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Fiche – Statistiques descriptives
Chapitre 10 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Position : moyenne \(\bar{x}\), médiane \(\text{Me}\), quartiles \(Q_1\), \(Q_3\).
- Dispersion : étendue (max − min), écart interquartile \(Q_3-Q_1\), écart type \(\sigma\).
- La médiane est robuste aux valeurs extrêmes ; la moyenne y est sensible.
- Transformation affine \(y = ax+b\) : \(\bar{y} = a\bar{x}+b\) et \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\).
- Deux couples pour décrire une série : (moyenne ; écart type) ou (médiane ; écart interquartile).
Définitions clés
Définition
Fréquence : \(f = \dfrac{n}{N}\) (nombre de l'intervalle \([0\,;1]\)) ; pourcentage : \(p = 100\,f\).
Définition
Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif. Quartiles \(Q_1\), \(Q_3\) : marquent le premier et le troisième quart.
Définition
Étendue : max − min. Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1\) (dispersion de la moitié centrale).
Définition
Écart type : \(\sigma = \sqrt{V}\), racine carrée de la variance. Il s'exprime dans la même unité que les données.
À connaître par cœur
Moyenne pondérée
\[\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_p x_p}{N}\]
Variance et écart type
\[V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma = \sqrt{V}\]
Transformation affine \(y = ax+b\)
\[\bar{y} = a\,\bar{x} + b \qquad \sigma_y = |a|\,\sigma_x\]
Série en classes
\[\bar{x} \approx \frac{1}{N}\sum n_i c_i \qquad \text{Me} \approx a + \frac{\frac{N}{2} - E_a}{n}\,(b - a)\]
Robustesse : médiane vs moyenne
- Ajouter une valeur très grande fait exploser la moyenne mais déplace à peine la médiane.
- En présence de valeurs atypiques, on privilégie souvent le couple (médiane ; écart interquartile).
Méthode — Calculer l'écart type
Méthode
- Calculer la moyenne \(\bar{x}\).
- Pour chaque valeur, calculer \((x_i - \bar{x})^2\).
- Variance : \(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2\).
- Écart type : \(\sigma = \sqrt{V}\) (touche \(\sigma_x\) de la calculatrice).
Méthode — Série en classes
- Remplacer chaque classe par son centre \(c_i = \dfrac{a+b}{2}\) pour la moyenne.
- Repérer la classe médiane (première dont l'effectif cumulé atteint \(\frac{N}{2}\)).
- Représenter par un histogramme (rectangles accolés) et lire la médiane sur le polygone des fréquences cumulées à l'ordonnée \(0{,}5\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Prendre la variance pour l'écart type.
✅ \(\sigma = \sqrt{V}\) : c'est l'écart type qui a l'unité des données.
❌ Oublier la valeur absolue dans \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\).
✅ Un écart type est toujours \(\geqslant 0\).
❌ Chercher la médiane sans ranger la série.
✅ Médiane et quartiles se lisent sur la série ordonnée.
❌ Série en classes : oublier le centre des classes.
✅ Chaque classe est remplacée par son centre \(c_i\).
Exemple rapide
Exemple — série \(4, 7, 7, 10\)
- Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{4+7+7+10}{4} = 7\).
- Médiane : \(\dfrac{7+7}{2} = 7\).
- Variance : \(V = \dfrac{9+0+0+9}{4} = 4{,}5\).
- Écart type : \(\sigma = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\).