Exercices – Chapitre 7

Géométrie repérée et droites du plan | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) ; distance \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Équation cartésienne \(ax+by+c=0\) ; vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;a)\).
Équation réduite \(y=mx+p\) ; pente \(m\), vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;m)\).
Pente par deux points : \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) (si \(x_A\neq x_B\)).
Parallèles \(\iff m=m'\) (réduites) ; alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).

Exercice 1 — Milieu et distance

On donne \(A(-1\,;2)\) et \(B(5\,;10)\).

1. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

2. Calculer la distance \(AB\).

1. \(I\!\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\dfrac{2+10}{2}\right)=I(2\,;6)\).

2. \(AB=\sqrt{(5-(-1))^2+(10-2)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).

Exercice 2 — Équation cartésienne (point + vecteur directeur)

Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;4)\).

\(M(x\,;y)\in d \iff \det(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0\), soit \((x-2)\times 4 - (y+1)\times 1 = 0\).

\(4x-8-y-1=0 \iff 4x - y - 9 = 0\).

Exercice 3 — Équation réduite par deux points

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par \(A(-1\,;2)\) et \(B(3\,;10)\).

\(m=\dfrac{10-2}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2\).

\(p=y_A-m\,x_A=2-2\times(-1)=2+2=4\).

Équation : \(y = 2x + 4\).

Exercice 4 — Lire une droite donnée par sa cartésienne

On donne la droite \(d : 5x - 2y + 3 = 0\).

1. Donner un vecteur directeur de \(d\).

2. Donner la pente de \(d\).

3. Donner l'équation réduite de \(d\).

1. \(a=5\), \(b=-2\), donc \(\vec{u}(-b\,;a)=\vec{u}(2\,;5)\).

2. \(m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{5}{-2}=\dfrac{5}{2}\).

3. On isole \(y\) : \(2y = 5x + 3\), d'où \(y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2}\).

Exercice 5 — Alignement de trois points

Les points \(A(-2\,;-3)\), \(B(1\,;3)\) et \(C(4\,;9)\) sont-ils alignés ?

\(\overrightarrow{AB}(3\,;6)\), \(\overrightarrow{AC}(6\,;12)\).

\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times 12 - 6\times 6 = 36 - 36 = 0\).

Le déterminant est nul : les points sont alignés.

Exercice 6 — Parallélisme

Les droites \(d : y = -\dfrac{1}{2}x + 3\) et \(d' : x + 2y - 8 = 0\) sont-elles parallèles ?

Pour \(d'\), on isole \(y\) : \(2y = -x + 8 \iff y = -\dfrac{1}{2}x + 4\).

Les deux pentes valent \(-\dfrac{1}{2}\), mais \(p = 3 \neq 4 = p'\). Les droites sont strictement parallèles.

Exercice 7 — Point d'intersection

Déterminer le point d'intersection des droites \(d : y = 3x - 2\) et \(d' : y = -x + 6\).

On égale les deux expressions de \(y\) : \(3x - 2 = -x + 6 \iff 4x = 8 \iff x = 2\).

Puis \(y = 3\times 2 - 2 = 4\). Intersection : \(M(2\,;4)\).

Exercice 8 — Problème type : étude complète d'un triangle

Dans un repère orthonormé, on considère \(A(-1\,;1)\), \(B(3\,;3)\) et \(C(1\,;-2)\).

1. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

2. Déterminer l'équation réduite de la droite \((AB)\).

3. La droite \(d : 2x - 4y + 5 = 0\) est-elle parallèle à \((AB)\) ?

4. Calculer la longueur \(AC\).

1. \(I\!\left(\dfrac{-1+3}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)=I(1\,;2)\).

2. \(m=\dfrac{3-1}{3-(-1)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\) ; \(p=1-\dfrac{1}{2}\times(-1)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\). Donc \((AB) : y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\).

3. Pour \(d\) : \(a=2\), \(b=-4\), pente \(m'=-\dfrac{2}{-4}=\dfrac{1}{2}\). Même pente que \((AB)\) : les droites sont parallèles.

4. \(AC=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\).