Variations et fonctions de référence | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;4]\) est décroissante sur \([-3\,;1]\) puis croissante sur \([1\,;4]\), avec \(f(-3)=5\), \(f(1)=-2\), \(f(4)=3\).
1. Donner le minimum de \(f\) et l'endroit où il est atteint.
2. \(f\) a-t-elle un maximum sur \([-3\,;4]\) ? Si oui, préciser sa valeur et où il est atteint.
3. Comparer \(f(-1)\) et \(f(0)\).
1. Minimum \(=-2\), atteint en \(x=1\) (creux du « ↘ puis ↗ »).
2. Maximum \(=\max(5\,;3)=5\), atteint en \(x=-3\).
3. Sur \([-3\,;1]\), \(f\) est décroissante et \(-1 \lt 0\), donc \(f(-1) \geqslant f(0)\).
1. Étudier le sens de variation de \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x+3\).
2. Déterminer la valeur de \(x\) où \(f\) s'annule, puis préciser le signe de \(f\).
3. Même travail pour \(g(x)=4x-8\).
1. \(m=-\tfrac12 \lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2. \(x_0=-\dfrac{p}{m}=-\dfrac{3}{-1/2}=6\). Donc \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 6\) et \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 6\).
3. \(m=4 \gt 0\) : \(g\) est strictement croissante. Elle s'annule en \(x_0=\dfrac{8}{4}=2\) ; \(g(x) \lt 0\) pour \(x \lt 2\), \(g(x) \gt 0\) pour \(x \gt 2\).
Sans calculatrice, comparer les nombres suivants en utilisant les variations des fonctions de référence.
a) \(\sqrt{15}\) et \(\sqrt{2}\) b) \((-7)^2\) et \((-4)^2\) c) \(\dfrac{1}{100}\) et \(\dfrac{1}{99}\) d) \((-2)^3\) et \((-1)^3\)
a) racine croissante, \(2 \lt 15\) : \(\sqrt{2} \lt \sqrt{15}\).
b) carré décroissant sur les négatifs, \(-7 \lt -4\) : \((-7)^2 \gt (-4)^2\) (soit \(49 \gt 16\)).
c) inverse décroissant sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), \(99 \lt 100\) : \(\dfrac{1}{99} \gt \dfrac{1}{100}\).
d) cube croissant, \(-2 \lt -1\) : \((-2)^3 \lt (-1)^3\) (soit \(-8 \lt -1\)).
Soit \(f(x)=x^2-6x\).
1. Soient \(a\) et \(b\) avec \(a \lt b\). Développer et factoriser \(f(b)-f(a)\).
2. En déduire que \(f\) est croissante sur \(\left[3\,;+\infty\right[\).
1. \(f(b)-f(a)=(b^2-a^2)-6(b-a)=(b-a)(b+a)-6(b-a)=(b-a)(b+a-6)\).
2. Pour \(3 \leqslant a \lt b\) : \(b-a \gt 0\) et \(a+b-6 \geqslant 3+3-6=0\) (et \(\gt 0\) dès que \(a\) ou \(b \gt 3\)). Le produit est positif, donc \(f(a) \lt f(b)\) : \(f\) est croissante sur \(\left[3\,;+\infty\right[\).
On utilise le résultat du cours : pour \(x \geqslant 0\), \(x^2-x=x(x-1)\).
1. Indiquer le signe de \(x^2-x\) pour \(x \geqslant 0\).
2. En déduire une comparaison de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\) et \(\dfrac{1}{2}\), puis de \(3^2\) et \(3\).
1. \(x^2-x=x(x-1)\), avec \(x \geqslant 0\) : négatif ou nul sur \([0\,;1]\), positif sur \([1\,;+\infty[\).
2. \(\tfrac12 \in [0\,;1]\) donc \(\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14 \leqslant \tfrac12\). \(3 \geqslant 1\) donc \(3^2=9 \geqslant 3\).
La courbe d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;5]\) passe par les points \((-4\,;2)\), \((-1\,;6)\) et \((5\,;-3)\). Elle monte de \(x=-4\) à \(x=-1\), puis descend de \(x=-1\) à \(x=5\).
1. Décrire le sens de variation de \(f\).
2. Donner le maximum et le minimum de \(f\), et où ils sont atteints.
1. \(f\) est croissante sur \([-4\,;-1]\) puis décroissante sur \([-1\,;5]\).
2. Maximum \(=6\), atteint en \(x=-1\) (sommet du « ↗ puis ↘ »). Minimum \(=\min(2\,;-3)=-3\), atteint en \(x=5\).
Soit \(f(x)=x^2+4x\).
1. Pour \(a \lt b\), montrer que \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a+4)\).
2. En déduire que \(f\) est croissante sur \(\left[-2\,;+\infty\right[\).
3. Montrer de même que \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;-2\right]\), puis donner le minimum de \(f\).
1. \(f(b)-f(a)=(b^2-a^2)+4(b-a)=(b-a)(b+a)+4(b-a)=(b-a)(b+a+4)\).
2. Pour \(-2 \leqslant a \lt b\) : \(b-a \gt 0\) et \(a+b+4 \geqslant 0\) (et \(\gt 0\) dès que \(a\) ou \(b \gt -2\)). Produit positif : \(f\) est croissante sur \(\left[-2\,;+\infty\right[\).
3. Pour \(a \lt b \leqslant -2\) : \(a+b+4 \leqslant 0\) et \(b-a \gt 0\), donc la différence est \(\leqslant 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;-2\right]\). Le changement de sens en \(x=-2\) donne un minimum : \(f(-2)=4-8=-4\).
Un jardinier dispose de \(40\) m de bordure pour délimiter un massif rectangulaire de dimensions \(x\) et \(y\) (en mètres). Il veut que l'aire soit la plus grande possible.
1. Exprimer \(y\) en fonction de \(x\), et préciser l'intervalle de variation de \(x\).
2. Montrer que l'aire vaut \(A(x)=x(20-x)\).
3. La courbe de \(A\) est une parabole tournée vers le bas. En déduire la valeur de \(x\) qui maximise l'aire, puis les dimensions du massif et l'aire maximale.
1. Périmètre : \(2(x+y)=40\), donc \(x+y=20\) et \(y=20-x\), avec \(0 \lt x \lt 20\).
2. \(A(x)=x\,y=x(20-x)=20x-x^2\).
3. Le sommet de la parabole est au milieu des racines \(0\) et \(20\), soit en \(x=10\). Alors \(y=20-10=10\) et \(A(10)=10\times 10=100\). L'aire est maximale pour un carré de côté \(10\) m, valant \(100\) m².