passer d'une fraction à une écriture décimale, puis en pourcentage.
Objectifs du chapitre :
Reconnaître une situation de proportionnalité
Calculer un coefficient de proportionnalité
Appliquer la règle de trois
Calculer un pourcentage, une augmentation ou une diminution
Enchaîner plusieurs évolutions : coefficient global et taux global
Retrouver une valeur initiale à partir de la valeur finale et du taux
1. Introduction — Sur le chantier et à l'atelier
Situation professionnelle — Métreur
Situation 1 — Proportionnalité : Un métreur prépare un devis pour l'installation d'une cuisine équipée.
La pièce fait 14 m² au total et la zone à équiper en meubles représente 9 m².
Quelle proportion de la surface totale est concernée par les travaux ?
Situation 2 — Remise commerciale : Son fournisseur de quincaillerie lui propose une remise de 15%
sur un lot de charnières et coulisses dont le prix catalogue HT est 240 €. Il doit calculer le prix réel à payer.
Ces deux situations utilisent les mêmes outils mathématiques : la proportionnalité et les pourcentages.
Ce chapitre vous donne toutes les clés pour maîtriser ces calculs en situation professionnelle.
2. Notions essentielles — Proportionnalité
Définition — Deux grandeurs proportionnelles :
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que :
\[y = k \times x\]
Le réel \(k\) s'appelle le coefficient de proportionnalité.
On calcule \(k\) par : \(\displaystyle k = \frac{y}{x}\)
Exemple professionnel : Un tuyau coûte 3,50 €/mètre. Si \(x\) = longueur (m) et \(y\) = prix (€), alors \(y = 3{,}50 \times x\). Le coefficient est \(k = 3{,}50\,\text{€}/\text{m}\).
Propriétés — Tableau de proportionnalité :
Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par le même coefficient \(k\).
\(x\) (quantité)
1
2
3
5
n
\(y\) (prix en €)
3,50
7,00
10,50
17,50
\(3{,}50 \times n\)
Produits croisés : Dans un tableau de proportionnalité, les produits croisés sont égaux :
\[\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 \times y_2 = x_2 \times y_1\]
Méthode — Trois façons de travailler avec la proportionnalité :
1
Calculer le coefficient : \(k = \dfrac{y}{x}\) — diviser une valeur de \(y\) par la valeur de \(x\) correspondante.
2
Vérifier la proportionnalité : Calculer \(\dfrac{y_1}{x_1}\), \(\dfrac{y_2}{x_2}\), \(\dfrac{y_3}{x_3}\) — si tous égaux, c'est proportionnel.
3
Règle de trois : Si \(x_1 \to y_1\) et on cherche \(y_2\) pour \(x_2\), alors \(y_2 = \dfrac{x_2 \times y_1}{x_1}\).
Attention — Erreurs fréquentes :
Confusion proportionnalité / fonction affine : \(y = kx\) est proportionnel (passe par l'origine).
Mais \(y = kx + b\) (avec \(b \neq 0\)) est affine, pas proportionnel — même si le graphique est une droite.
Exemple : Un plombier chauffagiste facture 50 € de déplacement + 40 €/heure. Le coût total n'est PAS proportionnel au temps : \(C = 40t + 50\). Si on double le temps, on ne double pas le coût.
Sur les pourcentages : "Augmenter de 20% puis diminuer de 20%" ne redonne pas la valeur initiale ! \(100 \times 1{,}20 \times 0{,}80 = 96\), pas \(100\).
Application — Règle de trois
Un électricien pose 8 mètres de goulotte de câblage en 45 minutes. En supposant qu'il travaille à la même vitesse, combien de temps lui faudra-t-il pour poser 20 mètres ?
Les grandeurs sont proportionnelles (même vitesse de pose).
Longueur (m)
Temps (min)
8
45
20
?
Règle de trois :
\[t = \frac{20 \times 45}{8} = \frac{900}{8} = 112{,}5\,\text{min}\]
Soit 1 h 52 min 30 s (ou 112,5 minutes).
Vérification : \(k = 45/8 = 5{,}625\,\text{min/m}\). Pour 20 m : \(20 \times 5{,}625 = 112{,}5\,\text{min}\). Correct.
Application — Vérifier la proportionnalité
Un technicien relève les consommations de gaz d'une chaudière selon l'heure de fonctionnement :
Durée (h)
2
5
8
10
Conso (m³)
1,8
4,5
7,0
9,0
Cette relation est-elle proportionnelle ? Justifier.
On calcule le rapport \(k = \text{conso}/\text{durée}\) pour chaque colonne :
Le rapport n'est pas constant (la valeur pour 8 h est différente). La relation n'est PAS proportionnelle — il y a probablement une erreur de relevé pour la mesure à 8 h, ou un fonctionnement en mode différent.
Illustration — Tableau de proportionnalité
Chaque colonne est obtenue en multipliant la longueur par k = 3,50
3. Graphique — Relation de proportionnalité
Une relation proportionnelle donne toujours une droite passant par l'origine dans un repère.
Ci-dessous : prix d'une pièce selon la quantité commandée (k = 12,50 €/pièce).
À retenir — Lecture graphique :
La droite passe par l'origine (0 ; 0) — c'est la caractéristique d'une relation proportionnelle.
La pente de la droite est le coefficient de proportionnalité \(k\).
Si la courbe ne passe pas par l'origine, la relation n'est pas proportionnelle.
4. Animation interactive — Visualiser y = k × x
Modifiez la valeur de \(x\) et le coefficient \(k\) pour voir comment \(y = k \times x\) évolue.
5. Pourcentages
5.1 Formules fondamentales
Calculer x% de A
\(A \times \dfrac{x}{100}\)
Augmentation de t%
\(\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\)
Réduction de t%
\(\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)\)
Taux d'évolution
\(\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100\)
Définition — Pourcentage :
Exprimer une partie comme un pourcentage du tout :
\[\text{Pourcentage} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100\]
Exemple : 15 m² sur 60 m² représente \(\dfrac{15}{60} \times 100 = 25\%\) de la surface totale.
Application — Calculer un pourcentage
Un maçon reçoit une livraison de 350 sacs de ciment. À la réception, 8 % des sacs sont abîmés et refusés. Combien de sacs sont refusés ? Combien reste-t-il de sacs utilisables ?
Un technicien facturait ses interventions 58 €/h en 2024. En 2026, il facture 67 €/h.
Quel est le taux d'augmentation ?
\[t = \frac{67 - 58}{58} \times 100 = \frac{9}{58} \times 100 \approx \mathbf{15{,}5\%}\]
Son tarif a augmenté d'environ 15,5% en deux ans.
Attention — Les pourcentages ne s'additionnent pas directement !
Une remise de 10%, puis une nouvelle remise de 5% ne font pas 15%.
Le calcul correct : \(1{,}00 \times 0{,}90 \times 0{,}95 = 0{,}855\), soit une réduction globale de 14,5% seulement.
De même : +20% puis −20% ≠ 0% → \(1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96\), soit une perte de 4%.
Application — Remise + TVA
Un technicien commande une pompe de circulation dont le prix catalogue est 126 € HT. Il bénéficie d'une remise professionnelle de 12%, puis la TVA à 20% s'applique.
Calculer le prix HT après remise.
Calculer le montant TTC.
Quel est le taux global de variation entre le prix catalogue HT et le prix TTC final ?
3. Taux de variation global :
\[t = \frac{133{,}06 - 126}{126} \times 100 \approx 5{,}6\%\]
Hausse globale d'environ 5,6% — on enlève 12% puis on ajoute 20%, le résultat net est une légère hausse.
Vérification : \(0{,}88 \times 1{,}20 = 1{,}056\) → +5,6%. Correct.
5.4 Évolutions successives — coefficient global et taux global
Dans la vraie vie, les variations s'enchaînent : une remise puis une seconde remise, une hausse puis une autre hausse, une remise puis la TVA. Chaque variation s'applique au montant déjà transformé par la précédente — c'est pour cela que les taux ne s'additionnent pas.
Propriété — Coefficient global :
Quand plusieurs évolutions se succèdent, on multiplie leurs coefficients multiplicateurs :
\[C_{\text{global}} = C_1 \times C_2 \times \cdots \times C_n\]
Exemple : une hausse de 4 % puis une hausse de 7 % donnent \(C_{\text{global}} = 1{,}04 \times 1{,}07 = 1{,}1128\).
Du coefficient global au taux global
\[t = (C_{\text{global}} - 1) \times 100\]
Pour une baisse, on peut aussi écrire directement le taux de réduction : \((1 - C_{\text{global}}) \times 100\).
Méthode — Trouver le taux global de plusieurs évolutions :
1
Écrire le coefficient multiplicateur de chaque évolution : \(1 + \frac{t}{100}\) pour une hausse, \(1 - \frac{t}{100}\) pour une baisse.
2
Les multiplier entre eux : c'est le coefficient global \(C_{\text{global}}\).
3
En déduire le taux global : \(t = (C_{\text{global}} - 1) \times 100\).
4
Conclure : \(C_{\text{global}} > 1\) → hausse globale ; \(C_{\text{global}} < 1\) → baisse globale ; \(C_{\text{global}} = 1\) → retour à la valeur de départ.
On n'a pas besoin de connaître le prix pour trouver le taux global : le coefficient suffit.
Deux évolutions de 20 % qui se compensent en apparence : le coefficient global 0,96 montre une perte réelle de 4 %.
Exemple — Soldes en deux démarques
Un magasin de bricolage applique une première démarque de 30 %, puis une seconde démarque de 20 % sur le prix déjà soldé. Quel est le taux de réduction global ?
Coefficient global : \(C_{\text{global}} = 0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56\).
3
Taux global : \(t = (0{,}56 - 1) \times 100 = -44\,\%\), soit une réduction globale de 44 % — et non 50 %.
Vérification sur un prix de 200 € : \(200 \times 0{,}70 = 140\,\text{€}\), puis \(140 \times 0{,}80 = 112\,\text{€}\).
Et \(\dfrac{112 - 200}{200} \times 100 = -44\,\%\). Correct.
5.5 Retrouver la valeur initiale
Propriété — Remonter à la valeur de départ :
Si la valeur finale \(V_f\) a été obtenue en multipliant par le coefficient \(C\), alors on revient à la valeur initiale en divisant par ce même coefficient :
\[V_f = V_i \times C \quad\Longleftrightarrow\quad V_i = \frac{V_f}{C}\]
On ne retire jamais le taux au prix final : après une remise de 20 %, on divise par 0,80 — on n'ajoute pas 20 %.
Attention — l'erreur classique : après une remise de 35 %, reprendre 35 % du prix payé ne redonne pas le prix initial.
Sur l'exemple ci-dessus : \(91 \times 1{,}35 = 122{,}85\,\text{€}\) et non 140 €. La bonne opération est bien la division par le coefficient.
Application — Taux d'évolution, taux global et prix de départ
Le tarif mensuel d'un abonnement à une salle de sport passe de 30 € à 34,50 €.
Calculer le taux d'évolution. S'agit-il d'une hausse ou d'une baisse ?
L'année suivante, la salle accorde une remise de 10 % sur ce nouveau tarif. Calculer le coefficient global sur les deux années, puis le taux global. Le tarif est-il revenu à son niveau de départ ?
Un adhérent paie 27,60 € après une réduction de 20 % réservée aux étudiants. Quel est le tarif avant réduction ?
1. \(t = \dfrac{34{,}50 - 30}{30} \times 100 = \dfrac{4{,}50}{30} \times 100 = \mathbf{15\,\%}\).
Le taux est positif : c'est une hausse de 15 %.
2. Coefficients : \(1 + 0{,}15 = 1{,}15\) puis \(1 - 0{,}10 = 0{,}90\).
\(C_{\text{global}} = 1{,}15 \times 0{,}90 = 1{,}035\)
\(t = (1{,}035 - 1) \times 100 = \mathbf{+3{,}5\,\%}\) Hausse globale de 3,5 % : le tarif n'est pas revenu à 30 €, il vaut \(30 \times 1{,}035 = 31{,}05\,\text{€}\).
3. Une réduction de 20 % correspond au coefficient \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\).
\(V_i = \dfrac{27{,}60}{0{,}80} = \mathbf{34{,}50\,\text{€}}\) — c'est bien le tarif de la question 1.
Vérification : \(34{,}50 \times 0{,}80 = 27{,}60\,\text{€}\). Correct.
6. Exemples professionnels détaillés
Exemple 1 — Règle de trois : découpe de plinthes
Un menuisier découpe des plinthes. Il peut découper 12 plinthes en 18 minutes.
Combien de temps lui faudra-t-il pour découper 27 plinthes ?
Plinthes
Temps (min)
12
18
27
?
1
On identifie les données : \(x_1 = 12\,\text{plinthes}\), \(y_1 = 18\,\text{min}\), \(x_2 = 27\,\text{plinthes}\), \(y_2 = ?\)
2
On applique la règle de trois (produits croisés) :
\[y_2 = \frac{x_2 \times y_1}{x_1} = \frac{27 \times 18}{12} = \frac{486}{12} = \mathbf{40{,}5\,\text{min}}\]
3
Réponse : Il lui faudra 40,5 minutes (soit 40 min 30 s) pour découper 27 plinthes.
Un technicien commande une vanne motorisée dont le prix catalogue HT est 84,00 €.
Le fournisseur accorde une remise de 15% pour les professionnels. Calculer le prix remisé HT.
1
Identifier le coefficient multiplicateur : remise de 15% → \(1 - \dfrac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\)
2
Calculer le prix remisé :
\[\text{Prix remisé} = 84{,}00 \times 0{,}85 = 71{,}40\,\text{€}\]
3
Vérification : montant de la remise = \(84 \times 0{,}15 = 12{,}60\,\text{€}\). Et \(84 - 12{,}60 = 71{,}40\,\text{€}\). Correct.
Réponse : Le prix remisé HT est 71,40 €.
Exemple 3 — Calcul de la TVA et montant TTC
Après remise (71,40 € HT), le technicien doit calculer le montant TTC (TVA 20%) à facturer au client.
Évolutions successives : \(C_{\text{global}} = C_1 \times C_2 \times \cdots\) — on multiplie les coefficients, jamais les taux.
Taux global : \(t = (C_{\text{global}} - 1) \times 100\) (pour une baisse, on peut écrire \((1 - C_{\text{global}}) \times 100\))
Retrouver la valeur initiale : \(V_i = \dfrac{V_f}{C}\) — on divise par le coefficient.
TVA 20% : TTC = HT × 1,20 | HT = TTC ÷ 1,20
Attention : les pourcentages ne s'additionnent pas — on multiplie les coefficients.
8. Compléments — Proportionnalité dans les métiers techniques
8.1 Échelles et plans
Définition — Échelle :
Un plan ou une carte est dessiné à l'échelle \(e\). Une échelle se note indifféremment
\(\dfrac{1}{n}\), 1/n ou 1:n — les trois écritures désignent la même chose
(on lit « 1 sur n »). Si l'échelle est \(\dfrac{1}{n}\), alors :
\[\text{Distance réelle} = \text{Distance sur le plan} \times n\]
\[\text{Distance sur le plan} = \frac{\text{Distance réelle}}{n}\]
Exemple : À l'échelle 1/50, 1 cm sur le plan représente 50 cm = 0,50 m en réalité.
Un couloir de 6 m réel mesure \(6\,\text{m} / 50 = 0{,}12\,\text{m} = 12\,\text{cm}\) sur le plan.
Échelle 1/50 : du plan à la réalité on multiplie par 50, de la réalité au plan on divise par 50.
Application — Lecture d'un plan de bâtiment
Un dessinateur en bâtiment dispose d'un plan de chambre à l'échelle 1/50. Sur le plan, la distance entre le mur
et l'emplacement de l'armoire est mesurée à 8,5 cm. Quelle est la longueur réelle disponible ?
1
Échelle : \(\dfrac{1}{50}\) donc 1 cm sur le plan = 50 cm = 0,50 m en réalité.
L'espace disponible est 4,25 m — on peut y placer une armoire de 4 m de large avec 25 cm d'espace.
Application — Lecture d'un plan à l'échelle
Sur un plan de meuble à l'échelle 1/25, un tiroir mesure 4,8 cm de large. Quelle est sa largeur réelle (en cm, puis en m) ?
À l'échelle 1/25 : 1 cm sur le plan représente 25 cm en réalité.
Largeur réelle : \(4{,}8 \times 25 = \mathbf{120\,\text{cm}} = \mathbf{1{,}20\,\text{m}}\).
8.2 Mélanges et proportions
Méthode — Proportions dans un mélange :
Dans de nombreux métiers, on prépare des mélanges (vernis + diluant, peinture + eau, colle + durcisseur, antigel + eau d'un circuit de chauffage).
Si on doit préparer un mélange à 25% de durcisseur pour un volume total de 400 mL :
\[\text{Volume de durcisseur} = 400 \times \frac{25}{100} = 400 \times 0{,}25 = 100\,\text{mL}\]
\[\text{Volume de résine} = 400 - 100 = 300\,\text{mL}\]
La relation entre le volume de durcisseur et le volume total est proportionnelle : \(V_D = 0{,}25 \times V_{\text{total}}\).
Exemple — Préparation d'une teinte de finition
Un menuisier doit préparer 600 mL d'une teinte de finition pour bois composée à
30% de pigment coloré et 70% de base transparente.
Combien de millilitres de pigment faut-il mesurer ?