Chapitre 10 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
Dans une population de \(N\) individus, on considère un caractère (par exemple « être demi-pensionnaire »). Le nombre d'individus possédant ce caractère est son effectif \(n\). La fréquence (ou proportion) de ce caractère est
\[f = \frac{n}{N}.\]C'est un nombre de l'intervalle \([0\,;1]\). Multipliée par \(100\), elle s'exprime en pourcentage : \(p = f \times 100\), et l'on écrit \(p\%\).
Effectif, fréquence et pourcentage sont trois façons d'exprimer la même information. On passe de l'une à l'autre par :
\[n = f \times N, \qquad f = \frac{n}{N}, \qquad p = 100\,f.\]Un lycée compte \(N = 800\) élèves, dont \(n = 520\) demi-pensionnaires. La proportion est \(f = \dfrac{520}{800} = 0{,}65\), soit \(65\%\).
Inversement, si l'on annonce que \(65\%\) des \(800\) élèves sont demi-pensionnaires, l'effectif correspondant est \(0{,}65 \times 800 = 520\).
Une proportion décrit une part d'un tout : elle n'a de sens que si l'on précise l'ensemble de référence (« \(65\%\) de qui ? »).
\(f = \dfrac{18}{30} = 0{,}6\), soit \(p = 100 \times 0{,}6 = 60\%\) d'élèves germanistes.
On considère trois ensembles emboîtés \(C \subset B \subset A\) (chacun inclus dans le suivant). Si \(B\) représente une proportion \(f_1\) de \(A\), et \(C\) une proportion \(f_2\) de \(B\), alors \(C\) représente une proportion de \(A\) égale au produit :
\[f = f_1 \times f_2.\]Dans un lycée, \(55\%\) des élèves sont des filles, et \(40\%\) de ces filles sont demi-pensionnaires. La proportion de filles demi-pensionnaires dans le lycée est :
\[0{,}55 \times 0{,}40 = 0{,}22, \quad \text{soit } 22\%.\]Le « \(40\%\) » portait sur les filles (ensemble intermédiaire), pas sur l'ensemble du lycée : on ne peut ni additionner ni garder \(40\%\) tel quel.
Ensembles emboîtés : « nuit à l'atelier » \(\subset\) « atelier » \(\subset\) « entreprise ». On multiplie les proportions : \(0{,}60 \times 0{,}35 = 0{,}21\), soit \(21\%\) des salariés de l'entreprise.
Une grandeur passe d'une valeur initiale \(V_1\) à une valeur finale \(V_2\) (un prix qui augmente, une population qui diminue…). Trois nombres décrivent cette évolution.
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur sont liés par :
\[\text{CM} = 1 + t \qquad \text{et} \qquad V_2 = V_1\,(1 + t).\]Un article passe de \(V_1 = 80\) € à \(V_2 = 92\) €.
Inversement, « baisser de \(30\%\) » revient à multiplier par \(1 - 0{,}30 = 0{,}70\) : un article à \(50\) € soldé à \(-30\%\) coûte \(50 \times 0{,}70 = 35\) €.
Exemple résolu. Une population passe de \(2\,500\) à \(2\,300\) habitants : \(\text{CM} = \dfrac{2300}{2500} = 0{,}92\), donc \(t = 0{,}92 - 1 = -0{,}08\) : baisse de \(8\%\).
Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives, de coefficients multiplicateurs \(\text{CM}_1\), \(\text{CM}_2\), …, le coefficient multiplicateur global est le produit :
\[\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2 \times \cdots\]Le taux global s'en déduit : \(t_{\text{global}} = \text{CM}_{\text{global}} - 1\). Les taux, eux, ne s'additionnent pas.
Un prix augmente de \(20\%\) puis baisse de \(20\%\) :
\[\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96,\]soit \(t_{\text{global}} = 0{,}96 - 1 = -0{,}04\) : une baisse globale de \(4\%\), et non un retour au prix initial ! Les deux \(20\%\) ne portent pas sur la même valeur de référence.
L'évolution réciproque est celle qui ramène la grandeur à sa valeur initiale. Son coefficient multiplicateur est l'inverse de celui de l'évolution directe :
\[\text{CM}_{\text{réciproque}} = \frac{1}{\text{CM}}, \qquad \text{puis} \qquad t_{\text{réciproque}} = \frac{1}{\text{CM}} - 1.\]Après une hausse de \(25\%\), \(\text{CM} = 1{,}25\). Pour revenir à la valeur initiale :
\[\text{CM}_{\text{réciproque}} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8,\]soit \(t_{\text{réciproque}} = 0{,}8 - 1 = -0{,}2\) : il faut une baisse de \(20\%\) (et non de \(25\%\)).
a) \(\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}10 \times 1{,}05 = 1{,}155\), donc \(t_{\text{global}} = 0{,}155\) : hausse globale de \(15{,}5\%\) (et non \(15\%\)).
b) \(\text{CM}_{\text{réciproque}} = \dfrac{1}{1{,}155} \approx 0{,}866\), soit \(t_{\text{réciproque}} \approx -0{,}134\) : une baisse d'environ \(13{,}4\%\).
Un même pourcentage peut exprimer deux choses très différentes ; il faut toujours identifier laquelle :
« \(15\%\) de remise » (évolution : \(\times\,0{,}85\)) n'a pas le même sens que « \(15\%\) des clients » (proportion : \(0{,}15 \times\) effectif).
Une série statistique prend les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_p\) avec les effectifs respectifs \(n_1, n_2, \dots, n_p\). En notant \(N = n_1 + n_2 + \dots + n_p\) l'effectif total, la moyenne est
\[\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i.\]Lorsque toutes les valeurs sont distinctes (effectifs égaux à \(1\)), on retrouve \(\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}\).
Notes d'un devoir : cinq \(8\), huit \(12\), sept \(15\). Alors
\[\bar{x} = \frac{5 \times 8 + 8 \times 12 + 7 \times 15}{5 + 8 + 7} = \frac{40 + 96 + 105}{20} = \frac{241}{20} = 12{,}05.\]On range la série par ordre croissant.
Exemple résolu. Série \(4, 5, 7, 8, 8, 12, 15\) (\(N = 7\), impair) : la valeur de rang \(4\) est \(8\), donc \(\text{Me} = 8\).
Série \(2, 4, 4, 6, 9\) (\(N=5\)) : la valeur centrale est \(4\), donc \(\text{Me} = 4\). La moyenne, elle, vaut \(\dfrac{2+4+4+6+9}{5} = 5\).
Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{11+12+12+13+14+14+14+16}{8} = \dfrac{106}{8} = 13{,}25\) ans.
\(N = 8\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs \(4\) et \(5\), soit \(\dfrac{13+14}{2} = 13{,}5\) ans.
La boîte à moustaches résume visuellement les cinq indicateurs : minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum.
Boîte à moustaches : la boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\) (largeur = écart interquartile), la médiane la partage, et les moustaches rejoignent le minimum et le maximum.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : l'une regroupée autour de sa moyenne, l'autre très dispersée. Pour quantifier cette dispersion, on introduit la variance et l'écart type.
La variance d'une série de moyenne \(\bar{x}\) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i\,(x_i - \bar{x})^2.\]Elle est toujours positive ou nulle. L'écart type est la racine carrée de la variance :
\[\sigma = \sqrt{V}.\]Il s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend directement interprétable.
L'écart type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est petit, plus les valeurs sont regroupées près de \(\bar{x}\) ; plus il est grand, plus elles sont dispersées. Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont égales.
Exemple résolu. Série \(4, 7, 7, 10\) (\(N = 4\)).
Série \(A\) : \(9, 10, 10, 11\), de moyenne \(10\). Sa variance est \(V = \dfrac{1+0+0+1}{4} = 0{,}5\), donc \(\sigma_A = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71\).
Série \(B\) : \(6, 10, 10, 14\), de même moyenne \(10\), mais \(V = \dfrac{16+0+0+16}{4} = 8\), donc \(\sigma_B = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). La série \(B\) est bien plus dispersée que \(A\).
Ne pas confondre variance et écart type : l'écart type est la racine carrée de la variance ; c'est lui qui s'exprime dans l'unité des données. Sur la calculatrice, utiliser la touche \(\sigma_x\) (division par \(N\)), pas \(s_x\).
Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{3+5+5+7}{4} = 5\). Carrés des écarts : \(4, 0, 0, 4\). Variance : \(V = \dfrac{8}{4} = 2\). Écart type : \(\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).
Si l'on transforme chaque valeur \(x_i\) en \(y_i = a\,x_i + b\) (transformation affine, avec \(a\) et \(b\) constants), alors
\[\bar{y} = a\,\bar{x} + b \qquad \text{et} \qquad \sigma_y = |a|\,\sigma_x.\]L'écart type est insensible à l'addition d'une constante \(b\) (une translation ne change pas la dispersion) et se multiplie par \(|a|\) lors d'un changement d'échelle. La valeur absolue garantit \(\sigma_y \geqslant 0\).
Des températures ont une moyenne de \(20\,^\circ\mathrm{C}\) et un écart type de \(3\,^\circ\mathrm{C}\). Converties en degrés Fahrenheit par \(F = 1{,}8\,C + 32\) :
moyenne \(= 1{,}8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ\mathrm{F}\) ; écart type \(= |1{,}8| \times 3 = 5{,}4\,^\circ\mathrm{F}\).
Série \(2, 4, 4, 6, 9\) : moyenne \(= 5\), médiane \(= 4\). On ajoute la valeur \(95\) :
En présence de valeurs atypiques, on privilégie donc souvent la médiane.
Deux classes ont la même moyenne de \(12\). La classe 1 a un écart type de \(2\), la classe 2 un écart type de \(5\). La classe 1 est homogène (notes proches de \(12\)) ; la classe 2 est hétérogène (notes très étalées).
\(\bar{y} = 0{,}01 \times 150 = 1{,}5\) m et \(\sigma_y = |0{,}01| \times 8 = 0{,}08\) m.
Lorsque le caractère est continu (taille, durée, salaire…) ou prend de nombreuses valeurs, on regroupe les données en classes (intervalles) de même amplitude, par exemple \([0\,;10[\), \([10\,;20[\), etc.
Pour chaque classe, on trace un rectangle dont la largeur est l'amplitude de la classe. Toutes les classes ayant ici la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif. À la différence d'un diagramme en barres, les rectangles sont accolés, car les classes couvrent un intervalle continu.
Histogramme : rectangles accolés, de hauteur proportionnelle à l'effectif de chaque classe (durées de trajet des \(40\) élèves).
Pour chaque borne de classe, on calcule la fréquence cumulée croissante (proportion d'individus dont la valeur est inférieure à cette borne). En reliant par des segments les points (borne supérieure ; fréquence cumulée), on obtient une ligne brisée croissante allant de \(0\) à \(1\). On y lit graphiquement les valeurs correspondant à \(25\%\), \(50\%\) (la médiane) ou \(75\%\) des effectifs.
Polygone des fréquences cumulées : la médiane se lit à l'ordonnée \(0{,}5\) (ici \(\approx 20\) min).
On suppose les valeurs réparties uniformément dans chaque classe et l'on remplace chaque classe par son centre \(c_i\). La moyenne est alors la moyenne pondérée des centres :
\[\bar{x} \approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i\,c_i.\]La classe médiane est la première classe pour laquelle la fréquence cumulée croissante atteint ou dépasse \(50\%\) (celle qui contient le \(\frac{N}{2}\)-ème individu). En supposant les valeurs uniformément réparties dans la classe médiane \([a\,;b[\), on estime la médiane par :
\[\text{Me} \approx a + \frac{\frac{N}{2} - E_a}{n}\times (b - a),\]où \(E_a\) est l'effectif cumulé avant la classe médiane et \(n\) l'effectif de la classe médiane.
| Classe (min) | Centre \(c_i\) | Effectif \(n_i\) | Effectif cumulé |
|---|---|---|---|
| \([0\,;10[\) | \(5\) | \(6\) | \(6\) |
| \([10\,;20[\) | \(15\) | \(14\) | \(20\) |
| \([20\,;30[\) | \(25\) | \(12\) | \(32\) |
| \([30\,;40[\) | \(35\) | \(8\) | \(40\) |
Moyenne estimée : \(\bar{x} \approx \dfrac{6\times 5 + 14\times 15 + 12\times 25 + 8\times 35}{40} = \dfrac{820}{40} = 20{,}5\) min.
On a \(\dfrac{N}{2} = 20\) : la classe médiane est \([10\,;20[\). Avec \(a = 10\), \(b = 20\), \(E_a = 6\), \(n = 14\) :
\[\text{Me} \approx 10 + \frac{20 - 6}{14}\times 10 = 10 + \frac{14}{14}\times 10 = 20 \text{ min.}\]Centres : \(1, 3, 5, 7\). \(\bar{x} \approx \dfrac{8\times 1 + 17\times 3 + 15\times 5 + 10\times 7}{50} = \dfrac{8 + 51 + 75 + 70}{50} = \dfrac{204}{50} = 4{,}08\) h.
❌ Additionner des taux d'évolution successifs (\(+20\%\) puis \(-20\%\) « = 0 % »).
✅ On multiplie les coefficients multiplicateurs : \(1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96\), soit \(-4\%\) au global.
❌ Croire qu'une baisse de \(25\%\) annule une hausse de \(25\%\).
✅ L'évolution réciproque a pour CM l'inverse : \(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8\), soit \(-20\%\).
❌ Confondre un pourcentage de proportion et un pourcentage d'évolution.
✅ Proportion : part d'un tout (\(\times\,0{,}65\) de l'effectif). Évolution : variation dans le temps (\(\times\,1{,}65\) de la valeur initiale).
❌ Prendre la variance pour l'écart type.
✅ L'écart type est la racine carrée de la variance ; c'est lui qui s'exprime dans l'unité des données.
❌ Oublier la valeur absolue dans \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\).
✅ Un écart type est toujours positif ou nul.
❌ Oublier de ranger la série avant de chercher la médiane ou les quartiles.
✅ Médiane et quartiles se lisent sur la série ordonnée.
❌ Série en classes : oublier de prendre le centre des classes pour la moyenne.
✅ Chaque classe est remplacée par son centre \(c_i = \dfrac{a+b}{2}\).
❌ Mauvais bouton de calculatrice pour l'écart type.
✅ Choisir \(\sigma_x\) (division par \(N\)), pas \(s_x\).