Fiche – Géométrie repérée et droites du plan

Chapitre 7 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Une droite se décrit par une équation : cartésienne \(ax+by+c=0\) ou réduite \(y=mx+p\).
Sur \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;a)\) (on échange et on change un signe).
La pente \(m\) mesure « avancer de \(1\), monter de \(m\) ». Une verticale \(x=k\) n'a pas de pente.
Deux droites sont parallèles \(\iff\) même pente \(m=m'\).
Trois points sont alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).

Définitions clés

Définition

Vecteur directeur : vecteur non nul \(\vec{u}\) de même direction que la droite. Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur.

Définition

Équation cartésienne : \(ax+by+c=0\) avec \((a\,;b)\neq(0\,;0)\). Valable pour toute droite (verticale comprise).

Définition

Équation réduite : \(y=mx+p\) pour les droites non verticales. \(m\) = pente (coefficient directeur), \(p\) = ordonnée à l'origine (en \(x=0\)).

Définition

Droite verticale : \(x=k\). Elle n'a pas de pente et pas d'équation réduite.

À connaître par cœur

Milieu et distance (repère orthonormé) \[I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\;;\;\frac{y_A+y_B}{2}\right)\] \[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\]

Pente d'une droite \[m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\quad (x_A \neq x_B)\] \[\text{cartésienne} \to \text{réduite} : \; m = -\frac{a}{b},\quad p = -\frac{c}{b}\ (b\neq 0)\]

Vecteurs directeurs \[ax+by+c=0 \;\Rightarrow\; \vec{u}(-b\,;a)\] \[y=mx+p \;\Rightarrow\; \vec{u}(1\,;m)\]

Parallélisme et alignement

Parallèles (réduites) : \(m=m'\). Confondues si \(p=p'\), sinon strictement parallèles.
Parallèles (cartésiennes) : \(ab'-a'b=0\).
Sécantes : \(m\neq m'\) → un unique point d'intersection.
Alignés : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).

Méthode — Équation d'une droite passant par deux points

Méthode

Si \(x_A=x_B\) : droite verticale \(x=x_A\).
Sinon, calculer la pente \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
Trouver \(p=y_A-m\,x_A\).
Écrire \(y=mx+p\).

Méthode — Point d'intersection de deux droites sécantes

Égaler les deux expressions de \(y\) : \(mx+p=m'x+p'\).
Résoudre pour obtenir \(x\), puis reporter pour obtenir \(y\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Prendre \(\vec{u}(a\,;b)\) comme vecteur directeur sur \(ax+by+c=0\).

✅ C'est \(\vec{u}(-b\,;a)\).

❌ Calculer une pente sur une droite verticale.

✅ \(x=k\) n'a pas de pente : vérifier si \(x_A=x_B\).

❌ Inverser numérateur et dénominateur dans \(m\).

✅ \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) : ordonnées au numérateur.

❌ Confondre parallèles et confondues.

✅ Même pente + même \(p\) = confondues ; sinon strictement parallèles.

Exemple rapide

Exemple — droite passant par deux points

\(A(1\,;3)\), \(B(4\,;-3)\).

Pente : \(m=\dfrac{-3-3}{4-1}=\dfrac{-6}{3}=-2\).
Ordonnée à l'origine : \(p=3-(-2)\times 1=5\).
Équation réduite : \(y=-2x+5\).
Vecteur directeur : \(\vec{u}(1\,;-2)\).