Fiche – Automatismes

Chapitre 14 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Comparer : par différence (signe de \(a-b\)) ou, pour des positifs, par quotient (\(\tfrac{a}{b}\) vs \(1\)).
Une évolution s'exprime par un coefficient multiplicateur ; les évolutions successives se multiplient (pas d'addition).
Proportion : partie \(=p\times\) tout ; tout \(=\tfrac{\text{partie}}{p}\).
Conversions clés : \(1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h}\) ; aires \(\times 100\) ; volumes \(\times 1000\).
Toujours contrôler par un ordre de grandeur et la vraisemblance.

Réflexes clés

Comparer

Différence : \(a-b\gt 0 \Leftrightarrow a\gt b\). Quotient (positifs) : \(\tfrac{a}{b}\gt 1 \Leftrightarrow a\gt b\). Signes différents \(\Rightarrow\) conclusion immédiate.

Proportion

\(p=\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}\), exprimable en décimal, fraction ou pourcentage. Partie \(=p\times\) tout ; tout \(=\dfrac{\text{partie}}{p}\).

Évolution

« Augmenter de \(t\,\%\) » \(\Leftrightarrow \times(1+\tfrac{t}{100})\) ; « diminuer de \(t\,\%\) » \(\Leftrightarrow \times(1-\tfrac{t}{100})\). Taux global : \(t=(\text{CM}-1)\times 100\).

Ordre de grandeur

Remplacer chaque nombre par une valeur simple (souvent une puissance de \(10\)) pour estimer, puis vérifier la vraisemblance du résultat.

À connaître par cœur

Puissances (\(a\neq 0\), \(m,n\) entiers relatifs) \[a^m\times a^n=a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \quad (a^m)^n=a^{mn}, \quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a^0=1.\]

Fractions \[\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}, \qquad \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.\]

Identités remarquables \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \quad (a+b)(a-b)=a^2-b^2.\]

Conversions à connaître

Vitesses : \(1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h}\) (diviser par \(3{,}6\) pour aller des km/h aux m/s).
Aires : \(1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2\) (facteur \(\times 100\)).
Volumes : \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\) (facteur \(\times 1000\)) ; \(1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3\).

Équations et écritures

\(x^2=a\) : deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) si \(a\gt 0\) ; \(x=0\) si \(a=0\) ; aucune si \(a\lt 0\).
Écritures d'un même nombre : \(0{,}25=\dfrac{1}{4}=25\,\%\) ; \(\dfrac{3}{5}=0{,}6=60\,\%\).

Méthode — Enchaîner des évolutions

Méthode

Traduire chaque évolution en coefficient multiplicateur.
Multiplier les coefficients pour l'évolution globale.
Reconvertir en taux : \(t=(\text{CM global}-1)\times 100\).

Méthode — Appliquer ou retrouver un pourcentage

Partie connaissant le tout : partie \(=p\times\) tout.
Tout connaissant la partie : tout \(=\dfrac{\text{partie}}{p}\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Additionner des pourcentages d'évolution.

✅ On multiplie les coefficients : \(+10\,\%\) puis \(-10\,\%\) donne \(\times 0{,}99\).

❌ Se tromper de facteur pour les aires ou les volumes.

✅ Aires \(\times 100\), volumes \(\times 1000\) entre unités consécutives.

❌ Écrire une seule solution pour \(x^2=a\).

✅ Deux solutions \(\pm\sqrt{a}\) lorsque \(a\gt 0\).

❌ Oublier de changer le sens d'une inégalité, ou négliger l'ordre de grandeur.

✅ Multiplier par un négatif inverse l'inégalité ; contrôler chaque résultat par le bon sens.

Exemple rapide

Exemple — un énoncé, plusieurs réflexes

Un prix de \(50\,\text{€}\) augmente de \(20\,\%\) puis baisse de \(20\,\%\).

CM global \(=1{,}20\times 0{,}80=0{,}96\).
Nouveau prix : \(50\times 0{,}96=48\,\text{€}\).
Évolution globale : \(-4\,\%\) (et non \(0\,\%\)).