Probabilités | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On lance un dé cubique équilibré : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
1. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.
2. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de \(3\).
3. Calculer la probabilité de ne pas obtenir un \(6\).
1. Pairs : \(\{2,4,6\}\), donc \(P=\tfrac36=\tfrac12\).
2. Multiples de \(3\) : \(\{3,6\}\), donc \(P=\tfrac26=\tfrac13\).
3. \(P(\text{« pas }6\text{ »})=1-\tfrac16=\tfrac56\) (évènement contraire).
On tire au hasard une carte d'un jeu de \(32\) cartes (équiprobabilité).
1. Probabilité d'obtenir un pique.
2. Probabilité d'obtenir une figure (valet, dame ou roi).
3. Probabilité d'obtenir une carte rouge (cœur ou carreau).
1. \(8\) piques : \(P=\tfrac{8}{32}=\tfrac14\).
2. \(3\) figures par couleur, \(4\) couleurs, soit \(12\) figures : \(P=\tfrac{12}{32}=\tfrac38\).
3. \(16\) cartes rouges : \(P=\tfrac{16}{32}=\tfrac12\).
On note \(A\) « l'élève est externe » et \(B\) « l'élève est en retard ». Traduire en langage symbolique.
1. « La probabilité qu'un élève soit externe et en retard. »
2. « Parmi les externes, la proportion de retardataires. »
3. « La probabilité qu'un élève en retard soit externe. »
1. \(P(A\cap B)\).
2. \(P_A(B)\).
3. \(P_B(A)\). Bien noter que 2. et 3. sont différentes : inversion des conditionnements.
Dans un club de \(150\) membres, \(90\) sont des adultes, dont \(54\) pratiquent la natation. Parmi les \(60\) jeunes, \(20\) pratiquent la natation. On choisit un membre au hasard.
1. Dresser le tableau croisé (adulte/jeune × natation/autre).
2. Calculer \(P(\text{natation})\).
3. Calculer \(P_{\text{adulte}}(\text{natation})\) et \(P_{\text{natation}}(\text{adulte})\). Sont-elles égales ?
1. Natation : adultes \(54\), jeunes \(20\), total \(74\) ; autre : adultes \(36\), jeunes \(40\), total \(76\).
2. \(P(\text{natation})=\tfrac{74}{150}\approx 0{,}49\).
3. \(P_{\text{adulte}}(\text{natation})=\tfrac{54}{90}=0{,}6\) ; \(P_{\text{natation}}(\text{adulte})=\tfrac{54}{74}\approx 0{,}73\). Elles sont différentes (inversion des conditionnements).
Un sac contient \(4\) jetons bleus et \(6\) jetons rouges. On tire deux jetons successivement sans remise.
1. Décrire l'arbre pondéré des deux tirages.
2. Calculer la probabilité de tirer « bleu puis rouge ».
3. Calculer la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur.
1. 1re étape : \(B_1\ (\tfrac{4}{10})\), \(R_1\ (\tfrac{6}{10})\). Puis \(B_1\!\to\!B_2\ (\tfrac39)\), \(B_1\!\to\!R_2\ (\tfrac69)\), \(R_1\!\to\!B_2\ (\tfrac49)\), \(R_1\!\to\!R_2\ (\tfrac59)\).
2. \(P(B_1\cap R_2)=\tfrac{4}{10}\times\tfrac69=\tfrac{24}{90}=\tfrac{4}{15}\).
3. Deux chemins (\(B_1B_2\) et \(R_1R_2\)) : \(P=\tfrac{4}{10}\cdot\tfrac39+\tfrac{6}{10}\cdot\tfrac59=\tfrac{12}{90}+\tfrac{30}{90}=\tfrac{42}{90}=\tfrac{7}{15}\).
Dans un atelier, \(60\%\) des pièces viennent du fournisseur X, le reste du fournisseur Y. \(3\%\) des pièces de X sont non conformes, contre \(8\%\) pour Y. On prend une pièce au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la pièce soit non conforme.
3. Sachant qu'une pièce est non conforme, quelle est la probabilité qu'elle vienne de Y ?
1. 1re étape : X \((0{,}6)\) / Y \((0{,}4)\). 2e étape : NC / conforme sous chaque fournisseur.
2. \(P(\text{NC})=0{,}6\times0{,}03+0{,}4\times0{,}08=0{,}018+0{,}032=0{,}05\).
3. \(P_{\text{NC}}(Y)=\dfrac{0{,}032}{0{,}05}=0{,}64\), soit \(64\%\).
On veut estimer par simulation la probabilité d'obtenir « au moins un six » en lançant deux dés équilibrés.
1. Écrire une fonction au_moins_un_six(n) qui simule \(n\) répétitions de l'expérience et renvoie la fréquence de l'évènement.
2. Comparer avec la valeur théorique \(1-\left(\tfrac56\right)^2=\tfrac{11}{36}\approx 0{,}306\).
1.
import random
def au_moins_un_six(n):
succes = 0
for i in range(n):
d1 = random.randint(1, 6)
d2 = random.randint(1, 6)
if d1 == 6 or d2 == 6:
succes = succes + 1
return succes / n
print(au_moins_un_six(100000)) # proche de 0.3062. Pour \(n\) grand, la fréquence obtenue est proche de \(\tfrac{11}{36}\approx 0{,}306\) : la loi des grands nombres confirme le calcul théorique.
Une maladie touche \(2\%\) d'une population. Un test a une sensibilité de \(98\%\) et une spécificité de \(90\%\).
1. Traduire les données avec les notations \(P(M)\), \(P_M(+)\), \(P_{\overline{M}}(+)\).
2. Construire l'arbre et calculer \(P(+)\).
3. Calculer \(P_+(M)\) et commenter.
1. \(P(M)=0{,}02\) ; \(P_M(+)=0{,}98\) ; \(P_{\overline{M}}(+)=1-0{,}90=0{,}10\).
2. Vrais positifs : \(0{,}02\times0{,}98=0{,}0196\) ; faux positifs : \(0{,}98\times0{,}10=0{,}098\). Donc \(P(+)=0{,}0196+0{,}098=0{,}1176\).
3. \(P_+(M)=\dfrac{0{,}0196}{0{,}1176}\approx 0{,}167\), soit environ \(17\%\). Malgré un bon test, un positif n'a qu'environ \(17\%\) de risque réel : c'est l'effet des faux positifs, dû à la rareté de la maladie.