Contexte : Un technicien chauffagiste compare deux systèmes de chauffage pour un logement.
Le système A (pompe à chaleur) a un coût annuel modélisé par la fonction \(f\) et le
système B (chaudière gaz) par la fonction \(g\), en fonction du nombre d'années d'utilisation \(x\).
Il veut savoir : à partir de quand le système A devient-il plus économique que le système B ?
Mathématiquement, il cherche quand \(f(x) = g(x)\) (les coûts sont égaux) et quand \(f(x) \leq g(x)\) (le système A est moins cher).
C'est exactement ce que nous allons apprendre à résoudre graphiquement.
2. Rappels de seconde — Lecture graphique
Définition — Courbe représentative d'une fonction :
La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points de coordonnées \(\bigl(x\,;\,f(x)\bigr)\) dans un repère du plan.
Dire que le point \(A(a\,;\,b)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\) signifie que \(f(a) = b\).
Propriété — Lectures graphiques fondamentales :
À partir de la courbe \(\mathcal{C}_f\) :
Image : pour trouver \(f(a)\), on part de \(x = a\) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
Antécédent : pour résoudre \(f(x) = b\), on part de \(y = b\) sur l'axe des ordonnées, on trace une horizontale : les abscisses des points d'intersection sont les solutions.
Résolution graphique de \(f(x) = 2\) : on lit les abscisses des points d'intersection
3. Résolution graphique d'une équation \(f(x) = g(x)\)
Définition — Équation \(f(x) = g(x)\) :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un même intervalle \(I\).
Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) sur \(I\), c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) dans \(I\) telles que \(f(x)\) et \(g(x)\) prennent la même valeur.
Tracer (ou identifier) les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) dans un même repère.
2
Repérer les points d'intersection des deux courbes.
3
Lire les abscisses de ces points d'intersection : ce sont les solutions.
Propriété :
Les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
Application
Un menuisier compare le coût de revient de deux types de panneaux. La courbe \(\mathcal{C}_f\) représente le coût du panneau A et \(\mathcal{C}_g\) celui du panneau B (en fonction de la surface \(x\) en m²). D'après le graphique, les deux courbes se croisent en \(x = 3\) et \(x = 7\).
Quelles sont les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\) ? Interpréter dans le contexte.
Les solutions sont \(x = 3\) m² et \(x = 7\) m². Ce sont les surfaces pour lesquelles les deux panneaux ont le même coût de revient.
Visualisation interactive — Résolution de f(x) = g(x)
Le graphique ci-dessous montre deux courbes : \(f(x) = x^2 - 2\) (parabole bleue) et \(g(x) = x + k\) (droite orange). Déplacez le curseur pour modifier la valeur de \(k\) et observer comment les points d'intersection (solutions de \(f(x) = g(x)\)) changent.
k = 0
Déplacez le curseur pour voir comment le nombre de solutions varie : 0, 1 ou 2 points d'intersection.
L'équation \(f(x) = g(x)\) admet deux solutions : \(x_1 \approx 1{,}3\) et \(x_2 \approx 4{,}2\)
Attention — Précision de la lecture graphique :
Les solutions lues graphiquement sont des valeurs approchées. Leur précision dépend de l'échelle du graphique.
Ne pas oublier de préciser « environ » ou « ≈ » quand on donne une solution graphique.
Vérifier que les points d'intersection sont bien dans le domaine de définition commun des deux fonctions.
4. Cas particulier : \(f(x) = k\) (constante)
Propriété :
Résoudre \(f(x) = k\) (où \(k\) est un nombre réel constant) revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}_f\) avec la droite horizontale d'équation \(y = k\).
Exemple — Résolution de \(f(x) = 3\)
On considère la fonction \(f\) dont la courbe est donnée ci-dessous. On cherche les solutions de \(f(x) = 3\).
Méthode : on trace la droite \(y = 3\) et on lit les abscisses des intersections.
D'après le graphique de la section 2, on obtient deux solutions.
Conclusion : l'équation \(f(x) = 3\) admet deux solutions : \(x_1 \approx 0{,}5\) et \(x_2 \approx 3{,}5\).
À retenir — Nombre de solutions
L'équation \(f(x) = k\) peut avoir :
Aucune solution : la droite \(y = k\) ne coupe pas la courbe
Une solution : la droite est tangente à la courbe (ou la coupe en un seul point)
Plusieurs solutions : la droite coupe la courbe en plusieurs points
Application
La courbe d'une fonction \(f\) coupe la droite \(y = 5\) en deux points d'abscisses \(x = 1\) et \(x = 4\). La courbe coupe la droite \(y = 8\) en un seul point d'abscisse \(x = 2{,}5\). Quel est le nombre de solutions de chacune des équations suivantes ?
1. \(f(x) = 5\) 2. \(f(x) = 8\) 3. \(f(x) = 10\) (la droite \(y=10\) ne coupe pas la courbe)
1. \(f(x) = 5\) admet deux solutions : \(x = 1\) et \(x = 4\).
3. \(f(x) = 10\) n'admet aucune solution : la droite ne coupe pas la courbe.
5. Résolution graphique d'inéquations
Définition — Inéquation \(f(x) \geq g(x)\) :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un même intervalle \(I\).
Résoudre l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\) sur \(I\), c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) dans \(I\) pour lesquelles la valeur de \(f(x)\) est supérieure ou égale à celle de \(g(x)\).
Tracer (ou identifier) les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) dans un même repère.
2
Repérer les zones où la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\).
3
Lire les intervalles de valeurs de \(x\) correspondant à ces zones. Les bornes sont les abscisses des points d'intersection.
Propriété :
\(f(x) \geq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus (ou confondue avec) la courbe \(\mathcal{C}_g\).
\(f(x) \leq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est en-dessous (ou confondue avec) la courbe \(\mathcal{C}_g\).
\(f(x) \geq g(x)\) sur les zones vertes : \(x \leq x_1\) ou \(x \geq x_2\)
Exemple — Situation du chauffagiste
Reprenons la situation d'introduction. Le coût du système A est \(f(x)\) et celui du système B est \(g(x)\).
D'après le graphique précédent :
\(f(x) = g(x)\) pour \(x_1 \approx 1{,}3\) et \(x_2 \approx 4{,}2\) (les coûts sont égaux après environ 1,3 et 4,2 ans)
\(f(x) \leq g(x)\) pour \(x_1 \leq x \leq x_2\), soit entre 1,3 et 4,2 ans (le système A est moins cher)
Conclusion : Le système A (pompe à chaleur) est plus économique entre la 2ème et la 4ème année d'utilisation environ.
6. Cas particulier : \(f(x) \geq k\)
Propriété :
Résoudre \(f(x) \geq k\) revient à chercher les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(y = k\).
Exemple — Quand la température dépasse un seuil
Un installateur thermique mesure la température \(T(t)\) dans un local au cours de la journée (en heures). Il veut savoir pendant combien de temps \(T(t) \geq 20\,°C\) (température de confort).
Graphiquement : on trace la droite \(y = 20\) et on lit l'intervalle de temps où la courbe est au-dessus.
Si la courbe coupe la droite \(y = 20\) en \(t_1 = 8\) h et \(t_2 = 18\) h, alors :
\(T(t) \geq 20\) pour \(t \in [8\,;\,18]\), soit 10 heures de confort thermique.
Attention — Inéquations strictes et larges :
\(f(x) \geq g(x)\) : la courbe de \(f\) est au-dessus ou confondue (les bornes sont incluses → crochets fermés \([\,]\))
\(f(x) > g(x)\) : la courbe de \(f\) est strictement au-dessus (les bornes sont exclues → crochets ouverts \(]\,[)\))
Application
Un métreur compare les coûts \(f(x)\) (pose A) et \(g(x)\) (pose B) de deux prestations en fonction de la surface \(x\) en m². D'après le graphique, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \([0\,;\,5]\), les deux courbes se croisent en \(x = 5\), puis \(\mathcal{C}_f\) est en dessous sur \([5\,;\,12]\).
Pour quelles valeurs de \(x\) la prestation A est-elle moins chère que la prestation B ?
\(f(x) < g(x)\) (prestation A moins chère) lorsque \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\), c'est-à-dire pour \(x \in ]5\,;\,12]\).
La prestation A devient avantageuse à partir de 5 m² de surface.
7. Tableau récapitulatif des positions relatives
Position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(\mathcal{C}_g\)
Traduction algébrique
\(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\)
\(f(x) \geq g(x)\)
\(\mathcal{C}_f\) est en-dessous de \(\mathcal{C}_g\)
\(f(x) \leq g(x)\)
\(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) se coupent
\(f(x) = g(x)\)
8. Algorithme de balayage
Définition — Algorithme de balayage :
L'algorithme de balayage (ou algorithme par scanning) est une méthode qui consiste à tester des valeurs successives de \(x\) pour trouver une approximation d'une solution de \(f(x) = g(x)\).
On « balaye » l'intervalle par pas réguliers, et on repère le changement de signe de \(f(x) - g(x)\).
Méthode — Balayage pas à pas :
1
Choisir un intervalle \([a\,;\,b]\) et un pas \(p\).
Quand \(h(x)\) change de signe entre deux valeurs consécutives \(x_k\) et \(x_{k+1}\), la solution est entre \(x_k\) et \(x_{k+1}\).
4
Pour plus de précision, recommencer avec un pas plus petit dans l'intervalle trouvé.
Exemple — Balayage sur \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 3x - 1\)
On cherche une solution de \(x^2 = 3x - 1\), soit \(h(x) = x^2 - 3x + 1 = 0\).
Balayage sur \([0\,;\,1]\) avec un pas de \(0{,}1\) :
\(x\)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
\(h(x)\)
1
0,71
0,44
0,19
−0,04
−0,25
−0,44
\(h(x)\) change de signe entre \(x = 0{,}3\) (\(h > 0\)) et \(x = 0{,}4\) (\(h < 0\)).
Donc une solution se trouve dans \([0{,}3\,;\,0{,}4]\), soit \(x \approx 0{,}35\) à \(0{,}05\) près.
On peut affiner en recommençant avec un pas de 0,01 entre 0,3 et 0,4.
Propriété — Théorème des valeurs intermédiaires (admis) :
Si une fonction \(h\) est continue sur \([a\,;\,b]\) et si \(h(a)\) et \(h(b)\) sont de signes contraires, alors il existe au moins un réel \(c \in ]a\,;\,b[\) tel que \(h(c) = 0\).
C'est ce résultat qui justifie l'algorithme de balayage.
9. Exemples résolus complets
Exemple 1 — Résolution graphique complète
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([-2\,;\,5]\) par \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x + 1\).
Voici les valeurs dans un tableau :
\(x\)
−2
−1
0
1
2
3
4
5
\(f(x)\)
−12
−5
0
3
4
3
0
−5
\(g(x)\)
−1
0
1
2
3
4
5
6
a) Résoudre \(f(x) = g(x)\) :
On cherche les abscisses où \(f(x) = g(x)\), c'est-à-dire \(-x^2 + 4x = x + 1\).
D'après le tableau, \(f(0) < g(0)\) et \(f(1) > g(1)\) : il y a une solution entre 0 et 1. De même, \(f(2) > g(2)\) et \(f(3) < g(3)\) : il y a une solution entre 2 et 3.
Sur le graphique, on lit \(x \approx 0{,}4\) et \(x \approx 2{,}6\).
b) Résoudre \(f(x) \geq g(x)\) :
On cherche quand la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
D'après le tableau : pour \(x = 1\) et \(x = 2\), \(f(x) \geq g(x)\). Plus précisément : \(x \in [0{,}4\,;\,2{,}6]\) environ.
Exemple 2 — Contexte professionnel
Un menuisier agenceur fabrique des étagères sur-mesure. Le coût de production de \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 0{,}5x^2 + 10\) (en euros). Le revenu de la vente est \(R(x) = 8x\) (en euros).
a) Quand le menuisier est-il à l'équilibre ? (Quand \(C(x) = R(x)\))
Graphiquement, les courbes se coupent pour \(x \approx 1{,}4\) et \(x \approx 14{,}6\).
Comme \(x\) est un nombre entier d'étagères : l'équilibre est atteint à partir de 2 étagères.
b) Quand fait-il des bénéfices ? (Quand \(R(x) > C(x)\))
C'est quand la droite de revenu est au-dessus de la courbe de coût, soit pour \(x \in ]1{,}4\,;\,14{,}6[\).
Conclusion : Le menuisier fait des bénéfices en fabriquant entre 2 et 14 étagères.
10. Synthèse
À retenir
Équation
\(f(x) = g(x)\) → abscisses des points d'intersection
Inéquation
\(f(x) \geq g(x)\) → zone où \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\)
Cas particulier
\(f(x) = k\) → intersection avec la droite \(y = k\)
Balayage
Changement de signe → une solution entre deux valeurs testées
11. Erreurs fréquentes
❌
Lire l'ordonnée au lieu de l'abscisse
Pour résoudre \(f(x) = k\), on lit les abscisses des points d'intersection avec la droite \(y = k\), pas les ordonnées. Conseil : partir de la droite horizontale, aller jusqu'à la courbe, puis descendre sur l'axe des \(x\).
❌
Confondre « au-dessus » et « en dessous »
\(f(x) \geq g(x)\) signifie que \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\), pas en dessous. Conseil : relire l'inéquation en plaçant mentalement les courbes : « f supérieur à g » = f plus haut que g.
❌
Oublier d'inclure ou d'exclure les bornes
Pour \(f(x) \geq g(x)\) (inégalité large), les bornes sont incluses : crochets fermés. Pour \(f(x) > g(x)\) (inégalité stricte), les bornes sont exclues : crochets ouverts. Conseil : regarder si le signe est \(\geq\) ou \(>\) pour décider du type de crochet.
❌
Arrêter le balayage trop tôt
Lors d'un balayage, s'arrêter dès qu'on trouve un changement de signe, sans préciser l'encadrement obtenu, ne suffit pas. Conseil : donner l'encadrement complet de la solution : « la solution est comprise entre \(a\) et \(b\) avec un pas de ... ».