Chapitre 5 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:40
Pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) :
\[a \leqslant b \implies a + c \leqslant b + c.\]On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens. Plus généralement, on peut additionner deux inégalités de même sens :
\[\text{si } a \leqslant b \text{ et } c \leqslant d, \text{ alors } a + c \leqslant b + d.\]Soit \(k\) un réel et \(a \leqslant b\).
Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est la source d'erreur numéro un dans la résolution des inéquations.
Ces règles traduisent le sens de variation de la fonction affine \(x \mapsto kx\) :
Par exemple, de \(-2 \leqslant 3\), en multipliant par \(-4\) (négatif), on déduit \(8 \geqslant -12\) : le sens a bien été inversé.
On multiplie par \(2 \gt 0\) (le sens est conservé) : \(-2 \leqslant 2x \leqslant 8\).
On multiplie par \(-3 \lt 0\) (le sens est inversé) : \(3 \geqslant -3x \geqslant -12\), soit \(-12 \leqslant -3x \leqslant 3\).
Une équation d'inconnue \(x\) est une égalité contenant \(x\), dont on cherche les valeurs qui la rendent vraie. Ces valeurs sont les solutions. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble \(S\) de toutes ses solutions.
Une équation est du premier degré (en \(x\)) si elle peut s'écrire sous la forme
\[ax + b = 0, \qquad \text{avec } a \neq 0.\]L'équation \(ax + b = 0\), avec \(a \neq 0\), admet une unique solution :
\[x = -\dfrac{b}{a}, \qquad \text{soit} \quad S = \left\{ -\dfrac{b}{a} \right\}.\]Démonstration. On isole \(x\) : \(ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\dfrac{b}{a}\) (car \(a \neq 0\)). \(\blacksquare\)
Les équations \(ax = b\), \(a + x = b\) ou \(ax + b = cx + d\) se ramènent toutes à ce cas, en regroupant les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre.
Résoudre \(5x - 3 = 2x + 9\).
\[5x - 3 = 2x + 9 \iff 5x - 2x = 9 + 3 \iff 3x = 12 \iff x = 4.\]D'où \(S = \{4\}\).
Exemple résolu. \(2(x - 1) = 3 - (x + 4)\) :
\[2x - 2 = -x - 1 \iff 3x = 1 \iff x = \tfrac{1}{3}. \qquad S = \left\{\tfrac{1}{3}\right\}.\]Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Sa solution est en général un intervalle (ou une réunion d'intervalles) de \(\mathbb{R}\).
Résoudre \(-3x + 4 \geqslant 1\).
\[-3x + 4 \geqslant 1 \iff -3x \geqslant -3 \iff x \leqslant 1.\](On a divisé par \(-3 \lt 0\), donc le sens a changé.) L'ensemble des solutions est \(S = \left]-\infty\,;\ 1\right]\).
Résoudre \(ax + b \gt 0\) revient à chercher les \(x\) pour lesquels la fonction affine \(f(x) = ax + b\) prend des valeurs strictement positives, c'est-à-dire là où sa courbe (une droite) est au-dessus de l'axe des abscisses.
Cas \(a \gt 0\) : la droite est au-dessus de l'axe des abscisses pour \(x \gt x_0\), où \(x_0 = -\tfrac{b}{a}\) est son point d'annulation.
\(4 - 2x \lt 10 \iff -2x \lt 6 \iff x \gt -3\) (division par \(-2 \lt 0\), sens inversé). Donc \(S = \left]-3\,;\,+\infty\right[\).
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Pour tous réels \(A\) et \(B\) :
\[A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0.\]Résoudre \((2x - 6)(x + 1) = 0\).
\[2x - 6 = 0 \ \text{ ou } \ x + 1 = 0 \iff x = 3 \ \text{ ou } \ x = -1.\]D'où \(S = \{-1\,;\ 3\}\).
Si l'équation n'est pas déjà un produit égal à \(0\), il faut d'abord tout ramener dans un membre et factoriser. Ainsi \(x^2 = 3x\) se réécrit \(x^2 - 3x = 0\), soit \(x(x - 3) = 0\), d'où \(S = \{0\,;\ 3\}\). Surtout, ne pas diviser par \(x\) : on perdrait la solution \(x = 0\).
Soit \(a\) un réel. L'équation \(x^2 = a\) :
Démonstration (cas \(a \gt 0\)). \(x^2 = a \iff x^2 - (\sqrt a)^2 = 0 \iff (x - \sqrt a)(x + \sqrt a) = 0\). Par le produit nul, \(x = \sqrt a\) ou \(x = -\sqrt a\). \(\blacksquare\)
L'équation \(x^2 = 9\) a deux solutions : \(x = 3\) et \(x = -3\). Écrire uniquement \(x = 3\) est incomplet. En revanche, \(\sqrt{9}\) désigne le seul nombre positif \(3\) : ne pas confondre « résoudre \(x^2 = 9\) » et « calculer \(\sqrt 9\) ».
(a) \(16 \gt 0\) : \(S = \{-4\,;\,4\}\).
(b) \(-4 \lt 0\) : \(S = \varnothing\).
(c) \(2x^2 = 18 \iff x^2 = 9\), donc \(S = \{-3\,;\,3\}\).
L'expression affine \(ax + b\) (\(a \neq 0\)) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\) et son signe est donné par :
Moyen mnémotechnique : \(ax + b\) est « du signe de \(a\) après la racine ».
Étudier le signe de \(P(x) = (2x - 6)(x + 1)\). Les facteurs s'annulent en \(x = 3\) et \(x = -1\).
Tableau de signes de \(P(x) = (2x-6)(x+1)\).
On lit : \(P(x) \gt 0\) sur \(\left]-\infty\,;\,-1\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[\), \(\ P(x) \lt 0\) sur \(\left]-1\,;\,3\right[\), et \(P(x) = 0\) pour \(x \in \{-1\,;\,3\}\).
Pour \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), la démarche est identique, mais la valeur qui annule le dénominateur \(B(x)\) est une valeur interdite : on la marque d'une double barre dans le tableau et l'expression n'y est pas définie.
\(Q\) s'annule en \(x = -2\) et \(x = 4\). Le facteur \(x-4\) est négatif avant \(4\) puis positif ; le facteur \(x+2\) est négatif avant \(-2\) puis positif. Donc \(Q(x) \gt 0\) sur \(\left]-\infty\,;\,-2\right[\cup\left]4\,;\,+\infty\right[\) et \(Q(x) \lt 0\) sur \(\left]-2\,;\,4\right[\).
On a \(Q(x) \leqslant 0\) sur \(\left[-2\,;\,4\right]\) (bornes incluses car \(Q\) y est nul).
Une expression \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) n'est définie que si son dénominateur est non nul. Les valeurs qui annulent \(B(x)\) sont les valeurs interdites : elles sont exclues.
Pour \(B(x) \neq 0\) :
\[\dfrac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k\,B(x).\]On résout alors cette équation (souvent du premier degré), puis on vérifie que les solutions trouvées ne sont pas des valeurs interdites.
Résoudre \(\dfrac{x + 1}{x - 2} = 3\).
On traite la lettre cherchée comme l'inconnue, les autres comme des paramètres, puis on l'isole (en pensant aux conditions de non-nullité des diviseurs).
Cas d'une relation du premier degré \(ax + by = c\). Pour exprimer \(y\) (avec \(b \neq 0\)) :
\[ax + by = c \iff by = c - ax \iff y = \dfrac{c - ax}{b}.\]Exemple résolu. Un club propose un abonnement de \(30\) € plus \(2\) € par séance. À partir de combien de séances la dépense dépasse-t-elle \(50\) € ? On note \(n\) le nombre de séances : \(30 + 2n \gt 50 \iff 2n \gt 20 \iff n \gt 10\). La dépense dépasse \(50\) € à partir de la 11ᵉ séance.
Largeur \(\ell\), longueur \(\ell + 5\). Périmètre : \(2(\ell + \ell + 5) = 30 \iff 4\ell + 10 = 30 \iff \ell = 5\). La largeur vaut \(5\) cm et la longueur \(10\) cm.
❌ Garder le sens de l'inégalité en divisant par un négatif.
✅ On inverse le sens en multipliant/divisant par un négatif — jamais en ajoutant ou retranchant.
❌ Diviser par \(x\) dans une équation (ex. \(x^2 = 3x\)).
✅ On factorise : \(x(x-3)=0\), sinon on perd la solution \(x = 0\).
❌ Oublier la solution négative dans \(x^2 = a\).
✅ Si \(a \gt 0\) : deux solutions \(-\sqrt a\) et \(\sqrt a\) ; \(S = \varnothing\) si \(a \lt 0\).
❌ Oublier les valeurs interdites dans un quotient.
✅ Exclure les valeurs annulant le dénominateur avant de résoudre, et vérifier les solutions.