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Exercices – Chapitre 04 – Résolution graphique d'équations et d'inéquations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

Dernière mise à jour : 26 juillet 2026, 01:57

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Rappels essentiels

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Lecture graphique — Images et antécédents Socle

On considère la fonction \(f\) dont la courbe est donnée ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 𝒞f
  1. Lire graphiquement \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(5)\).
  2. Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\).
  3. Résoudre graphiquement \(f(x) = 0\).
  4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 3\) ?
  1. \(f(0) = 1\), \(f(2) = 5\), \(f(5) = 0\).
  2. On trace la droite \(y = 3\). Elle coupe la courbe en deux points d'abscisses \(x \approx 1\) et \(x \approx 3\). Les solutions sont \(x \approx 1\) et \(x \approx 3\).
  3. \(f(x) = 0\) lorsque la courbe coupe l'axe des abscisses. On lit \(x = 5\).
  4. \(f(x) \geq 3\) lorsque la courbe est au-dessus de la droite \(y = 3\), soit pour \(x \in [1\;;\;3]\) environ.
Exercice 1-2 Résolution graphique de \(f(x) = g(x)\) Socle

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\;;\;6]\). Voici leurs représentations graphiques.

x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 𝒞f 𝒞g
  1. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\).
  3. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) < g(x)\).
  1. Les courbes se coupent en deux points : \(x = 0\) et \(x = 5\). Les solutions sont \(x = 0\) et \(x = 5\).
  2. \(f(x) \geq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique : \(x \in [0\;;\;5]\).
  3. \(f(x) < g(x)\) lorsque \(\mathcal{C}_f\) est strictement en-dessous de \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique : \(x \in\;]5\;;\;6]\).
Exercice 1-3 Tableau de valeurs et balayage simple Socle

On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 3\) sur l'intervalle \([0\;;\;5]\).

  1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
    \(x\)012345
    \(f(x) = x^2\)
    \(g(x) = 2x+3\)
  2. D'après le tableau, entre quelles valeurs entières se trouvent les solutions de \(f(x) = g(x)\) ?
  3. Utiliser l'algorithme de balayage avec un pas de \(0{,}1\) pour approcher la solution dans l'intervalle \([2\;;\;4]\).
  1. Tableau complété :
    \(x\)012345
    \(f(x)\)01491625
    \(g(x)\)35791113
  2. On pose \(h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x - 3\).
    \(h(2) = 4 - 7 = -3 < 0\) et \(h(3) = 9 - 9 = 0\).
    Donc \(x = 3\) est une solution exacte. Par ailleurs, \(h(0) = -3\), \(h(-1) = 1 + 2 - 3 = 0\) donc l'autre solution est \(x = -1\) (hors intervalle).
  3. Le balayage confirme la solution en \(x = 3\) car \(h(3) = 0\) exactement. Aucune approximation n'est nécessaire ici.
Exercice 1-4 Comparaison de tarifs — Installateur thermique Socle

Un installateur thermique compare deux types de chaudières pour un client. Le coût annuel total (achat + entretien cumulé) de chaque système est modélisé par :

Aide :
  • Pour compléter le tableau, remplacez \(x\) par chaque valeur dans les formules. Par exemple : \(f(0) = 200 \times 0 + 2\,500 = \ldots\)
  • Pour résoudre \(f(x) = g(x)\), écrivez l'égalité \(200x + 2\,500 = 80x + 5\,000\), puis isolez \(x\) étape par étape.
  • Pour l'inéquation, comparez les valeurs du tableau : quand \(g(x)\) est-il plus petit que \(f(x)\) ?
  1. Compléter le tableau de valeurs pour \(x\) allant de 0 à 25 (par pas de 5).
    \(x\)0510152025
    \(f(x)\)2 500
    \(g(x)\)5 000
  2. Résoudre par le calcul l'équation \(f(x) = g(x)\). Interpréter le résultat.
    Indication : on obtient \(200x + 2\,500 = 80x + 5\,000\). Regroupez les termes en \(x\) d'un côté.
  3. Résoudre l'inéquation \(g(x) \leq f(x)\). Interpréter pour le client.
    Indication : dans le tableau, repérez à partir de quelle année \(g(x)\) devient inférieur à \(f(x)\).
  1. Tableau complété :
    \(x\)0510152025
    \(f(x)\)2 5003 5004 5005 5006 5007 500
    \(g(x)\)5 0005 4005 8006 2006 6007 000
  2. \(f(x) = g(x) \iff 200x + 2\,500 = 80x + 5\,000 \iff 120x = 2\,500 \iff x \approx 20{,}8\) ans.
    Les deux systèmes reviennent au même prix au bout d'environ 21 ans.
  3. \(g(x) \leq f(x) \iff 80x + 5\,000 \leq 200x + 2\,500 \iff 2\,500 \leq 120x \iff x \geq 20{,}8\).
    Aux rangs entiers, la pompe à chaleur devient plus économique à partir de la 21e année. Elle est alors la moins coûteuse selon ce modèle. Pour choisir réellement un système, il faudrait aussi connaître notamment sa durée de vie, les dépenses d'énergie, les aides et sa valeur de revente.
Exercice 1-5 Seuil de rentabilité — Atelier de menuiserie Socle

Un menuisier agenceur fabrique des étagères sur-mesure. Le coût de production de \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20\) (en euros) et la recette est \(R(x) = 12x\) (en euros), pour \(x \in [0\;;\;25]\).

Aide :
  • Pour \(C(2)\) : calculez \(0{,}5 \times 2^2 + 20 = 0{,}5 \times 4 + 20 = \ldots\)
  • Bénéfice = quand la recette dépasse le coût, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\). Comparez ligne par ligne dans le tableau.
  • Le seuil de rentabilité est la valeur de \(x\) pour laquelle \(R(x) = C(x)\).
  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(x\)02468101420
    \(C(x)\)20
    \(R(x)\)0
  2. Entre quelles valeurs de \(x\) l'artisan fait-il un bénéfice, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\) ?
    Indication : dans le tableau, repérez les colonnes où \(R(x)\) est plus grand que \(C(x)\).
  3. Utiliser le balayage (pas de 1) pour encadrer précisément les deux seuils de rentabilité.
    Indication : calculez \(h(x) = R(x) - C(x)\) pour \(x = 1, 2, 3, \ldots\) et repérez quand \(h(x)\) change de signe.
  4. Vérifier en résolvant \(0{,}5x^2 + 20 = 12x\).
    Indication : ramenez tout du même côté pour obtenir \(0{,}5x^2 - 12x + 20 = 0\), puis multipliez par 2.
  1. Tableau complété :
    \(x\)02468101420
    \(C(x)\)202228385270118220
    \(R(x)\)024487296120168240
  2. D'après le tableau, \(R(x) > C(x)\) pour \(x\) entre environ 2 et 20. L'artisan fait un bénéfice dans cette zone.
  3. On pose \(h(x) = R(x) - C(x) = 12x - 0{,}5x^2 - 20 = -0{,}5x^2 + 12x - 20\).
    \(h(1) = -0{,}5 + 12 - 20 = -8{,}5 < 0\) et \(h(2) = -2 + 24 - 20 = 2 > 0\) : premier seuil entre 1 et 2.
    \(h(21) = -220{,}5 + 252 - 20 = 11{,}5 > 0\) et \(h(22) = -242 + 264 - 20 = 2 > 0\), \(h(23) = -264{,}5 + 276 - 20 = -8{,}5 < 0\) : second seuil entre 22 et 23.
  4. \(0{,}5x^2 - 12x + 20 = 0\), soit \(x^2 - 24x + 40 = 0\).
    \(\Delta = 576 - 160 = 416\), \(\sqrt{\Delta} \approx 20{,}4\).
    \(x_1 = \dfrac{24 - 20{,}4}{2} \approx 1{,}8\) et \(x_2 = \dfrac{24 + 20{,}4}{2} \approx 22{,}2\).
    L'artisan est rentable pour \(x \in\;]1{,}8\;;\;22{,}2[\), soit en fabriquant entre 2 et 22 étagères.
Exercice 1-6 Algorithme de balayage Socle

On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 5x - 3\) dans l'intervalle \([0\;;\;5]\).

Aide — Méthode du balayage :
  • On pose \(h(x) = x^2 - 5x + 3\) (tout du même côté). Si \(h(x) = 0\), alors \(x\) est solution.
  • Calculez \(h(0) = 0^2 - 5 \times 0 + 3 = 3\). Faites pareil pour \(h(1)\), \(h(2)\), etc.
  • Quand \(h(x)\) passe du positif au négatif (ou inversement), il y a une solution entre les deux valeurs.
  1. Poser \(h(x) = x^2 - 5x + 3\). Calculer \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(2)\), \(h(3)\), \(h(4)\), \(h(5)\).
    Indication : \(h(0) = 3\) (c'est fait !). Calculez \(h(1) = 1 - 5 + 3 = \ldots\)
  2. Repérer les intervalles où \(h\) change de signe. Combien de solutions l'équation admet-elle dans \([0\;;\;5]\) ?
    Indication : cherchez où \(h\) passe de + à − ou de − à +.
  3. Affiner le balayage dans l'intervalle \([0\;;\;1]\) avec un pas de \(0{,}1\) pour approcher la première solution à \(0{,}1\) près.
    Indication : calculez \(h(0{,}1)\), \(h(0{,}2)\), … jusqu'à trouver un changement de signe.
  1. \(x\)012345
    \(h(x)\)3−1−3−3−13
  2. \(h\) change de signe entre \(x = 0\) et \(x = 1\) (de + à −) et entre \(x = 4\) et \(x = 5\) (de − à +). L'équation admet deux solutions.
  3. Balayage dans \([0\;;\;1]\) avec pas \(0{,}1\) :
    \(x\)0,50,60,70,8
    \(h(x)\)0,750,36−0,01−0,36
    \(h\) change de signe entre \(0{,}6\) et \(0{,}7\). La première solution est \(x \approx 0{,}7\) à \(0{,}1\) près.
    (La valeur exacte est \(x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \approx 0{,}697\).)

Exercices d'application

Exercice 2-1 Résolution graphique de \(f(x) = g(x)\) Standard

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([{-1}\;;\;5]\) dont les courbes représentatives sont tracées ci-dessous.

x y O −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 𝒞f 𝒞g

La courbe bleue représente \(f\) et la droite orange représente \(g\).

  1. Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.
  2. En déduire les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\).
  3. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\). Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  1. Les deux courbes se coupent en deux points : \(A(0\;;\;0)\) et \(B(4\;;\;4)\).
  2. Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection : \(x = 0\) et \(x = 4\).
  3. \(f(x) \geq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique, cela se produit pour \(x \in [{-1}\;;\;0] \cup [4\;;\;5]\).
    Sur l'intervalle \([0\;;\;4]\), c'est \(\mathcal{C}_g\) qui est au-dessus de \(\mathcal{C}_f\).
Exercice 2-2 Inéquation graphique et intervalle de solutions Standard

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\;;\;8]\) par \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\) et \(g(x) = x + 2\).

Voici le tableau de valeurs :

\(x\)012345678
\(f(x)\)03,567,587,563,50
\(g(x)\)2345678910
  1. D'après le tableau, pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) (approximativement) ?
  2. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq g(x)\) ? Donner l'intervalle de solutions.
  3. Vérifier par le calcul en résolvant \(f(x) = g(x)\).
  1. Le tableau ne donne pas les solutions décimales : il permet seulement de les localiser dans \(]0\;;\;1[\) et \(]5\;;\;6[\), car l'ordre de \(f(x)\) et \(g(x)\) s'inverse entre les deux extrémités de chacun de ces intervalles.
  2. À partir des seules valeurs entières du tableau, on constate que \(f(x) \geq g(x)\) pour \(x = 1, 2, 3, 4, 5\). Les bornes décimales de l'intervalle ne peuvent être obtenues qu'en affinant le balayage ou par le calcul.
  3. \(f(x) = g(x) \iff -0{,}5x^2 + 4x = x + 2 \iff -0{,}5x^2 + 3x - 2 = 0\).
    On multiplie par \(-2\) : \(x^2 - 6x + 4 = 0\).
    \(\Delta = 36 - 16 = 20\), \(\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\).
    \(x_1 = \dfrac{6 - 4{,}47}{2} \approx 0{,}76\) et \(x_2 = \dfrac{6 + 4{,}47}{2} \approx 5{,}24\).
    Donc \(f(x) \geq g(x)\) pour \(x \in [0{,}76\;;\;5{,}24]\).
Exercice 2-3 Comparaison de devis — Technicien chauffagiste Standard

Un technicien de maintenance énergétique compare deux contrats d'entretien pour une copropriété :

  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(x\)02468101215
    \(A(x)\)
    \(B(x)\)
  2. D'après le tableau, à partir de combien d'interventions le contrat A devient-il plus avantageux ?
  3. Résoudre par le calcul l'équation \(A(x) = B(x)\) pour trouver le seuil exact.
  4. Conseiller la copropriété si elle prévoit en moyenne 8 interventions par an.
  1. Tableau complété :
    \(x\)02468101215
    \(A(x)\)1 2001 2901 3801 4701 5601 6501 7401 875
    \(B(x)\)02485127921 0881 4001 7282 250
  2. D'après le tableau, \(B(x) < A(x)\) pour \(x \leq 10\), et \(B(12) = 1\,728 < A(12) = 1\,740\). Mais \(B(15) = 2\,250 > A(15) = 1\,875\). Le contrat A devient plus avantageux entre 12 et 15 interventions.
  3. \(A(x) = B(x) \iff 45x + 1\,200 = 2x^2 + 120x \iff 2x^2 + 75x - 1\,200 = 0\).
    \(\Delta = 75^2 + 4 \times 2 \times 1\,200 = 5\,625 + 9\,600 = 15\,225\), \(\sqrt{\Delta} \approx 123{,}4\).
    \(x = \dfrac{-75 + 123{,}4}{4} \approx 12{,}1\) (on écarte la solution négative).
    L'égalité a lieu pour environ \(12{,}1\) interventions. Comme le nombre d'interventions est entier, le contrat A devient moins cher à partir de 13 interventions par an.
  4. Avec 8 interventions : \(A(8) = 1\,560\) € et \(B(8) = 1\,088\) €. Le contrat B est moins cher de 472 €. On conseille le contrat B à la copropriété.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Problème complet — Coût de chauffage Approfondissement

Un technicien chauffagiste modélise le coût mensuel de deux systèmes de chauffage en fonction de la température extérieure \(t\) (en °C) :

Les fonctions sont définies pour \(t \in [-5\;;\;25]\).

  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(t\)−50510152025
    \(f(t)\)
    \(g(t)\)
  2. Pour quelle(s) température(s) les deux systèmes coûtent-ils le même prix ?
  3. Pour quelles températures la pompe à chaleur est-elle moins coûteuse que la chaudière gaz ?
  4. Vérifier par le calcul en résolvant \(f(t) = g(t)\).
  1. Tableau complété :
    \(t\)−50510152025
    \(f(t)\)13512010590756045
    \(g(t)\)1551107550353035
  2. D'après le tableau, \(f(t)\) et \(g(t)\) sont proches pour \(t\) entre −5 et 0. On utilise le balayage :
    \(h(-3) = f(-3) - g(-3) = 129 - 135{,}8 = -6{,}8\) et \(h(-2) = 126 - 126{,}8 = -0{,}8\) et \(h(-1) = 123 - 118{,}2 = 4{,}8\).
    Changement de signe entre \(t = -2\) et \(t = -1\) : les coûts sont égaux pour \(t \approx -2\) °C.
    Deuxième intersection : \(h(1) = 117 - 102{,}2 = 14{,}8 > 0\). On cherche plus loin… On constate que \(g\) reste en-dessous de \(f\) pour \(t \geq 0\). Vérifions par le calcul.
  3. D'après le tableau, \(g(t) < f(t)\) pour \(t \geq 0\) environ (la pompe à chaleur est moins chère quand il ne fait pas trop froid).
  4. \(f(t) = g(t) \iff -3t + 120 = 0{,}2t^2 - 8t + 110 \iff 0{,}2t^2 - 5t - 10 = 0 \iff t^2 - 25t - 50 = 0\).
    \(\Delta = 625 + 200 = 825\), \(\sqrt{\Delta} \approx 28{,}7\).
    \(t_1 = \dfrac{25 - 28{,}7}{2} \approx -1{,}9\) °C et \(t_2 = \dfrac{25 + 28{,}7}{2} \approx 26{,}9\) °C (hors domaine).
    Les coûts sont égaux pour \(t \approx -1{,}9\) °C. Au-dessus de cette température, la pompe à chaleur est toujours moins chère (sur le domaine \([-5\;;\;25]\)).
Exercice 3-2 Balayage et précision Approfondissement

On considère l'équation \(x^3 = 10\) sur l'intervalle \([1\;;\;3]\).

  1. Justifier qu'il existe une solution dans \([1\;;\;3]\) (calculer les valeurs aux bornes).
  2. Par un premier balayage (pas de 1), localiser la solution entre deux entiers consécutifs.
  3. Affiner avec un pas de \(0{,}1\) pour encadrer la solution entre deux décimaux consécutifs.
  4. Affiner encore avec un pas de \(0{,}01\) pour donner une approximation à \(0{,}01\) près.
  1. On pose \(h(x) = x^3 - 10\). \(h(1) = 1 - 10 = -9 < 0\) et \(h(3) = 27 - 10 = 17 > 0\). Comme \(h\) change de signe et que \(x \mapsto x^3\) est continue, il existe une solution dans \([1\;;\;3]\).
  2. \(h(2) = 8 - 10 = -2 < 0\) et \(h(3) = 17 > 0\). La solution est dans \([2\;;\;3]\).
  3. Balayage dans \([2\;;\;3]\) :
    \(h(2{,}1) = 9{,}261 - 10 = -0{,}739\) et \(h(2{,}2) = 10{,}648 - 10 = 0{,}648\).
    Changement de signe : la solution est dans \([2{,}1\;;\;2{,}2]\).
  4. Balayage dans \([2{,}1\;;\;2{,}2]\) :
    \(h(2{,}15) = 9{,}938... - 10 = -0{,}061\) et \(h(2{,}16) = 10{,}078 - 10 = 0{,}078\).
    La solution est dans \([2{,}15\;;\;2{,}16]\). Donc \(\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15\) à \(0{,}01\) près.
Exercice 3-3 Situation professionnelle — Optimisation d'un devis Approfondissement

Un artisan menuisier propose deux formules de tarification pour la pose de parquet :

Soit \(x\) la surface en m², avec \(x \geq 0\). On a \(A(x) = 15x + 500\) et \(B(x) = 0{,}1x^2 + 8x + 200\).

  1. Calculer \(A(20)\), \(A(50)\), \(B(20)\) et \(B(50)\).
  2. Résoudre \(A(x) = B(x)\). Interpréter le résultat pour le client.
  3. Quelle formule est la plus avantageuse pour une surface de 40 m² ? Et pour 80 m² ?
  4. Pour quelles surfaces la formule B est-elle moins chère que la formule A ?
  1. \(A(20) = 300 + 500 = 800\) €, \(A(50) = 750 + 500 = 1\,250\) €.
    \(B(20) = 40 + 160 + 200 = 400\) €, \(B(50) = 250 + 400 + 200 = 850\) €.
  2. \(15x + 500 = 0{,}1x^2 + 8x + 200 \iff 0{,}1x^2 - 7x - 300 = 0 \iff x^2 - 70x - 3\,000 = 0\).
    \(\Delta = 4\,900 + 12\,000 = 16\,900\), \(\sqrt{\Delta} = 130\).
    \(x = \dfrac{70 + 130}{2} = 100\) (on écarte la solution négative \(x = -30\)).
    Les deux formules coûtent le même prix pour une surface de 100 m².
  3. \(A(40) = 1\,100\) € et \(B(40) = 160 + 320 + 200 = 680\) €. La formule B est moins chère.
    \(A(80) = 1\,700\) € et \(B(80) = 640 + 640 + 200 = 1\,480\) €. La formule B est encore moins chère.
  4. Sur le domaine \(x \geq 0\), la formule B est moins chère pour \(0 \leq x < 100\) m². Pour \(x > 100\) m², la formule A est plus avantageuse.