,5 minutes).
Vérification : \(k = 45/8 = 5{,}625\,\text{min/m}\). Pour 20 m : \(20 \times 5{,}625 = 112{,}5\,\text{min}\). Correct.
Application — Vérifier la proportionnalité
Un technicien relève les consommations de gaz d'une chaudière selon l'heure de fonctionnement :
Durée (h)
2
5
8
10
Conso (m³)
1,8
4,5
7,0
9,0
Cette relation est-elle proportionnelle ? Justifier.
On calcule le rapport \(k = \text{conso}/\text{durée}\) pour chaque colonne :
Le rapport n'est pas constant (la valeur pour 8 h est différente). La relation n'est PAS proportionnelle — il y a probablement une erreur de relevé pour la mesure à 8 h, ou un fonctionnement en mode différent.
Illustration — Tableau de proportionnalité
Chaque colonne est obtenue en multipliant la longueur par k = 3,50
3. Graphique — Relation de proportionnalité
Une relation proportionnelle donne toujours une droite passant par l'origine dans un repère.
Ci-dessous : prix d'une pièce selon la quantité commandée (k = 12,50 €/pièce).
À retenir — Lecture graphique :
La droite passe par l'origine (0 ; 0) — c'est la caractéristique d'une relation proportionnelle.
La pente de la droite est le coefficient de proportionnalité \(k\).
Si la courbe ne passe pas par l'origine, la relation n'est pas proportionnelle.
4. Animation interactive — Visualiser y = k × x
Modifiez la valeur de \(x\) et le coefficient \(k\) pour voir comment \(y = k \times x\) évolue.
5. Pourcentages
5.1 Formules fondamentales
Calculer x% de A
\(A \times \dfrac{x}{100}\)
Augmentation de t%
\(\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\)
Réduction de t%
\(\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)\)
Taux d'évolution
\(\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100\)
Définition — Pourcentage :
Exprimer une partie comme un pourcentage du tout :
\[\text{Pourcentage} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100\]
Exemple : 15 m² sur 60 m² représente \(\dfrac{15}{60} \times 100 = 25\%\) de la surface totale.
5.2 Augmentation et réduction
Propriété — Coefficient multiplicateur :
Pour appliquer une variation de \(t\%\), on multiplie par le coefficient multiplicateur :
Augmentation de t% : multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\)
(ex : +20% → multiplier par 1,20)
Réduction de t% : multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\)
(ex : −15% → multiplier par 0,85)
Cette méthode est plus rapide que de calculer le montant de la variation séparément.
Méthode — Calculer le pourcentage d'évolution :
1
Identifier la valeur initiale \(V_i\) et la valeur finale \(V_f\).
2
Calculer la variation absolue : \(\Delta V = V_f - V_i\)
Un technicien facturait ses interventions 58 €/h en 2024. En 2026, il facture 67 €/h.
Quel est le taux d'augmentation ?
\[t = \frac{67 - 58}{58} \times 100 = \frac{9}{58} \times 100 \approx \mathbf{15{,}5\%}\]
Son tarif a augmenté d'environ 15,5% en deux ans.
Attention — Les pourcentages ne s'additionnent pas directement !
Une remise de 10%, puis une nouvelle remise de 5% ne font pas 15%.
Le calcul correct : \(1{,}00 \times 0{,}90 \times 0{,}95 = 0{,}855\), soit une réduction globale de 14,5% seulement.
De même : +20% puis −20% ≠ 0% → \(1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96\), soit une perte de 4%.
Application — Remise + TVA
Un technicien commande une pompe de circulation dont le prix catalogue est 126 € HT. Il bénéficie d'une remise professionnelle de 12%, puis la TVA à 20% s'applique.
Calculer le prix HT après remise.
Calculer le montant TTC.
Quel est le taux global de variation entre le prix catalogue HT et le prix TTC final ?
3. Taux de variation global :
\[t = \frac{133{,}06 - 126}{126} \times 100 \approx 5{,}6\%\]
Hausse globale d'environ 5,6% — on enlève 12% puis on ajoute 20%, le résultat net est une légère hausse.
Vérification : \(0{,}88 \times 1{,}20 = 1{,}056\) → +5,6%. Correct.
6. Exemples professionnels détaillés
Exemple 1 — Règle de trois : découpe de plinthes
Un menuisier découpe des plinthes. Il peut découper 12 plinthes en 18 minutes.
Combien de temps lui faudra-t-il pour découper 27 plinthes ?
Plinthes
Temps (min)
12
18
27
?
1
On identifie les données : \(x_1 = 12\,\text{plinthes}\), \(y_1 = 18\,\text{min}\), \(x_2 = 27\,\text{plinthes}\), \(y_2 = ?\)
2
On applique la règle de trois (produits croisés) :
\[y_2 = \frac{x_2 \times y_1}{x_1} = \frac{27 \times 18}{12} = \frac{486}{12} = \mathbf{40{,}5\,\text{min}}\]
3
Réponse : Il lui faudra 40,5 minutes (soit 40 min 30 s) pour découper 27 plinthes.
Un technicien commande une vanne motorisée dont le prix catalogue HT est 84,00 €.
Le fournisseur accorde une remise de 15% pour les professionnels. Calculer le prix remisé HT.
1
Identifier le coefficient multiplicateur : remise de 15% → \(1 - \dfrac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\)
2
Calculer le prix remisé :
\[\text{Prix remisé} = 84{,}00 \times 0{,}85 = 71{,}40\,\text{€}\]
3
Vérification : montant de la remise = \(84 \times 0{,}15 = 12{,}60\,\text{€}\). Et \(84 - 12{,}60 = 71{,}40\,\text{€}\). Correct.
Réponse : Le prix remisé HT est 71,40 €.
Exemple 3 — Calcul de la TVA et montant TTC
Après remise (71,40 € HT), le technicien doit calculer le montant TTC (TVA 20%) à facturer au client.
Attention : les pourcentages ne s'additionnent pas — on multiplie les coefficients.
8. Compléments — Proportionnalité dans les métiers techniques
8.1 Échelles et plans
Définition — Échelle :
Un plan ou une carte est dessiné à l'échelle \(e\). Si l'échelle est \(\dfrac{1}{n}\), alors :
\[\text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times n\]
\[\text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{n}\]
Exemple : À l'échelle 1/50, 1 cm sur le plan représente 50 cm = 0,50 m en réalité.
Un couloir de 6 m réel mesure \(6\,\text{m} / 50 = 0{,}12\,\text{m} = 12\,\text{cm}\) sur le plan.
Application — Plan d'agencement d'une chambre
Un menuisier agenceur dispose d'un plan de chambre à l'échelle 1/50. Sur le plan, la distance entre le mur
et l'emplacement de l'armoire est mesurée à 8,5 cm. Quelle est la longueur réelle disponible ?
1
Échelle : \(\dfrac{1}{50}\) donc 1 cm sur le plan = 50 cm = 0,50 m en réalité.
L'espace disponible est 4,25 m — le menuisier peut y placer une armoire de 4 m de large avec 12,5 cm d'espace.
8.2 Mélanges et proportions
Méthode — Proportions dans un mélange :
En menuiserie, on prépare des mélanges (vernis + diluant, teinte + base, colle + durcisseur).
Si on doit préparer un mélange à 25% de durcisseur pour un volume total de 400 mL :
\[\text{Volume de durcisseur} = 400 \times \frac{25}{100} = 400 \times 0{,}25 = 100\,\text{mL}\]
\[\text{Volume de résine} = 400 - 100 = 300\,\text{mL}\]
La relation entre le volume de durcisseur et le volume total est proportionnelle : \(V_D = 0{,}25 \times V_{\text{total}}\).
Exemple — Préparation d'une teinte de finition
Un menuisier doit préparer 600 mL d'une teinte de finition pour bois composée à
30% de pigment coloré et 70% de base transparente.
Combien de millilitres de pigment faut-il mesurer ?