Chapitre 9 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
Une fonction croissante conserve l'ordre (« ranger les \(x\), c'est ranger les \(f(x)\) dans le même ordre ») ; une fonction décroissante inverse l'ordre.
Une portion de courbe qui monte traduit une croissance (↗) ; une portion qui descend traduit une décroissance (↘).
Le sens de variation est toujours relatif à un intervalle. Une fonction peut être décroissante sur un intervalle et croissante sur un autre : elle n'est alors pas monotone sur la réunion des deux.
Soit \(f(x)=3x+1\). Prenons \(a \lt b\). Alors \(3a \lt 3b\) (on multiplie par \(3 \gt 0\), l'ordre est conservé), puis \(3a+1 \lt 3b+1\), soit \(f(a) \lt f(b)\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Prenons \(a \lt b\). Alors \(-2a \gt -2b\) (on multiplie par \(-2 \lt 0\), l'ordre s'inverse), donc \(-2a+7 \gt -2b+7\), soit \(g(a) \gt g(b)\). Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Un tableau de variations résume, de gauche à droite, comment \(f(x)\) évolue quand \(x\) parcourt le domaine en croissant.
Tableau de variations d'une fonction décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) puis croissante sur \(\left[0\,;+\infty\right[\), atteignant \(0\) en \(x=0\).
Une portion de courbe qui monte de la gauche vers la droite traduit une croissance (flèche ↗) ; une portion qui descend traduit une décroissance (flèche ↘). Réciproquement, le tableau permet d'esquisser l'allure de la courbe.
Pour une fonction donnée par une formule, un outil numérique permet de conjecturer ses variations :
def f(x):
return x**2 - 4*x + 1
x = -1
while x <= 5:
print(x, f(x))
x = x + 0.5Ici les valeurs de \(f(x)\) diminuent jusqu'à \(x = 2\) (où \(f(2) = -3\)) puis augmentent : on conjecture que \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;2\right]\) et croissante sur \(\left[2\,;+\infty\right[\).
La table de valeurs ne teste qu'un nombre fini de points : elle permet de conjecturer les variations, pas de les prouver. La démonstration passe par la définition (signe de \(f(b)-f(a)\), voir plus loin).
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\), et \(x_0\in I\).
Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Le maximum est la valeur \(f(x_0)\) (une ordonnée) ; il est atteint en \(x_0\) (une abscisse). On dit « le maximum vaut \(M\), atteint en \(x_0\) ».
Sur un tableau de variations, un extrémum apparaît là où la fonction change de sens : un maximum au sommet d'un « ↗ puis ↘ », un minimum au creux d'un « ↘ puis ↗ ». Graphiquement, c'est le point le plus haut (resp. le plus bas) de la courbe sur l'intervalle.
La fonction carré \(f(x)=x^2\) admet sur \(\mathbb{R}\) un minimum égal à \(0\), atteint en \(x_0=0\) (le sommet de la parabole). Elle n'a pas de maximum sur \(\mathbb{R}\) (les valeurs \(x^2\) deviennent arbitrairement grandes).
Minimum \(=-2\), atteint en \(x=1\). Le maximum sur \([-3\,;4]\) est \(\max(5\,;3)=5\), atteint en \(x=-3\).
Pour une fonction affine \(f(x)=mx+p\) :
Le taux d'accroissement entre deux points d'abscisses \(x_1 \neq x_2\) est constant et vaut :
\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m.\]Soit \(f(x)=mx+p\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \lt b\). Calculons la différence des images :
\[f(b)-f(a)=(mb+p)-(ma+p)=m(b-a).\]Comme \(a \lt b\), on a \(b-a \gt 0\).
Droite montante si \(m \gt 0\) (croissante), descendante si \(m \lt 0\) (décroissante).
Pour \(f(x)=mx+p\) avec \(m \neq 0\), la fonction s'annule en \(x_0=-\dfrac{p}{m}\). On relie alors :
\(f(x)=-2x+6\). Ici \(m=-2 \lt 0\) : droite descendante, fonction décroissante. Elle s'annule en \(x_0=3\). Signe : \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 3\), \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 3\).
\(m=-\tfrac12 \lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). Elle s'annule en \(x_0=-\dfrac{p}{m}=-\dfrac{3}{-1/2}=6\). Donc \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 6\) et \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 6\).
La fonction \(f(x)=x^2\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) et croissante sur \(\left[0\,;+\infty\right[\). Elle admet un minimum égal à \(0\) en \(x=0\). Son signe : \(x^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\), avec \(x^2=0\) seulement en \(0\).
Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a \lt b\). On factorise la différence :
\[f(b)-f(a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a).\]Comme \(a \lt b\), le facteur \(b-a\) est strictement positif. Le signe de \(f(b)-f(a)\) est donc celui de \(b+a\).
La parabole \(y=x^2\) de sommet \(O(0\,;0)\), tournée vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : ↘ puis ↗, minimum \(0\).
La fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), définie sur \(\left]-\infty\,;0\right[ \cup \left]0\,;+\infty\right[\), est décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et décroissante sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
Elle n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles : par exemple \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\), alors que \(-1 \lt 1\). La décroissance est vraie sur chaque intervalle séparément.
Soient \(a\) et \(b\) de même signe avec \(a \lt b\). Alors :
\[f(b)-f(a)=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}.\]Le numérateur \(a-b\) est strictement négatif (car \(a \lt b\)). Le dénominateur \(ab\) est strictement positif (\(a\) et \(b\) de même signe). Donc \(f(b)-f(a) \lt 0\), c'est-à-dire \(f(a) \gt f(b)\) : sur chaque intervalle, \(f\) est strictement décroissante. \(\qquad\blacksquare\)
Hyperbole \(y=\dfrac{1}{x}\) à deux branches, symétrique par rapport à l'origine, les axes servant d'asymptotes. La double barre en \(0\) rappelle que la fonction n'y est pas définie.
La fonction \(f(x)=\sqrt{x}\), définie sur \(\left[0\,;+\infty\right[\), est croissante. Elle admet un minimum égal à \(0\) en \(x=0\).
Idée : si \(0 \leqslant a \lt b\), alors \(\sqrt{a} \lt \sqrt{b}\) (la racine carrée conserve l'ordre sur les positifs).
Courbe de \(y=\sqrt{x}\) (définie pour \(x\geqslant 0\)) : croissante, partant de \(O\) et s'aplatissant ; passe par \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\).
Sur \(\left[0\,;+\infty\right[\), les fonctions racine carrée et carré sont « réciproques » : \(\sqrt{x^2}=x\) (pour \(x\geqslant 0\)) et \((\sqrt{x})^2=x\). Graphiquement, leurs courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite \(y=x\).
La fonction \(f(x)=x^3\), définie sur \(\mathbb{R}\), est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Courbe de \(y=x^3\) : croissante sur \(\mathbb{R}\), symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
La fonction \(f(x)=|x|\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) et croissante sur \(\left[0\,;+\infty\right[\). Elle admet un minimum égal à \(0\) en \(x=0\). Son signe : \(|x| \geqslant 0\) pour tout \(x\).
Justification : pour \(x \leqslant 0\), \(|x|=-x\) (affine de pente \(-1\), décroissante) ; pour \(x \geqslant 0\), \(|x|=x\) (pente \(+1\), croissante).
Le V de sommet \(O(0\,;0)\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : ↘ puis ↗, minimum \(0\).
a) racine croissante, \(2 \lt 15\) : \(\sqrt{2} \lt \sqrt{15}\).
b) carré décroissant sur les négatifs, \(-7 \lt -4\) : \((-7)^2 \gt (-4)^2\).
c) inverse décroissant sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), \(99 \lt 100\) : \(\dfrac{1}{99} \gt \dfrac{1}{100}\).
d) cube croissant, \(-2 \lt -1\) : \((-2)^3 \lt (-1)^3\) (soit \(-8 \lt -1\)).
Pour tout \(x \in \left[0\,;1\right]\), on a \(x^2 \leqslant x\). Pour tout \(x \in \left[1\,;+\infty\right[\), on a \(x^2 \geqslant x\). Les deux courbes se coupent en \(O(0\,;0)\) et \(A(1\,;1)\).
Sur \([0\,;1]\) la parabole \(y=x^2\) est sous la droite \(y=x\) ; au-delà de \(1\) elle passe au-dessus. Les courbes se croisent en \(O\) et \(A(1\,;1)\).
Étudions le signe de la différence, pour \(x \geqslant 0\) :
\[d(x)=x^2-x=x(x-1).\]Le facteur \(x\) est positif ou nul. Le signe de \(d(x)\) est donc celui de \(x-1\) :
De plus \(d(x)=0 \iff x=0\) ou \(x=1\), ce qui donne les deux points d'intersection. \(\qquad\blacksquare\)
Sur \([0\,;1]\), « élever au carré rapetisse » (\(0{,}5^2=0{,}25 \lt 0{,}5\)) ; au-delà de \(1\), « élever au carré agrandit » (\(2^2=4 \gt 2\)).
Si \(f\) est monotone sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\), connaître son sens de variation suffit à comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) sans les calculer.
Exemple résolu. Étudier \(f(x)=x^2+4x\) sur \(\left[-2\,;+\infty\right[\). On a \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a+4)\). Pour \(-2 \leqslant a \lt b\) : \(a+b+4 \geqslant 0\) (et \(\gt 0\) dès que \(a\) ou \(b \gt -2\)) ; avec \(b-a \gt 0\), la différence est positive. Donc \(f\) est croissante sur \(\left[-2\,;+\infty\right[\).
On dispose de \(20\) m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire de dimensions \(x\) et \(y\). Maximiser l'aire.
Conclusion : l'aire est maximale pour un carré de côté \(5\) m, valant \(25\) m².
Aire \(A(x)=x(10-x)\) : parabole tournée vers le bas, maximum \(25\) atteint au sommet \(x=5\) (milieu des racines \(0\) et \(10\)).
Avec \(x+y=12\), soit \(y=12-x\) (\(0 \lt x \lt 12\)), l'aire est \(A(x)=x(12-x)\). Sommet au milieu de \(0\) et \(12\), en \(x=6\) ; alors \(y=6\) et \(A(6)=36\). Aire maximale \(36\) cm² pour un carré de côté \(6\) cm.
❌ Oublier « pour tous \(a,b\) » dans la définition de la croissance.
✅ La définition porte sur tous les couples \(a \lt b\), pas sur quelques exemples.
❌ Recoller deux intervalles de monotonie (fonction inverse).
✅ Décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), mais pas sur la réunion.
❌ Confondre l'extrémum et l'endroit où il est atteint.
✅ Le maximum est une valeur (ordonnée) ; il est atteint en une abscisse.
❌ Confondre sens de variation et signe.
✅ Une fonction peut être croissante tout en étant négative (ex. \(f(x)=x\) pour \(x \lt 0\)).
❌ Se tromper de sens pour le carré des négatifs.
✅ Sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) la fonction carré décroît.
❌ Prendre le sommet de parabole au mauvais endroit.
✅ Pour \(A(x)=x(10-x)\), le sommet est au milieu des racines \(0\) et \(10\), en \(x=5\).