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Exercices – Chapitre 04 – Résolution graphique d'équations et d'inéquations

1ère Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques

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Rappels essentiels

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Lecture graphique — Images et antécédents Socle

On considère la fonction \(f\) dont la courbe est donnée ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 𝒞f
  1. Lire graphiquement \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(5)\).
  2. Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\).
  3. Résoudre graphiquement \(f(x) = 0\).
  4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 3\) ?
  1. \(f(0) = 1\), \(f(2) = 5\), \(f(5) = 0\).
  2. On trace la droite \(y = 3\). Elle coupe la courbe en deux points d'abscisses \(x \approx 1\) et \(x \approx 3\). Les solutions sont \(x \approx 1\) et \(x \approx 3\).
  3. \(f(x) = 0\) lorsque la courbe coupe l'axe des abscisses. On lit \(x = 5\).
  4. \(f(x) \geq 3\) lorsque la courbe est au-dessus de la droite \(y = 3\), soit pour \(x \in [1\;;\;3]\) environ.
Exercice 2 Résolution graphique de \(f(x) = g(x)\) Socle

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\;;\;6]\). Voici leurs représentations graphiques.

x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 𝒞f 𝒞g
  1. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\).
  3. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) < g(x)\).
  1. Les courbes se coupent en deux points : \(x = 0\) et \(x = 5\). Les solutions sont \(x = 0\) et \(x = 5\).
  2. \(f(x) \geq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique : \(x \in [0\;;\;5]\).
  3. \(f(x) < g(x)\) lorsque \(\mathcal{C}_f\) est strictement en-dessous de \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique : \(x \in\;]5\;;\;6]\).
Exercice 3 Tableau de valeurs et balayage simple Socle

On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 3\) sur l'intervalle \([0\;;\;5]\).

  1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
    \(x\)012345
    \(f(x) = x^2\)
    \(g(x) = 2x+3\)
  2. D'après le tableau, entre quelles valeurs entières se trouvent les solutions de \(f(x) = g(x)\) ?
  3. Utiliser l'algorithme de balayage avec un pas de \(0{,}1\) pour approcher la solution dans l'intervalle \([2\;;\;4]\).
  1. Tableau complété :
    \(x\)012345
    \(f(x)\)01491625
    \(g(x)\)35791113
  2. On pose \(h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x - 3\).
    \(h(2) = 4 - 7 = -3 < 0\) et \(h(3) = 9 - 9 = 0\).
    Donc \(x = 3\) est une solution exacte. Par ailleurs, \(h(0) = -3\), \(h(-1) = 1 + 2 - 3 = 0\) donc l'autre solution est \(x = -1\) (hors intervalle).
  3. Le balayage confirme la solution en \(x = 3\) car \(h(3) = 0\) exactement. Aucune approximation n'est nécessaire ici.
Exercice 4 Comparaison de tarifs — Installateur thermique Socle

Un installateur thermique compare deux types de chaudières pour un client. Le coût annuel total (achat + entretien cumulé) de chaque système est modélisé par :

Aide :
  • Pour compléter le tableau, remplacez \(x\) par chaque valeur dans les formules. Par exemple : \(f(0) = 200 \times 0 + 2\,500 = \ldots\)
  • Pour résoudre \(f(x) = g(x)\), écrivez l'égalité \(200x + 2\,500 = 80x + 5\,000\), puis isolez \(x\) étape par étape.
  • Pour l'inéquation, comparez les valeurs du tableau : quand \(g(x)\) est-il plus petit que \(f(x)\) ?
  1. Compléter le tableau de valeurs pour \(x\) allant de 0 à 25 (par pas de 5).
    \(x\)0510152025
    \(f(x)\)2 500
    \(g(x)\)5 000
  2. Résoudre par le calcul l'équation \(f(x) = g(x)\). Interpréter le résultat.
    Indication : on obtient \(200x + 2\,500 = 80x + 5\,000\). Regroupez les termes en \(x\) d'un côté.
  3. Résoudre l'inéquation \(g(x) \leq f(x)\). Interpréter pour le client.
    Indication : dans le tableau, repérez à partir de quelle année \(g(x)\) devient inférieur à \(f(x)\).
  1. Tableau complété :
    \(x\)0510152025
    \(f(x)\)2 5003 5004 5005 5006 5007 500
    \(g(x)\)5 0005 4005 8006 2006 6007 000
  2. \(f(x) = g(x) \iff 200x + 2\,500 = 80x + 5\,000 \iff 120x = 2\,500 \iff x \approx 20{,}8\) ans.
    Les deux systèmes reviennent au même prix au bout d'environ 21 ans.
  3. \(g(x) \leq f(x) \iff 80x + 5\,000 \leq 200x + 2\,500 \iff 2\,500 \leq 120x \iff x \geq 20{,}8\).
    La pompe à chaleur devient plus économique à partir de la 21e année. Si le client prévoit de rester longtemps dans son logement, la pompe à chaleur est le meilleur choix.
Exercice 5 Seuil de rentabilité — Atelier de menuiserie Socle

Un menuisier agenceur fabrique des étagères sur-mesure. Le coût de production de \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20\) (en euros) et la recette est \(R(x) = 12x\) (en euros), pour \(x \in [0\;;\;25]\).

Aide :
  • Pour \(C(2)\) : calculez \(0{,}5 \times 2^2 + 20 = 0{,}5 \times 4 + 20 = \ldots\)
  • Bénéfice = quand la recette dépasse le coût, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\). Comparez ligne par ligne dans le tableau.
  • Le seuil de rentabilité est la valeur de \(x\) pour laquelle \(R(x) = C(x)\).
  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(x\)02468101420
    \(C(x)\)20
    \(R(x)\)0
  2. Entre quelles valeurs de \(x\) l'artisan fait-il un bénéfice, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\) ?
    Indication : dans le tableau, repérez les colonnes où \(R(x)\) est plus grand que \(C(x)\).
  3. Utiliser le balayage (pas de 1) pour encadrer précisément les deux seuils de rentabilité.
    Indication : calculez \(h(x) = R(x) - C(x)\) pour \(x = 1, 2, 3, \ldots\) et repérez quand \(h(x)\) change de signe.
  4. Vérifier en résolvant \(0{,}5x^2 + 20 = 12x\).
    Indication : ramenez tout du même côté pour obtenir \(0{,}5x^2 - 12x + 20 = 0\), puis multipliez par 2.
  1. Tableau complété :
    \(x\)02468101420
    \(C(x)\)202228385270118220
    \(R(x)\)024487296120168240
  2. D'après le tableau, \(R(x) > C(x)\) pour \(x\) entre environ 2 et 20. L'artisan fait un bénéfice dans cette zone.
  3. On pose \(h(x) = R(x) - C(x) = 12x - 0{,}5x^2 - 20 = -0{,}5x^2 + 12x - 20\).
    \(h(1) = -0{,}5 + 12 - 20 = -8{,}5 < 0\) et \(h(2) = -2 + 24 - 20 = 2 > 0\) : premier seuil entre 1 et 2.
    \(h(21) = -220{,}5 + 252 - 20 = 11{,}5 > 0\) et \(h(22) = -242 + 264 - 20 = 2 > 0\), \(h(23) = -264{,}5 + 276 - 20 = -8{,}5 < 0\) : second seuil entre 22 et 23.
  4. \(0{,}5x^2 - 12x + 20 = 0\), soit \(x^2 - 24x + 40 = 0\).
    \(\Delta = 576 - 160 = 416\), \(\sqrt{\Delta} \approx 20{,}4\).
    \(x_1 = \dfrac{24 - 20{,}4}{2} \approx 1{,}8\) et \(x_2 = \dfrac{24 + 20{,}4}{2} \approx 22{,}2\).
    L'artisan est rentable pour \(x \in\;]1{,}8\;;\;22{,}2[\), soit en fabriquant entre 2 et 22 étagères.
Exercice 6 Algorithme de balayage Socle

On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 5x - 3\) dans l'intervalle \([0\;;\;5]\).

Aide — Méthode du balayage :
  • On pose \(h(x) = x^2 - 5x + 3\) (tout du même côté). Si \(h(x) = 0\), alors \(x\) est solution.
  • Calculez \(h(0) = 0^2 - 5 \times 0 + 3 = 3\). Faites pareil pour \(h(1)\), \(h(2)\), etc.
  • Quand \(h(x)\) passe du positif au négatif (ou inversement), il y a une solution entre les deux valeurs.
  1. Poser \(h(x) = x^2 - 5x + 3\). Calculer \(h(0)\), \(h(1)\), \(h(2)\), \(h(3)\), \(h(4)\), \(h(5)\).
    Indication : \(h(0) = 3\) (c'est fait !). Calculez \(h(1) = 1 - 5 + 3 = \ldots\)
  2. Repérer les intervalles où \(h\) change de signe. Combien de solutions l'équation admet-elle dans \([0\;;\;5]\) ?
    Indication : cherchez où \(h\) passe de + à − ou de − à +.
  3. Affiner le balayage dans l'intervalle \([0\;;\;1]\) avec un pas de \(0{,}1\) pour approcher la première solution à \(0{,}1\) près.
    Indication : calculez \(h(0{,}1)\), \(h(0{,}2)\), … jusqu'à trouver un changement de signe.
  1. \(x\)012345
    \(h(x)\)3−1−3−3−13
  2. \(h\) change de signe entre \(x = 0\) et \(x = 1\) (de + à −) et entre \(x = 4\) et \(x = 5\) (de − à +). L'équation admet deux solutions.
  3. Balayage dans \([0\;;\;1]\) avec pas \(0{,}1\) :
    \(x\)0,50,60,70,8
    \(h(x)\)0,750,36−0,01−0,36
    \(h\) change de signe entre \(0{,}6\) et \(0{,}7\). La première solution est \(x \approx 0{,}7\) à \(0{,}1\) près.
    (La valeur exacte est \(x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \approx 0{,}697\).)

Exercices d'application

Exercice 7 Résolution graphique de \(f(x) = g(x)\) Standard

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([{-2}\;;\;6]\) dont les courbes représentatives sont tracées ci-dessous.

x y O −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 𝒞f 𝒞g

La courbe bleue représente \(f\) et la droite orange représente \(g\).

  1. Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.
  2. En déduire les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\).
  3. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\). Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  1. Les deux courbes se coupent en deux points : \(A(0\;;\;0)\) et \(B(4\;;\;4)\).
  2. Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection : \(x = 0\) et \(x = 4\).
  3. \(f(x) \geq g(x)\) lorsque la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(\mathcal{C}_g\). D'après le graphique, cela se produit pour \(x \in [{-1}\;;\;0] \cup [4\;;\;5]\).
    Sur l'intervalle \([0\;;\;4]\), c'est \(\mathcal{C}_g\) qui est au-dessus de \(\mathcal{C}_f\).
Exercice 8 Inéquation graphique et intervalle de solutions Standard

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\;;\;8]\) par \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\) et \(g(x) = x + 2\).

Voici le tableau de valeurs :

\(x\)012345678
\(f(x)\)03,567,587,563,50
\(g(x)\)2345678910
  1. D'après le tableau, pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) (approximativement) ?
  2. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq g(x)\) ? Donner l'intervalle de solutions.
  3. Vérifier par le calcul en résolvant \(f(x) = g(x)\).
  1. D'après le tableau, \(f(x)\) et \(g(x)\) sont égaux entre \(x = 0\) et \(x = 1\) (car \(f\) passe de 0 à 3,5 tandis que \(g\) passe de 2 à 3), et entre \(x = 5\) et \(x = 6\) (car \(f\) passe de 7,5 à 6 tandis que \(g\) passe de 7 à 8). Les solutions sont approximativement \(x \approx 0{,}6\) et \(x \approx 5{,}4\).
  2. \(f(x) \geq g(x)\) lorsque les valeurs de \(f\) sont supérieures à celles de \(g\), soit pour \(x \in [0{,}6\;;\;5{,}4]\) environ.
    Dans le tableau, on voit bien que \(f(x) > g(x)\) pour \(x = 1, 2, 3, 4, 5\).
  3. \(f(x) = g(x) \iff -0{,}5x^2 + 4x = x + 2 \iff -0{,}5x^2 + 3x - 2 = 0\).
    On multiplie par \(-2\) : \(x^2 - 6x + 4 = 0\).
    \(\Delta = 36 - 16 = 20\), \(\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\).
    \(x_1 = \dfrac{6 - 4{,}47}{2} \approx 0{,}76\) et \(x_2 = \dfrac{6 + 4{,}47}{2} \approx 5{,}24\).
    Donc \(f(x) \geq g(x)\) pour \(x \in [0{,}76\;;\;5{,}24]\).
Exercice 9 Comparaison de devis — Technicien chauffagiste Standard

Un technicien de maintenance énergétique compare deux contrats d'entretien pour une copropriété :

  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(x\)02468101215
    \(A(x)\)
    \(B(x)\)
  2. D'après le tableau, à partir de combien d'interventions le contrat A devient-il plus avantageux ?
  3. Résoudre par le calcul l'équation \(A(x) = B(x)\) pour trouver le seuil exact.
  4. Conseiller la copropriété si elle prévoit en moyenne 8 interventions par an.
  1. Tableau complété :
    \(x\)02468101215
    \(A(x)\)1 2001 2901 3801 4701 5601 6501 7401 875
    \(B(x)\)02485127921 0881 4001 7282 250
  2. D'après le tableau, \(B(x) < A(x)\) pour \(x \leq 10\), et \(B(12) = 1\,728 < A(12) = 1\,740\). Mais \(B(15) = 2\,250 > A(15) = 1\,875\). Le contrat A devient plus avantageux entre 12 et 15 interventions.
  3. \(A(x) = B(x) \iff 45x + 1\,200 = 2x^2 + 120x \iff 2x^2 + 75x - 1\,200 = 0\).
    \(\Delta = 75^2 + 4 \times 2 \times 1\,200 = 5\,625 + 9\,600 = 15\,225\), \(\sqrt{\Delta} \approx 123{,}4\).
    \(x = \dfrac{-75 + 123{,}4}{4} \approx 12{,}1\) (on écarte la solution négative).
    Le seuil est à environ 12 interventions par an.
  4. Avec 8 interventions : \(A(8) = 1\,560\) € et \(B(8) = 1\,088\) €. Le contrat B est moins cher de 472 €. On conseille le contrat B à la copropriété.

Exercices d'approfondissement

Exercice 10 Problème complet — Coût de chauffage Approfondissement

Un technicien chauffagiste modélise le coût mensuel de deux systèmes de chauffage en fonction de la température extérieure \(t\) (en °C) :

Les fonctions sont définies pour \(t \in [-5\;;\;25]\).

  1. Compléter le tableau de valeurs :
    \(t\)−50510152025
    \(f(t)\)
    \(g(t)\)
  2. Pour quelle(s) température(s) les deux systèmes coûtent-ils le même prix ?
  3. Pour quelles températures la pompe à chaleur est-elle moins coûteuse que la chaudière gaz ?
  4. Vérifier par le calcul en résolvant \(f(t) = g(t)\).
  1. Tableau complété :
    \(t\)−50510152025
    \(f(t)\)13512010590756045
    \(g(t)\)1551107550353035
  2. D'après le tableau, \(f(t)\) et \(g(t)\) sont proches pour \(t\) entre −5 et 0. On utilise le balayage :
    \(h(-3) = f(-3) - g(-3) = 129 - 135{,}8 = -6{,}8\) et \(h(-2) = 126 - 126{,}8 = -0{,}8\) et \(h(-1) = 123 - 118{,}2 = 4{,}8\).
    Changement de signe entre \(t = -2\) et \(t = -1\) : les coûts sont égaux pour \(t \approx -2\) °C.
    Deuxième intersection : \(h(1) = 117 - 102{,}2 = 14{,}8 > 0\). On cherche plus loin… On constate que \(g\) reste en-dessous de \(f\) pour \(t \geq 0\). Vérifions par le calcul.
  3. D'après le tableau, \(g(t) < f(t)\) pour \(t \geq 0\) environ (la pompe à chaleur est moins chère quand il ne fait pas trop froid).
  4. \(f(t) = g(t) \iff -3t + 120 = 0{,}2t^2 - 8t + 110 \iff 0{,}2t^2 - 5t - 10 = 0 \iff t^2 - 25t - 50 = 0\).
    \(\Delta = 625 + 200 = 825\), \(\sqrt{\Delta} \approx 28{,}7\).
    \(t_1 = \dfrac{25 - 28{,}7}{2} \approx -1{,}9\) °C et \(t_2 = \dfrac{25 + 28{,}7}{2} \approx 26{,}8\) °C (hors domaine).
    Les coûts sont égaux pour \(t \approx -1{,}9\) °C. Au-dessus de cette température, la pompe à chaleur est toujours moins chère (sur le domaine \([-5\;;\;25]\)).
Exercice 11 Balayage et précision Approfondissement

On considère l'équation \(x^3 = 10\) sur l'intervalle \([1\;;\;3]\).

  1. Justifier qu'il existe une solution dans \([1\;;\;3]\) (calculer les valeurs aux bornes).
  2. Par un premier balayage (pas de 1), localiser la solution entre deux entiers consécutifs.
  3. Affiner avec un pas de \(0{,}1\) pour encadrer la solution entre deux décimaux consécutifs.
  4. Affiner encore avec un pas de \(0{,}01\) pour donner une approximation à \(0{,}01\) près.
  1. On pose \(h(x) = x^3 - 10\). \(h(1) = 1 - 10 = -9 < 0\) et \(h(3) = 27 - 10 = 17 > 0\). Comme \(h\) change de signe et que \(x \mapsto x^3\) est continue, il existe une solution dans \([1\;;\;3]\).
  2. \(h(2) = 8 - 10 = -2 < 0\) et \(h(3) = 17 > 0\). La solution est dans \([2\;;\;3]\).
  3. Balayage dans \([2\;;\;3]\) :
    \(h(2{,}1) = 9{,}261 - 10 = -0{,}739\) et \(h(2{,}2) = 10{,}648 - 10 = 0{,}648\).
    Changement de signe : la solution est dans \([2{,}1\;;\;2{,}2]\).
  4. Balayage dans \([2{,}1\;;\;2{,}2]\) :
    \(h(2{,}15) = 9{,}938... - 10 = -0{,}061\) et \(h(2{,}16) = 10{,}078 - 10 = 0{,}078\).
    La solution est dans \([2{,}15\;;\;2{,}16]\). Donc \(\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15\) à \(0{,}01\) près.
Exercice 12 Situation professionnelle — Optimisation d'un devis Approfondissement

Un artisan menuisier propose deux formules de tarification pour la pose de parquet :

Soit \(x\) la surface en m². On a \(A(x) = 15x + 500\) et \(B(x) = 0{,}1x^2 + 8x + 200\).

  1. Calculer \(A(20)\), \(A(50)\), \(B(20)\) et \(B(50)\).
  2. Résoudre \(A(x) = B(x)\). Interpréter le résultat pour le client.
  3. Quelle formule est la plus avantageuse pour une surface de 40 m² ? Et pour 80 m² ?
  4. Pour quelles surfaces la formule B est-elle moins chère que la formule A ?
  1. \(A(20) = 300 + 500 = 800\) €, \(A(50) = 750 + 500 = 1\,250\) €.
    \(B(20) = 40 + 160 + 200 = 400\) €, \(B(50) = 250 + 400 + 200 = 850\) €.
  2. \(15x + 500 = 0{,}1x^2 + 8x + 200 \iff 0{,}1x^2 - 7x - 300 = 0 \iff x^2 - 70x - 3\,000 = 0\).
    \(\Delta = 4\,900 + 12\,000 = 16\,900\), \(\sqrt{\Delta} = 130\).
    \(x = \dfrac{70 + 130}{2} = 100\) (on écarte la solution négative \(x = -30\)).
    Les deux formules coûtent le même prix pour une surface de 100 m².
  3. \(A(40) = 1\,100\) € et \(B(40) = 160 + 320 + 200 = 680\) €. La formule B est moins chère.
    \(A(80) = 1\,700\) € et \(B(80) = 640 + 640 + 200 = 1\,480\) €. La formule B est encore moins chère.
  4. La formule B est moins chère pour \(x < 100\) m², c'est-à-dire pour toute surface inférieure à 100 m². Au-delà, la formule A est plus avantageuse (le terme en \(x^2\) de B fait exploser le prix).