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Fiche – Variations et fonctions de référence

Chapitre 9 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Définitions clés

Définition

Croissante : pour tous \(a \lt b\) de \(I\), \(f(a) \leqslant f(b)\). Décroissante : pour tous \(a \lt b\), \(f(a) \geqslant f(b)\).

Définition

Monotone : croissante ou décroissante sur \(I\) (sans changer de sens). Constante : \(f(a)=f(b)\) pour tous \(a,b\).

Définition

Maximum en \(x_0\) : \(f(x) \leqslant f(x_0)\) pour tout \(x\in I\). Minimum en \(x_0\) : \(f(x) \geqslant f(x_0)\). Un extrémum est un maximum ou un minimum.

À connaître par cœur

Fonction affine \(f(x)=mx+p\) \[m \gt 0 \Rightarrow \text{croissante} \qquad m \lt 0 \Rightarrow \text{décroissante}\] \[\text{s'annule en } x_0=-\frac{p}{m} \qquad \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m\]
Signe de la différence \[f(b)-f(a) \gt 0 \Rightarrow \text{croissante} \qquad f(b)-f(a) \lt 0 \Rightarrow \text{décroissante}\]
Position de \(y=x\) et \(y=x^2\) pour \(x\geqslant 0\) \[x^2 \leqslant x \text{ sur } [0\,;1] \qquad x^2 \geqslant x \text{ sur } [1\,;+\infty[\]

Les fonctions de référence

Variations à mémoriser
FonctionDomaineVariations
\(x^2\) (carré)\(\mathbb{R}\)↘ sur \(\left]-\infty\,;0\right]\), ↗ sur \(\left[0\,;+\infty\right[\), min \(0\)
\(\dfrac{1}{x}\) (inverse)\(\mathbb{R}^*\)↘ sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\)
\(\sqrt{x}\) (racine)\(\left[0\,;+\infty\right[\)↗, min \(0\)
\(x^3\) (cube)\(\mathbb{R}\)↗ (impaire)
\(|x|\) (valeur absolue)\(\mathbb{R}\)↘ sur \(\left]-\infty\,;0\right]\), ↗ sur \(\left[0\,;+\infty\right[\), min \(0\) (V)

Méthode — Étudier les variations par \(f(b)-f(a)\)

Méthode
  1. Prendre \(a \lt b\) dans l'intervalle.
  2. Calculer et factoriser \(f(b)-f(a)\).
  3. Déterminer son signe avec \(b-a \gt 0\).
  4. Conclure : \(\gt 0\) croissante ; \(\lt 0\) décroissante.
Méthode — Optimiser
  1. Choisir la variable et son intervalle.
  2. Exprimer la quantité comme fonction de la variable.
  3. Étudier les variations (tableau) ou lire la courbe.
  4. Conclure : extrémum et valeur qui le réalise.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Recoller les deux branches de la fonction inverse.

✅ ↘ sur chaque intervalle, pas sur la réunion.

❌ Confondre l'extrémum et l'endroit où il est atteint.

✅ Le maximum est une valeur ; il est atteint en une abscisse.

❌ Confondre sens de variation et signe.

✅ Une fonction peut être croissante et négative.

❌ Placer le sommet d'une parabole \(x(k-x)\) au mauvais endroit.

✅ Il est au milieu des racines \(0\) et \(k\).

Exemple rapide

Exemple — comparer sans calculer
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