Fiche – Fonctions : généralités

Chapitre 8 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Une fonction \(f\) associe à chaque \(x\) de \(D_f\) une seule image \(f(x)\). Un nombre \(k\) peut avoir plusieurs antécédents.
Ne pas confondre \(f\) (la fonction) et \(f(x)\) (un nombre) ; ni image (on calcule) et antécédent (on résout \(f(x)=k\)).
\(M(x\,;\,y)\in\mathcal{C}_f \iff y = f(x)\). L'image se lit en ordonnée, les antécédents de \(k\) en abscisses sur la droite \(y=k\).
\(\sqrt{x^2}=|x|\) ; \(x^2=k\) a deux solutions si \(k\gt 0\), une si \(k=0\), aucune si \(k\lt 0\).
Signe d'un produit/quotient → tableau de signes ; \(f(x)=g(x) \iff\) intersection des courbes.

Définitions clés

Définition

Fonction : \(f : x \longmapsto f(x)\) associe à tout \(x\) de \(D_f\) un unique réel \(f(x)\) (son image). Si \(y=f(x)\), \(x\) est un antécédent de \(y\).

Définition

Ensemble de définition : tous les \(x\) pour lesquels \(f(x)\) se calcule. On exclut : le dénominateur nul et un radicande négatif (\(\sqrt{A}\) exige \(A\geq 0\)).

Définition

Courbe représentative : \(\mathcal{C}_f\) est l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(y=f(x)\), pour \(x\in D_f\). Son équation est \(y=f(x)\).

Définition

Valeur absolue : \(|x|\) est la distance de \(x\) à \(0\) : \(|x|=x\) si \(x\geq 0\), \(|x|=-x\) si \(x\lt 0\). On a toujours \(|x|\geq 0\).

Fonctions de référence

Valeur absolue (V), carré (parabole), inverse (hyperbole).

À connaître par cœur

Lecture graphique \[M(x\,;\,y)\in\mathcal{C}_f \iff y = f(x)\]

Image de \(a\) = ordonnée du point d'abscisse \(a\). Antécédents de \(k\) = abscisses des points d'ordonnée \(k\) (intersection avec \(y=k\)).

Équation \(x^2 = k\)

Deux solutions \(\pm\sqrt{k}\) si \(k\gt 0\) ; une solution \(0\) si \(k=0\) ; aucune si \(k\lt 0\).

Fonctions de référence \[|x|\ (D=\mathbb{R}) \qquad x^2\ (D=\mathbb{R}) \qquad \frac{1}{x}\ (D=\mathbb{R}\setminus\{0\})\]

Signe et comparaison

Affine \(mx+p\) : s'annule en \(-\tfrac{p}{m}\) ; signe de \(m\) après l'annulation.
Produit / quotient : tableau de signes (\(0\) pour une annulation, \(\|\) pour une valeur interdite), puis règle des signes.
Comparer \(f\) et \(g\) : étudier \(d(x)=f(x)-g(x)\). \(f(x)\lt g(x) \iff d(x)\lt 0\).

Méthode — Ensemble de définition

Méthode

Repérer les obstacles : un dénominateur (non nul) ? une racine carrée (radicande \(\geq 0\)) ?
Traduire chaque obstacle par une (in)équation.
Résoudre, puis écrire \(D_f\) sous forme d'intervalle(s).

Méthode — Appartenance d'un point

Repérer \((x_A\,;\,y_A)\), calculer \(f(x_A)\).
Si \(f(x_A)=y_A\), le point est sur \(\mathcal{C}_f\) ; sinon, non.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre \(f\) et \(f(x)\), ou image et antécédent.

✅ \(f(x)\) est un nombre ; l'image est unique, les antécédents peuvent être multiples.

❌ Oublier une valeur interdite (dénominateur, radicande).

✅ Quotient : \(B(x)\neq 0\). Racine : radicande \(\geq 0\).

❌ Écrire \(\sqrt{x^2}=x\).

✅ \(\sqrt{x^2}=|x|\) : \(\sqrt{(-3)^2}=3\).

❌ Croire que \(x^2=k\) a toujours deux solutions.

✅ Aucune si \(k\lt 0\), une seule si \(k=0\).

Exemple rapide

Exemple — un énoncé, plusieurs réponses

Soit \(f(x)=x^2-1\).

Image de \(3\) : \(f(3)=8\).
Antécédents de \(0\) : \(x^2-1=0 \iff x=1\) ou \(x=-1\).
\(A(3\,;\,8)\in\mathcal{C}_f\) car \(f(3)=8\) ; \(B(2\,;\,5)\notin\mathcal{C}_f\) car \(f(2)=3\neq 5\).
\(D_g\) de \(g(x)=\tfrac{1}{x-2}\) : \(\left]-\infty\,;\,2\right[\cup\left]2\,;\,+\infty\right[\).