Fiche – Équations et inéquations

Chapitre 5 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

On ajoute librement dans une inégalité ; on inverse le sens en multipliant/divisant par un négatif.
\(ax + b = 0\) (\(a \neq 0\)) a l'unique solution \(x = -\dfrac{b}{a}\).
Produit nul : \(AB = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).
\(x^2 = a\) : \(\varnothing\) si \(a \lt 0\), \(\{0\}\) si \(a = 0\), \(\{-\sqrt a\,;\,\sqrt a\}\) si \(a \gt 0\).
Quotient : penser aux valeurs interdites (dénominateur \(\neq 0\)).

Définitions clés

Définition

Solutions, ensemble \(S\) : résoudre une équation ou une inéquation, c'est déterminer l'ensemble \(S\) de toutes les valeurs de l'inconnue qui la vérifient.

Définition

Premier degré : une équation qui s'écrit \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\). Une inéquation a pour solution un intervalle (ou une réunion d'intervalles).

Définition

Valeur interdite : valeur qui annule un dénominateur. L'expression \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) n'est définie que si \(B(x) \neq 0\).

À connaître par cœur

Règles sur les inégalités \[a \leqslant b \implies a + c \leqslant b + c\] \[k \gt 0 : ka \leqslant kb \qquad k \lt 0 : ka \geqslant kb\]

Premier degré et produit nul \[ax + b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{a} \quad (a \neq 0)\] \[A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou}\ B = 0\]

Équation \(x^2 = a\) \[a \lt 0 : S = \varnothing \qquad a = 0 : S = \{0\}\] \[a \gt 0 : S = \{-\sqrt a\,;\,\sqrt a\}\]

Équation quotient et isolement \[\dfrac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k\,B(x) \quad (B(x)\neq 0)\] \[ax + by = c \iff y = \dfrac{c - ax}{b} \quad (b \neq 0)\]

Signe de \(ax + b\)

\(ax + b\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\).
Il est du signe de \(a\) après la racine \(x_0\) (et du signe opposé avant).
Pour un produit ou un quotient : tableau de signes + règle des signes ; double barre aux valeurs interdites.

Méthode — Résoudre une (in)équation

Méthode

Développer, réduire chaque membre.
Regrouper les termes en \(x\) d'un côté, les constantes de l'autre.
Diviser par le coefficient de \(x\) — si négatif dans une inéquation, inverser le sens.
Conclure : \(S\) sous forme d'ensemble (équation) ou d'intervalle (inéquation).

Méthode — Produit / quotient

Produit nul : factoriser, puis chaque facteur \(= 0\).
Quotient \(= k\) : exclure la valeur interdite, passer à \(A = kB\), vérifier la solution.
Signe : dresser le tableau, appliquer la règle des signes.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Garder le sens en divisant une inégalité par un négatif.

✅ On inverse le sens ; jamais en ajoutant / retranchant.

❌ Diviser par \(x\) dans \(x^2 = 3x\).

✅ Factoriser : \(x(x-3)=0\), sinon on perd \(x=0\).

❌ Oublier la solution négative de \(x^2 = a\) (\(a \gt 0\)).

✅ Deux solutions : \(-\sqrt a\) et \(\sqrt a\).

❌ Oublier la valeur interdite d'un quotient.

✅ Exclure d'abord, puis vérifier la solution.

Exemple rapide

Exemple — une inéquation et un produit nul

Inéquation : \(-3x + 4 \geqslant 1 \iff -3x \geqslant -3 \iff x \leqslant 1\) (sens inversé). \(S = \left]-\infty\,;\,1\right]\).

Produit nul : \((2x - 6)(x + 1) = 0 \iff x = 3\) ou \(x = -1\). \(S = \{-1\,;\,3\}\).