Fiche – Probabilités

Chapitre 12 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

L'équiprobabilité est une hypothèse de modèle : \(P(A)=\dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\).
Loi des grands nombres : pour \(n\) grand, la fréquence est proche de la probabilité (sauf exception).
Probabilité conditionnelle : \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ; on se place « dans le monde \(A\) ».
Arbre : les branches d'un nœud somment à \(1\) ; un chemin = produit des branches ; on additionne les chemins d'un évènement composé.
\(P_A(B)\neq P_B(A)\) en général : c'est l'inversion des conditionnements (faux positifs).

Définitions clés

Définition

Expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat, mais on connaît toutes les issues. L'univers \(\Omega\) est l'ensemble des issues ; un évènement est une partie de \(\Omega\).

Définition

Probabilité : \(0\le P(A)\le 1\), avec \(P(\Omega)=1\) et \(P(\varnothing)=0\). Évènement contraire : \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Définition

Probabilité conditionnelle : \(P_A(B)\), probabilité de \(B\) sachant \(A\) (avec \(P(A)\neq 0\)) : « sachant que \(A\) est réalisé, quelle chance que \(B\) le soit ? ».

Définition

Sensibilité / spécificité : sensibilité \(=P_M(+)\) (limite les faux négatifs) ; spécificité \(=P_{\overline{M}}(-)\) (limite les faux positifs).

À connaître par cœur

Équiprobabilité \[P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}\]

Probabilité conditionnelle \[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad\text{(équiprob.)}\quad P_A(B) = \frac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}\]

Règle du produit (le long d'un chemin) \[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\]

Règles de l'arbre

Les branches issues d'un même nœud somment à \(1\).
Probabilité d'un chemin = produit des branches.
Un évènement composé = somme des chemins qui le réalisent.
Première branche : probabilité simple ; branche plus profonde : probabilité conditionnelle.

Méthode — Probabilité conditionnelle sur un tableau

Méthode

Repérer l'évènement connu (après « sachant ») et l'évènement cherché.
Dénominateur = effectif de l'évènement connu (pas le total !).
Numérateur = effectif de l'intersection (les deux à la fois).
Écrire \(P_{\text{connu}}(\text{cherché})=\dfrac{\text{Card(intersection)}}{\text{Card(connu)}}\) et simplifier.

Méthode — Paradoxe des faux positifs

Arbre : \(M\)/\(\overline{M}\) puis \(+\)/\(-\).
\(P_+(M)=\dfrac{\text{vrais positifs}}{\text{vrais positifs}+\text{faux positifs}}\).
Si la maladie est rare, \(P_+(M)\) est souvent bien plus faible que la sensibilité.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

✅ L'évènement déjà connu va au dénominateur.

❌ Garder \(\text{Card}(\Omega)\) au dénominateur d'une conditionnelle.

✅ Le dénominateur est l'effectif de l'évènement « sachant ».

❌ Additionner les branches d'un même chemin.

✅ On multiplie le long d'un chemin ; on additionne les branches d'un même nœud (à \(1\)).

❌ Confondre fréquence (observée) et probabilité (du modèle).

✅ La loi des grands nombres les rapproche sans les rendre égales.

Exemple rapide

Exemple — arbre à deux étapes

Machine A fait \(70\%\) des pièces (\(2\%\) défectueuses), machine B le reste (\(5\%\) défectueuses).

Chemin A–D : \(0{,}70\times0{,}02=0{,}014\).
Chemin B–D : \(0{,}30\times0{,}05=0{,}015\).
\(P(D)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\) (somme des chemins menant à \(D\)).