Chapitre 14 – Automatismes

Chapitre 14 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Comparer deux nombres (par différence, par quotient) et estimer un ordre de grandeur
Opérer et comparer des fractions simples ; opérer sur les puissances ; passer d'une écriture à une autre (décimale, fractionnaire, pourcentage)
Calculer, appliquer et exprimer une proportion ; retrouver la partie ou le tout
Traduire une évolution (« augmenter / diminuer de \(t\,\%\) ») par un coefficient multiplicateur et enchaîner des évolutions
Convertir des unités (vitesses, aires, volumes) et vérifier la vraisemblance d'un résultat
Développer, factoriser, réduire (identités remarquables) ; résoudre des équations simples ; isoler une variable dans une formule

Ce chapitre n'est pas un cours isolé : c'est un mémo des réflexes de calcul à posséder et à réactiver toute l'année (calcul mental, « questions flash »). Chaque section donne une technique rapide, une astuce et un exemple mental, suivi d'un court entraînement.

I. Comparer, estimer, vérifier

1. Comparer deux nombres

Technique — Comparer par différence ou par quotient

Par différence : on étudie le signe de \(a-b\). Si \(a-b\gt 0\) alors \(a\gt b\) ; si \(a-b=0\) alors \(a=b\) ; si \(a-b\lt 0\) alors \(a\lt b\).
Par quotient (pour \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\)) : on compare \(\dfrac{a}{b}\) à \(1\). Si \(\dfrac{a}{b}\gt 1\) alors \(a\gt b\) ; si \(\dfrac{a}{b}=1\) alors \(a=b\) ; si \(\dfrac{a}{b}\lt 1\) alors \(a\lt b\).

Astuce : signes différents \(\Rightarrow\) on conclut immédiatement (un négatif est plus petit qu'un positif).

Exemple

Comparer \(\tfrac{7}{9}\) et \(\tfrac{5}{7}\) : \(\tfrac{7}{9}-\tfrac{5}{7}=\tfrac{49-45}{63}=\tfrac{4}{63}\gt 0\), donc \(\tfrac{7}{9}\gt\tfrac{5}{7}\).

Réflexe 1. Ranger dans l'ordre croissant : \(-3\) ; \(\tfrac{5}{4}\) ; \(1\) ; \(-\tfrac{1}{2}\).

Les négatifs d'abord : \(-3 \lt -\tfrac{1}{2}\). Puis \(1 \lt \tfrac{5}{4}=1{,}25\). Ordre croissant : \(-3 \lt -\tfrac{1}{2} \lt 1 \lt \tfrac{5}{4}\).

2. Ordre de grandeur et vraisemblance

Technique — Estimer un ordre de grandeur

On remplace chaque nombre par une valeur simple (souvent une puissance de \(10\)) pour obtenir une estimation rapide, puis on vérifie la vraisemblance du résultat exact.

Exemple

\(498\times 21 \approx 500\times 20 = 10\,000\) : le résultat exact \(10\,458\) est cohérent.

Attention — Le bon sens en garde-fou

Un pourcentage \(\gt 100\,\%\), une longueur négative, un âge de \(500\) ans… doivent alerter. Un résultat doit toujours passer le crible de l'ordre de grandeur.

Réflexe 2. Estimer un ordre de grandeur de \(19{,}8 \times 51\), puis dire si \(1010\) est un résultat vraisemblable.

\(19{,}8\times 51 \approx 20\times 50 = 1000\). Le résultat \(1010\) (exactement \(1009{,}8\)) est vraisemblable.

II. Fractions, puissances, écritures

1. Opérer sur les fractions

Règles de calcul \[\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}, \qquad \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.\]

Exemple

\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8+3}{12}=\dfrac{11}{12}\) ; \(\dfrac{3}{5}\div\dfrac{9}{10}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{9}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\).

Réflexe 3. Calculer mentalement : (a) \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\) ; (b) \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{10}\).

(a) \(\dfrac{9+2}{12}=\dfrac{11}{12}\). (b) \(\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}\).

2. Opérer sur les puissances

Pour \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) et \(m,n\) entiers relatifs \[a^m\times a^n=a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \quad (a^m)^n=a^{mn}, \quad (ab)^n=a^n b^n, \quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a^0=1.\]

Exemple

\(\dfrac{2^5\times 2^{-2}}{2^{-1}}=2^{5-2-(-1)}=2^{4}=16\).

Réflexe 4. Simplifier : (a) \(\dfrac{2^7}{2^4}\) ; (b) \((3^2)^2\) ; (c) \(5^{-2}\).

(a) \(2^{7-4}=2^3=8\). (b) \(3^{4}=81\). (c) \(\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}=0{,}04\).

3. Changer d'écriture d'un nombre

Technique — Passer d'une écriture à une autre

On passe librement entre écriture décimale, fractionnaire et pourcentage :

\[0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=25\,\%, \qquad \frac{3}{5}=0{,}6=60\,\%.\]

Réflexe 5. Écrire \(\dfrac{3}{4}\) en décimal puis en pourcentage ; écrire \(40\,\%\) en fraction irréductible.

\(\dfrac{3}{4}=0{,}75=75\,\%\). \(40\,\%=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}\).

III. Proportions, pourcentages, évolutions

1. Proportions et pourcentages

Technique — Proportion : partie et tout

Une proportion (ou fréquence) d'une partie dans un tout est \(p=\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}\), exprimable en décimal, fraction ou pourcentage.

Partie connaissant le tout : partie \(=p\times\) tout.
Tout connaissant la partie : tout \(=\dfrac{\text{partie}}{p}\).

Exemple

\(15\,\%\) d'une classe de \(30\) élèves : \(0{,}15\times 30=4{,}5\). Réciproquement, si \(18\) élèves représentent \(75\,\%\) d'un groupe, l'effectif total est \(\dfrac{18}{0{,}75}=24\).

Réflexe 6. (a) Calculer \(20\,\%\) de \(85\). (b) \(12\) élèves représentent \(30\,\%\) d'un groupe : combien sont-ils en tout ?

(a) \(0{,}20\times 85=17\). (b) tout \(=\dfrac{12}{0{,}30}=40\) élèves.

2. Évolutions : de l'additif au multiplicatif

Technique — Coefficient multiplicateur (CM)

« Augmenter de \(t\,\%\) » revient à multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\).
« Diminuer de \(t\,\%\) » revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).
Évolutions successives : on multiplie les coefficients. On revient au taux global par \(t=(\text{CM global}-1)\times 100\).

Exemples : \(+5\,\%\Leftrightarrow\times 1{,}05\) ; \(-5\,\%\Leftrightarrow\times 0{,}95\) ; \(-20\,\%\Leftrightarrow\times 0{,}80\).

Attention — On multiplie, on n'additionne pas

Une hausse de \(10\,\%\) suivie d'une baisse de \(10\,\%\) ne s'annule pas : CM \(=1{,}10\times 0{,}90=0{,}99\), soit une baisse globale de \(1\,\%\) (et non un retour à l'identique).

Réflexe 7. Un prix subit une hausse de \(25\,\%\) puis une baisse de \(20\,\%\). Quelle est l'évolution globale ?

CM \(=1{,}25\times 0{,}80=1\). Le prix revient à sa valeur initiale : évolution globale nulle.

IV. Conversions et calcul littéral rapide

1. Conversions d'unités

Technique — Facteurs de conversion utiles

Vitesses : \(1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h}\) (diviser par \(3{,}6\) pour passer des km/h aux m/s).
Aires : facteur \(\times 100\) entre unités consécutives (\(1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2\)).
Volumes : facteur \(\times 1000\) (\(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\)) ; contenances : \(1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3\).

Exemple

\(72\,\text{km/h}=\dfrac{72}{3{,}6}\,\text{m/s}=20\,\text{m/s}\).

Réflexe 8. Convertir : (a) \(54\,\text{km/h}\) en m/s ; (b) \(2{,}5\,\text{m}^2\) en cm² ; (c) \(3\,\text{L}\) en dm³.

(a) \(54/3{,}6=15\,\text{m/s}\). (b) \(2{,}5\times 10\,000=25\,000\,\text{cm}^2\). (c) \(3\,\text{dm}^3\).

2. Développer, factoriser, réduire

Identités remarquables \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \quad (a+b)(a-b)=a^2-b^2.\] Factorisations utiles : \(ax^2+bx=x(ax+b)\) et \(ax+bx=(a+b)x\).

Exemple

\((x+3)^2=x^2+6x+9\) ; \(49-x^2=(7-x)(7+x)\) ; \(5x^2+2x=x(5x+2)\).

Réflexe 9. Développer \((2x-5)^2\) ; factoriser \(9x^2-4\).

\((2x-5)^2=4x^2-20x+25\). \(9x^2-4=(3x-2)(3x+2)\).

3. Résoudre et isoler une variable

Technique — Équations et formules

\(x^2=a\) : si \(a\lt 0\), pas de solution ; si \(a=0\), \(x=0\) ; si \(a\gt 0\), deux solutions \(x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\).
\(ax+b=cx+d\) : regrouper les \(x\) d'un côté, les constantes de l'autre.
Isoler une variable : appliquer les opérations inverses. De \(U=RI\) : \(I=\dfrac{U}{R}\). De \(d=vt\) : \(t=\dfrac{d}{v}\).

Attention — Deux solutions, pas une

L'équation \(x^2=a\) avec \(a\gt 0\) a deux solutions \(\pm\sqrt{a}\), pas seulement \(\sqrt{a}\). Et dans une inéquation, on change le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif.

Réflexe 10. Résoudre : (a) \(x^2=49\) ; (b) \(4x-1=2x+7\).

(a) \(x=7\) ou \(x=-7\). (b) \(2x=8\), donc \(x=4\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Additionner des pourcentages d'évolution successifs.

✅ On multiplie les coefficients : \(+10\,\%\) puis \(-10\,\%\) donne \(\times 0{,}99\), pas un retour à l'identique.

❌ Confondre proportion (part d'un tout) et évolution (variation).

✅ Toujours repérer de quoi parle le pourcentage.

❌ Se tromper de facteur pour les aires et les volumes.

✅ Aires \(\times 100\), volumes \(\times 1000\) entre unités consécutives.

❌ Écrire \(\sqrt{a}\) comme unique solution de \(x^2=a\).

✅ Il y a deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) lorsque \(a\gt 0\).

❌ Oublier de changer le sens d'une inégalité.

✅ Multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens de l'inégalité.

❌ Négliger l'ordre de grandeur.

✅ Un résultat doit toujours être passé au crible du bon sens.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Comparer : par différence (signe de \(a-b\)) ou, pour des positifs, par quotient (position de \(\tfrac{a}{b}\) par rapport à \(1\)).
Puissances : \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(\tfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}\).
Identités : \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\) ; \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
Évolution : \(+t\,\%\Leftrightarrow\times(1+\tfrac{t}{100})\) ; évolutions successives \(\Rightarrow\) produit des coefficients.
Proportion : partie \(=p\times\) tout ; tout \(=\tfrac{\text{partie}}{p}\).
Vitesse : \(1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h}\) ; aires \(\times 100\), volumes \(\times 1000\).
Vraisemblance : toujours estimer un ordre de grandeur pour contrôler un résultat.

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Calculs numériques — Conversions, arrondis, priorités