Chapitre 12 – Probabilités

Chapitre 12 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30

Objectifs du chapitre

Observer la loi des grands nombres à l'aide d'une simulation (Python ou tableur)
Construire un arbre pondéré ou un tableau, et passer de la langue naturelle au registre symbolique
Calculer des probabilités conditionnelles à partir d'un tableau croisé d'effectifs ou d'un arbre
Interpréter les pondérations des branches d'un arbre en termes de probabilités conditionnelles
Faire le lien entre probabilité conditionnelle et multiplication le long d'un chemin
Distinguer en situation \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\), notamment dans les situations de « faux positifs »

I. Rappels : expérience aléatoire, évènements, probabilité

1. Vocabulaire de base

Définition — Expérience aléatoire, issues, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles (lancer un dé, tirer une carte…).
Une issue est un résultat possible de l'expérience.
L'univers, noté \(\Omega\), est l'ensemble de toutes les issues.

Définition — Évènement

Un évènement est une partie de l'univers, c'est-à-dire un ensemble d'issues. Un évènement est réalisé lorsque l'issue obtenue lui appartient.

La probabilité d'un évènement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre entre \(0\) et \(1\) qui mesure la « chance » que \(A\) se réalise.

Rappel — Langage des ensembles appliqué aux évènements

Intersection \(A\cap B\) : « \(A\) et \(B\) » ; réunion \(A\cup B\) : « \(A\) ou \(B\) ».
Évènement contraire \(\overline{A}\) : « non \(A\) » ; évènement impossible \(\varnothing\) ; évènement certain \(\Omega\).

Propriété — Loi de probabilité

Pour tout évènement \(A\) :

\[0 \le P(A) \le 1, \qquad P(\Omega) = 1, \qquad P(\varnothing) = 0.\]

Évènement contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des issues qui le composent.

2. Équiprobabilité

Propriété — Cas d'équiprobabilité

Si toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage au sort…), alors pour tout évènement \(A\) :

\[P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}.\]

Attention — Un modèle est un choix

L'équiprobabilité est une hypothèse que l'on pose sur le modèle (« le dé est équilibré », « on tire au hasard »). Ce n'est pas une propriété que l'on démontre : c'est une modélisation de la réalité.

Exemple

On lance un dé cubique et on choisit le modèle d'équiprobabilité : \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), chaque face de probabilité \(\tfrac16\). Alors

\[P(\text{« obtenir un nombre pair »}) = \frac{\text{Card}\{2,4,6\}}{6} = \frac{3}{6} = \frac12.\]

Si le dé était pipé, ce modèle serait faux : rien dans les mathématiques seules ne le dit, il faut lancer le dé un grand nombre de fois et observer les fréquences.

Exercice d'application 1. On tire au hasard une carte d'un jeu de \(32\) cartes (équiprobabilité). Calculer la probabilité d'obtenir un roi, puis celle d'obtenir un cœur.

Il y a \(4\) rois : \(P(\text{roi}) = \tfrac{4}{32} = \tfrac18\). Il y a \(8\) cœurs : \(P(\text{cœur}) = \tfrac{8}{32} = \tfrac14\).

II. Fréquences et loi des grands nombres

Définition — Fréquence

La fréquence d'un résultat sur \(n\) répétitions est :

\[f = \frac{\text{nombre de fois où le résultat apparaît}}{n}.\]

Définition — Fluctuation d'échantillonnage

Une série de \(n\) répétitions indépendantes de la même expérience s'appelle un échantillon de taille \(n\). Les fréquences observées varient d'un échantillon à l'autre : deux séries de \(100\) lancers d'une même pièce ne donnent presque jamais la même fréquence de « pile ». Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. Elle diminue quand la taille \(n\) de l'échantillon augmente.

Une expérience aléatoire réelle (lancer une pièce, sonder une population) est représentée par un modèle probabiliste : un univers \(\Omega\) et une loi \(P\) choisie. Le lien entre les fréquences observées (statistiques) et les probabilités (modèle) est donné par la loi des grands nombres.

Loi des grands nombres (énoncé vulgarisé)

Lorsque \(n\) est grand, sauf exception, la fréquence observée d'un évènement au cours de \(n\) répétitions indépendantes est proche de sa probabilité.

Attention — Deux mots à prendre au sérieux

« sauf exception » : rien n'est garanti à coup sûr. Il reste possible (mais très improbable) d'obtenir \(100\) fois « pile » de suite avec une pièce équilibrée.
« proche » : la fréquence n'est pas égale à la probabilité, elle s'en rapproche quand \(n\) augmente.

Cette loi justifie la démarche expérimentale : pour estimer une probabilité inconnue, on répète l'expérience un grand nombre de fois et on prend la fréquence comme valeur approchée.

III. Probabilité conditionnelle

On s'intéresse à la probabilité d'un évènement quand on dispose déjà d'une information.

Définition — Probabilité conditionnelle

Soient \(A\) et \(B\) deux évènements, avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité de \(B\) sachant \(A\), notée \(P_A(B)\), est définie par :

\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.\]

Lecture. \(P_A(B)\) répond à la question : « sachant que \(A\) est réalisé, quelle est la probabilité que \(B\) le soit aussi ? » On se restreint aux issues où \(A\) est vrai, et on regarde parmi elles la proportion de celles où \(B\) est vrai également.

Propriété — Cas de l'équiprobabilité (lien avec les effectifs)

Lorsque le tirage est au hasard avec équiprobabilité :

\[P_A(B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}.\]

Autrement dit : on se place dans le « monde » \(A\) (le dénominateur devient \(\text{Card}(A)\), et non plus \(\text{Card}(\Omega)\)) et on compte les issues favorables à \(B\) dans ce monde.

Exemple — Tableau croisé d'effectifs

Dans un lycée de \(200\) élèves, on interroge sur la pratique d'un sport et l'apprentissage de l'espagnol.

	Espagnol \(E\)	Pas d'esp. \(\overline{E}\)	Total
Sportif \(S\)	\(60\)	\(40\)	\(100\)
Non sportif \(\overline{S}\)	\(30\)	\(70\)	\(100\)
Total	\(90\)	\(110\)	\(200\)

On choisit un élève au hasard (équiprobabilité).

\(P(S) = \dfrac{100}{200} = 0{,}5\).
Espagnol sachant sportif : \(P_S(E) = \dfrac{\text{Card}(S \cap E)}{\text{Card}(S)} = \dfrac{60}{100} = 0{,}6\).
Sportif sachant espagnol : \(P_E(S) = \dfrac{\text{Card}(S \cap E)}{\text{Card}(E)} = \dfrac{60}{90} \approx 0{,}67\).

Ainsi \(P_S(E) = 0{,}6\) et \(P_E(S) \approx 0{,}67\) sont différents : ce sont deux questions distinctes. C'est le cœur de l'inversion des conditionnements.

Exercice d'application 2. Avec le tableau ci-dessus, calculer \(P_{\overline{S}}(\overline{E})\) : probabilité de ne pas faire d'espagnol sachant qu'on n'est pas sportif.

Évènement connu \(\overline{S}\) : effectif \(100\). Intersection \(\overline{S}\cap\overline{E}\) : effectif \(70\). Donc \(P_{\overline{S}}(\overline{E}) = \tfrac{70}{100} = 0{,}7\).

IV. Règle du produit et arbres de probabilité

1. La règle du produit

En multipliant les deux membres de la définition par \(P(A)\), on obtient :

Propriété — Probabilité d'une intersection

Si \(P(A) \neq 0\), alors :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).\]

Lecture. La probabilité que « \(A\) et \(B\) » se réalisent s'obtient en multipliant la probabilité de \(A\) par la probabilité de \(B\) sachant \(A\). C'est le fondement de la règle de l'arbre.

Exemple — Tirage sans remise

Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules vertes. On tire successivement sans remise deux boules :

\[P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\]

Après un premier tirage rouge, il reste \(2\) rouges sur \(4\) boules : d'où \(P_{R_1}(R_2) = \tfrac24\).

2. Arbres pondérés

Définition — Arbre pondéré

Un arbre pondéré organise une expérience en plusieurs étapes. On part d'un nœud initial (la racine) ; de chaque nœud partent des branches, chacune pondérée par une probabilité ; un chemin est une suite de branches de la racine à une extrémité (une feuille) et décrit un scénario complet.

Propriété — Règles de l'arbre

Somme des branches d'un même nœud : elles ont pour somme \(1\).
Probabilité d'un chemin : c'est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Interprétation : la première branche porte une probabilité « simple » (\(P(A)\)) ; toute branche partant d'un nœud plus profond porte une probabilité conditionnelle (par exemple \(P_A(B)\)).

Pourquoi la règle 2 fonctionne. C'est exactement la règle du produit : pour le chemin « \(A\) puis \(B\) », \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\). Multiplier le long d'un chemin, c'est appliquer cette propriété.

Arbre du tirage sans remise : sur chaque branche la probabilité (en vert) ; la probabilité d'un chemin (en rouge) est le produit des branches. Les branches d'un même nœud somment à \(1\).

Un évènement peut correspondre à plusieurs chemins : on additionne alors les probabilités de ces chemins. Par exemple, « obtenir exactement une boule rouge » correspond aux chemins \(R_1V_2\) et \(V_1R_2\) :

\[P(\text{« exactement une rouge »}) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.\]

Attention — Limite du programme

Additionner les probabilités des chemins d'un arbre sur un exemple concret est au programme. En revanche, la formule générale des probabilités totales, énoncée abstraitement, n'est pas un attendu de la Seconde : on lit les chemins sur un arbre construit à la main.

Exercice d'application 3. Une usine a deux machines : A fabrique \(70\%\) des pièces, B le reste. Parmi les pièces de A, \(2\%\) sont défectueuses ; parmi celles de B, \(5\%\). Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.

Deux chemins mènent à \(D\) : \(P(D) = 0{,}70\times 0{,}02 + 0{,}30\times 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029\), soit \(2{,}9\%\).

V. Tests diagnostiques et faux positifs

C'est l'application phare de l'inversion des conditionnements. Un test diagnostique cherche à détecter une maladie \(M\) ; il peut être positif (\(+\)) ou négatif (\(-\)).

Définition — Sensibilité et spécificité

Sensibilité : probabilité que le test soit positif chez un malade, c'est-à-dire \(P_M(+)\). Une bonne sensibilité limite les faux négatifs.
Spécificité : probabilité que le test soit négatif chez une personne saine, c'est-à-dire \(P_{\overline{M}}(-)\). Une bonne spécificité limite les faux positifs.

Attention — La question du patient est inversée

Le patient se demande : « mon test est positif ; quelle est la probabilité que je sois vraiment malade ? », soit \(P_+(M)\). Or \(P_+(M)\) n'est pas égal à la sensibilité \(P_M(+)\) ! Quand la maladie est rare, \(P_+(M)\) est souvent étonnamment faible : c'est le « paradoxe des faux positifs ».

Méthode — Calculer \(P_+(M)\) (paradoxe des faux positifs)

Nommer les évènements : \(M\) « être malade », \(+\) « test positif ».
Traduire : sensibilité \(= P_M(+)\), spécificité \(= P_{\overline{M}}(-)\), prévalence \(= P(M)\).
Construire l'arbre : \(M\)/\(\overline{M}\) à la première étape, \(+\)/\(-\) à la seconde.
Calculer \(P_+(M) = \dfrac{\text{chemin des vrais positifs}}{\text{vrais positifs} + \text{faux positifs}}\).

Exemple résolu — Paradoxe des faux positifs

Une maladie touche \(1\%\) de la population : \(P(M) = 0{,}01\). Le test a une sensibilité de \(99\%\) (\(P_M(+) = 0{,}99\)) et une spécificité de \(95\%\) (\(P_{\overline{M}}(+) = 0{,}05\)).

Vrais positifs : \(0{,}01 \times 0{,}99 = 0{,}0099\).
Faux positifs : \(0{,}99 \times 0{,}05 = 0{,}0495\).
\(P(+) = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594\).

\[P_+(M) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}167, \quad \text{soit environ } 17\%.\]

Les deux chemins menant à « \(+\) » sont les vrais positifs (VP) et les faux positifs (FP). Les sains étant bien plus nombreux, les FP dominent : \(P_+(M)=\tfrac{\text{VP}}{\text{VP}+\text{FP}}\approx 17\%\).

Interprétation. Bien que le test soit excellent (\(P_M(+) = 99\%\)), un patient positif n'a qu'environ 17 % de chances d'être vraiment malade : les faux positifs, très nombreux car issus d'une population saine bien plus grande, « noient » les vrais positifs. Il ne faut jamais confondre \(P_M(+)\) (sensibilité) et \(P_+(M)\) (ce qui intéresse le patient).

VI. Simuler avec Python

Pour observer la loi des grands nombres, on simule \(n\) lancers d'une pièce équilibrée et on regarde la fréquence de « pile » à l'aide du module random.

import random

def frequence_pile(n):
    nb_pile = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < 0.5:   # 'pile' avec probabilité 1/2
            nb_pile = nb_pile + 1
    return nb_pile / n

print(frequence_pile(10))       # par exemple 0.4 (très variable)
print(frequence_pile(1000))     # par exemple 0.507
print(frequence_pile(100000))   # par exemple 0.4998 (proche de 0,5)

Ce qu'on observe

Pour \(n\) petit, la fréquence saute d'une exécution à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Pour \(n\) grand, elle se stabilise autour de \(0{,}5\) : c'est la loi des grands nombres « en action ». On n'obtient jamais exactement \(0{,}5\), mais on s'en approche. Remarque : random.randint(1, 6) renvoie un entier entre \(1\) et \(6\) inclus pour simuler un dé.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

✅ Toujours se demander : « quel est l'évènement déjà connu ? » — il va au dénominateur.

❌ Oublier de changer le dénominateur dans une probabilité conditionnelle.

✅ Le dénominateur est l'effectif de l'évènement « sachant », pas \(\text{Card}(\Omega)\).

❌ Croire que l'équiprobabilité se démontre.

✅ C'est une hypothèse de modèle : on l'affirme, on ne la prouve pas.

❌ Additionner les branches d'un chemin au lieu de les multiplier.

✅ On multiplie le long d'un chemin ; on additionne les branches d'un même nœud (à \(1\)).

❌ Confondre fréquence et probabilité.

✅ La fréquence est observée ; la probabilité est du modèle. La loi des grands nombres les rapproche sans les rendre égales.

L'essentiel à retenir

À retenir :

Un modèle probabiliste est un choix ; l'équiprobabilité est une hypothèse. En équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\).
Fluctuation d'échantillonnage : la fréquence varie d'un échantillon à l'autre ; cette fluctuation diminue quand la taille \(n\) de l'échantillon augmente.
Loi des grands nombres : pour \(n\) grand, la fréquence est proche de la probabilité (sauf exception).
Probabilité conditionnelle : \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) ; en équiprobabilité \(P_A(B) = \dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}\).
Règle du produit : \(P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)\).
Arbre : les branches d'un nœud somment à \(1\) ; un chemin est le produit des branches ; on additionne les chemins d'un évènement composé.
\(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général : inversion des conditionnements. Test : sensibilité \(= P_M(+)\), spécificité \(= P_{\overline{M}}(-)\), et ce qui intéresse le patient est \(P_+(M)\).

Simulation interactive

Probabilités et fluctuation des fréquences