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Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 2x\).
1. Calculer les images de \(0\), \(3\) et \(-1\).
2. Déterminer les antécédents de \(0\).
3. Le nombre \(-1\) a-t-il un antécédent par \(f\) ?
1. \(f(0)=0\) ; \(f(3)=9-6=3\) ; \(f(-1)=1+2=3\).
2. \(x^2-2x=0 \iff x(x-2)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=2\) : deux antécédents.
3. \(x^2-2x=-1 \iff x^2-2x+1=0 \iff (x-1)^2=0 \iff x=1\). Oui, \(-1\) a un unique antécédent : \(1\).
Déterminer l'ensemble de définition de :
a) \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x+5}\) b) \(g(x) = \sqrt{4-x}\) c) \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\).
a) \(x \neq -5\) : \(D_f = \left]-\infty\,;\,-5\right[\cup\left]-5\,;\,+\infty\right[\).
b) \(4 - x \geq 0 \iff x \leq 4\) : \(D_g = \left]-\infty\,;\,4\right]\).
c) racine au dénominateur : \(x - 2 \gt 0\) (strict), donc \(D_h = \left]2\,;\,+\infty\right[\).
Soit \(f(x) = 2x^2 - x\). Les points \(A(2\,;\,6)\), \(B(-1\,;\,3)\), \(C(0\,;\,1)\) sont-ils sur \(\mathcal{C}_f\) ?
\(f(2) = 8 - 2 = 6\) : \(A \in \mathcal{C}_f\).
\(f(-1) = 2 + 1 = 3\) : \(B \in \mathcal{C}_f\).
\(f(0) = 0 \neq 1\) : \(C \notin \mathcal{C}_f\).
La courbe \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) est donnée ci-dessous.
1. Lire l'image de \(1\) par \(f\).
2. Résoudre graphiquement \(f(x) = 2\) (lire les antécédents de \(2\)).
1. Le point de \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse \(1\) a pour ordonnée \(3\) : \(f(1) = 3\).
2. La droite \(y = 2\) coupe la courbe en deux points, d'abscisses \(-1\) et \(3\). Donc \(S = \{-1\,;\,3\}\).
Résoudre algébriquement dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(x^2 = 16\) b) \(\dfrac{1}{x} = 4\) c) \(|x| = 5\) d) \(x^2 = -3\).
a) \(x = 4\) ou \(x = -4\), \(S=\{-4\,;\,4\}\).
b) \(x = \dfrac{1}{4}\), \(S=\left\{\tfrac14\right\}\).
c) \(x = 5\) ou \(x = -5\), \(S=\{-5\,;\,5\}\).
d) Un carré n'est jamais négatif : \(S = \varnothing\).
Étudier le signe de \(f(x) = (3-x)(x+1)\), puis résoudre \(f(x) \geq 0\).
\(3 - x = 0 \iff x = 3\) (facteur décroissant : \(+\) avant, \(-\) après) ; \(x + 1 = 0 \iff x = -1\) (croissant).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(3\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(3-x\) | \(+\) | \(+\) | \(0\ -\) | \(-\) |
| \(x+1\) | \(-\) | \(0\ +\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\ +\) | \(0\ -\) | \(-\) |
\(f(x) \geq 0\) sur \(S = \left[-1\,;\,3\right]\).
Résoudre \(\dfrac{2x-4}{x+1} \lt 0\).
\(2x - 4 = 0 \iff x = 2\) ; valeur interdite \(x = -1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(0\ +\) | \(+\) |
| \(x+1\) | \(-\) | \(\|\ +\) | \(+\) | \(+\) |
| quotient | \(+\) | \(\|\ -\) | \(0\ +\) | \(+\) |
\(S = \left]-1\,;\,2\right[\) (bornes exclues : \(-1\) interdit, et l'inégalité est stricte en \(2\)).
Soit \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = \dfrac{4}{x}\) pour \(x \gt 0\).
1. Interpréter graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
2. Montrer que \(f(x) = g(x) \iff x^2 + 2x - 4 = 0\) (pour \(x \gt 0\)).
3. Vérifier que \(x = \sqrt{5} - 1\) est solution.
4. En déduire l'intervalle sur lequel \(f(x) \gt g(x)\).
1. \(f(x) = g(x)\) revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la droite \(\mathcal{C}_f\) et de l'hyperbole \(\mathcal{C}_g\).
2. Pour \(x \gt 0\) : \(x + 2 = \dfrac{4}{x} \iff x(x+2) = 4 \iff x^2 + 2x - 4 = 0\).
3. Avec \(x = \sqrt5 - 1\) : \((\sqrt5-1)^2 + 2(\sqrt5-1) = 5 - 2\sqrt5 + 1 + 2\sqrt5 - 2 = 4\). L'égalité \(x^2+2x = 4\) est vérifiée, donc \(x=\sqrt5-1 \approx 1{,}24\) est bien solution.
4. La différence \(d(x) = f(x) - g(x)\) change de signe en \(\sqrt5-1\) : pour \(x \gt \sqrt5-1\), \(d(x) \gt 0\), donc \(f(x) \gt g(x)\) sur \(\left]\sqrt5-1\,;\,+\infty\right[\). (Une lecture graphique donne le résultat approché \(x \approx 1{,}24\).)