Chapitre 8 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\). Définir une fonction \(f\) sur \(D\), c'est associer à tout nombre réel \(x\) de \(D\) un seul nombre réel, noté \(f(x)\).
On note souvent \(f : \; x \longmapsto f(x)\), pour \(x \in D\). Le symbole \(\longmapsto\) se lit « a pour image ».
Une image est unique : chaque \(x\) a exactement une image \(f(x)\). En revanche, un même nombre \(y\) peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Ne pas confondre \(f\) (la fonction, le procédé) et \(f(x)\) (l'image de \(x\), c'est-à-dire un nombre).
Le programme distingue deux cadres :
La variable temporelle est traditionnellement notée \(t\).
Le périmètre d'un carré de côté \(c \gt 0\) est \(P(c) = 4c\). C'est une fonction de la variable \(c\), définie pour \(c \in \left]0\,;\,+\infty\right[\).
Image de \(-2\) : \(f(-2) = 2\times 4 - 3 = 5\).
Antécédents de \(5\) : \(2x^2 - 3 = 5 \iff 2x^2 = 8 \iff x^2 = 4\), donc \(x = 2\) ou \(x = -2\). Le nombre \(5\) a deux antécédents.
L'ensemble de définition de \(f\) est l'ensemble de tous les réels \(x\) pour lesquels le calcul de \(f(x)\) est possible.
Pour une fonction donnée par une formule, on cherche les valeurs de \(x\) qui rendent le calcul impossible et on les exclut. Deux obstacles courants au lycée :
L'énoncé peut aussi imposer un domaine d'étude plus restreint que le domaine « naturel », par exemple un intervalle de temps \([0\,;\,24]\) pour une journée.
Racine : \(x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1\). Dénominateur : \(x - 4 \neq 0 \iff x \neq 4\).
On combine : \(x \geq 1\) et \(x \neq 4\), donc \(D_f = \left[1\,;\,4\right[ \cup \left]4\,;\,+\infty\right[\).
Le plan est muni d'un repère. La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) dont les coordonnées vérifient
\[y = f(x) \quad \text{avec } x \in D_f.\]On dit que \(\mathcal{C}_f\) a pour équation \(y = f(x)\). Autrement dit : un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si \(y = f(x)\).
Pour tracer \(\mathcal{C}_f\), on place plusieurs points \(\big(x\,;\,f(x)\big)\) puis on relie par une courbe continue (pour un phénomène continu). L'axe horizontal porte la variable \(x\) (abscisses), l'axe vertical porte les valeurs \(y = f(x)\) (ordonnées). Chaque verticale (droite « \(x = a\) ») coupe la courbe en au plus un point : c'est la traduction graphique de l'unicité de l'image.
Sur la courbe \(\mathcal{C}_f\) d'équation \(y = f(x)\) :
Lecture graphique : l'image de \(a\) se lit en ordonnée (vert) ; les antécédents de \(k\) sont les abscisses des points où la courbe rencontre la droite \(y=k\) (rouge) — ici \(k\) a deux antécédents.
Soit \(f(x) = x^2 - 1\). Le point \(A(3\,;\,8)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_f\) ?
On calcule \(f(3) = 3^2 - 1 = 8\). Comme \(8 = 8\), on a \(y_A = f(x_A)\) : oui, \(A \in \mathcal{C}_f\).
Le point \(B(2\,;\,5)\) ? \(f(2) = 4 - 1 = 3 \neq 5\) : non, \(B \notin \mathcal{C}_f\).
Exemple résolu. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), point \(A\left(4\,;\,\tfrac{1}{4}\right)\). On a \(f(4) = \tfrac{1}{4} = y_A\) : donc \(A \in \mathcal{C}_f\).
\(f(2) = 8 - 2 = 6\) : \(A \in \mathcal{C}_f\). \(f(0) = 0 \neq 1\) : \(C \notin \mathcal{C}_f\).
Ces trois fonctions sont introduites ici par leur définition et leur courbe. Leurs variations détaillées seront étudiées au chapitre suivant.
La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), est la distance de \(x\) à \(0\) sur la droite numérique. La fonction valeur absolue est \(f : x \longmapsto |x|\), avec \(D_f = \mathbb{R}\).
\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x \lt 0. \end{cases}\]Ainsi \(|3{,}5| = 3{,}5\) et \(|-4| = 4\). On a toujours \(|x| \geq 0\), et \(|x| = 0\) uniquement pour \(x = 0\). La courbe a la forme d'un V dont la pointe est à l'origine \(O(0\,;\,0)\) ; elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe en V de \(y=|x|\) : symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, sommet (minimum) en \(O\).
La fonction carré est \(f : x \longmapsto x^2\), avec \(D_f = \mathbb{R}\). On a toujours \(x^2 \geq 0\).
La courbe est une parabole de sommet l'origine \(O(0\,;\,0)\), tournée vers le haut. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : les points \((x\,;\,x^2)\) et \((-x\,;\,x^2)\) sont sur la courbe. Points repères : \((0\,;\,0)\), \((1\,;\,1)\), \((2\,;\,4)\).
Parabole \(y=x^2\) : sommet en \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; passe par \((1\,;1)\) et \((2\,;4)\).
La fonction inverse est \(f : x \longmapsto \dfrac{1}{x}\), avec \(D_f = \left]-\infty\,;\,0\right[ \cup \left]0\,;\,+\infty\right[\). La valeur \(x = 0\) est exclue (division par zéro impossible).
La courbe est une hyperbole formée de deux branches : pour \(x \gt 0\), une branche en haut à droite (valeurs positives) ; pour \(x \lt 0\), une branche en bas à gauche (valeurs négatives). Elle est symétrique par rapport à l'origine ; les axes jouent le rôle d'asymptotes. Points repères : \((1\,;\,1)\), \((2\,;\,0{,}5)\), \((-1\,;\,-1)\).
Hyperbole \(y=\tfrac1x\) : deux branches (en haut à droite, en bas à gauche), symétriques par rapport à \(O\), les axes servant d'asymptotes.
\(|{-7}| = 7\) ; \(|3-8| = |{-5}| = 5\) ; comme \(\sqrt2 \lt 2\), \(|\sqrt2-2| = 2-\sqrt2\).
\(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\) : en général \(\sqrt{x^2} = |x|\), pas \(x\).
Résoudre l'équation \(f(x) = k\), c'est chercher tous les antécédents de \(k\). Résoudre l'inéquation \(f(x) \lt k\) (ou \(\leq\), \(\gt\), \(\geq\)), c'est chercher tous les \(x\) pour lesquels l'inégalité est vraie. Trois méthodes coexistent :
Le choix de la méthode fait partie de la compétence attendue. Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée ; le calcul donne une valeur exacte.
Résoudre \(x^2 = 9\). On écrit \(x^2 - 9 = 0\), soit \((x-3)(x+3) = 0\), d'où \(x = 3\) ou \(x = -3\). L'ensemble des solutions est \(S = \{-3\,;\,3\}\).
a) \(x = 4\) ou \(x = -4\), \(S=\{-4\,;\,4\}\). b) \(x = \dfrac{1}{4}\), \(S=\left\{\tfrac14\right\}\). c) \(x = 5\) ou \(x = -5\), \(S=\{-5\,;\,5\}\).
d) \(3 \geq 0\), donc \(x = 3^2 = 9\), \(S=\{9\}\). e) Le cube prend chaque valeur une seule fois : \((-2)^3 = -8\), donc \(S=\{-2\}\). f) Une racine carrée n'est jamais négative : \(S=\varnothing\).
Soit \(f(x) = mx + p\) avec \(m \neq 0\). La fonction \(f\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{p}{m}\), et :
Pour étudier le signe d'un produit \(A(x)\times B(x)\) ou d'un quotient \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) :
Sous une valeur interdite (dénominateur nul), on met une double barre \(\|\) dans la ligne du quotient : la fonction n'y est pas définie.
\(x - 1 = 0 \iff x = 1\) (facteur croissant : \(-\) avant \(1\), \(+\) après) ; \(2x + 6 = 0 \iff x = -3\) (croissant).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(0\ +\) | \(+\) |
| \(2x+6\) | \(-\) | \(0\ +\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\ -\) | \(0\ +\) | \(+\) |
On lit : \(f(x) \gt 0\) sur \(\left]-\infty\,;\,-3\right[ \cup \left]1\,;\,+\infty\right[\), et \(f(x) \lt 0\) sur \(\left]-3\,;\,1\right[\).
Ne pas confondre le \(0\) d'une annulation (numérateur) avec la double barre \(\|\) d'une valeur interdite (dénominateur). Bien gérer l'inclusion/exclusion des bornes selon que l'inégalité est stricte ou large.
\(x+2 = 0 \iff x = -2\) ; valeur interdite \(x = 3\). Le quotient est \(+\) sur \(\left]-\infty\,;\,-2\right]\), \(-\) sur \(\left]-2\,;\,3\right[\), \(+\) sur \(\left]3\,;\,+\infty\right[\).
Solution : \(S = \left]-\infty\,;\,-2\right] \cup \left]3\,;\,+\infty\right[\). On inclut \(-2\) (numérateur nul) et on exclut \(3\) (valeur interdite).
Résoudre \(f(x) = g(x)\) revient à trouver les abscisses des points d'intersection des deux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). Résoudre \(f(x) \lt g(x)\) revient à trouver les \(x\) pour lesquels \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{C}_g\).
On étudie la fonction différence \(d(x) = f(x) - g(x)\) :
\[f(x) \lt g(x) \iff f(x) - g(x) \lt 0 \iff d(x) \lt 0.\]On est ramené à une étude de signe (souvent via un tableau de signes).
Comparons \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) pour \(x \geq 0\). On pose \(d(x) = x^2 - x = x(x-1)\).
Pour \(x \geq 0\), le facteur \(x\) est positif, donc le signe de \(d(x)\) est celui de \(x - 1\) :
Les courbes se croisent en \(x = 0\) et \(x = 1\).
❌ Confondre \(f\) et \(f(x)\).
✅ \(f\) est la fonction ; \(f(x)\) est un nombre (l'image de \(x\)).
❌ Confondre image et antécédent.
✅ L'image de \(a\) se calcule (\(f(a)\)) ; les antécédents de \(k\) se cherchent en résolvant \(f(x)=k\). L'image est unique, les antécédents peuvent être multiples.
❌ Oublier une valeur interdite (dénominateur, radicande).
✅ Un quotient impose \(B(x) \neq 0\) ; une racine impose radicande \(\geq 0\).
❌ Écrire \(\sqrt{x^2} = x\).
✅ En réalité \(\sqrt{x^2} = |x|\) : par exemple \(\sqrt{(-3)^2} = 3 = |-3|\).
❌ Croire que \(x^2 = k\) a toujours deux solutions.
✅ Aucune si \(k \lt 0\), une seule (\(0\)) si \(k = 0\).
❌ Oublier de changer le sens d'une inégalité.
✅ Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens.