Résolution graphique d'équations et d'inéquations | 1ère Bac Pro
On donne la courbe d'une fonction \(f\) définie sur \([-2\;;\;6]\). La courbe passe par les points \((-2\;;\;1)\), \((0\;;\;3)\), \((2\;;\;5)\), \((4\;;\;3)\), \((6\;;\;-1)\).
Étape 1 : APP Lire sur le graphique : \(f(0) = ...\) et \(f(4) = ...\)
Aide : on part de \(x = 0\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit la valeur sur l'axe vertical.
Étape 2 : REA Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\).
Aide : on trace la droite horizontale \(y = 3\). Les abscisses des points d'intersection avec la courbe sont les solutions.
Étape 3 : REA Résoudre graphiquement \(f(x) = 0\).
Aide : on cherche où la courbe coupe l'axe des abscisses (\(y = 0\)).
Étape 4 : ANA Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 3\) ?
Aide : on cherche les zones où la courbe est au-dessus de la droite \(y = 3\).
Étape 5 : COM Compléter : « La fonction \(f\) est positive sur l'intervalle [...;...] ».
Un menuisier agenceur compare deux fournisseurs de panneaux. Le coût total (en €) pour \(x\) panneaux est :
Étape 1 : REA Compléter le tableau.
| \(x\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 50 | ||||||
| \(g(x)\) | 20 |
Étape 2 : REA Tracer les deux courbes dans un même repère.
Étape 3 : ANA Lire graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les deux fournisseurs proposent le même prix.
Étape 4 : ANA Pour quelles quantités le fournisseur A est-il moins cher ?
Aide : on cherche les zones où la droite \(f\) est en dessous de la parabole \(g\).
Étape 5 : COM Quel fournisseur conseiller pour une commande de 20 panneaux ? Justifier.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([-3\;;\;7]\).
Graphique fourni sur le sujet :
La courbe \(\mathcal{C}_f\) est une parabole passant par \((-1\;;\;0)\), \((1\;;\;4)\), \((3\;;\;0)\) avec un sommet en \((1\;;\;4)\).
La droite \(\mathcal{C}_g\) passe par \((-3\;;\;-2)\) et \((7\;;\;3)\).
1. APP Lire graphiquement \(f(0)\), \(f(1)\), \(g(1)\) et \(g(5)\).
2. REA Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = 0\).
3. ANA Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\). Donner les solutions avec la précision permise par le graphique.
4. ANA Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\). Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s).
5. COM Déterminer graphiquement le signe de \(f(x)\) sur \([-3\;;\;7]\) et présenter les résultats dans un tableau de signes.
Un atelier de menuiserie fabrique des tables basses en bois. On modélise :
Les fonctions sont définies pour \(x \in [0\;;\;15]\).
1. REA Compléter le tableau de valeurs suivant.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | ||||||||
| \(R(x)\) |
2. REA Tracer les courbes représentatives de \(C\) et \(R\) dans un repère adapté.
Repère à tracer sur la copie :
Axe horizontal : nombre de tables \(x\) (de 0 à 15)
Axe vertical : montant en dizaines d'euros (de 0 à 250)
3. APP Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.
4. ANA En déduire graphiquement pour quelles valeurs de \(x\) l'atelier réalise un bénéfice, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\).
5. VAL Vérifier par le calcul que les solutions de \(C(x) = R(x)\) sont bien \(x = 2\) et \(x = 10\).
6. COM Rédiger une phrase expliquant ce que représente le seuil de rentabilité pour l'atelier et indiquer le nombre de tables à produire pour être rentable.
Un installateur thermique modélise la température \(T\) (en °C) d'un local en fonction du temps \(t\) (en heures) après mise en route du chauffage :
\[T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 12 \quad \text{pour } t \in [0\;;\;14]\]Le seuil de confort est fixé à 20 °C.
1. REA Calculer \(T(0)\), \(T(2)\), \(T(6)\), \(T(10)\) et \(T(14)\).
2. REA Tracer la courbe et la droite \(T = 20\).
3. ANA Résoudre graphiquement \(T(t) = 20\) et \(T(t) \geq 20\). Interpréter.
4. VAL Déterminer graphiquement la température maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte. Vérifier par le calcul (sommet de la parabole).
Un ébéniste fabrique des coffrets en bois. Le coût de production de \(x\) coffrets est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 80\) (en €). Le prix de vente unitaire est \(p\) euros, soit une recette \(R(x) = px\).
1. REA Pour \(p = 25\), résoudre \(C(x) = R(x)\) par le calcul.
2. ANA Déterminer l'intervalle de production rentable (où \(R(x) > C(x)\)) pour \(p = 25\).
3. ANA Pour quel prix de vente minimal \(p\) existe-t-il au moins une valeur de \(x\) telle que \(R(x) = C(x)\) ?
Indication : résoudre \(0{,}5x^2 + (10-p)x + 80 = 0\) et étudier le discriminant.
4. VAL Pour \(p = 30\), calculer le bénéfice maximal \(B(x) = R(x) - C(x)\) et le nombre de coffrets correspondant.
5. COM Rédiger un conseil argumenté pour l'ébéniste sur le prix de vente à fixer.