← RETOUR SOMMAIRE

Devoir Surveillé – Chapitre 4

Résolution graphique d'équations et d'inéquations  |  1ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 20 août 2026, 14:30

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20
🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer
Socle
Exercice 1 – Lecture graphique guidée 10 points

On donne ci-dessous la courbe d'une fonction \(f\) définie sur \([-2\;;\;6]\).

Courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 6] −2−11 234 56 0 −2−11 234 56 𝒞 f
Courbe représentative de la fonction \(f\) sur \([-2\;;\;6]\).

Étape 1 : APP Lire sur le graphique : \(f(0) = ...\) et \(f(4) = ...\) (2 pts)

Aide : on part de \(x = 0\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit la valeur sur l'axe vertical.

Étape 2 : REA Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\). (2 pts)

Aide : on trace la droite horizontale \(y = 3\). Les abscisses des points d'intersection avec la courbe sont les solutions.

Étape 3 : REA Résoudre graphiquement \(f(x) = 0\). (2 pts)

Aide : on cherche où la courbe coupe l'axe des abscisses (\(y = 0\)).

Étape 4 : ANA Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 3\) ? (2 pts)

Aide : on cherche les zones où la courbe est au-dessus de la droite \(y = 3\).

Étape 5 : COM Compléter : « La fonction \(f\) est positive sur l'intervalle [...;...] ». (2 pts)

Exercice 2 – Comparaison de deux tarifs 10 points

Un menuisier agenceur compare deux fournisseurs de panneaux. Le coût total (en €) pour \(x\) panneaux est :

  • Fournisseur A : \(f(x) = 5x + 50\) (droite)
  • Fournisseur B : \(g(x) = 0{,}2x^2 + 20\) (parabole)

Étape 1 : REA Compléter le tableau. (3 pts)

\(x\)0510152025303540
\(f(x)\)50
\(g(x)\)20

Étape 2 : REA Placer les points du tableau et tracer les deux courbes dans le repère ci-dessous. (2 pts)

Repère vierge pour tracer les coûts des deux fournisseurs 0510 152025 303540 nombre de panneaux 50100150 200250300 350 coût (€)
Repère à compléter : coût en euros en fonction du nombre de panneaux.

Étape 3 : ANA Lire graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les deux fournisseurs proposent le même prix. (2 pts)

Étape 4 : ANA Pour quelles quantités le fournisseur A est-il moins cher ? (2 pts)

Aide : on cherche les zones où la droite \(f\) est en dessous de la parabole \(g\).

Étape 5 : COM Quel fournisseur conseiller pour une commande de 20 panneaux ? Justifier. (1 pt)

Standard
Exercice 1 – Lecture graphique 8 points

On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l'intervalle \([-3\;;\;7]\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) est une parabole, la courbe \(\mathcal{C}_g\) est une droite.

Représentations graphiques des fonctions f et g −3−2−1 012 345 67 543 210 −1−2−3 𝒞 f 𝒞 g
Courbes des fonctions \(f\) et \(g\) sur \([-3\;;\;7]\) (un carreau = une unité). Les deux branches de la parabole \(\mathcal{C}_f\) sortent du cadre par le bas et continuent de descendre.

1. APP Lire graphiquement \(f(0)\), \(f(1)\), \(g(1)\) et \(g(5)\). (2 pts)

2. REA Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = 0\). (1 pt)

3. ANA Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\). Donner les solutions avec la précision permise par le graphique. (2 pts)

4. ANA Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\). Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s). (2 pts)

5. COM Déterminer graphiquement le signe de \(f(x)\) sur \([-3\;;\;7]\) : préciser sur quels intervalles \(f(x)\) est positive, négative ou nulle. (1 pt)

Exercice 2 – Seuil de rentabilité d'un atelier 12 points

Un atelier de menuiserie fabrique des tables basses en bois. On modélise :

  • le coût total de fabrication de \(x\) tables par la fonction \(C\) définie par \(C(x) = x^2 + 20\) (en dizaines d'euros),
  • la recette par la fonction \(R\) définie par \(R(x) = 12x\) (en dizaines d'euros).

Les fonctions sont définies pour \(x \in [0\;;\;15]\).

1. REA Compléter le tableau de valeurs suivant. (2 pts)

\(x\)02468101215
\(C(x)\)
\(R(x)\)

2. REA Placer les points du tableau et tracer les courbes représentatives de \(C\) et \(R\) dans le repère ci-dessous. (2 pts)

Repère vierge pour tracer le coût et la recette de l'atelier 012 345 678 91011 121314 15 nombre de tables 50100150 200250 montant (dizaines d'€)
Repère à compléter : montant en dizaines d'euros en fonction du nombre de tables.

3. APP Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection des deux courbes. (2 pts)

4. ANA En déduire graphiquement pour quelles valeurs de \(x\) l'atelier réalise un bénéfice, c'est-à-dire \(R(x) > C(x)\). (2 pts)

5. VAL Vérifier par le calcul que les solutions de \(C(x) = R(x)\) sont bien \(x = 2\) et \(x = 10\). (2 pts)

6. COM Rédiger une phrase expliquant ce que représente le seuil de rentabilité pour l'atelier et indiquer le nombre de tables à produire pour être rentable. (2 pts)

Approfondissement
Exercice 1 – Optimisation graphique d'un chauffage 8 points

Un installateur thermique modélise la température \(T\) (en °C) d'un local en fonction du temps \(t\) (en heures) après mise en route du chauffage :

\[T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 12 \quad \text{pour } t \in [0\;;\;12]\]

Le seuil de confort est fixé à 20 °C.

1. REA Calculer \(T(0)\), \(T(2)\), \(T(6)\), \(T(10)\) et \(T(12)\). (2 pts)

2. REA Tracer la courbe de \(T\) et la droite \(T = 20\) dans le repère ci-dessous. (2 pts)

Repère vierge pour tracer la température du local 012 345 678 91011 12 t (heures) 4812 162024 2832 T (°C)
Repère à compléter : température en degrés Celsius en fonction du temps en heures.

3. ANA Résoudre graphiquement \(T(t) = 20\) et \(T(t) \geq 20\). Interpréter. (2 pts)

4. VAL Déterminer graphiquement la température maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte. Vérifier par le calcul (sommet de la parabole). (2 pts)

Exercice 2 – Étude de rentabilité avec paramètre 12 points

Un ébéniste fabrique des coffrets en bois. Le coût de production de \(x\) coffrets est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 80\) (en €). Le prix de vente unitaire est \(p\) euros, soit une recette \(R(x) = px\).

Rappel fourni

Pour résoudre une équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)), on calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\), puis :

  • si \(\Delta < 0\) : l'équation n'a aucune solution ;
  • si \(\Delta = 0\) : elle a une solution, \(x = \dfrac{-b}{2a}\) ;
  • si \(\Delta > 0\) : elle a deux solutions, \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).

1. REA Pour \(p = 25\), résoudre \(C(x) = R(x)\) par le calcul. (3 pts)

2. ANA Déterminer l'intervalle de production rentable (où \(R(x) > C(x)\)) pour \(p = 25\). (2 pts)

3. ANA Pour quel prix de vente minimal \(p\) existe-t-il au moins une valeur de \(x\) telle que \(R(x) = C(x)\) ? (3 pts)

Indication : résoudre \(0{,}5x^2 + (10-p)x + 80 = 0\) et étudier le discriminant.

4. VAL Pour \(p = 30\), calculer le bénéfice maximal \(B(x) = R(x) - C(x)\) et le nombre de coffrets correspondant. (2 pts)

5. COM Rédiger un conseil argumenté pour l'ébéniste sur le prix de vente à fixer. (2 pts)