Chapitre 7 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Ce chapitre introduit une idée centrale : un ensemble de points du plan peut être décrit par une équation. On explicite ce point de vue dans le cas des droites, en faisant le lien entre trois représentations d'un même objet : la représentation géométrique (un trait tracé), la représentation algébrique (une équation) et la représentation fonctionnelle (le graphe d'une fonction affine). On s'appuie sur les vecteurs du chapitre précédent, en particulier sur le déterminant et la colinéarité.
Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})\). Un point \(M\) y est repéré par ses coordonnées \((x\,;y)\) : \(x\) est l'abscisse, \(y\) l'ordonnée.
Le milieu \(I\) du segment \([AB]\), avec \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\), a pour coordonnées :
\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right).\]On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Dans un repère orthonormé, la distance entre \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) est :
\[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.\]Le milieu \(I\) est au centre de \([AB]\) ; la distance \(AB\) est l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés \(x_B-x_A\) et \(y_B-y_A\).
Avec \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;5)\) : le milieu est \(I\!\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{2+5}{2}\right)=I(3\,;3{,}5)\), et \(AB=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\).
La formule de distance ci-dessus n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). Ces formules sont vues au chapitre « Vecteurs » : on n'introduit pas de nouvelle formule ici, on les réutilise.
\(I\!\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\dfrac{1+9}{2}\right)=I(1\,;5)\).
\(AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(9-1)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul \(\vec{u}\) qui possède la même direction que \(d\). Autrement dit, si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\), alors \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \(d\).
Un point \(M\) appartient à la droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires :
\[M \in d \iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0.\]La droite \(d\) passe par \(A(1\,;2)\) et « suit » la direction de \(\vec{u}(2\,;1)\) ; en répétant \(\vec{u}\) à partir de \(A\), on obtient d'autres points de \(d\).
Toute droite du plan admet une équation de la forme
\[ax + by + c = 0,\]où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels avec \((a\,;b) \neq (0\,;0)\). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite. Réciproquement, tout ensemble de points \(M(x\,;y)\) vérifiant une telle équation est une droite.
Soit \(d\) la droite passant par \(A(x_A\,;y_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha\,;\beta)\). Un point \(M(x\,;y)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0\). Or \(\overrightarrow{AM}(x-x_A\,;\,y-y_A)\), donc :
\[\det(\overrightarrow{AM},\vec{u}) = (x - x_A)\,\beta - \alpha\,(y - y_A) = \beta x - \alpha y - (\beta x_A - \alpha y_A) = 0.\]En posant \(a = \beta\), \(b = -\alpha\), \(c = \alpha y_A - \beta x_A\), on obtient \(ax + by + c = 0\), avec \((a\,;b)=(\beta\,;-\alpha)\neq(0\,;0)\) car \(\vec{u}\) est non nul. \(\blacksquare\)
La droite d'équation \(ax + by + c = 0\) admet pour vecteur directeur
\[\vec{u}(-b\,;a).\]La droite d'équation \(2x - 3y + 6 = 0\) a pour coefficients \(a = 2\), \(b = -3\). Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(3\,;2)\).
Ici \(a=4\), \(b=1\). Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;a)=\vec{u}(-1\,;4)\).
On distingue deux cas selon que la droite est ou non parallèle à l'axe des ordonnées.
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme
\[y = mx + p,\]où \(m\) est la pente (ou coefficient directeur) et \(p\) l'ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées, en \(x = 0\)).
Cette écriture fait apparaître la droite comme le graphe de la fonction affine \(x \mapsto mx + p\).
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées (droite verticale) a une équation de la forme \(x = k\), où \(k\) est une constante. Une telle droite n'a pas de pente et pas d'équation réduite \(y = mx + p\).
Partant de \(ax + by + c = 0\) :
Pour une droite non verticale de pente \(m\), le vecteur \(\vec{u}(1\,;m)\) est un vecteur directeur.
En effet, l'équation \(y = mx + p\) s'écrit \(mx - y + p = 0\), soit \(a = m\), \(b = -1\) ; un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;a) = \vec{u}(1\,;m)\).
Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) avec \(x_A \neq x_B\), la pente de la droite \((AB)\) est
\[m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.\]C'est le rapport « accroissement des ordonnées sur accroissement des abscisses ». (Si \(x_A = x_B\), la droite est verticale et n'a pas de pente.)
Tracé de \(y=2x-1\) : on place l'ordonnée à l'origine \((0\,;-1)\), puis la pente \(2\) donne « avancer de \(1\), monter de \(2\) » vers \((1\,;1)\).
La droite \(2x - 4y + 6 = 0\) (avec \(a=2\), \(b=-4\)) a pour pente \(m = -\dfrac{2}{-4} = \dfrac{1}{2}\) et ordonnée à l'origine \(p = -\dfrac{6}{-4} = \dfrac{3}{2}\). Son équation réduite est \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\).
\(m = \dfrac{-3-3}{4-1} = \dfrac{-6}{3} = -2\). La droite « descend ».
Autre méthode efficace : chercher les intersections avec les axes (point où \(x = 0\), point où \(y = 0\)).
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. En pratique :
Deux droites non parallèles sont sécantes : elles se coupent en un unique point.
Si \(d : y = mx + p\) et \(d' : y = m'x + p'\) avec \(m \neq m'\), on résout le système en égalant les deux expressions de \(y\) :
\[mx + p = m'x + p' \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{p' - p}{m - m'},\]puis on reporte cette valeur dans l'une des équations pour obtenir \(y\).
Deux droites sécantes se coupent en un unique point \(M\), dont les coordonnées vérifient les deux équations : ici \(M(2\,;3)\).
Même pente \(m = m' = 3\), mais \(p = 1 \neq -4 = p'\). Les droites sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point commun.
\(3x - 2 = -x + 6 \iff 4x = 8 \iff x = 2\), puis \(y = 3\times 2 - 2 = 4\). Intersection : \(M(2\,;4)\).
Droite passant par \(A(x_A\,;y_A)\), de vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha\,;\beta)\).
Exemple résolu. \(A(1\,;2)\), \(\vec{u}(3\,;-1)\) : \((x-1)\times(-1) - (y-2)\times 3 = 0\), soit \(-x+1-3y+6=0\), d'où \(x + 3y - 7 = 0\).
Droite de pente \(m\) passant par \(A(x_A\,;y_A)\).
Exemple résolu. Pente \(m = 2\), point \(A(3\,;1)\) : \(p = 1 - 2\times 3 = -5\), d'où \(y = 2x - 5\).
Exemple résolu. \(A(1\,;3)\), \(B(4\,;-3)\) : \(m = \dfrac{-6}{3} = -2\), \(p = 3 - (-2)\times 1 = 5\). Équation : \(y = -2x + 5\).
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c'est-à-dire \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).
Exemple résolu. \(A(-2\,;-3)\), \(B(1\,;3)\), \(C(4\,;9)\) : \(\overrightarrow{AB}(3\,;6)\), \(\overrightarrow{AC}(6\,;12)\), \(\det = 3\times 12 - 6\times 6 = 0\). Les points sont alignés.
❌ Confondre équation cartésienne et réduite.
✅ La cartésienne \(ax+by+c=0\) existe pour toute droite ; la réduite \(y=mx+p\) seulement pour les droites non verticales.
❌ Oublier le cas des droites verticales.
✅ Une droite \(x = k\) n'a pas de pente. Vérifier si \(x_A = x_B\) avant de calculer \(m\).
❌ Lire \(\vec{u}(a\,;b)\) comme vecteur directeur sur \(ax+by+c=0\).
✅ C'est \(\vec{u}(-b\,;a)\) : on échange et on change un signe.
❌ Inverser numérateur et dénominateur dans la pente.
✅ \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) : la variation des ordonnées est au numérateur.
❌ Confondre parallèles et confondues.
✅ Même pente et même \(p\) : confondues. Même pente et \(p\) différents : strictement parallèles.